Моделирование основных аспектов вещественного и комплексного анализа в рамках аксиоматики для гипернатуральных чисел Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.98+517.11

МОДЕЛИРОВАНИЕ ОСНОВНЫХ АСПЕКТОВ ВЕЩЕСТВЕННОГО И КОМПЛЕКСНОГО АНАЛИЗА В РАМКАХ АКСИОМАТИКИ ДЛЯ ГИПЕРНАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Е.В. Праздникова, Ю.Н. Ловягин

В работе излагается формализованная теория гиперрациональных чисел, основанная на консервативном расширении арифметики Пеано, которая используется для моделирования элементов вещественного и комплексного анализа в рамках формализованной теории чисел. Идея такого моделирования восходит к А.Г. Драгалину. В качестве приложения приводится ряд результатов о функциях, моделирующих вещественные и комплексные функции.

Ключевые слова: нестандартная арифметика, гиперрациональные числа, комплексные гиперрациональные числа

Введение

Теорема компактности гласит: если имеется некоторая теория, то она имеет модель тогда и только тогда, когда каждая ее конечная подтеория имеет модель. Чаще всего этот факт применяется для обоснования существования неархимедова расширения поля вещественных чисел и развития анализа в духе Лейбница. В настоящее время имеется много работ, посвященных применению методов нестандартного анализа к построению анализа вещественных функций (см., например, [1-3] и ссылки там). В большинстве работ применяется либо построение нестандартного расширения с помощью ультрапроизведения, либо идеи Нельсона [4] о консервативном расширении теории множеств Цермело-Френкеля путем добавления некоторых специфических аксиом, гарантирующих существование бесконечно малых. Пусть ЕР - теория упорядоченных полей в языке Ь(=, <;+,-;0,1) и Ь- расширение этого языка путем добавления нового константного символа О. Теория ¥Р' получается из ЕР путем добавления бесконечного списка аксиом {п < Q : п - натуральное}. Так как, очевидно, всякая конечная подтеория ЕР' содержит лишь конечное множество «новых» аксиом, моделью этой подте-ории может служить множество Ш, в котором имя константы О есть наибольшее натуральное число, являющееся номером «новой» аксиомы. Таким образом, существует модель для теории ЕР', являющаяся элементарным расширением Ш и обозначаемая *Ш. Ясно, что имя константы О в модели *Ш есть бесконечно большое число и, следовательно, в поле *Ш имеются бесконечно малые числа. Более того, имеет место принцип переноса, согласно которому всякое утверждение о поле Ш, выразимое в языке Ь, истинно тогда и только тогда, когда соответствующее ему утверждение в языке Ь истинно в поле *Ш.

Таким образом, пара Ш, *Ш дает возможность развивать анализ в духе «основоположников» и, тем самым, реабилитирует теорию бесконечно малых Лейбница. Но понятие вещественного числа в теории ЕР неаксиоматизируемо, ибо принцип Архимеда невыразим в логике первого порядка - это и есть следствие теоремы компактности и существования *Ш. С другой стороны, само понятие вещественного числа базируется на понятии дедекиндова сечения в области рациональных чисел (или идее пополнения множества рациональных чисел как метрического пространства). Следовательно, вещественное число мы должны понимать как набор его рациональных приближений, как это делается в конструктивном анализе А. А. Маркова [5]. Аналогично обстоит дело и в представлении вещественных чисел в ЭВМ, точность которых предполагает задание вещественного числа его рациональным приближением. Идеальной ситуацией является задание «абсолютной» точности, при которой приближение отличается от истинного (абсолютного) значения на бесконечно малое количество. В этом аспекте возможно

рассмотрение в качестве модели теории БР множества рациональных чисел Q и его нестандартного * Q расширения, содержащего бесконечно малые числа. Доказательство существования такого поля аналогично приведенному для пары Ш, *Ш.

Однако само построение поля Q осуществляется на основе кольца целых чисел 2 путем построения поля отношений, а само кольцо 2 строится, исходя из множества натуральных чисел. Таким образом, вещественные числа ведут естественное происхождение из натуральных. Сами же натуральные числа могут быть получены либо в теории множеств как конечные ординалы, либо построены аксиоматически на основе аксиом Пеано.

Одним из применений варианта теоремы компактности является теорема Левен-гейма-Скулема-Тарского о том, что всякая теория, имеющая бесконечные модели, имеет модель любой наперед заданной мощности. Следовательно, теория Пеано имеет так называемые нестандартные модели, в которых имеются числа, строго большие любого натурального числа. Отсюда один шаг до построения на аксиоматической основе теории так называемых гиперрациональных чисел, которые призваны моделировать вещественные числа «со сколь угодно большой точностью». Это обусловлено тем, что, рассматривая поле * Q, мы можем доказать, что Ш получается как фактор-кольцо кольца конечных чисел из *Q по отношению бесконечной близости (см., например, [2]). Иными словами, для каждого вещественного числа существует гиперрациональное, бесконечно близкое к нему. Такое число определено неоднозначно, однако дает возможность судить о вычисляемом вещественном числе.

В настоящей работе излагается формализованная теория для моделирования элементов вещественного и комплексного анализа в рамках формализованной теории чисел. Идея такого моделирования восходит к А.Г. Драгалину [6].

1. Гиперарифметика

Рассмотрим формализованную теорию чисел, язык которой в своей сигнатуре содержит знаки для предиката равенства, двухместных функциональных символов для сложения и умножения, а также символ для унарного функционального символа следования. Последний будем обозначать штрихом ('), а для остальных знаков сигнатуры используем стандартные обозначения. Для термов и формул языка используется инфиксная запись. Константа «ноль» обозначается естественным образом. Формулы, не содержащие свободных переменных, именуются утверждениями.

Специальными аксиомами, именуемыми в дальнейшем аксиомами арифметики, являются:

1. Ух—( х' = 0);

2. УхУу(х' = у з х = у);

3. Ух(х + 0 = х);

4. УхУу( х'+у') = (х + у)';

5. Ух( х • 0 = х);

6. УхУу(х • у') = х • у + х;

7. ф(0) & Ух(ф(х) з ф(х')) з Ухф(х) для любой формулы ф.

Определение 1.1. Теорию, содержащую аксиомы арифметики, а также аксиомы равенства и согласования с равенством, назовем арифметикой и обозначим А .

Термы 0, 1=0', 2=1', ... называют натуральными числами.

Введем в сигнатуру арифметики предикатные символы < и < :

х < у = 32 (х + г = у) , х < у = х < у & —(х = у) .

Легко проверяется, что предикат < является предикатом порядка - рефлексивен, симметричен и транзитивен, таким образом, < есть предикат строгого порядка.

Расширим теперь сигнатуру арифметики путем добавления нового константного символа О. К аксиомам арифметики добавим бесконечный набор аксиом 0<О,1 <О,2 <О... .

Определение 1.2. Расширенную теорию назовем гиперарифметикой и обозначим

НА.

Теорема 1.1. НА является консервативным расширением А .

Нетрудно понять, что терм О и образуемые на его основе посредством сложения и умножения термы являются числами, которые строго превосходят все натуральные числа, т.е. являются бесконечно большими числами.

Определение 1.3. Такие числа будем называть бесконечными натуральными числами. Все конечные и бесконечные натуральные числа будем называть гипернатуральными числами.

Для выделения конечных чисел среди натуральных введем соответствующий одноместный предикатный символ N . Таким образом, N(х) означает, что х - конечное гипернатуральное число, или просто натуральное число.

Отметим, что вводимый предикат «быть натуральным числом» является по отношению к гиперарифметике внешним и не может быть выражен в ней.

2. Гиперрациональные числа

В этой части рассматриваются тройки гипернатуральных чисел. Для этого к сигнатуре теории НА добавляется трехместный предикатный символ HQ и аксиома VxVyVzHQ(хуг). Содержательно эта аксиома означает, что тройка гипернатуральных чисел определяет некоторое новое число, которое будем называть гиперрациональным.

Для построения теории гиперрациональных чисел вводятся функциональные символы для сложения и умножения, а также предикатный символ равенства гиперрациональных чисел. Сохраняя для них прежние обозначения, введем

Определение 2.1. хуг = иум = xw + х + уг + V = ум + у + иг + и;

хуг • иум = хи + уу уи + ху гм + г + м ;

хуг + иум = хм + х + иг + и ум + у + уг + V гм + г + м .

Теорема 2.1. 1. Введенный двухместный предикат является предикатом равенства для троек гипернатуральных чисел.

2. Для функциональных символов сложения и умножения троек гипернатуральных чисел выполнены аксиомы согласования с введенным предикатом равенства.

В [7] теорема доказана и доказано, что гиперрациональные числа образуют поле. Условимся тройки гипернатуральных чисел обозначать буквами р, д, г и тому подобными. Примем следующее сокращение: будем писать Урф вместо УхУуУг(HQ(хуг) зф) и 3рф вместо 3x3y3z(HQ(хуг)&ф).

Введем в рассмотрение специальные предикатные символы, описывающие свойства гиперрациональных чисел.

Определение 2.2. 1. Число р является гипернатуральным: HN(р) = 3х(р = х00).

2. Число р является натуральным: N(р) = HN(р) & N(х) .

3. Число р является положительным: р > 0 = х > у.

4. Число р строго положительно: р > 0 = р > 0 & —(р = 0) .

5. р > д = р - д > 0, р > д = р > д& —(р = д).

6. Число р является бесконечно малым: р * 0 = Vn(N(п) з (—(п = 0) з| р |< -1)) .

п

7. Числа р и q бесконечно близки: р * q = р - q * 0.

8. Число р является рациональным: 0(р) = Vq(q * р з q = р).

9. Число р является конечным: /т(р) = Зп(N(п)& | р |< п).

10. Число р является бесконечно большим: тГ 1п(р) = —(/т(р)).

Отметим, что понятия рационального, натурального, конечного, бесконечно малого, бесконечно большого гиперрационального числа являются внешними.

Теорема 2.2. VpVq(HN(р) & NNз NN(р + q) & NN(pq)), причем сумма и произведение, вычисленные как гиперрациональные и как гипернатуральные числа, совпадают.

В [7] теорема доказана и доказаны основные свойства конечных и бесконечно малых чисел, аналогичные свойствам предела числовой последовательности. В частности, произведение конечного и бесконечно малого чисел бесконечно мало.

Теорема 2.3. Сумма и произведение гиперрациональных чисел определены корректно относительно отношения бесконечной близости: если р1 * q1 и р2 * q2, то

л + р2 * ql + q2 и р1 • р2 * ql • q2.

В доказательстве используется свойство: сумма и произведение бесконечно малых бесконечно мало. Там же доказано, что гиперрациональные числа образуют упорядоченное поле.

Таким образом, соотношение между гиперрациональными и гипернатуральными числами точно такое же, как таковое между натуральными и рациональными числами. Более того, можно легко доказать, что теория гиперрациональных чисел является консервативным расширением теории рациональных чисел. Следовательно, все то, что доказуемо для рациональных чисел, доказуемо и для гиперрациональных. С другой стороны, наличие свойства «быть бесконечно малым» дает возможность рассматривать конечные гиперрациональные числа как «сколь угодно точные» приближения к числам вещественным. Некоторые приложения этого к элементарному математическому анализу имеются в [7-9].

Покажем, как гиперрациональные числа моделируют вещественные. Для этого используем доказанную И.Ф. Сегаль теорему, являющуюся аналогом теоремы Коши о промежуточном значении. Предварительно оговорим понятие функции гиперрационального аргумента.

Пусть ф - формула с двумя свободными переменными для гиперрациональных чисел. Говоря формально, ф - формула теории НА с шестью свободными переменными. Пусть, далее, Vp(Зqф(р, q) з (Зг ф(р, г) з г = q)). В этом случае говорят, что формула ф определяет функцию / гиперрационального аргумента. Если Зq ф(р, q), то пишут q = /(р) и говорят, что q есть значение функции / на р .

Функцию / называют равномерно непрерывной на сегменте [а, Ь], где а и Ь -конечные гиперрациональные числа, если

VpVq(р > а & р < Ь & q > а & q < Ь з (р * q з /(р) * /(q))).

Теорема И.Ф. Сегаль гласит:

Теорема 2.4. Если функция / равномерно непрерывна на сегменте [а, Ь] и /(а)/(Ь) < 0, то Зс(с > а & с < Ь & /(с) * 0) .

Рассмотрим функцию /, определенную правилом /(х) = хт, где т - натуральное число. Тогда при р * q имеем рт - qm = (р - q)(pm-1 + рт-2q + к + pqm-2 + qm-1) * 0, что дает равномерную непрерывность функции на любом сегменте.

Рассмотрим рациональное, или более общее конечное гиперрациональное, число a > 0 и уравнение xYn = a. Покажем, что это уравнение имеет «почти решение», т.е.

m

существует конечное гиперрациональное число p такое, что p « a.

Результат почти мгновенно следует из равномерной непрерывности на сегменте [0, a] функции f, определенной правилом f (x) = xm - a. Таким образом, доказана

Теорема 2.5. Для каждого конечного гиперрационального числа a > 0 и любого натурального ш существует конечное гиперрациональное число p такое, что pm « a.

Определение 2.3. Любое число р такое, что рш « а, назовем корнем степени ш

из числа а и будем обозначать та .

Доказанная теорема показывает, что из положительного гиперрационального числа существуют корни любой натуральной степени. Нетрудно понять, что корни нечетной степени существуют из любого конечного гиперрационального числа.

Приведенный аргумент является одним из важнейших в мотивации привлечения гиперрациональных чисел к моделированию вещественных чисел и вещественного анализа. Приведем еще один результат в данном направлении.

Теорема 2.6. Пусть для каждого гипернатурального числа п имеется гиперрациональное число {рп}, причем

1. Уп(ИМ(п) з Рп+1 > Рп).

2. ЗМ (/т(М) & Уп(ИЫ(п) з| рп |< М)).

Тогда УпУш(ИЫ(п) & ИЫ(ш) & тГ 1п(п) & тГ 1п(ш) з рп « рш ).

Приведенная теорема, будучи интерпретированной на языке элементарного анализа вещественных чисел, равносильна тому, что возрастающая ограниченная сверху последовательность рациональных (или вещественных) чисел является фундаментальной. Она позволяет привести «конструкцию» для извлечения корней из гиперрациональных чисел. Точнее, как и в классическом анализе, доказывается, что последовательность, определенная рекуррентным соотношением рп+1 = рп +-а-), удовлетворяет условиям теоремы. Таким обра-

2 Рп

зом, для всех бесконечно больших натуральных чисел все члены последовательности бесконечно близки друг другу. Используя свойства алгебраических операций над гиперрациональными числами при бесконечно больших п, получаем: р1 = 2рпрп+1 - а « 2р1 - а . Отсюда р1 « а, т.е. при бесконечно больших натуральных п рп « ^а . Аналогичные рассуждения можно провести и для извлечения корней любой степени.

Лемма 2.1. Пусть ИQ(p) и е « 0 . Тогда р > 0 = р + е> 0.

Определение 2.4. Будем говорить, что гиперрациональное число р почти больше числа д (или число д почти меньше числа р) и писать р д (или д <« р), если р > д V р « д .

Теорема 2.7. Пусть а Ь - положительные конечные гиперрациональные числа, ш - натуральное число. Тогда при любых р и д таких, что рш « а, дш « Ь имеет место р д.

Приведенные результаты показывают, что функция извлечения корня является возрастающей равномерно непрерывной функцией.

3. Комплексные гиперрациональные числа

Добавим к сигнатуре теории гиперрациональных чисел предикатный символ ИС , содержательно означающий, что пара (р, д) гиперрациональных чисел определяет

комплексное гиперрациональное число. К аксиомам теории HC добавим аксиому VpVqHC(р, q). В дальнейшем, как и выше, используем сокращение Vpqф для VpVq(HC(р, q) з ф) и Зpqф для ЗpЗq(HC(р, q)&ф).

Определение 3.1. Пару гиперрациональных чисел назовем комплексным гиперрациональным числом.

Для удобства пару (р, q) такую, что HC(р, q) , будем обозначать буквами г , w и подобными. Пишем также 2 = (р, q) вместо HC(р, q) .

Определение 3.2. Комплексные гиперрациональные числа 2 = (р, q) и w = (х, у) равны между собой, если р = х & q = у. Записываем это отношение как г = w.

Замечание 3.1. Новый предикат отличен от имеющегося в языке, но мы сохраняем за ним то же обозначение, что не должно привести к недоразумениям.

Определение 3.3. Предикат HQ определяет гиперрациональное число 2 вида (р,0), т.е. HQ( г) = Зрг = (р,0).

Определение 3.4. Суммой комплексных гиперрациональных чисел г = (р, q) и w = (х, у) будем называть комплексное гиперрациональное число ^ = (р + х, q + у) .

Произведением комплексных гиперрациональных чисел г = (р, q) и w = (х, у) будем называть комплексное гиперрациональное число и = (рх - qy, ру + qx) .

Теорема 3.1. Сумма и произведение гиперрациональных чисел определены корректно: если г1 = w1 и г2 = w2, то г1 + г2 = w1 + w2 и г1 • г2 = w1 • w2.

Теорема 3.2. Введенный в определении 3.2 предикат есть предикат равенства, т.е. верны аксиомы равенства и согласованности с равенством:

1. рефлексивность равенства, Vг (г = г);

2. симметричность равенства, Vг Vw (г = w з w = г);

3. транзитивность равенства, Vг VwVu (г = w & w = и з г = и);

4. согласованность с предикатными символами,

к гп ^ к ^ (г! = ^ & к & г„ = ^ з (P(гl,..., гп ) = P(wl,..., wn )));

5. согласованность с функциональными символами,

к гп Vw1 к wn (г! = w1 & к & гп = wn з /(гl,к, гп ) = /(wl,к, wn )).

Теорема 3.3. Комплексные гиперрациональные числа образуют поле. Определение 3.5. Назовем комплексное число (0,1) мнимой единицей и будем обозначать I = (0,1).

Для любого гиперрационального числа р можно определить комплексное гиперрациональное число (р,0).

Теорема 3.4. VгVw(ЗpЗq(г = (р,0) & w = (^0) з (г = w = р = q))). Теорема 3.5. VгVw(ЗpЗq(г = (р,0) & w = (q,0) з (г + w = р + q)&(г • w = р • q))) . Теоремы 3.4 и 3.5 показывают, что операции над комплексными гиперрациональными числами являются продолжением соответствующих операций над гиперрациональными числами.

Замечание 3.2. Заметим, что любое комплексное гиперрациональное число г = (р, q) можно представить в виде г = (р,0) + (0, q) = (р,0) + q • (0,1) = р + iq . Т аким образом, комплексное гиперрациональное число г = (р, q) определяет число вида г = р + iq .

Определение 3.6. Запись комплексного гиперрационального числа г в виде р + iq называют алгебраической формой записи.

Определение 3.7. Пусть г = р + iq . Гиперрациональные числа р и q назовем гиперрациональной и мнимой частями комплексного гиперрационального числа г . Гиперрациональную часть будем обозначать Hq г, а мнимую - 1т г .

Замечание 3.2. Таким образом, в веденных обозначениях с комплексными гиперрациональными числами можно оперировать как с многочленами относительно i, учитывая, что i2 =-1.

Определение 3.8. Модулем комлексного гиперрационального числа г = (р, q) назовем . Модуль будем обозначать как | г |.

Определение 3.9. Комплексное гиперрациональное число г будем называть конечным, если его модуль - конечное гиперрациональное число.

Определение 3.10. Комплексное гиперрациональное число г будем называть бесконечно большим, если | г | - бесконечно большое гиперрациональное число.

Определение 3.11. Комплексное гиперрациональное число г будем называть бесконечно малым (и обозначать как г * 0 ), если | г | - бесконечно малое гиперрациональное число.

Утверждение 3.1. Для любого комплексного гиперрационального числа г = (р, q) | г |* 0 тогда и только тогда, когда р * 0 & q * 0 .

Теорема 3.6. Для комплексных гиперрациональных чисел верны следующие утверждения.

1. Произведение бесконечно большого на конечное дает бесконечно большое.

2. Сумма и произведение бесконечно малых являются бесконечно малыми.

3. Произведение конечного на бесконечно малое дает бесконечно малое.

4. Сумма и произведение конечных чисел являются конечным числом.

5. Отношение конечных чисел конечно, если знаменатель не бесконечно мал.

В доказательстве используются аналогичные свойства для гиперрациональных чисел.

Определение 3.12. Комплексные гиперрациональные числа г и w будем называть бесконечно близкими (и обозначать г * w ), если г - w * 0.

Утверждение 3.2. Для любых комплексных гиперрациональных чисел г = (р, q) и w = (х, у) верно г * w тогда и только тогда, когда р * х & q * у.

Для любых комплексных гиперрациональных чисел г , w и V верно:

1. Vг (г * г);

2. VгVw (г * w з w * г) ;

3. VгVw Vu( г * w & w * и з г * и).

Теорема 3.7. Сумма и произведение комплексных гиперрациональных чисел определены корректно относительно отношения бесконечной близости: если г1 * w1 и г 2 * то г1 + г 2 * Wl + ^ и г1 • г 2 * ^ •

4. Комплексные гиперрациональные функции

Определение 4.1. Пусть ф - формула с двумя свободными переменными для комплексных гиперрациональных чисел, и Vx(Зy ф(х, у) з (Зиф(х, у) з и = у)) . Тогда будем говорить, что ф определяет функцию комплексного гиперрационального аргумента.

Функции будем обозначать /, g и т.д. Область определения функции ф - это класс всех комплексных гиперрациональных чисел х, таких что Зуф(х, у) . В этом случае записываем у = /(х). Говорим, что функция ф определена в точке х и пишем З/(х), если Зу (ф(x, у) & у = /(х)) .

Определение 4.2. Пусть ( - формула с двумя свободными переменными для комплексных гиперрациональных чисел. Будем говорить, что 2 принадлежит Ф, если ((2). В таком случае пишем Ф(2) = ((2) .

Определение 4.3. Функция f называется равномерно непрерывной на некоторой фигуре, если для всех г и м из фигуры из 2 « м следует, что f (2) « f (м).

Определение 4.4. Монада числа 2 - совокупность всех комплексных гиперрациональных чисел, бесконечно близких к 2 . Обозначаем д(2) .

Определение 4.5. Пусть д = д(2) - некоторая монада для некоторого числа 2 . Функция f называется непрерывной в монаде д, если для всех элементов этой монады значения функции бесконечно близки.

Определение 4.6. Фигуру ВаЪЫ (2) = а < Ид 2 < Ь & с < 1т 2 < й, где а, Ь, с, й - гиперрациональные числа, назовем замкнутым прямоугольником. Фигуру Яг (2) = (Ид2)2 + (1т2) < г2, где г - гиперрациональное число, назовем замкнутым кругом.

Теорема 4.1. Пусть функция / определена и равномерно непрерывна на ВаЪсЛ (2), тогда существует М, лежащее в области ВаЪсй (2), такое, что для любых 2 из фигуры °аЪсй (2) верно | / |<* М = /(м) .

Доказательство. Разобьем фигуру ВЛсй (2) на N х К равных частей, где N, К -бесконечно большие натуральные числа, следующим образом:

а = Х0 < х < Х2 < к < Хм-1 < Хм = Ь, с = у 0 < у < у 2 < к < у к-1 < Ук = й, Ь - а й - с

где х1 = N 1, У] = к . Рассмотрим комплексные гиперрациональные числа 2у = (х1, У] ) и значения функции f на них f (21]-) :

У ( х0, У0 ), У ( х0, У1), к, у ( х0, У к-1), У (х0, У к X

У (х1, У0Х у (xl, Уl), к, у (х1, У к-1X у (х1, У к X

у ( хм, Уo), у (хм, Уl), к, у ( хм, У к-1), у (хм, У к ).

Среди выбранных чисел есть самое большое по модулю, пусть это У(2^ ) . Рассмотрим произвольное 2 из фигуры ВаЬсй (2), тогда при некоторых к, I 2 « 2к1. Если к Ф s VI Ф I, то не может быть | У (2) |>| У (2^) | в силу непрерывности У . Если же к = s & I = I, то в случае | У(2) |>| У(2а) | полагаем М = У(2). Далее по индукции перебираем все элементы монады точки 2а. Таким образом, находим самое большое значение функции.

Индукция возможна, ибо множество комплексных гиперрациональных чисел биективно множеству гипернатуральных. ■

Заключение

Показано, что гиперрациональные числа пригодны для моделирования вещественных и комплексных чисел. Построена формализованная теория комплексных гиперрациональных чисел. Приведен ряд результатов, моделирующих результаты о функциях вещественной и комплексной переменной.

Литература

1. Ловягин Ю.Н. Исчисление бесконечно малых Г.В. Лейбница в современном изложении, или Введение в нестандартный анализ А.Робинсона. - Сыктывкар: СЛИ, 2001. - 161с.

2. Девис М. Прикладной нестандартный анализ. - М.: Мир, 1980. - 236 с.

3. Успенский В. А Что такое нестандартный анализ? - М.: Наука, 1987. - 128 с.

4. Nelson E. Internal set theory. A new approach to non standard analysis // Bull. amer. Math. Soc. - 1977. - V. 83. - № 6. - P. 1165 -1198.

5. Марков А. А., Нагорный Н.М. Теория алгорифмов. - М.: Наука, 1984. - 320 с.

6. Драгалин А.Г. Конструктивная теория доказательств и нестандартный анализ. - М.: Едиториал УРСС, 2003. - 544 с.

7. Праздникова Е.В. Моделирование вещественного анализа в рамках аксиоматики для гипернатуральных чисел // Вестник сыктывкарского университета. - 2008. -Сер.1.

8. Ловягин Ю.Н. Гиперрациональные числа как основа математического анализа // Вестник сыктывкарского университета. - 2008. - Сер.1.

9. Сегаль И.Ф. Доказательство равномерной непрерывности функций на гиперрациональных числах в аксиоматике арифметики // Косовский Н.К., Тишков А.В. Логики конечнозначных предикатов на основе неравенств: Учебное пособие. -СПб: Издательство С.-Петерб. университета, 2000. - 268 с. - С. 232 - 241.

Праздникова Елена Владимировна

Ловягин Юрий Никитич

— Санкт-Петербургский государственный университет, аспирант, [email protected]

— Санкт-Петербургский государственный университет, кандидат физ.-мат.. наук, доцент, [email protected]

УДК 62.50

АНАЛИЗ ВОЗМОЖНОСТЕЙ НЕПРЕРЫВНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ЗАДАЧИ ДИСТАНЦИОННОГО УПРАВЛЕНИЯ ТЕХНИЧЕСКИМ ОБЪЕКТОМ С УЧЕТОМ ФАКТОРА КАНАЛЬНОЙ СРЕДЫ Н.Ю. Боженкова, О.С. Осипцева, А.В. Ушаков

Обсуждается задача анализа возможностей непрерывных модельных представлений задачи дистанционного управления непрерывным техническим объектом с учетом фактора канальной среды. Предлагается процедура синтеза управления с учетом фактора канальной среды, которая опирается на такие системные параметры, как характеристическая частота и запас устойчивости по фазе.

Ключевые слова: фактор канальной среды, дистанционное управление, непрерывное представление

Введение. Постановка задачи

Предлагается следующая логика решения проблемы: формирование управления непрерывным техническим объектом в предположении, что канальная среда в случае ее непрерывного описания представляет собой «черный ящик», вносящий в цепь передачи сигнала управления в прямом канале и в сигнале измерения в обратном канале «чистую временную задержку». На первом этапе синтеза устройства формирования сигнала управления (УФСУ) используется предположение, что в аппаратной среде системы «канальная задержка» отсутствует. Тем не менее, в алгоритмической среде фактор за-