Способ определения продорльной силы в растянутых эластичных структурах Текст научной статьи по специальности «Физика»

И = 0.02 м, стреле подъема / = 0.2 м. Значение параметра нагрузки ЧХ®) = Р0= 1Н/м2.

На основании результатов обращения к процедуре, реализующей метод С. К. Годунова, методом подбора были получены значения первых трех критических частот и соответствующих им максимумов характеристик рассматриваемого колебательного процесса (таблица).

И. С 1 W х 108 А/ х102,Н

798 | 31.62 (0.15); 61.15 (0.50) 11.58 (0.00); 7.42 (0.20): 8.33 (0.50)

1695 1 6.80(0.25) 0.79 (0.00); 0.87 (0.10); 1.18 (0.25); 1.24 (0.50)

1882 ! 10.47 (0.05); 84.89 (0.30) 21.59 (0.00); 16.29(0.10); 19.42 (0.30); 19.98 (0.50)

В таблице наряду с критическими частотами приведены амплитудные значения прогиба W и изгибающего момента М, являющиеся наиболее значимыми и показательными для рассматриваемого случая НДС.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Ачбарцумян С. Л.Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974.

448 с.

2. Недорезов П. Ф., Сироткина Н. М. Численные методы исследования установившихся колебаний вязкоупругих прямоугольных пластинок и круговых цилиндрических оболочек. Саратов: Изд-во Сарат. уп-та, 1997. 72с.

УДК 539.3

Ю. П. Гуляев, А. В. Сергеева

СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОДОЛЬНОЙ СИЛЫ В РАСТЯНУТЫХ ЭЛАСТИЧНЫХ СТРУКТУРАХ

В клинической диагностике при изучении механических свойств сосудистой стенки, а также связанных с ними нарушениях гемодинамики при различных сосудистых заболеваниях часто приходится учитывать силу

предварительного натяжения стенок _______^___________х_____

сосуда. Для определения продоль- ~ ' " р

ной силы натяжения 5 стенок сосу- .'1^ + 8 +

да необходимо предварительно же- \ "1 лг^

стко закрепить в двух точках концы \

исследуемого участка эластичной \ /

структуры (рис. 1). Поперечную си- + ^ \ ' 1 Т2 + в

лу Б прикладывают дважды к сере- у'

дине участка и дважды измеряют

величину перемещения с1 точки 2

приложения силы и величину самой Рис. 1

силы Р.

Приведём вывод формулы для определения предварительной силы продольного натяжения 5 эластичной структуры [1]. Из условия равновесия силового узла (см. рис. 1) будем иметь

(^+5)-=^==. (1)

лМг + *

В линейном случае из закона Гука для дополнительных сил натяжения Ту и Т2, которые создаются силами и Р2, получим следующие выражения:

I 2 2

+Х —х

Т^Ще^Щ*-!—----,

' г 2 2

+х -х

2 = £Г0е = ——--.

Здесь I - длина базы нити в эксперименте по растяжению. Отсюда получаем соотношение

71! _ ^Ч + *

2 л/СТ^

Используя равенства (1) и (2), находим

(J 2 / , ^ 7 . 2 ГГ 2 2" ^

«2 V Д ] +Х _ а, \Й2

" 1 [з--г , , 2

Г, „2

5 =

+х2

2 к2-

х + ^22+Х2 й2 х + уЩ+х2

(2)

• (3)

/

Для получения подобной формулы, но уже для нелинейно упругого поведения нити при больших деформациях был проведён эксперимент по определению диаграммы растяжения. В качестве материала использовалась резиновая нить с квадратным поперечным сечением размером 1,5 мм х 1,5 мм.

На рис. 2 изображена диаграмма растяжения резины, на которой представлена зависимость Р — /'(е) - нелинейный закон Гука при больших деформациях. На основании этой зависимости можно написать следующие

] йЛ + х' - х

равенства: 7] + Б = / (е0 + е,), г = 1,2, где 8, =-—-, тогда

Г, =/(Ео+в1)-5> (4)

т7 /(е0+£2)-5'

где /(е0) = 5 - сила предварительного натяжения.

Используя (1) и (4), приходим к решению следующей системы нелинейных уравнений:

Из (5) получаем нелинейное уравнение для определения начальной деформации е0, которая определяет силу предварительного натяжения 5:

ГПЧ) = Де0)[ '№ + -т2 'рг --ц ■ \1^2 +х2 ■ Р, + /(е0 + в,)-/(в0 + е2) 1 -

-1 • ^22 + х2 • ■ /(80 + е,)--1- • ^2+х2 ■ • /(е0 + е2) I = о, (6) .^«2 У

решив которое, находим предварительную деформацию £0 и предварительную силу натяжения нити 5 = /(е0).

12 ^---,-г-,--,-,-,-,—

25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 Абсолютное удлинение, мм. База Z.=70 мм Рис. 2

Чтобы численно решить уравнение (6), диаграмму /(г) аппроксимируем рядом Фурье. Для этого разобьём отрезок [0,7], на котором задана эта функция, точками с шагом 5 мм (7—245 мм). Таким образом получим кусочно-линейную аппроксимацию диаграммы в пятидесяти точках с координатами у1 /, (/' = 0, к\ к = 49). Все линейные перемещения нити относим к базе 7, т.е. ~'-,Г = у . После этого раскладываем кусочно-линейную функцию в ряд Фурье с периодом 7:

#(') = у + Xк ] + Ьп вт^яи^.

На рис, 3 представлены результаты аппроксимации диаграммы отрезком ряда Фурье, в котором удержано N = 1 ООО членов. Визуально эти кривые неразличимы.

8 7.2 6.4 5.6

т

I, 3.2 — 2.4 1.6 0.8 0

0 0.1 1 2

ИТ,уЛ

Рис. 3

Для проверки работоспособности полученных формул был проведён натурный эксперимент. В качестве испытуемого образца использовалась резиновая нить с поперечным сечением в виде квадрата, размером 1,5 мм х 1,5 мм. Была сделана специальная оснастка, реализующая данную схему нагружения (см. рис.1). Здесь х = 42мм. Дтя закрепления концов резиновой нити использовались специальные зажимы. Один конец жестко фиксировался, а на другой конец вешался груз, весом в 50 гр. (0,49 Н) и ЮОгр. (0,98 Н). После этого второй конец жестко фиксировался. Затем с помощью испытательной машины прикладывали силу по оттягиванию резиновой нити в точке, равноудалённой от обоих концов и получали необходимые перемещения средней точки и величину оттягивающей силы Г. Результаты эксперимента приведены в табл. ]. Если подставить те же данные в формулу (3), то получим результаты, представленные в табл. 2.

Таблица 1

I, мм ^экспй 11 (¡\, мм (¿2, мм е(|, мм ■^2, Н Хгеор, Н Д,%

70 0,49 19,08 34,56 0,225 0,5 1 0,492 0.4

0,98 10,58 20,04 0,689 0,967 1,32

Таблица 2

^КСП) ¿1, мм с1г, мм ¿ьН Н 5теор, Н Д,%

0,49 19,08 34,56 0,5 1 0,513 2,3

0,98 10,58 20,04 0.967 1,3

Все вычисления проводились с помощью программного комплекса Mathcad. Численные результаты говорят о том, что формула (3) применима и для нелинейного закона растяжения нити. Связано это с тем, что на каждом отрезке [е0 , е0 + е, ] нелинейная диаграмма хорошо аппроксимируется линейной функцией. Ценность формулы (3) состоит в том, что для определения силы предварительного натяжения эластичной структуры не нужно знать в явном виде диаграмму растяжения материала этой структуры.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Гуляев Ю. П.. Коссович Л. Ю. Математические модели биомеханики в медицине. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2001. 49 с.

УДК 533.6.011:539.5

В. В. Гурьянов, М. А. Буслаева

СПЕКТРЫ ПРОДОЛЬНЫХ ВОЛН РИМАНА В СРЕДАХ СО СТЕПЕННОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ

1 )родольные плоские упругие волны конечных деформаций без учета влияния сил описываются дифференциальным уравнением [1]:

ии ~ ^2(иг)м_ст =0. (1)

Здесь и далее нижние индексы (х, /) обозначают частные производные по этим переменным, и - и(х, Смещение точек упругой среды у2(их) -квадрат скорости распространения волн.

Для спектрального анализа и возможности сопоставления результатов с полевыми наблюдениями в вибросейсморазведке, полученных в НВ НИИГГ, волны, бегущие в направлении оси Ох (вглубь Земли), представляются в параметрической форме в функции параметра С, так [1]:

и(х(0,0 = и„(0 - (р(СМр«)) + <?(£)(' - О).

= С + (2)

Ч/КО)

Здесь г - время. и(х, ?) - смещение точек среды, = = <7(0 ~ ско~

сЛ

ди

рость смещения, р = — = р(С,), v(p(C¡)) - скорость распространения фрон-

дх

та волны вдоль оси Ох. Заметим, что д, р, V зависят только от параметра С,; у и у задаются, р вычисляется при х=0, когда 1=С. Это инварианты Римана и от х не зависят. Они связаны зависимостью

?' = -у(р(0)р\ (3)