Гиперрациональные числа как основа математического анализа Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер Л. Вып. 7. 2007

УДК 517.98+517.11

ГИПЕРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА КАК ОСНОВА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Ю. Н. Ловягин

Рассматривается теория гиперрациональных чисел в качестве основы для математического анализа. Приводятся основные положения теории, излагаются аналоги теорем классического дифференциального и интегрального исчисления функций одной переменной.

1. Введение

Одним из основных понятий как в математике так и в ее приложениях является понятие вещественного числа. Однако в вычислениях мы не можем работать непосредственно с вещественными числами. Объясняется это тем, что вещественные числа не являются конструктивными объектами, поэтому их представление в ЭВМ возможно только рациональными приближениям. Точность вычислений при этом определяется разрядностью машины и требуемой вычислительной точностью результата.

В связи с вышесказанным представляется интересным рассматривать "сколь угодно точные" приближения вещественных чисел некоторым аналогом рационального числа. Эту роль могут выполнять числа гиперрациональные, которые возникают в нестандартном анализе. Однако при классическом подходе к нестандартному анализу [1, 8, 3], основанному на понятии ультрастепени, или теореме компактности для логики предикатов, или же на основе теории внутренних (внешних) множеств теряется идея конструктивного объекта и возникает проблема внешних множеств.

© Ловягин Ю.Н., 2007.

В настоящей работе предлагается теория гиперрациональных чисел, получаемая как расширение формализованной теории чисел и призванная описать теоретически понятие рационального приближения вещественного числа со сколь угодно большой точностью. Иными словами, вводимое понятие гиперрационального числа призвано заменить понятие вещественного числа. Это представляется важным для вопросов теоретических основ информатики.

Идея такого подхода восходит к А. Г. Драгалину. Гиперарифметика развита Н. К. Косовским [4]. Основные результаты о непрерывных функциях гиперрационального аргумента получены И. Ф. Сегаль [4, стр. 233 240]. Дифференциальное исчисление развито Е. В. Праздни-ковой [5].

Предлагаемое нами изложение отличается от вышеприведенных работ применением некоторых идей теории моделей [10], что позволяет рассматривать множества гиперрациональных чисел и функций.

2. Гиперарифметика

Рассмотрим формализованный язык узкого исчисления предикатов с равенством, сигнатура которого содержит знаки +, •, 7 для обозначения функциональных символов сложения, умножения1 и следования соответственно. Кроме того мы используем знак = для предикатного символа равенства и 0 для обозначения константного символа ноль. Формализованной теорией чисел называется теория в данном языке, обозначаемая в дальнейшем А, содержащая аксиомы равенства, аксиомы согласования с равенством и специальные аксиомы, восходящие к Пеано.

1. = 0),

2. \/х\/у (V = у' 3 х — у),

3. Ух (х + 0 = х),

4. МхУу [х + у' — {х + у)'),

5. Ух(х-0 = 0),

6. УхУу (х • у' — х • у + х),

7. ср (0) кУх (ср (х) Э ср (V)) э Ух(р (х).

1 Символ • в произведении мы, согласно неписанному правилу, часто будем опускать.

Определим в А х < у = Зг (х + г = у)их<у = х< (х — у). Соответствующие предикаты будем называть "меньше"и "строго меньшеп соответственно .

Введем в рассмотрение натуральные числа как термы 1 = О7, 2 = 1' = О", 3 = 2', ..., п + 1 = п', ...

Рассмотрим теорию НА, которую будем называть гиперарифметикой, получающуюся добавлением к сигнатуре формализованной теории чисел константного символа & и бесконечного списка ^-аксиом

0 < П

1 < П

п < О,

Так как для любого утверждения (р такого, что НА Ь (р в выводе используется лишь конечный набор ^-аксиом, имеет место

Теорема 2.1. Теория НА является консервативным расширением А.

Содержательно терм представляет собой бесконечно большое число. Такими числами будут так же термы £1 + п, где п натуральное число, п • О, и другие.

Натуральные числа и постоянные термы, использующие их и бесконечно большие числа будем называть гипернатуральными числами.

3. Гиперрациональные числа

Согласно теореме К. Геделя о полноте существует модель N теории НА. Элементы этой модели будем называть гипренатуральными числами. Рассмотрим множество О, упорядоченных троек гипернатуральных чисел.

Определение 3.1. Для р =< х,у,г >,д =< и, г;,ги >£ Я положим р ~ § тогда и только тогда, когда хуо + уг + х + у = иг + ут + и + у.

Довольно утомительная проверка показывает, что имеет место

Теорема 3.1. Отношение ~ является отношением эквивалентности на О,.

Определение 3.2. Для р =< х, у, г >, q —< и, г;, гг; >£ 2 положим р + q —< хъи + их + х + и^уи) + их + у + и^хи) + х + и) >, р • q —< хи + yv, уи + хг;, гги + г + х > . Теорема 3.2. Ео/ш р ~ q г/ рх ^ то р + Рг ~ q + ql Доказательство заключается в проверке равенства (х\х + хх\ + х + хх) (гиг^х + гг;х + м) +

+ (ухии + + V + их) (ххг + хг + х) +

+ хх\ + х + Х\ + г^ги + + ^ + = = (щии + Ш£>х + и + глх) + + г) + + (угх + ухх + у + ух) (иоиох + иох + ио) + +игп + иио\ + и + г¿x + У\г + ухх + у + 2/ъ с учетом, что справедливы равенства

хии+их+х+и = их-\-уио-\-и-\-у и Ххг^х+^1^1+^1+^1 = ^1^1+2/1^1+^1+2/1.

Определение 3.3. Обозначим Н(2 фактор-множество множества О, по отношению эквивалентности Множество ШО, назовем множеством гиперрациональных чисел, сокращенно ГРЧ.

Приведенные определения и факты показывают, что элементы мно-

х — у

жества 2 являются фактически формальными дробями вида-, то

х + 1

есть аналогами рациональных чисел, ибо эквивалентность троек озна-

х — у

чает не что иное, как выполнение для формальных дробей вида -

х + 1

правила пропорции. Таким образом, в множестве ГРЧ корректно определены операции сложения и умножения.

Рассмотрим формализованный язык Ъузкого исчисления предикатов первого порядка с равенством, сигнатура которого помимо предикатного символа равенства содержит знаки для функциональных символов сложения и умножения, а так же константные символы 0 и 1.

Теория ^ полей в языке Ьнд имеет кроме аксиом равенства и согласования с равенством следующие специальные аксиомы:

1. \/х\/у (ху = ух)

2. УхУуУг (х (уг) = (ху) г)

3. Ух (х • 1 = х)

4. = 0) э 3у(ху = 1))

5. УхУу (х + у = у + х)

6. УхУуУг (х + (у + г) = (х + у) + г)

7. Ух (х + 0 = х)

8. УхЗу (х + у = 0)

9. УхУуУг (х (у + г) = ху + хх)

Теорема 3.3. Н2 |= ¥

Доказательство. Интерпретируем предикатный символ равенства как равенство классов эквивалентности троек гипернатуральных чисел, алгебраические операции введенными операциями над ГРЧ. Положим 0 класс эквивалентности тройки < 0,0,0 >, 1 — класс эквивалентности тройки < 1, 0, 0 >.

Формальная проверка законов коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности довольно утомительна, но с содержательной точки зрения, рассматривая ГРЧ как дроби соответствующие равенства получаются тривиально.

То, что введенные ноль и единица являются нейтральными элементами, проверяется тривиально. Элементом, противоположным к ГРЧ, определяемому тройкой < х,у,г >, является, очевидно, число, определяемое тройкой < у,х,г >.

Докажем, что всякое ненулевое ГРЧ имеет обратный элемент. Очевидно, что -л (р = 0) равносильно тому, что -и (х = у). Таким образом, существует гипернатуральное число т = х — у (или т = у — х, что рассматривается аналогично). Так как ш / 0 существует гипернатуральное число п такое, что п + 1 = т. Рассмотрим тройку < г + 1, 0, п >. Тогда

< х, у, х > • < г +1, 0, п >=< х(х +1) +у • 0, у(г +1) +х • 0, гп + г + х >= =< х(г + 1),у(г + 1),гп + г + х >~< 1,0,0 >,

так как

х(г + 1)'0 + (гп + г + х)'0 + х(г + 1) + 0 = гп + г + х + у(г + 1)+х(г + 1) + 0.

Таким образом, < х,у,г > • < г + 1,0,п 1,0,0 >. Теорема

доказана.

Определение 3.4. Будем говорить, что ГРЧр положительно, если р х, у, г > и у < х. Пишем р > 0. Если р > 0 и ^(р = 0), то пишем р > 0 и говорим, что ГРЧр строго положительно.

Теорема 3.4. 1. если р > 0 и q > 0; то р + q > 0,

2. если р > 0 и q > 0; то pq > 0;

3. 1 > 0.

Доказательство проводится прямой проверкой. Введенный одноместный предикат и его свойства показывают, что НО является упорядоченным полем с естественным конусом положительных элементов.

Определение 3.5. Говорим, что ГРЧ р больше ГРЧ q, а q меньше

р и пишем р > q, соответственно q < р, если р — q > 0. Если р > q и = q), то говорим, что р строго больше q строго меньше р) и пишем р > q <р).

Ясно, что введенный в Ьнд новый двухместный предикатный символ является предикатным символом линейного порядка.

Рассмотрим в языке Ьнд новый одноместный предикатный символ Л/*, интерпретируемый в Н(2 как Н(2 \= тогда и только тогда,

когда р п, 0, 0 > для некоторого гипернатурального числа п.

Так как НО является моделью теории упорядоченный полей в этой структуре имеется элемент, являющийся именем константы ^ языка гиперарифметики. Ясно, что тем самым в Н(2 существуют бесконечно большие ГРЧ. Так как Н(2 поле, это означает, что в Н(2 существуют и бесконечно малые числа.

Определение 3.6. Положим для р е Н(2 \р\ = тах(р, —р).

Определение 3.7. ГРЧ е называется бесконечно малым, пишем

е « 0; если £ = 0 или Ы < — при всех натуральных п, отличных от

п

нуля.

Определение 3.8. ГРЧ & называется бесконечно большим, если > п для каждого натурального п. Если АГ (М) и N бесконечно велико, то говорим, что N бесконечно большое натуральное число ББНЧ.

Определение 3.9. ГРЧ р называется конечным, если для некоторого натурального п будет \р\ < п.

Определение 3.10. ГРЧр и д со свойством р « q назовем бесконечно близкими.

Отметим, что свойства "быть бесконечно малым", "быть бесконечно большим", "быть конечным", а так же "быть натуральным, рациональным числом"не могут быть выражены в языке 1/цд. Но, развивая теорию ГРЧ в рамках подходящей аксиоматической теории множеств, мы можем рассмотреть расширение языка 1/цд, добавляя в список его предикатных символов один из предикатов, например "быть бесконечно большим". Тогда приведенные определения позволяют определить понятие бесконечно малого и конечного числа. В рамках такой расширенной теории ББНЧ может быть определено как конечное гипернатуральное число. Будем обозначать этот расширенный язык Ь^. Не останавливаясь на формализации соответствующих фактов, будем пользоваться введенными понятиями, хотя такое положение вещей и приводит к необходимости различать внутренние и внешние понятия.

Теорема 3.5. 1. если а ^ 0 и ¡3 ^ 0, то а + @ ж 0;

2. если а « 0 и р — конечно, то а • р « О,

3. если р и д — конечны, то р + рд конечны,

4- если р конечно и не бесконечно мало, что - конечно,

р

5. если -л (р « 0) и р > 0, то для любого бесконечно малого е будет р + е > 0,

6. отношение « является отношением эквивалентности на Н(2;

7. если V, V строго положительные бесконечно большие, то и + у

строго положительное бесконечно большое,

8. если V и V бесконечно большие, то иу бесконечно большое.

Доказательство этой теоремы можно найти в [3].

Приведенные факты показывают, что конечные числа образуют кольцо в поле Н(2, а бесконечно малые идеал этого кольца. В [3] доказано, что соответствующее фактор-кольцо изоморфно полю вещественных чисел. Мы, однако, не будем строить вещественные числа,

основываясь на данном факте. Нашей целью будет моделировать вещественные числа как конечные ГРЧ, точнее, конечные ГРЧ выступают в качестве "сколь угодно точныхпприближений к числам вещественным. В последующих параграфах мы покажем как в рамках данного подхода моделируются некоторые аспекты теории функций вещественной переменной.

Отметим, что теория ГРЧ является консервативным расширением теории рациональных чисел. Таким образом, любое утверждение, истинное для рациональных чисел, истинно и в поле Н(2.

4. Гиперрациональные множества и функции

Пусть (р — некоторая формула в языке Ь¿д с единственной свободной переменной.

Определение 4.1. Множеством ГРЧ назовем класс {р : Н(2 |= (р)}-

Множества ГРЧ будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита. Таким образом, множество ГРЧ А есть {р : ср(р)}. Если |= ^(д), то мы пишем д е А.

Определение 4.2. Множество {р : ср (р) (р)} назовем пустым и будем обозначать 0.

Определение 4.3. Монадой ГРЧр называется множество ц(р) & : q^p}.

Определим стандартные теоретико-множественные операции.

Определение 4.4. Пусть А := {р : ср (р)} и В := {р : ф(р)} множества ГРЧ. Положим

АиВ:={р : ц> (р) V Ф (р)} ,

АпВ:={р : <р (р) Щ (р)} ,

А \ В {р : ¥>(р)&^(р)},

Ас:={р : -.^(р)},

Ах В {<р,д> : ,

называемые соответственно объединением, пересечением, разностью; дополнением и декартовым произведением.

Определение 4.5. Множество А := {р : ср (р)} назовем подмножеством множества

В :={р : ф (р)}, если Н2 |= Ур О (р) Э ф (р)).

Легко проверяется, что справедливы все естественные свойства теоретико-множественных операций и понятия подмножества.

Теорема 4.1. Пусть р и д — рациональные числа и ^(р = д). Тогда

Доказательство. Если г Е ¡л{р) П то р « q и, так как бесконечно близкие рациональные числа равны, теорема доказана.

Доказательство следующего утверждения можно найти в [3].

Теорема 4.2. Пусть имеется множество ГРЧ {рп : М(п)}. При этом для всех п имеет место рп < N для некоторого натурального N. Если при этом Рп+\ > рп при всех п, то для всех ББНЧ к и I Рк ~ Р1- Аналогичное утверждение имеет место и для случая, когда семейство ГРЧ является убывающим и ограниченным снизу.

Приведенная теорема показывает, что кроме алгебраических операций для ГРЧ определена операция извлечения корня и, следовательно, степенная функция. Так, например, последовательность ГРЧ, опреде-

мы. Тем самым, при всех ББНЧ рп ^ с, где ГРЧ с обладает легко устанавливаемым свойством с2 ~ д/а, то есть с любой наперед заданной точностью определено значение квадратного корня из положительного ГРЧ. Аналогично могут быть определены и корни других степеней. Ясно, что соответствующая операция определена с точностью до бесконечно малых.

Определение 4.6. Пусть (р(х, у) формула в языке L^q с двумя свободными переменными. Пусть, далее, НQ \= \/p(3qcp(p, q) D (3rcp(p, r D D r = q)). Будем говорить, что определена функция f^, если множество {р : 3q(p(p,q)} непусто.

Множество dorn/ := {р : 3qcp (р, q)} будем называть областью определения функции, множество rng/ := {q : Зрср(р, q)} множеством значений.

Таким образом, для каждого р Е dorn/ определено единственное значение q так, что (p(p,q). Будем писать q = f(p).

¡i{p) П ¡i{q) = 0.

1

ленная рекурсивно pn+i — -

Определение 4.7. Графиком функции f назовем множество dorn/х rng/.

Так как всякое ГРЧ определено с точностью до бесконечно малых своей монадой, то и значения всякой функции определены с точностью до монады. Поэтому уместно рассматривать многозначные функции следующего вида:

Определение 4.8. Соответствием называется произвольное множество пар вида S := {<p,q}.

Множество domS* := {р : 3q<p(p,q)} назовем областью отправления S, множество rngS* := {q : 3рср (р, q)} назовем областью прибытия S.

Для и е domS* положим S(u) := {v : < и, v >£ S}.

Определение 4.9. Для множеств ГРЧ А и В положим А + В := {а + Ъ : а £ А&Ъ е В}.

Определение 4.10. Для соответствий S и Т определим сумму S + T :(S + T)(u) = S(u)+T (и), произведение S • Т : (S + Т) (и) = S (и) • Т (и), композицию S о Т :— {< и, v > : Зги (< гл, w >£ Т& < w,v >£ S)}.

Определение 4.11. Для функции f определим соответствие F := dorn/ х (rng/ + {б: : е ~ 0}).

Очевидно, что для всех р е dorn/ F (р) = f (р) + е. С другой стороны, всякое соответствие порождает некоторую функцию, получающуюся выбором некоторого ГРЧ из его области прибытия как значения функции на некотором элементе области отправления.

5. Непрерывность

В этом параграфе мы рассматриваем поведение функции на некотором множестве А С dorn/.

Определение 5.1. Функцию f назовем непрерывной на множестве

А, если из р « q

(p,q е А) следует f(p) « f(q)-

Легко понять, что непрерывность функции на множестве означает, что бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, то есть фактически является аналогом классического понятия равномерной непрерывности. С другой стороны, непрерывность может пониматься как непрерывность в монаде точки. В этом случае непрерывность на множестве означает непрерывность в монаде каждой точки этого множества.

Следующие утверждения почти очевидны:

Теорема 5.1. Пусть функции fug непрерывны на множестве А.

f

Тогда функции f + q, fg непрерывны на множестве А. Функция —

9

непрерывна на множестве А \ {р : g (р) & 0}.

Теорема 5.2. Пусть функция f непрерывна на множестве А, функция g непрерывна на множестве {/ (р) : р Е А}. Тогда композиция до f непрерывна на множестве А.

Определение 5.2. Соответствие S назовем непрерывным, если

VuVvVpVq (< и,р >Е S& < v, q >Е SD(u~vDp~ q)) .

Можно доказать, что сумма, произведение и композиция непрерывных соответствий непрерывны.

Определение 5.3. Для ГРЧ р и q положим р < q, если р < § V р « q.

Очевидна следующая

Теорема 5.3. Если функция f непрерывна, то порожденное ею соответствие непрерывно.

Теорема 5.4. Пусть F непрерывное соответствие. Тогда существует непрерывная функция, порождающая это соответствие.

Доказательство. Для каждого ГРЧ р Е domF выберем q такое, что < p,q >Е F. Ясно, что имеется взаимно однозначное соответствие между ¡л{р) и p(q). Это позволяет построить требуемую функцию. Ее непрерывность очевидна.

Определение 5.4. Будем говорить, что функция f имеет в монаде ц(р) размытый максимум на множестве А, если для всех q Е А

/(?) 5 /(Р).

Понятия сегмента, интервала, полуинтервала и других промежутков для ГРЧ определяются естественным образом, например [а, b] := {р : а < р < Ь}.

Теорема 5.5. Пусть [а, b] С dorn/ и функция f непрерывна на сегменте. Тогда существует ГРЧ с Е [а, Ь] такое, что в ц(с) функция f имеет размытый максимум.

Доказательство.

Рассмотрим ББНЧ ТУ и точки := а + к • к = 0,1,... ТУ.

Рассмотрим далее ГРЧ / (а0), / (ах),...,/

Так как среди конечного набора чисел всегда имеется наибольшее, то в силу консервативности гиперарифметики среди рассматриваемых значений функции есть наибольшее. Пусть это будет /(а^). Положим с := аь0. Тогда ясно, что при всех р £ [а, Ь] р ~ а& при некотором /с. По построению и непрерывности / (р) ~ / (а^) < / (с). Отсюда заключение теоремы следует очевидным образом.

Аналогично, рассматривая функцию, непрерывную на сегменте [а, Ь] ГРЧ, принимающую на концах сегмента значения разных знаков, получаем, что в последовательности

/(а0),/(а1),...,/(адг)

обязательно найдется пара /(а^-х), в которой происходит сме-

на знака. Тогда ясно, что, полагая с ~ получим / (с) ~ 0. Таким образом справедлива

Теорема 5.6. Пусть / функция, непрерывная на сегменте [а, Ъ] и /(а)/(Ь) < 0. Тогда длл некоторого ГРЧ с е (а, 6) /(с) « 0.

Приведенные теоремы доказаны И. Ф. Сегаль и представляют собой аналоги теорем Вейерштрасса и Коши в классическом анализе. С другой стороны, совершенно в той же формулировке эти утверждения имеют место и в конструктивном анализе (см. [7]).

Определение 5.5. Монаду [¿(р) назовем монадой роста функции /, если при и,и е ¡л{р) из и < и следует, что /(и) < /(и).

Теорема 5.7. Пусть ц(р) — размытый максимум функции / и монада не является монадой роста. Тогда / имеет наибольшее значение.

Доказательство. Если предположить, что наибольшего значения нет, то получается, что монада является монадой роста.

6. Производная и интеграл

В этом параграфе мы введем, следуя Е. В. Праздниковой аналог классического понятия производной. При этом из определения становится ясны, что вводимая дифференцируемость означает существование равномерно непрерывной производной (на языке классического анализа). Кроме того, мы изложим основные понятия интегрального исчисления. В дальнейшем мы считаем, что все ГРЧ, рассматриваемые в работе, если не оговорено противное, являются конечными.

Определение 6.1. Функцию f назовем дифференцируемой в монаде р{р), если при всех u,v ж р f (и) — f (v) = К-(и — v)-\-a (р)-(и — v), где К некоторое конечное ГРЧа (р) « 0.

Функцию f назовем дифференцируемой на множестве А, если она дифференцируема в каждой монаде этого множества.

Обозначим ^ := ¡л {К). Произвольное число из последней мона-d/л (р)

ды будем обозначать ff(p).

Доказательство следующих утверждений проведено Е. В. Праздни-ковой.

Теорема 6.1. Пусть функции fug дифференцируемы в монаде р(р). Тогда функции f + g, fg дифференцируемы в той же монаде и

d (/ + g) _ df dg

(1р (р) (1р (р) (1р (р)'

^(/р) = . д(р)+ . / (р) (1^1 (р) (1^1 (р) (р)

(1 + д)'(р)~Г(р) + д'(р), (/</)' (Р)~ГШР) + 9'(Р)Г(Р)-

Отметим, что почти очевидна

Теорема 6.2. Если функция f дифференцируема на множестве Е, то ее производная является на множестве Е непрерывной функцией.

Доказательство. Действительно, взяв произвольную монаду ¡л (р), мы видим, что при гл, V £ ¡л (р) будет ¡л {и) — ¡л (г;) = /л(р). Поэтому для всех силу дифференцируемости функции в монаде

» (р) /(а)-/(р) = К(а-Р)+е (р) (а - /5), то есть /' (а) « /' (/?).

Определение 6.2. Пусть сегмент [а, Ь] С с1от/, и пусть О, ББНЧ. Обозначим

Ъ — о Ь — о ^

рк = а + к- , к = 0,1,..., О, - 1. Положим Еп := XI / (Рк)-

Если существует конечное ГРЧ Е такое, что для всех ББНЧ О,

Е^ « Е, то функцию f будем называть интегрируемой на сегменте

ь

[а, Ь]у а любое ГРЧ из ¡л (Е) интергалом и обозначать / f.

Теорема 6.3. Всякая непрерывная функция интегрируема на любом сегменте своей области определения.

Доказательство. Пусть М ж N ББНЧ и р^ и q\ соответствующие точки дробления сегмента [а, Ъ] С dorn/. Тогда ясно, что pk ~ qi для некоторых к и I. Так как функция / непрерывна, f (pk) ~ /(%)• С другой стороны, все интегральные суммы для функции / конечны. Поэтому, считая М > 7V, имеем

h N~l i=o

Положим, далее, cfy- := |(]9j) — (qj) |, и пусть а := max (а1з • • •, &n-i)-Тогда

7 iV-l 7 iV-l

_ ^ , b — а \—> ol, b — а \—> ol

SM - SJV < -T^ £ 7 < TT- £ 7- = « ~ 0.

N b — а N b — а

j=0 j=0

Таким образом, теорема доказана.

Т. Основные теоремы дифференциального и интегрального исчисления

Напомним, что мы рассматриваем функции, определенные на множествах конечных ГРЧ.

Теорема 7.1. Пусть для некоторых конечных ГРЧ А и В имеет место неравенство А < / (р) < В для всех р Е [а, b] и функция f интегрируема на сегменте [а, Ь].

ь

Тогда А(Ь - а) < f f < В (b - а).

а

Доказательство почти очевидно, учитывая, что в интегральной сумме все слагаемые удовлетворяют декларированному неравенству. Таким образом, для всех ББНЧ Q

7 П-1 7 П-1 7

b — а \—> „ , ч b — а \—> ^ b — а ^ /7 ч

к=0 к=0

Аналогично доказывается и левое неравенство.

Применяя теорему Коши, получаем, что имеет место

b — а

м-1

b — а

N-1

f (®) - Е f ^

к=0

/с=0

<

Теорема 7.2. Если функция f непрерывна на сегменте [а, Ь], то для некоторого ГРЧ с Е [а, b] f^f^f (с) (6 — а).

Следующая теорема является аналогом теоремы Лагранжа в классическом анализе.

Теорема 7.3. Пусть функция f дифференцируема в интервале (а, Ъ) и непрерывна на сегменте [а, b]. Тогда существует такое ГРЧ с Е (а, Ъ), что /(&)-/ (а) « /' (с) (6 - а).

Доказательство. Пусть ^ ББНЧ, р^ — а + к • ———. Прямым

вычислением, используя непрерывность функции и ее производной, получаем

Q-1

f(b)-f(a)=Y,f(Pk+i)-f(Pk) =

/ (pfc+i) - / ы _

к=О

Г2—1

U Pk+l ~ Рк

b — а П

П-1 ь

£/'(?*)« / /WW (Ь-а)

для некоторого ГРЧ с. Теорема доказана.

Отсюда сразу получаем аналоги классических теорем Ролля и Ферма.

Теорема 7.4. Для функции f, непрерывной на сегменте [а, Ъ\, дифференцируемой на соответствующем интервале, удовлетворяющей условию /(а) « f(b) существует ГРЧ с Е (а, 6) такое, что f (с) « 0.

Теорема 7.5. Если функция имеет в точке с максимум и дифференцируема в ¡1 (с), то f (с) « 0.

Если точка с точка размытого максимума рассматриваемой функции и ¡1 (с) не является монадой роста, то f (с) ^ 0.

Отметим простейшие свойства интеграла.

Теорема 7.6. Если функции fug интегрируемы на сегменте [а, Ъ\, а и /3 — конечные ГРЧ] то функция af + f3g интегрируема на сегменте

[a,b]Uf(f + g)*Sff + }g.

а а

Доказательство. Для любого ББНЧ Q имеем

^(af + ßg) (а + к+ к=0 ^ ' к=0 ^ '

b Ъ

+

п-1 / Ь аУ

а + к • ) ~ а I f + ß I д.

к=о

it—1 / b — C\ V

Отсюда по определению интеграла следует требуемое. Теорема 7.7. Пусть функция f интегрируема на сегменте [а, с Е

с

[а, 6]. Тогда функция f интегрируема на сегментах [а, с] и [с, 6] и f f +

а

b b //«//•

с а

Доказательство проводится точно так же как и в классическом случае с учетом того, что интеграл определен с точностью до бесконечно малых.

Следующая теорема является аналогом теоремы Барроу.

Теорема 7.8. Пусть функция f непрерывна на сегменте [а, b] и функ-

р

ция F определена правилом2 F : F (р) = f f.

а

Тогда функция F дифференцируема в монаде каждой точки интервала (а, Ь) и F' (р) ~ f (р).

Доказательство. Докажем сначала непрерывность соответствия F. Действительно, интеграл определен с точностью до бесконечно малых, поэтому для бесконечно близких значений верхнего предела получаем

р q q

aap

Отсюда тривиально следует непрерывность соответствия F и, следовательно, существование непрерывной функции, его порождающей.

2Формально ^ является соответствием, но, в силу доказываемой его непрерывности, мы можем выделить непрерывную ветвь этого соответствия, являющуюся

непрерывной функцией.

Перейдем к доказательству дифференцируемости. Пусть р е (а, Ь). Рассмотрим А := Г (р + а) — Г (р — /3), где а и /3 — бесконечно малые

числа и покажем, что -- ^ 1(р)-

а + /3

р+а

Имеем А « / / ^ / (с) (а + /3). Отсюда легко увидеть требуемое.

р-Р

8. Заключительные замечания

Дальнейшее развитие изложенных идей предполагает введение понятия неопределенного интеграла и правил его вычисления; доказательство аналога формулы Ньютона-Лейбница; рассмотрение приложений интегрального и дифференциального исчисления.

Немаловажным вопросом является исследование класса функций, которые естественным образом появляются в данной теории. Столь же важным аспектом теории является введение основных элементарных функций, как это было указано схематично в параграфе 4.

Литература

1. Robinson A. Non-Standard-Analysis. Amsrerdam: North-Holland publ. сотр. 1966. 293 p.

2. Nelson E. Internak set theory. A new approach to non standard analysis// Bull Amer. Math. Soc. 1977. V. 83. №6. P. 1165 1198.

3. Ловягин Ю. H. Исчисление бесконечно малых Г. В. Лейбница в современном изложении, или введение в нестандартный анализ А. Робинсона. Сыктывкар: Изд-во Сыкт. лесного ин-та. 2001. 163 с.

4. Косовский Н. К., Тишков А. В. Логики конечнозначных предикатов на основе неравенств. СПб.: Изд-во С.-Петербургского ун-та. 2000. 268 с.

5. Праздникова Е. В. Моделирование вещественного анализа в рамках аксиоматики для гипернатуральных чисел//Вестник Сыктывкарского университета. Сер Л: мат., мех., инф. 2007. Вып. 7. С. Ц 66

6. Кейслер X. Дж., Чэн Ч. Ч. Теория моделей. М.: Мир. 1977. 614 с.

7. Марков А. А., Нагорный Н. М. Теория алгорифмов. М.: Наука. 1964. 432 с.

Summary

Lovyagin. Yuri N. Hyperrational numbers as the basis of analysis

Theory of hyperrational numbers as the basis of analysis is considered. The main aspects of the theory are adduced. Analogs of the classical differential and integral calculus of one-variable function theorems are stated.

Санкт-Петербургский университет

Поступила 25.11.2007