CC BY
10
Все вычисления проводились с помощью программного комплекса Mathcad. Численные результаты говорят о том, что формула (3) применима и для нелинейного закона растяжения нити. Связано это с тем, что на каждом отрезке [е0 , е0 + е, ] нелинейная диаграмма хорошо аппроксимируется линейной функцией. Ценность формулы (3) состоит в том, что для определения силы предварительного натяжения эластичной структуры не нужно знать в явном виде диаграмму растяжения материала этой структуры.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Гуляев Ю. П.. Коссович Л. Ю. Математические модели биомеханики в медицине. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2001. 49 с.
УДК 533.6.011:539.5
В. В. Гурьянов, М. А. Буслаева
СПЕКТРЫ ПРОДОЛЬНЫХ ВОЛН РИМАНА В СРЕДАХ СО СТЕПЕННОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ
1 )родольные плоские упругие волны конечных деформаций без учета влияния сил описываются дифференциальным уравнением [1]:
ии - =0- С)
Здесь и далее ннжние индексы (х, /) обозначают частные производные по этим переменным, и - и(х, Смещение точек упругой среды у2(их) -квадрат скорости распространения волн.
Для спектрального анализа и возможности сопоставления результатов с полевыми наблюдениями в вибросейсморазведке, полученных в НВ НИИГГ. волны, бегущие в направлении оси Ох (вглубь Земли), представляются в параметрической форме в функции параметра С, так [1]:
«(х(0,о = к0(О - (р(СМр(0) + 9(С)(г - О),
= С + (2)
Ч/КО)
Здесь г - время. и(х, ?) - смещение точек среды, = =<7(0 ~ ско~
сЛ
ди
рость смещения, р = — = р(С,), v(p{Q) - скорость распространения фрон-
дх
та волны вдоль оси Ох. Заметим, что д, р, V зависят только от параметра С,; ^ и V задаются, р вычисляется при х;-0, когда 1=С. Это инварианты Римана и от х не зависят. Они связаны зависимостью
?' = -у(р(0)р\ (3)
определяющей волну, бегущую в направлении оси Ох. Для изменения направления движения волны нужно сменить знак у скорости. Такие волны называются простыми, или волнами Ргшана.
Для спектрального анализа ограничимся степенным законом для квадрата скорости
v2(p) = a + bpn. (4)
л + 2ц е Л
Здесь а =-------, g = —, Л + 2|д, В - упругие параметры, р - плотность, К,
Р Р
ц - модули Ламе. Параметры определяют продольную волну. Значение п = 1 определяет квадратичную нелинейность, п = 2 - кубичную нелинейность.
Известно, что спектры определяются интегралом Фурье:
= *. (5)
- ос
При х = 0 выполняется равенство / = С, поэтому принимаем в (5) = ц<С) и далее вследствие независимости д от х в формуле (5) полагаем /(О = <7(0 > и формулу запишем следующим образом:
оо
Р((й-х)= |<?(С)е'1Шс11. (6)
—00
В формуле (6)
х) = С + —, Л = (1 - . (7)
Чр( 0) v2(JD( о)
Принимаем д(^) = вт^), а р(С) вычисляем методом Рунге - Купа по уравнению
Ф _ <?'(0 _ ксоаМО
<%> у(0 уа + Ьр"
(8)
На рис. 1, 2 представлены амплитудные спектры для квадратичной и кубичной нелинейностей. Видно, что появляются кратные исходной частоте со—к гармоники 2ш, Зсо, 4ш, 5со, ... в случае квадратичной нелинейности и Зш, 5<э, 7 со, 9ш, ... - в случае кубичной. Штриховой линией показан спектр исходного сигнала.
На рис. 3 представлены амплитудные спектры, полученные по результатам наблюдений в поле. Видно полное совпадение теоретических и полевых частот. Разница в форме спектров обусловлена различной длительностью исходных сигналов.
I 3 4 5 6 7 8 9 10 П 12
Рис. 1. Спектр сигнала для квадратичной нелинейности
X
-Л_
12 3 4 5 6 7
Рис. 2. Спектр сигнала для кубичной нелинейности
9 ¡0 11 12 И к
1
Л,
л.
л
х
70 «>, Гц
о ¡0 20 30 40 50 60
Рис. 3. Спектр сигнала по результатам полевых наблюдений
Таким образом, математическая модель позволяет сделать вывод о том, что наблюдения производились в среде с квадратичной нелинейностью, и эта модель адекватна натуре.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Гурьянов В. В. Монотипные плоские изоэнтропические волны конечных деформаций $ Фундаментальные и прикладные проблемы механики деформируемых сред и конструкций: Сб. науч. тр. Н. Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та, 1993. Вып. 1. С. 150- 157.
УДК 539.3
Д. В. Иванов
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ КРОВИ В ВЕРХНЕЙ ЧАСТИ АОРТЫ
В статье приведены результаты решения нескольких краевых задач, связанных с течением трехмерной стационарной несжимаемой вязкой жидкости в каналах с жесткими и гибкими стенками. Последние из них моделируют движение крови в верхней части аорты человека. Решение получено с помощью пакета Рет1аЬ [1]. Рет1аЬ — среда для моделирования научных и технических проблем, основанных на дифференциальных уравнениях в частных производных (РОЕ). При решении РБЕ в Реш1аЬ применяются конечноэлементные методы [1].
Движение крови в модели части аорты с жесткими стенками
Течение крови описывается стационарной системой уравнений Навье - Стокса [2]
\cliv и = 0,
где и = (и, и, и').
На торцах модели задается давление втекающего и вытекающего потоков, на боковой поверхности - условия прилипания. Коэффициент динамической вязкости жидкости равен 0,005 Н-с/м2, плотность- 1060 кг/м~.
При решении задачи выбирается сетка с относительно малым количеством четырехгранников и более мелкая сетка (порядка 1000 и 11000 четырехгранников). Это сделано с целью сравнения решений, а также выявления качества расчетов.
В результате решения задачи получена картина линий тока (рис. 1).
