Спиновые корреляции в многофермионных системах Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 530.1

СПИНОВЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ В МНОГОФЕРМИОННЫХ СИСТЕМАХ

О. Д. Тимофеевская

(.кафедра квантовой теории и физики высоких энергий) E-mail: olga@goa.bog.msu.ru

Вычислены двухчастичные спиновые матрицы плотности для многофермионных систем при наличии спаривания фермионов. Исследованы парные корреляционные функции двух фермионов и условия неразделимости двухчастичной спиновой матрицы плотности.

Введение

В современных приложениях квантовой механики (квантовые вычисления, квантовые коммуникации, квантовая криптография) широко используется понятие квантовой неразделимости (или перепутанности) квантовых состояний. В квантовой информации [1, 2] свойства перепутанных состояний рассматриваются как один из возможных ресурсов достижений этого направления квантовой теории. Согласно критерию сепарабельности [3], состояние составной системы называется разделимым, если его матрица плотности может быть представлена в виде

к

РАВ = ^2Р1РА®РВ'

где р'Д и р'в — матрицы плотности подсистем, и перепутанным, если его нельзя представить в виде такого разложения.

В работах [4, 5] квантовые состояния подсистем сложной системы описывались на языке условной матрицы плотности. В последнее время значительное внимание уделяется перепутанным состояниям двух частиц в многочастичных системах: тождественные частицы [6], ансамбли спинов [7, 8]. Условия неразделимости для спиновых состояний двух фермионов идеального ферми-газа исследовались в работах [9, 10].

В квантовых системах, объединяющих большое количество взаимодействующих частиц, понятие о состояниях отдельной частицы заменяется понятием коллективных мод возбуждений. Фермионная или бозонная статистики частиц приобретают первостепенное значение, в том числе и при описании перепутанных состояний.

Существенную роль при описании явлений в многочастичных системах играют корреляционные функции. Поэтому кажется естественным выяснить соотношение между квантовой неразделимостью со-

стояний и свойствами корреляционных функций в таких системах. В этой работе мы находим двухепиновые матрицы плотности в системах тождественных фермионов (свободных и при наличии фермионного спаривания) и обсуждаем связь меры перепутывания со структурой парных корреляционных функций.

1. Квазичастицы Боголюбова

Рассмотрим многочастичную систему тождественных фермионов. Операторы поля Ф и Ф+ подчиняются обычным антикоммутационным соотношениям

{Ф+(г'),Ф(Т(г)} = ^(Тг(г'-г),

{ФЛА $,(/•)} = о,

где г- вектор координаты и а = | — проекции спина фермиона. С помощью преобразования Фурье

ФЛГ) = 1

Ф» =

(2тг)3/2 1

ifr

dfaf^e

dfa+ae^r

(2тг)3/2

получаются операторы рождения а+(/) и уничтожения а(/) фермионов с импульсом й/, которые удовлетворяют антикоммутационным соотношениям

{аф,й+(Г)} = 6и,,

{£(/), £(/')} = 0, / = (/,<т).

Фермионные операторы квазичастиц а^, а^ определяются с помощью преобразования Боголюбова:

аф = Щ^щ + а+ф = + у^щ, где функции и^, удовлетворяют соотношениям

/

ХМ0«' + = /

Операторы квазичастиц удовлетворяют соотношениям антикоммутации для фермионных операторов

Предполагается, что «новый вакуум» |с) является основным состоянием системы. Вакуум для квазичастиц определяется условиями

а?|с) = 0, V ^ (Ф) = 1.

Плотность числа частиц для каждой проекции спина псГ в этом состоянии определяется средним значением оператора плотности:

/г<т(г) = (с|Ф+(г)Ф<т(г)|с>. 2. Идеальный Ферми-газ

Рассмотрим невзаимодействующий ферми-газ. Энергия частиц равна

2fc2

2т

р,

где ¡л — это химический потенциал, значение которого предполагается положительным ц>0. Состояния с отрицательной энергий, е(/)<0, заполняют ферми-сферу, где при Т = 0 все состояния заняты. Радиус сферы Ферми в пространстве волновых векторов определяется соотношением ¡р = у-\/2тер, ер = р. Таким образом,

я(/> сг) = а+(/, а) (и/ = 1,и/ =0), если /<//?,

я(/> сг) = а(/, а) (и[=0,и.[ = 1), если / > /р.

Плотность числа частиц для каждой проекции спина равна

1

п,т =

(2тг)3

df\vf\

(1)

Для свободных фермионов получаем па = ^ /3.

Корреляционные функции определяются соотношениями

К(г,ст,а') = (2)

где г = г\ - г2.

Если спины фермионов параллельны, то

ФЧг)), (3)

где

К,(г, а, а) = rfa( 1 1

Ф(г) =

(4)

пА 2тт)3

Таким образом, фермионы с параллельными спинами отрицательно коррелируют, и радиус корреляций г^ определяется радиусом ¡р сферы Ферми: г^ ~ Гр = ^ .

Для свободных фермионов интеграл ф(г) легко вычисляется:

Ф(г)

4тг/р

dfe

if г —

1

KIf

(fFr)3

(sin (fpr) — COS (fpr)).

Функция удовлетворяет соотношениям: 0 ^ ф2(г) ^ 1, ф2(0) = 1, <^2(ос) = 0. Так как

К(г, а, —а) =

свободные фермионы с противоположными спинами распределены независимо.

В «вакуумном» состоянии |с) двухспиновая приведенная матрица плотности двух фермионов равна

р(г) = -Й(г), 7 = ТгЙ(г),

7

где

Я(аиа2;а'1,а'2,г) =

= (С|Ф+1(г1)Ф+(Г2)Ф(Т.(Г2)Ф(7'1(Г1)|С>.

Здесь г — расстояние между фермионами.

Вычисляя Й(а,—а;а,—а;г) = —п1ф2(г), получаем выражение для двухчастичной спиновой матрицы плотности свободных фермионов

р(г) = А

i

где

(\ -ф2(г) О

о

\ О

0

1

-Ф2(г) О

0

-Ф2(г)

1

О 1

О \

о

о

Ф\г))

у = 2(2 -ф2(г)).

Согласно критерию неразделимости [11] спиновых состояний, условием того, что матрица р описывает перепутанное состояние, служит условие неотрицательности собственных значений для матрицы, полученной частичным транспонированием, т.е. Рци^'и' = Р^и'^'и- Условие приводит к соотношению ф2(г) > 1/2. Этот же результат для свободных электронных газов был получен в работе [9] с помощью метода функций Грина.

Это условие означает, что спины свободных электронов перепутаны, если относительное расстояние между ними меньше, чем 1.8г/? при Т = 0. И состояния двух фермионов максимально перепутаны, если они находятся в том же самом пространственном положении.

3. Электроны в сверхпроводящем состоянии

В сверхпроводниках электроны с противоположными спинами спариваются в Б-состояние со спином пары, равным нулю:

a(f, 1/2) = uf a(f, 1/2) + vf«+(-/, -1/2), a(f, -1/2) = uf a(f, -1/2) - vf a+(-f, 1/2). Здесь

Uf

1(1 2 1

€(/) E(f)

1/2

Vf

1(1

2 1

eifV Щ),

(5)

1/2

Спектр возбуждений квазичаетиц Боголюбова определяется формулой £(/) = + А2, где Д/ —

*2г2

сверхпроводящая щель и б(/) = — ц — энергии возбуждений тривиального (Д^ =0) решения. Если Д/ ер, то можно считать р ~ ер, сверхпроводящая щель отлична от нуля только в узком слое около ¡р.

Подставим выражения (5) в формулы (2). Корреляционные функции электронов с параллельными спинами определяются формулами (3) и (4) с корреляционным радиусом г^.

Для противоположных спинов получаем

К{г,а,-а) = п2а{\ + \фх{г)\2),

где

Ф\{г) =

1

м 2тг)3

(6)

Электроны с противоположными спинами положительно екоррелированы. Радиус корреляций

в котором произведение и(Т)и(Т) = Ьттж существенно отлично от нуля

г+ определяется ширинои слоя,

А,

1Щ) существенно

т.е. |б(/)| < Af. Заменяя

V(f)u(f) = [12],

/2 — и 2/р(/ —//?), получаем выражение для ширины 6[ слоя в /-пространстве:

fF

A(fp)m

h2fp

<f<fF

A(fp)m

h2fp

Корреляционный радиус r+ имеет порядок

25,

Г+ ~ (

A (fF).

€p

где ер — энергия Ферми. Так как Д(/р) <бр, то отсюда следует, что г^ .

Двухспиновая матрица плотности равна

Р(г) =

7'

(\ -ф2 0 0 о

о

1+ф2

<Ф2+Ф\ о

о

<Ф2 + ФЬ 1 +ф2 о

о о о

1 -Ф2)

(7)

где

У = 2(2 -ф2(г) + ф2(г)).

Согласно критерию неразделимости [13], состояния двух спинов перепутаны, если

(2ф2(г)-ф2(г))>\.

Если сверхпроводящая щель Д^ отлична от нуля только в узком сферическом слое в окрестности радиуса Ферми ¡р, то везде ф2(г) <С 1/2. Это означает, что область, где спины двух фермионов перепутаны, близка к случаю свободных фермионов, и два фермиона находятся в перепутанном спиновом

состоянии, если относительное расстояние между ними меньше, чем 1.8гр.

Заметим, что матрицу плотности р(г) можно представить в форме

2 (Ф2(г) + ф2(г))

I

p(r) = (I - р)- + р\Я> ){Ф |, р =

i

где |Ф^) = 1/л/2 — — это максимально перепутанное синглетное спиновое состояние пары. Условие неразделимости р > 1/3. Подобно свободным фермионам [12], матрица плотности п фермионов в сверхпроводящем состоянии равна

'2"

Рп

где |Ф-

г/ г/

} — синглетное состояние пары г/.

2п~2'

4. Спаривание с параллельными спинами

В сверхтекучих состояниях 3Не [14] атомы (я =1/2) с противоположными импульсами спариваются в р-состояния со спином пары, равным единице. Здесь мы рассмотрим тот случай, когда происходит образование пар фермионов с параллельными спинами, как, например, в А-фазе 3Не. Операторы квазичастиц определяются преобразованием

а(/, 1/2) = щЩ, 1/2) + 1/2), (8)

а(/, -1/2) = щЩ, -1/2) + ца+Н, -1/2),

..2 .

где и/ = u^f, Vf ■■

'vf = L

Подставляя формулы (7) в выражения (2), получаем корреляционные функции двух фермионов:

K(r, а, —а) = п2а,

К(г, а, а) = 4(1- \ф(г)\2 + |фх (г)|2),

где функции ф(г) и ф\ (г) определяются выражениями (4) и (6).

Противоположно ориентированные спины не екоррелированы. Параллельными спинами екоррелированы: радиус отрицательных корреляций оценивается как r^ ~ если Д^ <С ер, то радиус положительных корреляций, равный r+ ~ {Ц^-) много больше, чем радиус отрицательных.

Спиновая матрица плотности двух спинов равна

Р(г)

у

/1-

\Ф\Ч 0 о о

m

0

1

■\ф\2 о

0

1 о

о о о

где j" = 2(2-\ф(г)\2 + \ф1(г)\2).

Условие неразделимости имеет вид (2|<^(г)|

^|^i(r)|2)>l.

Заключение

Приведенные вычисления позволяют сделать следующие выводы о спиновых свойствах двухчастичных подсистем в многофермионных системах.

1. Образование фермионных пар в сверхпроводящем и сверхтекучем состояниях, являясь проявлением дальнего порядка, приводит к уменьшению меры перепутанности состояний отдельных частиц в многофермионных системах.

2. Хорошо известно, что физические свойства многофермионных состояний, обусловленные наличием нетривиальной сверхпроводящей щели Д(/), существенно отличаются от свойств состояний, для которых имеется только тривиальное тождественно равное нулю решение Д(/) = 0. Вместе с тем результаты настоящей работы показывают, что если решение для сверхпроводящей щели отлично от нуля только в узком слое около поверхности Ферми, свойства приведенной двухспиновой матрицы плотности в основном определяются статистикой Ферми, и условия критерия неразделимости спиновых состояний приближаются к случаю свободных фермионов.

Литература

1. Nielsen М.А., Chuang /./. // Quantum Computation

and Quantum Information. Cambridge, 2001.

2. Galindo A., Martin-Delgado M.Ä. // Rev. Mod. Phys. 2002. 74. P. 347.

3. Horodecki M., Horodecki P., Horodecki R. // Phys. Lett. 1996. A223. P. 1.

4. Belokurov V.V., Khrustalev O.A., Sadovnichy V.A., Timofeevskaya O.D. // Proc. of XXIII Solvay Conference on Physics. Delphi Latin, 2001. P. 555.

5. Belokurov V.V., Khrustalev O.A., Sadovnichy V.A., Timofeevskaya O.D. // Part. Nucl. Lett. 2003. 1[116]. P. 16.

6. Eckert К., Schliemann J., Bruss D., Lewenstein M. // Ann. Phys. 2002. 299. P. 88.

7. Vidal G., Latorre J.I., Rico E., Kitaev A. 11 Phys. Rev. Lett. 2003. 90. P. 227902.

8. Glaser U., Buttner H., Fehske H. // Phys. Rev. 2003. A68. P. 032318.

9. Oh S., Kim I. // Phys. Rev. 2004. A69. P. 054305.

10. Lunkes С., Brukner С., Vedral V. // Phys. Rev. Lett. 2005. 95. P. 030503.

11. Peres A. 11 Phys. Rev. Lett. 1996. 77. P. 1413.

12. Лунев Ф.А., Свешников К.А., Свешников H.A., Tu-мофеевская О.Д., Хрусталев O.A. Введение в квантовую теорию. Квантовая механика. М., 1985.

13. Lunkes С., Brukner С., Vedral V. 11 Phys. Rev. 2005. А71. P. 034309.

14. Volovik G. The Universe in a Helium Droplet. Oxford, 2002.

Поступила в редакцию 14.02.06