Применении к задачам теории электрических цепей расширения понятия действительных чисел Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ПРИМЕНЕНИИ К ЗАДАЧАМ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ РАСШИРЕНИЯ ПОНЯТИЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

DOI 10.24411/2072-8735-2018-10246

Фриск Валерий Владимирович,

МТУСИ, Москва, Россия, frisk@mail.ru

Ключевые слова: электрическая цепь, теория электрических цепей, теория чисел, проблема деления на ноль, идеальный источник напряжения, идеальный источник тока, сопротивление нагрузки.

Как известно, математическая теории действительных чисел опирается на систему общепринятых аксиом. На множестве действительных чисел вводятся операции сложения, умножения, а также отношение порядка. На операцию умножения вводятся такие аксиомы как коммутативность сложения, существование нейтрального элемента по сложению - нуля, и существование противоположного элемента. Следствием аксиом сложения является то, что в множестве действительных чисел имеется только один нуль. На операцию умножения вводятся следующие аксиомы: коммутативность умножения, ассоциативность умножения, существование нейтрального элемента по умножению -единицы, существование обратного элемента. Однако этого представления как показывает практика, недостаточно. Появилось понятия предела и бесконечно малых величин.

В ряде приложений математического анализа используют расширенное множество вещественных чисел, называемое также расширенной числовой осью, которое получается дополнением множества действительных чисел и бесконечной точки. Бесконечность представляют собой предел последовательности положительных чисел, неограниченно возрастающих по модулю. Возвращаясь к разделу математики теории чисел рассмотрим аксиомы и операции над действительными числами. Расширим понятие действительного числа. Введем несколько новых дополнительных аксиом которые, как будет показано ниже, позволят при вычислениях не использовать теорию пределов. Данная методика позволяет значительно упростить алгебраические вычисления. Предлагается методика решение старой математической проблемы деления действительных чисел на ноль. Показано, что результаты расчета по данной методики совпадают с результатами, получаемыми с применением теории пределов. Приведены примеры применения данной методики к идеальным источникам электрического напряжения и тока.

Автор не претендует на академическую строгость [1, 2, 3] приведенного метода и опирается скорее на интуитивный инженерный подход и полезность в использовании.

Информация об авторе:

Фриск Валерий Владимирович, к.т.н., доцент МТУСИ, Москва, Россия

Для цитирования:

Фриск В.В.. Применении к задачам теории электрических цепей расширения понятия действительных чисел // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. 2019. Том 13. №3. С. 36-40.

For citation:

Frisk V.V. (2019). The application to problems of the theory of electrical circuits extending the notion of real numbers. T-Comm, vol. 13, no.3, pр. 36-40. (in Russian)

В классической математике с вещественными числами считается, что деление па ноль ие имеет смысла.

Действительно. Рассмотрим уравнение следующего вида в области действительных чисел (]).

а-х~ 1, (1)

где а=0.

Из аксиомы классической математики [4] следует, что не существует такого действительного и даже комплексного числа, которое будучи умноженным на 0 даёт в результате единицу (2).

О«* = 1, (2)

Воспользуемся аналогией но решению похожей математической проблемы, что не существует такого действительного числа, которое будучи возведенным в квадрат даст минус единицу (3).

(3)

х2 = -1.

напряжения остается неизменным и равным его ОДС Е (рис. I).

Как известно, что решение данной проблемы лежит в расширении понятия действительного числа путем ввода комплексных чисел. Корпи уравнения будут содержать мнимую единицу) (4, 5),

*1 = % *2 = Ч- <4)

}2 = -1. (5)

Вернемся к проблеме деления на ноль. Рассмотрим ещё раз уравнение (2). Расширим понятие действительного числа. Пусть существует такое число, которое будучи умноженным на ноль даст единицу. Для определенности назовем его сверхбольшим числом и обозначим его греческой буквой каппа к (6).

О • и = 1, (6)

С другой стороны, рассмотрим уравнение (1) при а= я

(7).

*•*= 1. (7)

Очевидно, что в этом случаи решение такое х=0. Более точный ответ должен быть выражен как умножение единицы на ноль (8).

X = 1 ■ 0. (8)

Что является очевидным отказом от известной аксиомы умножения на ноль (9).

(2-0 = 0. (9)

Ввести новую аксиому (10).

а ■ 0 = а-0. (10)

Ввод аксиомы (10) приводит к еще одному расширению действительных чисел. Дтя определенности назовем их сверхмалыми числами.

Теперь можно найти решения уравнений типа (2) и (7), не прибегая к пределам. Например, следующие уравнения имеют соответственно корни (II, 12).

0 = 2, х = 2 к. (11)

и х = 5, х = 5 ■ 0. (12)

Можно показать, что сверхбольшие и сверхмалые числа связаны простыми соотношениями (13).

к-0 = 1, х = - , 0 = -. (13)

Рис. ]

Положим, что К=0 соответствует режиму короткого замыкания, а х соответствует режиму холостого хода.

Проведем элементарный расчет. Ток 1 в цепи при любых величинах сопротивления нагрузки Я будет равен (14).

в я'

I =

- = х ■ Е, Я = О

о

I - = 0 ■ Е, Д = и

(14)

Напряжение и на зажимах источника ЭДС, как и ожидалось, при любых величинах сопротивления нагрузки К равно Е (15).

и =

■ Я ■ I = Е, йщ о, И ф и О ■ к ■ Е = Е, /? = 0 , X* 0 ■ Е = Е, Я = к

(15)

Идеальный источник тока

Аналогичные выкладки можно провести и для идеального источника тока (рис. 2).

Рис.2

Напряжение и на нагрузки идеального источника тока при разных К равно (16).

Здесь единица перед нулем опущена.

Идеальный источник напряжения

Рассмотрим применение данной методики к идеальным Электрическим источникам напряжения и тока. Согласно теории электрических цепей [5, 6, 7] при любых значениях нагрузки К напряжение и на зажимах идеального источника

П-И, ЯФо,ЯФх

и = 11 ■ 0, И = 0 .

■ к Й = и

(16)

Ток .1 идеального источника тока в нагрузке, как и ожидалось, при любых величинах сопротивления нагрузки К равен .1 (17),

Т-Сотт Уо!.!3. #3-2019

(и

I = 4

Я я 1

а ~~ ~ /

я о

V/! и

Я Ф о, Я * и Я = О к = к

(17)

Емкостное сопротивление идеального конденсатора

Рассмотрим емкостное сопротивление Хс идеального конденсатора емкостью С (18).

(18)

Пусть угловая частота равна сверхмалой величине 0(19).

Хс = — = 7К. (19)

О'С с 4 '

Пусть угловая частота равна сверхбольшому числу к

(20).

ч-С С

(20)

X, = 0-1.

(22)

X,

(23)

и ~ Я • I .

(24)

и = о .

(25)

В первом случаи сопротивление с верх малое. Во втором случае сопротивление сверхбольшое. В классическом случае сопротивление стремится к нулю или к бесконечности.

Их этих вычислений следует, что падение напряжения па идеальном резистора, в отличие от классического случая, оставляет в формулах важную информацию о величине самого тока, протекающего по данному резистору.

Параллельное соединение двух идеальных решеторов

Рассмотрим случай параллельного соединения двух идеальных резисторов Г1] и ГЬ (рис, 3),

1*1

В первом случаи емкостное сопротивление сверхбольшое. Во втором случае сопротивление сверхмалое. В классическом случае емкостное сопротивление стремится к бесконечности или к нулю.

Их этих вычислений следует, что емкостное сопротивление, в отличие от классического случая, оставляет в формулах ценную информацию о величине самой емкости идеального конденсатора.

Индуктивное сопротивление идеальной катушки

Аналогичные вычисления можно провести и для идеальной качушки с величиной индуктивности Ь (21).

Хь=<о-Ь. (21)

Пусть угловая частота равна сверхмалой величине нулю (22).

Рис. 3

Как известно из теории элекгрических цепей общее сопротивление Я рассчитывается по формуле (27),

п,-й2

Я =

(27)

Пусть сопротивления идеальных резисторов одинаковы н имеют сверх малые сопротивления (^=¡<2=0.

В первом случаи получим, что общее сопротивление равно сверхмалой величине (28).

К =

Й1-Яг ... "-0 _ 0-0 ._ 1 0 Н1+Я2 ~ 0+0 — 20 ~ 2

(28)

Пусть угловая частота равна сверхбольшой величине и (23).

11усть сопротивления идеальных резисторов одинаковы и имеют сверхбольшое сопротивления и.

Во втором случаи получим, что общее сопротивление К равно сверхбольшой величине (29).

И1'!>2 __ И'Я и+и

^ _ "1 "2 _ _

Н'Х 1

— = х .

2-х 2

(29)

В первом случаи индуктивное сопротивление еверхма-лое. Во втором случае индуктивное сопротивление сверхбольшое. В классическом случае индуктивное сопротивление стремится к нулю или к бесконечности.

Их этих вычислений следует, что индуктивное сопротивление, в отличие от классического случая, оставляет в (¡юр-мулах важную информацию о величине самой индуктивности идеальной катушки.

Падение напряжения на идеальном резисторе

Рассчитаем падение напряжения и на идеальном резисторе с сопротивлением К по которому течет ток 1 (24).

Полученный результат показывает, что расчеты являются более «сильными» по сравнению с классическим случаем. При расчетах не требуется применение теории пределов и результаты расчетов сохраняют в некоторой степени информацию о соединении резисторов.

Коэффициент полезного действия цепи

Рассмотрим применения сверхбольших чисел к расчету коэффициента полезного действия (КПД) цепи, состоящей из источника ЭДС с внутренним сопротивлением г и с меняющемся сопротивлением нагрузки 1<м (рис. 4).

Пусть сопротивление Я идеального резистора равно сверхмалой величине нулю (25)

Пусть сопротивление Я идеального резистора равно сверхбольшой величине и (26)

и - к-1 . (26)

Рис. 4

Из теории электрических цепей известно, что при стремлении сопротивления нагрузки RM к бесконечности в данной цепи КПД ц будет стремится к 100%.

Пусть сопротивлением нагрузки равняется сверхбольшому числу Ru— х.

Бо этом случаи КПД д цепи будет так же равен 100% (30).

„ = А»-. 100% = —100% Й-100% = 100% . (30)

Г + Яц г + и H

Здесь был применен инженерный подход упрощения. Величину внутреннего сопротивления г очевидно можно исключить из формулы за сё малость по сравнению со сверхбольшой величиной сопротивления нагрузки.

Полученный результат вполне (¡©впадает с классическим расчетом, если считать, что сверхбольшая величина ассоциируется с классическом бесконечностью.

Рассмотрим режим короткого замыкания в цепи (рис. 4). Известно, что в классическом случае при Rh,=0 напряжение на нагрузке будет равно нулю U=0.

Пусть сопротивлением нагрузки равняется сверхмалому числу Ein=0.

Во этом случаи напряжение на нагрузке будет равно (31 ).

U = Е'дS = ÎLE « £. о г+йн г г

(31)

ц _ E RH _ ~ — £ г+«н г+к к

1 S.

г+й„

F. Г + О

Полученный результат совпадает с классическим расчетом, если считать, что сверхмалая величина ассоциируется с классическим нулем. Результаты расчеты сохраняют в некоторой степени информацию об источнике ЭДС.

Рассмотрим режим холостого хода в цепи (рис. 4). Известно, что в классическом случае при Кц=оо ток в нагрузке будет равно нулю 1=0.

Пусть сопротивлением нагрузки равняется сверхбольшому числу Кц= и.

Во этом случаи ток в нагрузке будет равен (33).

Здссь был применен инженерный подход упрощения. Величина внутреннего сопротивления г очевидно намного больше по сравнению с величиной сопротивления нагрузки Км.

Полученный результат совпадает с классическим расчетом, сели считать, что сверхмалая величина ассоциируется с классическим нулем. Результаты расчеты сохраняют в некоторой степени информацию об источнике "ЭДС.

Рассмотрим режим холостого хода в цепи (рис. 4). Известно, что в классическом случае при Км=оо напряжение на нагрузке будет равно нулю и=Е.

Пусть сопротивлением нагрузки равняется сверхбольшому числу Кц = к.

Во этом случаи напряжение на нагрузке будет равно (32).

(32)

Здесь был применен инженерный подход упрощения. Величина внутреннего сопротивления г очевидно намного меньше но сравнению со сверхбольшой величиной сопротивления нагрузки.

Полученный результат совпадает с классическим расчетом, если считать, что сверхбольшая величина ассоциируется с классической бесконечностью. Результаты расчеты сохраняют в некоторой степени информацию об ЭДС источника.

Рассмотрим режим короткого замыкания в цепи (рис. 4). Известно, что в классическом случае при &ц=0 ток в нагрузке будет равно нулю 1=Е/г.

Пусть сопротивлением нагрузки равняется сверхмалому числу К ц=0.

Во этом случаи ток в нагрузке будет равен (32).

(32)

Применим инженерный подход упрощения. Величина внутреннего сопротивления г очевидно намного больше по сравнению с величиной сопротивления нагрузки Ки.

Е ЕЕ

1 = Е-0.

r+RH r+и и

(33)

Здесь был применен инженерный подход упрощения. Величина внутреннего сопротивления г очевидно намного меньше по сравнению со сверхбольшой величиной сопротивления нагрузки.

Полученный результат совпадает с классическим расчетом, если считать, что сверхмалая величина ассоциируется с классическим нулем. Результаты расчеты сохраняют в некоторой степени информацию об ЭДС источника.

Площадь прямоугольника

Интересно рассмотреть площадь прямоугольника 5, у которого длина равна сверхбольшой величине Ь =и, а ширина сверхмалой величине Ь=0 (34),

S = h-b = K- 0 = 1.

(34)

Получили площадь равную единице. Это напоминает свойство бесконечно короткого импульса с единичной площадью или дельта функции.

Пределы без приделов

Из классической математики известно, что, например, предел функции у=2/х при х стремящимся к нулю равен бесконечности. В нашем случаи Приравняем к сверхмалому числу х=0 (35).

X о

и

(35)

В результате получили сверхбольшое число 2! . Предел функции у=1-х при х стремящийся к бесконечности равен минус бесконечности. В нашем случаи положим х= х (36).

1—х = 1—к= 1-х» —и.

(36)

Применен инженерный подход упрощения. Отбросим в формуле единицу тогда получим сверхбольшое число - к.

Предел функции у=1/х" при х стремящийся к бесконечности равен нулю. В нашем случаи положим х=х (37).

4 = ^ = 0-0 = О2. (37)

X* и'

В результате получили с верх малое число ноль в квадрате

От.

Предел функции у= 1 /х" при х стремящийся к нулю равен бесконечности. В нашем случаи положим х=0 (38).

-7 = -т = и- х = хг. (38)

х1 о2 4 '

В результате получили сверхбольшое число в квадрате и2. Предел функции у=(х2+5х)/(3х) при х стремящимся к нулю равен 5/3,

В нашем случаи приравняем к сверхмалому числу х=0 (39).

T-Comm Vol.13. #3-2019

_

02+50

Зх

за

5^0 3-0

(39)

Применен инженерный подход упрощения. Отбросим в формуле свсрхмалос число 0". В результате получили число 5/3.

Если использовать разложение функции синуса в степенной ряд, то можно применить излагаемый метод к расчету первого замечательного предела, предела функции у=ят(х)/х при х стремящемуся к нулю. Из теории пределов известно, что этот предел равен единице.

В нашем случаи приравняем к сверхмалому числу х=0 (40).

sin (i) __ sin (05 _ 1-0 _ j

X ~ 0 — 1*0 —

(40)

Применен разложение упрощения. Отброшены в формуле сверхмалое числа со степенями большие, чем единица, В результате получили число 1.

Предел функции у=(1-С05(х))/х2 при х стремящимся к нулю равен 1/2.

В нашем случае приравняем к сверхмалому числу х=0 (41).

1-CDS (г)

2 _ 2_

(41)

хг хг 1-ог г' Применен инженерный подход упрощения и разложение функции 1-со5(х) в степенной ряд. В результате получили число 1/2.

Заключение

Данный подход позволяет мри расчетах не применять Вычисления с помощью пределов. Метод можно использовать при вычислении производных.

Формулы (6, 27) можно интерпретировать, как вычисление площади прямоугольника, результат которого напоминает площадь дельта функции.

Деление на ноль вполне возможно. Например:

1 2 _ з „ а

- = и, - = 2 ■ х, - = 3 ■ и ,...,-= а ■ к.

о о о о

Литература

1. Вейль А. Оснояы теории чисел. М,: Мир, 1972, 408 с.

2. Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1972, 180 с.

3. Галочкин А.И,, Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б, Введение в теорию чисел. М,: МГУ. 1984. 152 с.

4. Фихтетолъц Г.М. Основы математического анализа. М.: «ФИЗМАТЛИТ», 2002. Т. 1. 416 с.

5. Фриск В,И. Основы теории пепси. М.: РадноСофт, 2002, 288 с.

6. Смирнов НИ.. Фриск В В. Теория электрических цепей: конспект лекций. М.: Горячая линия - Телеком, 2016. 270 с.

7. Бокалов В.П., Дмитриков В.Ф., Крук Б.И. Основы теории цепей. М.: Радио и связь, 2003. 592 с.

THE APPLICATION TO PROBLEMS OF THE THEORY OF ELECTRICAL CIRCUITS EXTENDING THE NOTION OF REAL NUMBERS

Valery V. Frisk, Moscow Technical University of Communications and Informatics, Moscow, Russia, frisk@mail.ru

Abstract

As is well known, the mathematical theory of real numbers is based on a system of generally accepted axioms. On the set of real numbers, the operations of addition, multiplication, and also the order relation are introduced. On the multiplication operation, such axioms are introduced as the commutativity of addition, the existence of a neutral element by addition - zero, and the existence of an opposite element. The consequence of the axioms of addition is that there are only one zero in the set of real numbers. The following axioms are introduced for the operation of multiplication: commutativity of multiplication, associativity of multiplication, the existence of a neutral element by multiplication - units, the existence of an inverse element. However, this view as practice shows is not enough. The concepts of limit and infinitely small quantities appeared. In a number of applications of mathematical analysis, an extended set of real numbers is used, also called the extended number axis, which is obtained by complementing the set of real numbers and an infinite point. Infinity is the limit of a sequence of positive numbers, increasing in absolute magnitude. Returning to the section of mathematics of the theory of numbers, we consider axioms and operations on real numbers. Expand the concept of a real number. We introduce several new additional axioms which, as will be shown below, will allow us not to use the theory of limits in our calculations. This technique can significantly simplify algebraic calculations. The technique of solving the old mathematical problem of dividing real numbers by zero is proposed. It is shown that the calculation results for this method coincide with the results obtained using the theory of limits. Examples of the application of this technique to ideal sources of voltage and current are given. The author does not claim to academic rigor [1, 2, 3] of the above method and relies rather on an intuitive engineering approach and utility in use.

Keywords: electric circuit, electric circuit theory, number theory, zero division problem, ideal voltage source, ideal current source, load resistance.

References

1. Vejl A. (1972). Osnovy teorii chisel. Moscow: Mir. 408 p.

2. Vinogradov I.M. (1972). Osnovy teorii chisel. Moscow: Nauka. 80 p.

3. Galochkin A.I., Nesterenko YU.V., SHidlovskij A.B. (1984). Vvedenie v teoriyu chisel. Moscow: MGU. 152 p.

4. Fihtengol'c, G.M. (2002). Osnovy matematicheskogo analiza. Moscow: "FIZMATLIT". Vol. 1. 416 p.

5. Frisk V.V. (2002). Osnovy teorii cepej. Moscow: RadioSoft. 288 p.

6. Smirnov N.I., Frisk V.V. (2016). Teoriya ehlektricheskih cepej: konspekt lekcij. Moscow: Goryachaya liniya - Telekom. 270 p.

7. Bakalov V.P., Dmitrikov V.F., Kruk B.I. (2003). Osnovy teorii cepej. Moscow: Radio i svyaz'. 592 p.

Information about author:

Valery V. Frisk, Moscow Technical University of Communications and Informatics, Associate Professor, Ph.D., Moscow, Russia