УДК 538.945
Статья
Спин-орбитальное взаимодействие в пятиорбитальной модели ферропниктидов
Д. А. Иванов1*, М. М. Коршунов1,2
1 Сибирский федеральный университет, Свободный пр-т., 79, 660041, Красноярск, Российская Федерация
2 Институт физики им. Л.В. Киренского, Федеральный исследовательский центр Красноярский научный центр СО РАН, ул. Академгородок, 50, стр. 38, 660036, Красноярск, Российская Федерация
* e-mail: danik.aliw@gmail.com
Поступила в редакцию 07.12.2024, после переработки 10.12.2024, принята к публикации 25.12.2024.
Исследовано влияние спин-орбитального взаимодействия на зонную структуру и поверхность Ферми в пятиорбитальной модели сверхпроводников на основе железа. Так как в элементарной ячейке находятся два иона Fe и их орбитали опосредованно связаны через орбитали As, в эффективной модели введены константы внутри- и межионного спин-орбитального взаимодействия, с целью исследования влияния соответствующих вкладов на зонную структуру. Показано, что внутриионная и межионная части спин-орбитального взаимодействия приводят к изменению топологии поверхности Ферми - расщеплению четырех контуров Ферми вокруг точки M = (п, п).
Ключевые слова: сверхпроводники на основе железа; спин-орбитальное взаимодействие; зонная структура; поверхность Ферми.
DOI: 10.62539/2949-5644-2024-0-4-12-18 1. Введение
В 2008 году был открыт новый класс сверхпроводящих слоистых соединений с высокими значениями критической температуры — слоистых соединений на основе железа и элементов V группы таблицы Менделеева, которые называют ферропниктидами [1, 2]. Они представляют собой системы с интригующей комбинацией различных состояний, куда также входят магнетизм, сверхпроводимость, нематическое состояние и некоторые сосуществующие состояния [3-5]. Многообразие экзотических фаз естественным образом является следствием многозонной природы этих систем [6].
Есть несколько экспериментальных результатов, указывающих на важную роль спин-орбитального взаимодействия в ферропниктидах. Одним из них является анизотропия спин-резонансного пика, нарушающая спин-вращательную инвариантность <S+S_> = 2<SzSz>, которая должна иметь место в отсутствие магнитного порядка. Это наблюдалось в неупругом рассеянии нейтронов [7]. Было показано, что нарушение спин-вращательной инвариантности в рамках трехорбитальной модели связано с эффектом спин-орбитального взаимодействия [8, 9]. Еще один результат связан с исследованиями сверхпроводящей щели с помощью многократных андреевских отражений [10, 11]. Ожидалось, что в LiFeAs присутствует две различные по амплитуде сверхпроводящие щели: одна на внутреннем листе поверхности Ферми вокруг точки Г, другая _ на внешнем листе поверхности Ферми вокруг точки Г и, совпадающая с ней по величине, на поверхности Ферми вблизи точки M. Однако анализ андреевских спектров выявляет три различных щели [12, 13]. В добавок к этому, исследование сверхпроводящей щели осуществлялось методом фотоэлектронной спектроскопии с угловым разрешением (ФЭСУР), в котором также наблюдались три различные щели в LiFeAs [14]. Это наблюдение может быть объяснено изменением топологии поверхности Ферми из-за спин-орбитального взаимодействия: два пересекающихся листа вблизи точки M могут разделяться на два — внутренний и внешний листы с различными величинами амплитуд щелей на каждом из них. К такому выво-
ду можно прийти, опираясь на экспериментальные работы, в которых исследовалось влияние спин-орбитального взаимодействия в пниктиде железа LiFeAs и халькогениде железа FeSe посредством фотоэмиссионной спектроскопии с круговой поляризацией и угловым разрешением
[15, 16].
Поскольку влияние спин-орбитального взаимодействия на формирование поверхности Ферми и зонной структуры за рамками трехорбитальной модели [8, 9] исследовано недостаточно, цель данной работы — выяснить, к каким изменениям оно приводит в пятиорбитальной модели [17], часто используемой для описания сверхпроводимости в пниктидах железа [3, 6].
2. Пятиорбитальная модель ферропниктидов
Базовым элементом ферропниктидов является квадратная решетка ионов Fe. Над и под этой плоскостью располагаются ионы As, р-орбитали которых гибридизуются с ^-орбиталями Fe. Можно записать эффективную модель, в которую будут входить только перенормированные перескоки между ионами железа. В общем виде гамильтониан пятиорбитальной модели ферропниктидов для ^-орбиталей записывается в виде:
Н0= ^шА^к-»Ук^Ыа, (1)
где ёктв и $ — операторы уничтожения и рождения частиц с импульсом к, спином о и орбитальными индексами I и т, /л — химпотенциал, рассчитываемый самосогласованно, ек1т - параметры пятиорбитальной модели, включающие одноэлектронные энергии и интегралы перескока, функциональные зависимости от импульса и значения которых приведены в работе [17]. Гамильтониан спин-орбитального взаимодействия задается следующей формулой для одного атома Fe на ячейку [18]:
Н™ = — L • S--
80 2 2
5 * ® Ь г +1 (8 + ® Ь - + 8 - ® Ь +
(2)
где X — константа спин-орбитального взаимодействия (физическая величина, имеющая размерность энергии и показывающая, насколько сильно взаимодействие между спином частицы и ее орбитальным движением), 8 - оператор спина, который мы выражаем через матрицы Паули. Модель (1) — эффективная, она не включает р-орбитали мышьяка, а построена только на пяти ^-орбиталях железа. Поэтому оператор орбитального углового момента L представляет собой матрицу 5 х 5, описывающую ^-орбитали в некотором базисе. Проще всего выразить матрицу L в атомном базисе, а затем преобразовать в базис ^-орбиталей. Они выражаются через сферические гармоники У1т следующим образом
4 „ - № " ^ ) d ^ - Й + ^ ) d 2 Й + ^ ),
I
72
*,, (№ - )
= :0 2 •
Отсюда получаем преобразование из базиса У1т в базис ^-орбиталей, затем преобразуем матрицу L в этот базис, вычисляем прямое произведение в (2) и получаем следующую запись матрицы гамильтониана спин-орбитального взаимодействия размерности 10 х 10 (две проекции спина на каждую из пяти орбиталей)
d
2
г
Н so =
0 — 0 0 0 0 0 -1 г 43
i 0 0 0 0 0 0 -г -1 -43г
0 0 0 -и 0 1 i 0 0 0
0 0 и 0 0 -г 1 0 0 0
0 0 0 0 0 -43 43г 0 0 0
0 0 1 г -43 0 i 0 0 0
0 0 -г 1 -43г -г 0 0 0 0
-1 i 0 0 0 0 0 0 2г 0
-г -1 0 0 0 0 0 -2г 0 0
73 43' 0 0 0 0 0 0 0 0
(3)
Данная модель применима для железосодержащих сверхпроводников, относящихся к семейству типа 1111, например, LaOFeAs, а также типа 122, с родительским соединением BaFe2As2. В соответствии с кристаллической структурой пниктидов железа, в элементарной ячейке присутствует два атома Fe, даже в семействе типа 1111. Связано это с положением атомов As, находящихся в вершинах тетраэдров, основания которых образованы атомами железа. Так, один из двух соседних атомов As расположен над плоскостью Fe, а другой — под ней. Неэквивалентность позиций двух близлежащих атомов мышьяка приводит к увеличению элементарной ячейки вдвое. В ней содержится два атома железа и два атома мышьяка [6, 19]. Для двух атомов Fe на элементарную ячейку размерность матрицы гамильтониана увеличивается вдвое. Для каждого из атомов, Fe1 и Fe2, гамильтониан спин-орбитального взаимодействия дается формулой (3). Далее эту часть мы называем внутриионной. Однако, поскольку мы имеем дело с эффективной моделью где в явном виде не фигурируют р-орбитали As, но в реальном кристалле присутствует перекрытие орбиталей Fe1-As-Fe2, возможно возникновение «межионного» матричного элемента спин-орбитального взаимодействия [9]. Коль скоро эффективная модель записана в базисе ^-орбиталей, гамильтониан «межионного» спин-орбитального взаимодействия будет иметь такой же вид, что и формула (3). Для удобства анализа вкладов внутриионного и «межионного» взаимодействий, константу взаимодействия в последнем случае мы обозначим X'.
Полный гамильтониан, описывающий пятиорбитальную модель ферропниктида с учетом спин-орбитального взаимодействия, записывается в виде:
Н = Н о + Н80.
3. Результаты для поверхности Ферми и зонной структуры
Поскольку эффективная модель описывает квадратную решетку ионов железа, мы имеем дело с квазидвумерной задачей, в квазиимпульсном пространстве характеризующейся координатами кх и ку. Листы поверхности Ферми, в свою очередь, представляют собой контуры на двумерной плоскости кх и ку.
Сначала рассмотрим влияние спин-орбитального взаимодействия на зонную структуру. На рис. 1а она представлена без учета спин-орбитального взаимодействия (X = X' = 0). При рассмотрении только внутриионной части спин-орбитального взаимодействия (X = 100 мэВ, X' = 0) видно, что вдоль направлений Г - X, X - М и М - Г возникло расщепление ранее вырожденных по спину зон, см. рис. 1Ь. При построении зонной структуры, показанной на рис. 1с,
учитывалась только межионная часть спин-орбитального взаимодействия (X = 0, X' = 100 мэВ). Это привело к наиболее выраженному расщеплению зон в направлениях X - М и М - Г. Учет и внутриионной, и межионной составляющих (X = X' = 100 мэВ) приводит к зонной структуре, которая представляет собой объединение двух предыдущих вариантов, см. рис. Ы. Видно расщепление зон вдоль всех изображенных направлений.
Теперь перейдем к рассмотрению того, как спин-орбитальное взаимодействие влияет на поверхность Ферми. На рис. 2а она представлена без учета спин-орбитального взаимодействия (X = X' = 0). Учет только внутриионной части спин-орбитального взаимодействия (X = 100мэВ, X' = 0) приводит к небольшому изменению объема центрального контура вокруг Г-точки, а также к возникновению дополнительных контуров вокруг М и симметричных точек на поверхности Ферми, см. рис. 2Ь. Учет только межионной части спин-орбитального взаимодействия (X = 0, X' = 100 мэВ) приводит к изменению топологии контуров поверхности Ферми вокруг точки М и симметричных ей точек — вместо совпадающих контуров поверхности Ферми в направлении X - М мы получаем четыре отдельных контура, см. рис. 2с. Учет обеих составляющих спин-орбитального взаимодействия (X = X' = 100 мэВ) приводит к поверхности Ферми, показанной на рис. 2d. Она представляет собой объединенный вариант двух предыдущих случаев, а потому на ней наблюдаются и изменение формы контуров вокруг Г-точки, и возникновение дополнительных контуров вокруг точки М и симметричных ей точек на поверхности Ферми.
Рис. 1. Зонная структура, вычисленная в пятиорбитальной модели в зоне Бриллюэна, соответствующей двум атомам железа на элементарную ячейку, при наличии спин-орбитального взаимодействия: (а) X = X' = 0, ц = - 0.029 эВ; (b) X = 100 мэВ, X' = 0, ц = - 0.0227 эВ; (c) X = 0, X' = 100 мэВ, ц = - 0.0069 эВ; (d) X = X' = 100 мэВ, ц = - 0.0129 эВ.
Рис. 2. Поверхность Ферми, полученная в пятиорбитальной модели в зоне Бриллюэна, соответствующей двум атомам железа на элементарную ячейку, при наличии спин-орбитального взаимодействия: (а) X = X' = 0, ц = - 0.029 эВ; (Ь) X = 100 мэВ, X '= 0, ц = - 0.0227 эВ; (с) X = 0, X' = 100 мэВ, ц = - 0.0069 эВ; X = X' = 100 мэВ, ц = - 0.0129 эВ.
4. Выводы
В данной работе мы вводим константы внутри- и межионного спин-орбитального взаимодействия X и X', что позволяет разделить влияние соответствующих взаимодействий на зонную структуру и поверхность Ферми. Показано, что спин-орбитальное взаимодействие приводит к расщеплению ранее вырожденных зон вдоль направлений Г - X, X - М и М - Г и к изменениям топологии поверхности Ферми. Данные изменения окажут существенное влияние на структуру параметра порядка при построении теории сверхпроводимости поскольку, например, результаты спин-флуктуационной теории куперовского спаривания в ферропниктидах сильно зависят от формы и, особенно, топологии поверхности Ферми [18, 20].
Благодарности
Авторы выражают благодарность Д. М. Дзебисашвили за полезные обсуждения. Работа выполнена в рамках научной тематики Госзадания ИФ СО РАН.
Литература
[1] М.В. Садовский, УФН 178, 1243 (2008). DOI: 10.3367/Ш№.0178.200812Ь.1243
[2] Ю.А. Изюмов, Э.З. Курмаев, УФН 178, 1307 (2008). DOI: 10.3367/UFNr.0178.200812d.1307
[3] P.J. Hirschfeld, Comptes Rendus Physique 17, 197 (2016). DOI: 10.1016/j.crhy.2016.06.001
[4] R.M. Fernandes, A.I. Coldea, H. Ding, I. R. Fisher, P. J. Hirschfeld, G. Kotlia, Nature 601, 35 (2022). DOI: 10.1038/s41586-021-04073-2
[5] J. Wang, Y. Wu, X. Zhou, Y. Li, B. Teng, P. Dong, J. He, Y. Zhang, Y. Ding, J. Li, Advances in Physics: X 6, 1878931 (2021). DOI: 10.1080/23746149.2021.1878931
[6] P.J. Hirschfeld, MM. Korshunov, I.I. Mazin, Rep. Prog. Phys. 74, 124508 (2011). DOI: 10.1088/0034-4885/74/12/124508
[7] O.J. Lipscombe, L. W. Harriger, P. G. Freeman, M. Enderle, C. Zhang, M. Wang, T. Egami, J. Hu, T. Xiang et al., Phys. Rev. B 82, 064515 (2010). DOI: 10.1103/PhysRevB.82.064515
[8] M M. Korshunov, Y.N. Togushova, I. Eremin, P. J. Hirschfeld, J. Supercond. Nov. Magn. 26, 2873 (2013). DOI: 10.1007/s10948-013-2212-6
[9] D A. Ivanov, Yu.N. Togushova, M M. Korshunov, J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys. 16, 795 (2023). EDN: RSIPYX
[10] D. Daghero, M. Tortello, G.A. Ummarino, R.S. Gonnelli, Rep. Prog. Phys. 74, 124509 (2011). DOI: 10.1088/0034-4885/74/12/124509
[11] Т.Е. Кузьмичёва, А.В. Муратов, С.А. Кузьмичёв, А.В. Садаков, Ю.А. Алещенко, В.А. Вла-сенко, В.П. Мартовицкий, К.С. Перваков, Ю.Ф. Ельцев, В.М. Пудалов, УФН 187, 450 (2017). DOI: 10.3367/UFNr.2016.10.038002
[12] Т.Е. Кузьмичева, С.А. Кузьмичёв, И.В. Морозов, С. Вурмель, Б. Бюхнер, Письма в ЖЭТФ 111, 388 (2020). DOI: 10.31857/S0370274X20060090
[13] Т.Е. Кузьмичева, С.А. Кузьмичев, Письма в ЖЭТФ 114, 685 (2021). DOI: 10.31857/ S1234567821220110
[14] Y.S. Kushnirenko, D. V. Evtushinsky, T. K. Kim, I. Morozov, L. Harnagea, S. Wurmehl, S. Aswartham, B. Büchner, A. V. Chubukov et al., Phys. Rev. B 102, 184502 (2020). DOI: 10.1103/ PhysRevB.102.184502
[15] S.V. Borisenko, D. V. Evtushinsky, Z.-H. Liu, I. Morozov, R. Kappenberger, S. Wurmehl, B. Büchner, A. N. Yaresko, T. K. Kim, M. Hoesch, T. Wolf, N. D. Zhigadlo, Nature Phys. 12, 311 (2016). DOI: 10.1038/nphys3594
[16] R.P. Day, G. Levy, M. Michiardi, B. Zwartsenberg, M. Zonno, F. Ji, E. Razzoli, F. Boschini, S. Chi et al., Phys. Rev. Lett. 121, 076401 (2018). DOI: 10.1103/PhysRevLett.121.076401
[17] S. Graser, TA. Maier, P.J. Hirschfeld, D.J. Scalapino, New J. Phys. 11, 025016 (2009). DOI: 10.1088/1367-2630/11/2/025016
[18] M.M. Korshunov, Perturbation Theory: Advances in Research and Applications // Itinerant Spin Fluctuations in Iron-Based Superconductors / Ed. by Z. Pirogov. - New York: Nova Science Publishers, 2018.
[19] J. Paglione, R.L. Greene, Nature Physics 6, 645 (2010). DOI: 10.1038/nphys1759
[20] М.М. Коршунов, УФН 184, 882 (2014). DOI: 10.3367/UFNr.0184.201408h.0882
Spin-orbit Coupling in Five-Orbital Model for Iron Pnictides
D. A. Ivanov1*, M. M. Korshunov12
1 Siberian Federal University, Svobodny pr., 79, 660041, Krasnoyarsk, Russian Federation
2 Kirensky Institute of Physics, Federal Research Center, Krasnoyarsk Scientific Center Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, ul. Akademgorodok, 50, str. 38, 660036, Krasnoyarsk, Russian Federation
* e-mail: danik.aliw@gmail.com
The effect of spin-orbit coupling on the band structure and Fermi surface in the five-orbital model for iron-based superconductors is studied. Since there are two iron ions in the unit cell and their orbitals indirectly coupled through as orbitals, we introduce the constants of the intra- and inter-ion spin-orbit coupling in the effective model to separate the effect of the corresponding contributions on the band structure. We show that the intra- and inter-ion parts of the spinorbit coupling lead to Fermi surface topology change - splitting of the four contours of the Fermi surface around the point M = (n, n).
Keywords: Fe-based superconductors; spin-orbit coupling; band structure; Fermi surface.
Данил Алексеевич Иванов — студент Сибирского федерального университета
Danil Ivanov — Student of Siberian Federal University
Максим Михайлович Коршунов — д. ф.-м. н., чл.-корр. РАН, гл. н. с. Института физики им. Л.В. Киренского, ФИЦ КНЦ СО РАН
Maxim M. Korshunov — Prof., Dr. of Sci., Corresponding Member of the Russian Academy of Sciences, chief scientist of Kirensky Institute of Physics, Federal Research Center KSC SB RAS