Нефермижидкостное поведение сильнокорреляционных ферми-систем и эффективная масса квазичастиц Текст научной статьи по специальности «Физика»

Известия Коми научного центра УрО РАН Выпуск 2. Сыктывкар, 2010.

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

71.27.+a, 76.60.Es, 73.43.Qt УДК 538.94

НЕФЕРМИЖИДКОСТНОЕ ПОВЕДЕНИЕ СИЛЬНОКОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФЕРМИ-СИСТЕМ И ЭФФЕКТИВНАЯ МАССА КВАЗИЧАСТИЦ

В .Р. ШАГИНЯН, К.Г. ПОПОВ

Санкт-Петербургский институт ядерной физики РАН, г.Гатчина, [email protected]. spb. ru

Коми научный центр УрО РАН, г.Сыктывкар, [email protected]

На базе теории функционала плотности для фермионной конденсации было проанализировано нефермижидкостное поведение сильнокоррелированных металлов с тяжелыми фермионами. При выводе уравнений для эффективной массы квазичастиц рассматривались как гомогенные системы, так и твердые тела с кристаллической структурой. Было показано, что низкотемпературные термодинамические и транспортные свойства определяются квазичастицами, при этом зависимость их эффективной массы от температуры, плотности, магнитного поля и т.д. порождает нефермижидкостное поведение системы. Выполненные численные расчеты иллюстрируются широким сравнением с экспериментом. Проведенное теоретическое изучение теплоемкости, намагниченности, энергетических шкал, продольного магнетосопротивления и маг-нитной энтропии находится в хорошем согласии с точными данными, полу-ченными металла с тяжелыми фермионами YbRh2 Si2 .

Ключевые слова: квантовая критичность, металлы с тяжелыми фермионами, энергетические шкалы, магнетосопротивление, магнитная энтропия

NON-FERMI LIQUID BEHAVIOR OF STRONGLY CORRELATED FERMI-SYSTEMS AND QUASIPARTICLES EFFECTIVE MASS

Basing on the density functional theory of fermion condensation, we analyze the non-Fermi liquid behavior of strongly correlated Fermi-systems such as heavy-fermion metals. When deriving equations for the effective mass of qua-siparticles, we consider solids with a lattice and homogeneous systems. We show that the low-temperature thermodynamic and transport properties are formed by quasiparticles, while the dependence of the effective mass on temperature, number density, magnetic fields, etc gives rise to the non-Fermi liquid behavior. Our numerical calculations make it possible to visualize the properties of ob-servable characteristics of the strong correlated Fermi systems. Our theoretical study of the heat capacity, magnetization, energy scales, the longitudinal magnetoresistance and magnetic entropy are in good agreement with the remar-kable recent facts collected on the heavy-fermion metal YbRh2 Si2 .

Key words: Quantum criticality; Heavy-fermion metals; Energy scales; Magnetoresistance; Magnetic entropy

1 Введение

Теория Ландау ферми-жидкости (LFL) имеет долгую историю и выдающиеся результаты в описании свойств электронной жидкости в обычных

металлах и ферми-жидкости 3Не. Эта теория базируется на парадигме, утверждающей, что при низких температурах физика явлений определяется элементарными возбуждениями. Эти возбуждения

ведут себя как квазичастицы, имеют определенную эффективную массу M *, которая не зависит от температуры T , плотности х , напряженности внешнего магнитного поля B и является параметром теории [1]. Открытие сильно коррелированных ферми-систем, представляемых металлами с тяжелыми

фермионами (HF) и 2D 3He, демонстрирующих нефермижидкостное (NFL) поведение, раскрыло

новые перспективы в современной физике твердого тела [2, 3, 4, 5, 6]. Экспериментальные данные,

полученные на ТФ металлах и 2D 3He демонстрируют сильную зависимость эффективной массы от T , х , B и т.д., в то время как сама масса может достигать очень больших значений или даже стремиться к бесконечности [4, 5]. Такое поведение столь необычно, что традиционная парадигма Ландау неприменима к ним.

Существует общее мнение, что квантовая критичность - описываемый с помощью коллективных флуктуаций фазовый переход второго рода в веществе при нулевой температуре, подавляет квазичастицы и таким образом порождает NFL поведение, зависящее от основного либо магнитного, либо сверхпроводящего исходного состояния [2, 3, 4, 5, 6]. Была также предложена концепция ферми конденсатного квантового фазового перехода (ФККФП), сохраняющая квазичастицы и

внутренне связанная с неограниченным ростом M * [7, 8]. Исследования, проводимые на ее основе, показали, что возможно построить адекватное теоретическое описание большей части результатов экспериментов для различных ТФ металлов [9, 10, 11]. В отличие от парадигмы Ландау, основанной на предположении, что M * является константой, в ФККФП подходе M* сильно зависит от T , х, B и т.д. Поэтому, в соответствии с многочисленными экспериментальными свиде-тельствами, необходимо ввести новую расши-ренную парадигму квазичастиц. Ключевым местом в ней является то, что как и ранее, хорошо определенные квазичастицы определяют термоди-намические и транспортные свойства сильно корре-лированных систем, и *

при этом их масса M является функцией T , х, B и т.д. [10, 11, 12, 13]. Подход, основанный на ФККФП, уже был успешно применен для описания термодинамических и кинетических свойств таких сильно коррелированных систем как 3 He с одной стороны и довольно сложных HF соединений с другой стороны [13, 14, 15, 16, 11, 12].

В этой работе мы анализируем нефермижид-костное поведение сильно коррелированных ферми-систем, используя теорию функционала плотности (DFT) для фермионного конденсата [17]. Мы выводим уравнения для эффективной массы квазичастиц как для однородных систем, так и для кристаллических твердых тел, и показываем, что расширенная парадигма квазичастиц верна, и при этом зависимость эффективной массы от T , х , B и т.д. порождает NFL поведение. Полученные результаты иллюстрируются численными расчетами термодинамических и транспортных функций сильно коррелированных ферми-систем. Расчеты в рамках функционала Ландау проводились с использованием полиномиального потенциала взаимодействия квазичастиц, сконструированного таким образом, чтобы исследуемая система нахо-дилась вблизи ФККФП. Обсуждаются возможные энергетические шкалы (масштабы энергии) в термодинамических и транспортных функциях. По-казано, что наши вычисления электронной тепло-емкости C/T ,

намагниченности М, энергетических шкал, продольного магнетосопротивления (LMR) и магнитной энтропии £ (В) находятся в хорошем согласии с недавними выдающимися данными, полученными на HF металле УЬЯИ2Б12 [18, 19, 20, 21].

2 Уравнение для эффективной массы

Рассмотрим HF жидкость при Т = 0 , характеризующуюся эффективной массой М *. Используя хорошо известное уравнение Ландау, можно

связать М* с голой массой электрона т [1, 22, 23]

*

М 1

m 1 - N0 F Ч х)/3

(1)

Здесь Ы0 - плотность состояний свободного

электронного газа, х = р3р 1Ъл2 - плотность, рр -

фер-ми импульс и Г'(х) - р -волновая компонента амп-литуды взаимодействия Ландау Г. В критической точке х = хс, когда Г'(х) достигает некоторого порогового значения, знаменатель в уравнении (1) обращается в ноль и, следовательно, эффективная масса расходится при Т = 0 [22, 23], а система испытывает ФККФП. Из уравнения (1) следует, что за критической точкой хс эффективная масса становится отрицательной. Для того, чтобы избежать нестабильного и физически бессмысленного состояния с отрицательной эффективной массой, система должна совершить перестройку, осуществив квантовый фазовый переход в квантовой критической точке (ККТ) х = хс, которая является квантовой критической точкой ФККФП [8, 10]. Асимметричная фаза за ККТ определяется уравнением

5Е

Sn( p)

М

здесь Е есть энергия основного состояния, / -

химический потенциал и п(р) числа заполнения

квазичастиц. Основным результатом такой перестройки является то, что вместо функции распределения в виде ферми-ступеньки, мы имеем 0 < п(р) < 1 в некоторой области изменения

импульсов р{ < р < ру . Соответственно, одночас-

тичный спектр

5Е

Sn( p)

= s( p),

(2)

в вышеуказанной области становится плоским е(р) = /и , и это состояние известно как ферми конденсатное ^С) состояние [7]. Благодаря вышеуказанной особенности функции распределения п(р) , FC состояние характеризуется сверхпроводящим параметром порядка к(р) = ^п(р)(1 - п(р)) .

Для вывода уравнения, определяющего эффективную массу, используем теорию функционала плотности для сверхпроводящего состояния [24]. В нашем случае энергия основного состояния Е становится функционалом чисел заполнения п(р)

и плотности х , Е = Е[п(р), х], а уравнение (2) определяет одночастичный спектр [17]. После дифференцирования обеих частей уравнения (2) по р

и в результате некоторых алгебраических преобразований и интегрирования по частям, мы получаем

дп(рг) йрх

де( p) = p +

jV (p, pl)~

(3)

др т Л ^ дрх (2я)3

Здесь Е(р,рг) = 52Е1дп(р)дп(рг) амплитуда

Ландау. Для вычисления производной де(р)/др , мы

использовали представление функционала энергии в виде

E[n] = j -p- n( p) J 2m

- jv (p, pi)n( p)n( pi)

dp (2л)3

+ — 2

dpdp1 (2л)6

+...

(4)

Из уравнения (3) прямо видно, что эффективная масса задается хорошо известным уравнением Ландау

-k 1+ fvp,pi)(5)

M m J p 3 dp1 (—n)

Для простоты восприятия мы опустили спиновые зависимости. Для вычисления М* как функции Т , рассмотрим свободную энергию системы Е = Е - ТБ , где энтропия £ задается выражением

S = -2j[n( p) ln(n( p)) + (1 - n( p)) ln(1 - n( p))]

dp (2л)3

которое следует из общих комбинаторных соображений [1]. Минимизируя Е по п(р) при условии постоянства числа частиц системы, получаем функцию распределения Ферми-Дирака

n( p,T) = <¡1 + exp

(е(p, T) -м)

T

(6)

В результате проведенного вывода можно утверждать, что уравнения (3) и (5) являются точными и позволяют нам вычислить поведение как де(p)/dp , так и M* в окрестности ККТ, где хорошо определенные квазичастицы задают низкотемпературную физику системы, в то время как M* является расходящейся функцией T , B и x [10, 11, 12, 13]. Как будет показано далее, эти свойства M * формируют NFL поведение HF металлов.

3 Скейлинговое поведение эффективной массы

Чтобы избежать усложнений, связанных с анизотропией кристаллической решетки твердого тела, будем рассматривать универсальное поведение металлов с тяжелыми фермионами, используя модель однородной жидкости. Выбор этой модели является чрезвычайно важным шагом, поскольку мы рассматриваем универсальные свойства изучаемых материалов при низких температурах, когда их поведение характеризуется степенными законами расходимости таких величин, как эффективная масса, теплоемкость, намагничен-

ность и др. Это поведение определяется малыми изменениями энергии и импульса по сравнению с дебаевской характеристической температурой и импульсами, задаваемыми постоянной обратной

решетки a-1 . Поэтому квазичастицы испытывают влияние со стороны кристаллической решетки, усредненное по большим расстояниям порядка a, и мы можем использовать хорошо известную модель желе для кристаллических веществ, как это делается, например, во флуктуационной теории фазовых переходов второго рода.

Схематическая фазовая диаграмма металла с тяжелыми фермионами представлена на Рис. 1. В качестве контролирующего параметра могут быть использованы: давление P , концентрация допи-рующих добавок (плотность) x , магнитное поле B и другие величины. При T = 0 возникает FC, приводящий к сильному вырождению. Поэтому FC стимулирует возникновение сверхпроводящего (SC), ферромагнитного (FM) или антиферромагнитного (AFM) состояний, снимающих вырождение [10, 11]. В случае YbRh2Si2 магнитное поле (B-Bc0) является управляющим параметром, при T = 0 и B < Bc0 имеет место AFM состояние [21]. Здесь Bc0 - критическое магнитное поле, Bc0;0.06 T и (B1 c), при B > Bc0 система переходит в ферми-жидкостной режим Ландау (LFL). В нашей простой модели Bc0 является параметром. Если

увеличивать температуру при фиксированном магнитном поле, возникает NFL режим, а увеличение магнитного поля B опять переводит систему из NFL области в LFL область, как это показано штрих-пунктирной стрелкой на Рис. 1. Ниже мы будем рассматривать переходную область, когда система осуществляет переход между NFL и LFL режимами вдоль горизонтальной стрелки, а также переход между LFL и NFL режимами вдоль вертикальной стрелки, как это показано на Рис. 1. На вставке в Рис. 1 представлена зависимость нормированной эффективной массы M*N = M */M*M от нормированной температуры TN = T/TM , где M M* является максимальным значением, которое достигается M* при T = TM . NFL режим отмечен

как T~213, поскольку в этой области эффективная масса сильно зависит от температуры. Интервал темпе-ратур в окрестности T;TM отмечен как переходная область между LFL режимом, когда эффективная масса постоянна, и NFL режимом, когда

масса начинает вести себя как T~213. Этот интервал температур в окрестности T: TM является переходной областью между LFL и NFL режимами.

Для изучения скейлингового поведения M* запишем функцию распределения квазичастиц в виде n1(p) = n(p, T) - n(p), где n(p) - ступенчатая функция. Тогда уравнение (5) приобретет вид 1 1 cpvft dni(pi,t) dpi

M*(T) M*(T = 0) j p3F

— +j svp. F ( pf , pi) ^

T = 0) j pF dpi

(2n)

(7)

В ККТ эффективная масса М (Т = 0) расходится и уравнение (7) становится однородным,

*

определяя массу М (Т) как функцию температуры

М (T) ж T

-2/3

(8)

ZJ

т_

Си

ib"

О П.

Е

а

Control parameter, magnetic field В

Рис. 1: Схематическая фазовая диаграмма металлов с HF. Bc0 - критическое магнитное поле, при кото-ром система испытывает ФККФП. В этой точке рас-ходится эффективная масса. SC,FM,AFM обозна-чают сверхпроводящее (SC), ферромагнитное (FM) и антиферромагнитное (AFM) состояния, соответст-венно. При B < Bc0 и T = 0 система может нахо-диться в SC, FM или AFM состоянии. Вертикальная стрелка показывает переход из LFL в NFL режим при фиксированном B > Bc0

вдоль T , когда M * зависит от T . Штрих-пунктирная горизонтальная стрелка иллюстрирует переход системы из NFL в LFL режим вдоль оси B при фиксированной температуре T . Вставка в рисунок изображает схема-тический график зависимости нормированной эффективной массы от нормированной темпера-туры. Переходный режим, когда

M*N достигает своего максимального значения M*M при

T = TM , обозначен штриховкой как на основной картинке,

так и на вставке в нее. Стрелка указывает на точку перегиба

функции Mn(Tn ) при температуре Tjnf, являющуюся

началом зависимости T

-2/3

а поведение системы как NFL [13, 10]. В области до ККТ, как видно из вставки в Рис. 1, масса M * при малых температурах конечна и описывается функцией M*(T = 0) + a,T2, где a, - константа, что соответствует LFL поведению. LFL режим реализуется, когда второе слагаемое в правой части уравнения (7) мало по сравнению с первым. Затем, при увеличении температуры система входит в

переходный режим: масса M* растет, достигая своего максимума MM* при T = TM , с последующим убыванием. При температурах T > TM,

последние "следы" LFL режима исчезают, второе слагаемое становится доминирующим, уравнение (7) опять становится однородным, и NFL режим восстанавливается, заявляя о себе уменьшением

массы M* как T-2/3. Когда система находится в некоторой окрестности ККТ, решение уравнения (7)

M *(T ) может быть хорошо аппроксимировано простой универсальной интерполяционной функцией [10, 13, 15]. Интерполяция осуществляется

между LFL (M*;M* + alT2) и NFL (M* ж T~2/3) режимами [13, 10]. Вводя безразмерную переменную y = TN = T/TM , получаем искомое выражение [25]

* 1 + c, y

MN(У) * c„--^

1 + c2 У

MN= m 7m*

(9)

Здесь Мы = М ММ — нормированная эффективная масса, с0 = (1 + с2)/(1 + с1), с1 и с2 подгоночные параметры, параметризующие амплитуду Ландау.

Уравнение (7) может быть преобразовано к виду, позволяющему его использование для анализа зависимости эффективной массы от магнитного поля [13, 15]. При наложении магнитного поля

восстанавливает LFL режим, и М*М зависит от В

как

-2/3

в то время как

Мм ж (B-Bc0)

tm ж mb (b - вмх

(10) (11)

где ¡лВ - магнетон Бора [13, 15, 10]. Используя

уравнения (10) и (11) для вычисления М'М и ТМ ,

мы заключаем, что уравнение (9) справедливо для описания нормированной эффективной массы в постоянном внешнем магнитном поле, если у = Т/(В -Вс0). С другой стороны уравнение (9) справедливо, когда магнитное поле играет роль переменной, а температура фиксирована Т = Ту^. В

этом случае, как видно из уравнений (8), (9) и (10), удобно переписать переменную как у = (В - Вс0)/Ту,

а уравнение (11)как

Mb (bm - bc0) ж tf •

(12)

Из уравнения (9) следует, что в отличие от парадигмы квазичастиц Ландау, масса квазичастиц сильно зависит от T и B . Как мы покажем далее, именно эта зависимость формирует NFL поведение. Из уравнения (9) также следует, что скей-линговое поведение М * около точки ФККФП определяется отсутствием подходящей внутренней шкалы для измерения эффективной массы и температуры. В постоянных магнитных полях характеристическими шкалами или единицами измерения для температуры и функции М *(T, B) могут

быть TM и М'М соответственно. Аналогично, при постоянной температуре характеристическими шкалами являются (BM -Bc0) и М*м . Из уравнений (10) и (11) следует, что в постоянных магнитных полях при TM ^ 0 М'М , а также ширина переходной области сжимается до нуля при B ^ Bc0,

если измерения проводятся во внешних шкалах (единицах измерения). Аналогично, из уравнений (8) и (12) следует, что при постоянной температуре

и (ВМ -Вс0) ^ 0 ММ , а также ширина переходной области сокращается до нуля при Т^ ^ 0 .

Здесь уместно сделать следующее замечание. Как будет показано в подразделах 5 C и D, в некоторых случаях функции зависимости эффективной массы от температуры или магнитного поля, или другие измеряемые величины, такие как продольное магнетосопротивление, не имеют "особых точек" типа максимумов. Тогда нормировку можно проводить используя другие точки, например, точку перегиба, показанную на вставке в Рис. 1. Такая нормировка возможна, поскольку она основана на внутренней шкале.

4 Расчеты характеристик сильно коррелированных ферми-систем

В этом разделе мы опишем вычисления эффективной массы и других термодинамических и транспортных величин как функции температуры и магнитного поля.

Мы используем функционал Ландау [26, 27], хорошо описывающий общее поведение закона дисперсии квазичастиц вблизи ККТ (??)

Е[п( р)] = Г п( р)-^ +1 [у (р - а) 2т (2п)3 2 •>

х п( р)п( а)

(2п)

dpdpl

(2п)6

(13)

с взаимодействием квазичастиц вида:

У (р, р1) = ао(р - л)2 + Ьо(р - л)4 + Со(р - л)6, (14) здесь а0, Ь0 и с0 - константы. Подставляя в уравнение одночастичного спектра квазичастиц

Ж[п( р)]

8п( р)

выражение для энергии (13) с потенциалом (14), интегрируя его и переходя к безразмерным величинам, с учетом (6), получаем интегральное уравнение для энергии квазичастиц как функции безразмерного импульса:

П /[а

(2 + 2^4 - (2 - 2А)4

е(2,т) = — + 2 2 42П

+ Ь (2 + 2| )6 - (2 - 2| )6 + с (2 + 2| )8 - (2 - 2^ ] 6 8 ] хп( 2ц,т) 21d21.

Здесь е(2,г) = е0(р,Т0)(2т/рр), 2 = р/рр , т-голая масса, Т0 - температура, т = Т0/е°р - безразмерная температура, рр , £°р - импульс и энергия Ферми. При Т = 0 на поверхности Ферми в ККТ эффективная масса расходится, и спектр имеет точку перегиба, поскольку первая производная, обратно пропорциональная эффективной массе, ds(p)/dp = 1/М*, обращается в нуль

de(р)= р + а рр\

dp

М

3п

2 + ь02рр-{ р2 + р2) р+

3п

+с0 -ф( р2 + р2)2 р+4 Р 3 р2] = 0.

П

5

Вторая производная обращается в нуль, поскольку спектр не может иметь точку максимума

d е(р) _ 1

+ а(

рР

2 + 8Ь0

р\

72

, +—С

25

0 4 = 0. (16)

П

dp2 М " 3п2 " 3п

Переходя к безразмерным переменным, из уравнений (15) и (16) получаем соотношения, связывающие коэффициенты а,Ь,с :

72 2 , 36 а = — с - 3п , Ь =--с.

5 5

Решая уравнения (??) и (6), находим одночас-тичный спектр квазичастиц как функцию температуры. Решение искалось учетом условия сохранения числа частиц р :

3

[п(2, т)2 2d2 = Р =1,

Р0

(17)

где р0 - плотность невзаимодействующих частиц.

Уравнение (17) используется для нахождения химического потенциала и .

На Рис. 2 изображены одночастичный спектр и функция распределения квазичастиц по импульсам (на вставке) для константы с = 50 , задающей взаимодействие квазичастиц системы, находящейся вблизи ККТ при отсутствии магнитного поля

В=0.

э-1

7-

е-

5-

101 --

м \

—.0.6 N \

с 0,4 \

0,2 00 V

2. /

1.00 101

Ц

-т =0.000001

С=50, А^

0,0 02 0,4 0,6 0,3 1,0 1,2 1,4 1.6

г

Рис. 2. Одночастичный спектр и функция распре-деления квазичастиц по импульсам (на вставке) для константы с = 50 , задающей взаимодействие квази-частиц системы, находящейся вблизи ККТ при Т = 0.000001 в отсутствии магнитного поля В = 0 . Пунктирной линией изображен химический потен-циал системы.

При наложении на систему внешнего магнитного поля В происходит Зеемановское расщепление ферми-поверхности. Для спинов "вверх" химический потенциал становится (/+X), а для

спинов "вниз" - (/ -X), где X = 2М*В/Б/рр -

безразмерная энергия магнитного поля. Поле В предполагается малым, поэтому спиновой зависимостью М* пренебрегаем. В результате функция распределения приобретает вид:

2

n( z,± X ,t) =

1 + exp[(e(z, t) - (/и ±X))/т]

а энтропия вычисляется по формуле:

S (t, X)

=-П zji

[n( z,± X, t) ln(n( z,± X ,t))

+ (1 - п(2 ,±X, т)) 1п(1 - п(2,±X, т))}22ё2. Подставляя полученную функцию распределения квазичастиц п(2, Т,В) в (??), вычисляем

энтропию. Используя полученную энтропию (??) и стандартные термодинамические соотношения, легко вычислить эффективную массу:

М *(Т, В) = 3 (Т, В)-

Pft

электронную теплоемкость:

C (T, B) = y0T = T

dS (T, B)

dT '

здесь у0 - коэффициент Зоммерфельда; продольное магнетосопротивление:

p(T, B) = p0 + c1 (M *(T, B))2 T 2, где p0 - остаточное сопротивление при T = 0 .

Нефермижидкостные характеристики YbRh2 Si2

Результаты наших вычислений, описанные в разделе 4 а также оценки, полученные с помощью аппроксимационной формулы (9), будут использованы для анализа свойств YbRh2Si2.

Теплоемкость и коэффициент Зоммерфельда

Высокоточные измерения коэффициента

Зоммерфельда C/T х M* на образцах YbRh2Si2

нового поколения в различных магнитных полях B , достигающих величины 1.5 T [18], позволили нам обнаружить скейлинговое поведение эффективной

массы M * и наблюдать различные режимы изменения M *, такие как LFL режим, переходный режим от LFL к NFL, а также NFL режим. Максимум функции C/T х M'M для некоторой температуры TM , при наложении на систему внешнего магнит-ного поля B, демонстрирует смещение в сторону больших температур при увеличении поля B . Величина коэффициента Зоммерфельда C/T = у0, стремясь к

насыщению при малых температурах, уменьшается при увеличении наложенного магнит-ного поля [18].

Из рассмотрения в Разделе 3 следует, что переходному режиму соответствуют температуры, при которых вертикальная стрелка на Рис. 1 пересекает заштрихованную область. Ширина этой

области, будучи пропорциональна TM х (B-Bc0)

*

сжимается при TM стремящемся к нулю, а у0 х M увеличивается при B ^ Bc0. Эти выводы находятся в соответствии с данными работы [18].

Для получения нормированной эффективной массы М*ы , С/Т была нормирована на значение величины в максимуме (С/Т)М , а температура Т -на ТМ . На Рис. 3 геометрическими фигурами представлена М*ы как функция температуры Ты .

1.0-

га

лз тз

тз

QJ

N "га Е

0.9.

OA'

< в=0.1 т

v в=0.1 5 г

Л в=0.25 г

о в=0.5 т

<] в = 1.0 т

о в = 1.5 т

0.1

Normalized temperature

Рис. 3. Нормированная эффективная масса MN, полученная из измерений удельной теплоемкости C/T для YbRh2 Si2 в магнитных полях B , пока-занных в нижнем

левом углу рисунка [18]. Ре-зультаты наших вычислений

представлены в виде непрерывной кривой, показывающей

*

скейлинговое поведение MN .

Результаты вычислений изображены в виде сплошной линии. Рисунок 3 показывает скейлин-говую природу нормированных экспериментальных кривых - кривые, измеренные при различных магнитных полях B, сливаются в одну кривую, зависящую от нормированной переменной y = T/TM . Как видно из рис. 3, нормированная масса не является константой, как это следует из теории LFL, и демонстрирует скейлинговое поведение (см. (9)) на протяжении трех порядков изменения нормированной температуры. Два режима (LFL режим и NFL режим), разделенные переходной областью и показанные в виде заштрихованного участка на вставке в Рис. 1, ясно видны на Рис. 3, иллюстрируя хорошее согласие между теорией и экспериментом.

"Средняя" намагниченность Рассмотрим "среднюю" намагниченность

□

M = Bx + M как функцию магнитного поля B при фиксированной температуре T = Tf , где намагниченность

rB

M(B, T) = I x(b, T)db,

0

и магнитная восприимчивость [1]

x(BT)-Й^Ш!. (19)

1 + F0

Здесь р — константа и Fq — амплитуда Ландау, связанная с обменным взаимодействием

[1]. В случае сильно коррелированных систем Г0а > -0.9 [22, 23]. Поэтому, как следует из уравнения (19), нормализация убирает коэффициент р и (1 + ) и делает х*70 х М*,

как это следует из соотношения Кадоваки-Вудса

□ *

[30, 28, 29]. Для получения М , мы вычислили М как функцию В при постоянном поле Ту . Получен-

ные графики

MM

демонстрируют энергетические

масштабы, разделенные изломом при В = Вк . Как видно из Рис. 4, излом является точкой перехода от

быстрого к медленному росту ММ при увеличении

магнитного поля. Мы используем Вк и ММ(Вк) для

□

нормировки В и М соответственно.

''Средняя'' )ишо»1ичстяюстпь

Рис.

12 3 4 5

Normalized magnetic field

4. Зависимость нормированной "средней

MM

намагниченности М = М + Вх от магнитного поля, извлеченная из измерений на УЪКи2812 [19], показана квадратами. Ясно виден излом (показан стрелкой) при значении нормированного поля Вы = В/Вк ;1. Сплошная линия и звезды (см. текст) — вычисления.

На Рис. 4 приведен график нормированной

ММ как функции нормированного поля Вы = В/ВК . Наши вычисления изображены сплошной линией.

Звездочки обозначают ход функции ММ , вычислен*

ной из М (у), извлеченной из данных по измерению С/Т , приведенной на Рис. 3. Здесь уместно сделать следующее замечание относительно использованной вычислительной процедуры. В рассматриваемом случае М* зависит от у = Т/ТМ , где ТМ удовлетворяет уравнению (11). С другой стороны, мы можем использовать у = (В-Вс0)/Ту,

как это было описано в Секции 3, и рассматривать результаты измерения С/Т как функцию у .

Из Рис. Fig. 4 видно, что наши вычисления хорошо согласуются с экспериментальными данными, все кривые имеют излом (указан стрелкой) при BN ;1, происходящий при вхождении системы в переходную область, соответствующую магнитным полям, при которых штрих-пунктирная стрелка на Рис. 1 пересекает заштрихованную область. Однако, как видно на Рис. 4, при слабых магнитных □

полях M является линейной функцией B, поскольку M* практически не зависит от B . Из уравнения (10) следует, что при увеличении магнитного поля M* становится убывающей функцией B , что

порождает излом в функции MM(B), разделяющий

энергетические масштабы, открытые в работе [19]. Далее, из уравнения (12) следует, что магнитное поле Bk;BM, при котором происходит излом, смещается в сторону меньших величин B с уменьшением Tf .

Продольное магнетосопротивление

Рассмотрим продольное магнетосопротивление (LMR) p(B,T) = р0 + AT2 как функцию магнитного поля B при постоянной температуре Tf . В нашем случае, классический вклад в LMR, связанный с орбитальным (искривленным) движением носителей заряда под действием сил Лореца, мал. При этом отношение Кадоваки-Вудса [28, 29], K = A/y0 к A/%2 = const, позволяет нам выразить коэффициент A через M * [25], поскольку Y0 к^кM*. В результате, p(B,T)-р0 к (M*)2.

На рис. 5 представлено нормированное магнето-сопротивление

RP( y) = к (M*( y))2

pinf

как функция нормированного магнитного поля y = B/Binf при различных температурах, величины

которых показаны в пояснении к рисунку.

Продольное лшгпетосопротивлепие

(С

тэ

сп

с: о

тз ш

■М

(П

Е

о

% QJ

0.5-

d.d-i

YbRh^Si., ♦ Т=0.3К Ф Т=0.2К А 1=0.1 К theory

d.d1 d. 1 1 10

Normalized magnetic field

Рис. 5. Зависимость нормированного на значение в точке перегиба, указанной стрелкой (подробности в тексте),

продольного магнетосопротивления Rp от нормированного магнитного поля. Rp было полу-чено из

LMR измеренного в YbRh2 Si2 для различ-ных температур

[19], приведенных в пояснениях. Сплошная линия представляет вычисления.

Здесь pinf и Binf — LMR и магнитное поле, соответственно, взятые в точке перегиба, отмеченной стрелкой на Рис. 5.

Процедура нормировки нуждается в некотором пояснении. Поскольку зависимость от магнитного поля обеих величин M * и LMR не содержит "особых точек", то нормировка может быть проведена на значения функции и аргумента в соответствующей точке перегиба. Для точного определения точки перегиба мы сначала дифференцировали p(B,T) по B , находили экстремум

производной и нормировали функцию и ее аргумент на их значения в точке перегиба. Таким образом, как теоретическая кривая (показанная сплошной линией) так и экспериментальные кривые (показанные геометрическими фигурами), нормированные на значения в их точках перегиба, обнаруживают универсальное поведение --- кривые для различных температур сливаются в одну, зависящую от скейлинговой переменной y и демонстрируют масштабируемость в интервале более трех порядков изменения нормированного магнитного поля.

Переходная область, в которой LMR начинает уменьшаться, показана на вставке в Рис. 1 в виде заштрихованного участка. Из уравнения (12) ясно, что ширина переходной области, которая пропорциональна BM;Binf , уменьшается при снижении температуры Tf . Аналогично, точка перегиба LMR, связанная с точкой перегиба M*, показанной стрелкой на вставке в Рис. Fig. 1, смещается в сторону меньших B при уменьшении Tf .

Все эти выводы находятся в прекрасном согласии с данными работы [19].

Магнитная энтропия Изучение изменения производной магнитной энтропии dS(B, T)/dB как функции магнитного поля

B при постоянной температуре Tf является задачей огромной важности, поскольку она позволяет исследовать скейлинговое поведение производной эффективной массы TdM*(B,T)/dB х dS(B,T)/dB . Скейлинговые свойства самой эффективной массы M*(B,T) могут быть исследованы посредством

LMR, как это было показано в Подразделе С.

Как следует из выводов к Подразделу С и из уравнений (9) и (12), при y < 1 производная

-dMN (y)/dy х y , где

y = (B - Bc0)/(Binf - Bc0) х (B -Bc0)/Tf .

Отметим еще раз, что эффективная масса, как функция B , не имеет максимума, см. Подраздел С. При увеличении y производная -dMN (y)/dy достигает максимума в точке перегиба MN (y) и затем становится убывающей функцией y . Используя пе-

ременную у = (В-Вс0)/Ту, можно заключить, что для меньших температур левый (до максимума) фронт функции - с$/йВ х-ТёМ*/йВ становится круче, а ее махимум в точке (Выг -Вс0) х Тг — выше.

щ

3?

, 0,3

<13

I

5

а.4-

N <

X

Я 0.0

(dS/dB)4

т

т^о.жоэ

как функции при постоянных

а,01 о,1 1 ю

NORMALIZED MAGNETIC FIELD

Рис. 6. Нормированные отношения конечной раз-ности намагниченности к приращению температуры (AMIAT)N как функция нормированного магнит-ного поля представлены при постоянных темпера-турах (список температур приведен в верхнем левом углу рисунка), полученные из экспериментальных данных для YbRh2 Si2 [21]. Результаты вычислений нормированной производной (dSIdB) N; (AMI AT ) N по-казаны нормированного магнитного поля безразмерных температурах TI/ (температуры приведены в верхнем правом уг-лу рисунка). Все графики изображены с помощью геометрических фигур, маркировка которых пока-зана на вставках в рисунок.

Это наблюдение находится в количественном согласии с измерениями отношений конечных разностей намагниченности к приращениям температуры -AMIAT , как функции магнитного поля при постоянных температурах Tf, выполненных для

YbRh2 Si2 [21]. Следует отметить, что AMi AT; dSidB соответствует хорошо известному термодинамическому равенству dMIdT = dSIdB .

Для проведения количественного анализа скей-лингового поведения производной - dM*(B, T)IdB, было проведено (См. Раздел 4) вычисление энтропии S(B,T ) как функции магнитного поля B при постоянных безразмерных температурах Tf I/ , значения которых приведены в правом верхнем углу Рис. 6. На этом рисунке представлена нормированная (dSIdB)N как функция нормированного

магнитного поля. Функция (dSIdB)N получена путем нормировки (dS/dB) на ее максимальное значение в точке BM , а поле B масштабируется значением BM . Результаты измерения AM/AT норми-рованы аналогичным образом и представлены на Рис. 6 как (AMIAT)N в зависимости от нормиро-ванного магнитного поля. Из Рис. 6 видно, что наши вычисления находятся в прекрасном согласии с данными экспе-

риментов. Экспериментальные (ДМ/ДТ)N и расчетные функции (dS/dB)N демонстрируют скейлинго-вое поведение на протяжении трех порядков изменения нормированного магнитного поля. Масштабные преобразования На Рис.7 показаны графики функций Tinf (B)

and ТМ (B) сплошной и штрих-пунктирной линиями.

Граница между NFL и LFL режимами обозначена штриховой линией, AFM — антиферромагнитное состояние. Соответствующие данные взяты из [20, 19, 18, 30]. Видно, что наши расчеты находятся в хорошем согласии с экспериментом. Таким образом график эффективной массы как функции температуры при фиксированном магнитном поле (B - Bc0) можно получить масштабным преобразованием нормированной эффективной массы, когда ее максимальное значение определяется формулой (10), а шкала температур — (11). В этих шкалах при B ^ Bc0, обе температуры Tinf ^ 0

and ТМ ^ 0, как и области переходного режима,

сдвигаются к низким температурам. Как следствие, зачастую эти области становятся недоступны для прямых измерений. Как видно из Рис. 3, 4, 5, 6 и 7, нормировка позволяет построить на основе экспериментальных данных однозначные термодинамические и транспортные функции в широкой области изменения нормированной переменной y .

В случае YbRh2Si2 эти функции обнаруживают

скейлинговое поведение при изменении y на три

порядка.

s: о.з -

0.3

В(Т)

Рис. 7. Т - B фазовая диаграмма для YbRh2Si2. Сплошные круги показывают границу между AFM и NFL состояниями. Квадраты — границу между NFL и LFL режимами [20, 19, 30], обозначенную пунктирной линией

д/B - Bc0 [10]. Ромбы — максимумы ТМ функции C/T [18], приведенной на Рис. 3. Штрих-пунктирная линия задана функцией ТМ х a(B - Bc0), a — подгоночный параметр, см. формулу (11). Треугольники вдоль сплошной линии показывают точки перегиба в LMR [20, 19], приведенной на Рис. 6. Сплошная линия — функция х b(B - Bc0), b подгоночный параметр, см. формулу

Выводы

Было проанализировано нефермижидкостное поведение сильно коррелированной ферми-системы с использованием теории функционала плотности для фермионного конденсата, а также выведены уравнения для эффективной массы квазичастиц как в случае однородных ферми-систем, так и для твердых тел с кристаллической решеткой. Было показано, что расширенная парадигма квазичастиц верна, а зависимость эффективной массы от температуры, плотности, наложенного магнитного поля и т.д. порождает нефермижидкостные (NFL) свойства системы. Полученные результаты проиллюстрированы с помощью вычислений термодинамических и транспортных функций сильно коррелированных ферми-систем. Приведена процедура численных расчетов. Обсуждены возможные энергетические масштабы для термодинамических и транспортных функций. Продемонстрировано, что наш всесторонний теоретический анализ удельной электронной теплоемкости, намагниченности, энергетических шкал, продольного магнетосопротив-ления и магнитной энтропии находится в хорошем согласии с выдающимися недавними экспериментальными результатами по исследованию металла с тяжелыми фермионами YbRh2Si2. Продемонстрировано, что посредством нормировки экспериментальных данных удается построить однозначные термодинамические и транспортные функции в широкой области изменения нормированной переменной y . В случае YbRh2Si2 эти функции обнаруживают скейлинговое поведение при изменении y на три порядка.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект N0 09-02-00056.

Литература

1. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Статистическая фи-

зика. Часть 2. // Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц Теоретическая физика. Том 9. М.: Наука, 1978, 448 с.

2. Senthil T., Vojta M., Sachdev S. Weak magne-tism and non-Fermi liquids near heavy-fermion critical points //Phys. Rev. B, 2004. V. 69. P. 035111-035129.

3. Coleman P., Schofield A. J. Quantum criticality //Nature,

2005. V. 433. P. 226-229.

4. Lohneysen H., Rosch A., Vojta M., W'olfle P. Fermi-

liquid instabilities at magnetic quantum phase transitions // Rev. Mod. Phys., 2007. V. 79. P. 1015-1076

5. Gegenwart P, Si Q., Steglich F. Quantum criticality in heavy-fermion metals // Nature Phys., 2008. V. 4. P.186-197.

6. Sachdev S. Quantum magnetism and criticality //Nature Physics, 2008. V. 4. P. 173-212.

7. Ходель В.А., Шагинян В.Р. Сверхтекучесть в системах

с фермионным конденсатом // Письма в ЖЭТФ, 1990. Т. 51. С. 488-490.

8. Amusia M. Ya., Shaginyan V.R. Quasiparticle picture of

high-temperature superconductors in the frame of a Fermi liquid with the fermion condensate // Phys. Rev. B, 2001. V. 63. P. 224507-224512.

9. Volovik G.E. Quantum phase transitions from topology in

momentum space. in Quantum Simulations via Analogues: From Phase Transitions to Black Holes and Cos-

mology. eds. W.G. Unruh and R. Schutzhold. Springer Lecture Notes in Physics. 2007. V. 718. P. 31-73.

10. Шагинян В.Р., Амусья М.Я., Попов К.Г. Универсаль-

ное поведение сильно коррелированных Фермиси-стем // УФН, 2007. T. 177. №7. C. 586-618.

11. Khodel V.A., Clark J.W., and Zverev M.V. Topology of the Fermi surface beyond the quantum critical point //Phys. Rev. B, 2008. V. 78. P. 075120-075137.

12. Dukelsky J., Khodel V.A., Schuck P., Shaginyan V.R. Fermion condensation and non Fermi liquid behavior in a model with long range forces // Z. Phys., 1997. V. 102. P. 245-254.

13. Clark J.W., Khodel V.A., Zverev M.V. Anomalous low-temperature behavior of strongly correlated Fermi systems // Phys. Rev. B, 2005. V. 71. P. 012401-012404.

14. Shaginyan V.R., Msezane A.Z., Stephanovich V.A., Kiri-chenko E.V. Quasiparticles and quantum phase transition in universal low-temperature properties of heavy-fermion metals // Europhys. Lett., 2006. V. 76.P. 898904.

15. Shaginyan V.R., Popov K.G., Stephanovich V.A. Univer-

sal low-temperature behavior of the CePd1-xRhx fer-romagnet // Europhys. Lett., 2007. V. 79. № 4. P. 47001-47006.

16. Shaginyan V.R., Msezane A.Z., Popov K.G., Stephanovich V.A. Behavior of Two-Dimensio-nal 3He at Low Temperatures // Phys. Rev. Lett., 2008. 8 V. 100. P. 096406-096409.

17. Shaginyan V.R. Density functional theory of fermion condensation // Phys. Lett. A, 1998. V. 249. P. 237241.

18. Oeschler N., Hartmann S., Pikul A.P., Krellner C. Geibel

C., Steglich F. Low-temperature specific heat of Y bRh2Si2 // Physica B, 2008. V. 403. P. 1254-1256.

19. Gegenwart P., Westerkamp T., Krellner C., Tokiwa Y., Paschen S., Geibel C., Steglich F., Abrahams E., Si Q. Multiple Energy Scales at a Quantum Critical Point // Science, 2007. V. 315. P. 969-971.

20. Gegenwart P., Westerkamp T., Krellner C., BrandoM., Tokiwa Y., Geibel C., Steglich F. Unconventional quantum criticality in Y bRh2Si2 // Physica B, 2008.V. 403. P. 1184-1188.

21. Tokiwa Y., Radu T., Geibel C., Steglich F., Ge-genwart P. Divergence of the Magnetic Gruneisen Ratio at the Field-Induced Quantum Critical Point in Y bRh2Si2 //Phys. Rev. Lett., 2009. V. 102. P. 066401-066404.

22. Pfitzner M., W 'olfe P. Quasiparticle interaction in a near-

ly localized Fermi liquid: Application to 3He and heavy-fermion systems // Phys. Rev. B, 1986. V. 33. P. 2003-2006.

23. Vollhardt D., W'olfle P., Anderson P.W. Gutzwiller-Hubbard lattice-gas model with variable densi-ty:Application to normal liquid 3He // Phys. Rev. B, 1987. V. 35. P. 6703-6715.

24. Oliveira L.N., Gross E.K.U., Kohn W. Density-Functional Theory for Superconductors // Phys. Rev. Lett., 1988. V. 60. P. 2430-2433.

25. Shaginyan V.R., Amusia M.Ya., Msezane A.Z., Popov K.G., Stephanovich V.A. Energy scales and magnetoresistance at a quantum critical point // Phys. Lett. A, 2009. V. 373. P. 986-991.

26. Khodel V.A., Shaginyan V.R., Khodel V.V. New approach

in the microscopic Fermi systems theory //Phys. Rep., 1994. V. 249. P. 1-134.

27. Khodel V.A., Shaginyan V.R. Fermion condensation in Fermi systems with strongly repulsive interaction //Nucl. Phys. A, 1993. V. 555. № 1. P. 33-58.

28. Kadowaki K., Woods S.B. Universal relationship of the resistivity and specific heat in heavy-Fermion compounds // Solid State Commun., 1986. V. 58. № 8. P. 507-509.

29. Khodel V. A., Schuck P. Universal behavior of the colli-

sion rate in strongly correlated Fermi systems //Phys. B: Condens. Matter, 1997. V. 104. № 3. P. 505-508.

30. Gegenwart P., Custers J., Geibel C., Neumaier K., Taya-ma T., Tenya K., Trovarelli O., and Steglich F. Magnetic-Field Induced Quantum Critical Point in Y bRh2Si2 // Phys. Rev. Lett., 2002. V. 89. P. 056402-056405.9