Специальные классы игр с нечеткими коалиционными структурами Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИИ РЕГИОН._ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2017. № 4-1

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2017. No. 4-1

УДК 519.8 DOI 10.23683/0321-3005-2017-4-1-13-17

СПЕЦИАЛЬНЫЕ КЛАССЫ ИГР С НЕЧЕТКИМИ КОАЛИЦИОННЫМИ СТРУКТУРАМИ

© 2017 г. А. Б. Зинченко1

1Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия

SPECIAL CLASSES OF GAMES WITH FUZZY COALITION STRUCTURES

A.B. Zinchenko1

1Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia

Зинченко Александра Борисовна - кандидат физико-мате- Alexandra B. Zinchenko - Candidate of Physics and

матических наук, доцент, кафедра исследования операций, Mathematics, Associate Professor, Department of Opera-

Институт математики, механики и компьютерных наук tion Research, Vorovich Institute of Mathematics,

им. И.И. Воровича, Южный федеральный университет, Mechanics and Computer Science, Southern Federal

ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, Россия, University, Milchakovа St., 8a, Rostov-on-Don, 344090,

e-mail: zinch46@mail.ru Russia, e-mail: zinch46@mail.ru

Предметом исследования статьи являются кооперативные игры, разрешающие агентам участвовать в нескольких коалициях одновременно, распределяя между ними капиталы, ресурсы, доступную информацию. Цель работы -описание кооперативных игр, в которых нечеткие коалиционные структуры экономически более выгодны, чем четкие. Рассмотрены два класса игр. Первый класс состоит из нечетких игр со специальными структурами. Доказано, что без потери оптимальных элементов множество нечетких структур можно заменить подмножеством структур, компоненты которых имеют разные носители. Описан простой метод нахождения оптимальных структур. Другой класс состоит из нечетких игр с коалиционной структурой и ограниченной кооперацией. Предложен способ построения вспомогательной игры без ограничений. При доказательстве теорем используются теория линейного программирования и условие Бондаревой - Шепли. Полученные результаты могут быть полезными для моделирования ситуаций коллективного инвестирования, в которых объединение капиталов увеличивает прибыль.

Ключевые слова: нечеткая коалиция, нечеткая кооперативная игра, нечеткая коалиционная структура, ограниченная кооперация, оптимальная структура.

The subject of paper's study are the cooperative games that allow the agents to participate in several coalitions simultaneously and distribute between them the capitals, resources, available information. The purpose of work is a description of cooperative games in which the fuzzy coalition structures are economically more profitable than crisp ones. Two classes of games are considered. The first class consists offuzzy games with special structure. It is proved that, without loss of optimal elements, the set offuzzy structures can be changed by the subset of structures which components have different carriers. An easy method to find such optimal structure is described. Another class consists of fuzzy games with coalition structure and restricted cooperation. The way of constructing an auxiliary game without restrictions is offered. At the proof of theorems we use the Bondareva-Shapley condition and linear programming theory. The obtained results can be useful for modeling collective investment situations where the combining of capitals increases the profit.

Keywords: fuzzy coalition, fuzzy cooperative game, fuzzy coalition structure, restricted cooperation, optimal structure.

В четк°й кооперативной игре (N, v) , где с_ е 2N \{0} f е N , удовлетворяющих условию N = {1,2,..., n}, v: 2n ^ R и v(0) = 0 , коалицией с ■ 0 C = 0, j ^ i, U-i С = N.

,N

является подмножество множества игроков 5 £ 2 , Четкая кооперативная игра с коалиционной

которое можно отождествить с вектором структур°й идеет вид (N, V,С) .

е* = (в* , где в' = 1 для г £ 5, в' = 0 для г е 5. В нечеткой кооперативной и^е где

Предполагается, что сформировалась макси- и: [0,1]П ^ К+, коалицией является вектор

мальная коалиция N. Четкая коалиционная струк- ^ = (FS1,•••, ^пX к°мп°ненты к°торог°

тура С = {С,..., Ст} состоит из четких коалиций £ [0,1] интерпретируются как степени (интен-

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 4-1

сивности) участия игроков в Б8 [1]. Множество $прр¥$ = { е N | > 0} называется носителем Б8. Нечеткая коалиционная структура [2] ЕС = (БС1,...,БСт} состоит из нечетких коалиций

БСк = (ЕС^,..., ЕС^) , к = 1, т , удовлетворяющих условию

т

2 FCk = 1, i e N.

(1)

k=1

Игры с коалиционными структурами специального вида

Предположим, что коалиционная структура ЕС удовлетворяет условию

\\, I е трр¥Ск,

FCk =•

A g (0,1]:

(2)

Пусть F - семейство таких структур; CF -подмножество структур FC e F с компонентами из {0,1}" . Существует другое определение нечеткой структуры [3], которое в данной работе не используется. Нечеткая кооперативная игра с коалиционной структурой имеет вид (N, u, FC) . Если

структура FC не сформировалась до начала игры, то, кроме поиска решения игры, возникает дополнительная проблема нахождения структуры с максимальным весом max u(FC) = max £u(FCk).

FCeF FCeF ^kGpc

Такие структуры будем называть оптимальными.

Явный вид функции u часто бывает неизвестным, но можно вычислить u(FS) для FS e {0,1}" . В этом случае вместо (N,u) используют продолжение на куб [0,1]" соответствующей четкой игры

(N, v), где v(S) = u(eS), S e Q = 2N \ {0}.

Существует несколько способов такого продолжения, но они могут давать сильно отличающиеся результаты. Например, пусть в игре трех лиц известны значения:

u(em) = v(1) = 3, u(e{2}) = v(2) = 5 , u(e{3}) = v(3) = 2, u(e{1'2!) = v(1,2) = 10, u(eiU!) = v(1,3) = 8, u(ei2'3!) = v(2,3) = 12, u(eN) = v(N) = 18.

Тогда для нечеткой коалиции

FS = (0,5, 0,3, 0,8), используя интегральную форму [4], получаем u(FS) «14,34 . А при каноническом представлении [2] - u(FS) « 7.

Цель данной работы - описание кооперативных игр, для которых нечеткие коалиционные структуры экономически более выгодны, чем четкие. Рассмотрены два класса таких игр. В первом из них функция u однозначно определяется соответствующей четкой игрой, во втором - оптимизационной задачей. Если u и FC известны, то решение игры (N, u, FC) можно найти методами, предложенными в [3, 5].

[0, i <t suppFC для всех FCk e FC . Семейство таких структур

обозначим через F1. Экономическая целесообразность условия (2) обоснована в [6]. Структуры

FC e F1 аналогичны сбалансированным множествам, использующимся при выводе условия непустоты С-ядра классической кооперативной игры.

Если сформировалась структура FC e F1, то естественно предположение

u(FCk) = \v(suppFCk), \ e (0,1], (3)

где v(S) = u(eS), S e Q . Условию (3) удовлетворяют, например, инвестиционные игры со ставками, зависящими от срока вклада, частные классы игр коллективного страхования.

Первая теорема данной работы посвящена проблеме поиска оптимальной нечеткой структуры. В

теореме доказывается, что множество F1 можно заменить подмножеством F2 с F1 , состоящим из структур FC, все компоненты которых имеют разные носители, т.е. для каждой пары нечетких коалиций FC1, FC р e FC справедливо

suppFO Ф suppFCp , j Ф p. (4)

Доказывается также, что поиск оптимальной в

F2 структуры сводится к решению задачи линейного программирования.

Теорема 1. Пусть (N,v,FC) - игра, удовлетворяющая условиям (2), (3). Тогда

max u( FC) = max u (FC). (5)

FC eF1 FCeF2

Существует биекция между структурами FC e argmax u(FC) и оптимальными решениями

FCeF2

задачи

f (Л) = ZKS^ max,

SeQ

2 ¿s= 1, i g N, X = (Äs)

SgQ, ieS

cz

'S)SgQ g

(6)

Доказательство. Возьмем ЕС е Р1 \ Р2 . Тогда для некоторых БС ], БС Р е ЕС, j Ф р, справедливо suppFCJ = suppFCP . Из ЕС е Р1 следует, что

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 4-1

FCJ =jsupiFC и FCP =Ape"vpC . Рассмотрим новую коалиционную структуру

FC = ((FC \ FC J )\ FC ") u FCr, где FCr = (FC,..., FCrn), FC\ = FCj + FCi , i e N.

В этой структуре suppFC = suppFCJ = suppFCP и FCr = (Aj + Ap )einup'FC . Следовательно, FC e F1

и | FC | <| FC | . Согласно (3), u(FC) = u(FC). Повторное использование аналогичных преобразований приводит к структуре из множества F с весом, равным u(FC). Таким образом, из FC * e argmax u(FC) следует существование та-

FCeF1

кой структуры FO** e F2 , что u(FO ) = u(FO ) . Соотношение (5) доказано.

Обозначим через Л множество допустимых решений задачи (6). Каждому кеЛ однозначно

ществования такой структуры FC е Р2, что и^С) > v(N), необходима и достаточна пустота С-ядра игры (Ы, у).

Доказательство. Игра (^ у) имеет непустое С-ядро тогда и только тогда, когда

<у(N), Л еЛ. (7)

Если C(v) = 0 , то X у(5)А > у(N) для

некоторого X е Л. Рассмотрим структуру FC = {15е* ^ >0 е Р2. Согласно (3),

и(РС) = X )А =ТуУ($)А5 >у(N).

5:Ац >0

Пусть теперь и^С) > v(N) для некоторой структуры FC е Р2. Тогда из доказательства теоремы 1 следует, что FC = {А5е5 }= , где АеЛ, и

Л >0

u(FC) = f (I).

Возьмем I еЛ. Тогда -2

соответствует структура FC = {ASeS } удовле- FC * = {A^^e } . е F2 и u(FC ) = f (к ). Из соот

1 m т

FC - {ales'vpFC ,..., amesuppFC }, - 1,

k=1

ak e (0,1]. Числа ах,..,ат определяют единствен-

2,n —1

ный вектор к = (AS ~)s<_2nX0 e R+ , где

[at, (S = suppFCk) a ( FC k e FC), в остальных случаях

As - •

0,

творяющая (4). Следовательно, FC е Р . Обратно, ношения /(X ) = Ху(5)А* > /(X) = u(FC) > v(N)

пусть FC е Р2. Согласно (1), (2), 5еП

вытекает невыполнение неравенства из (7), соответствующего X еЛ сЛ. Значит, C(v) = 0 . Теорема 2 доказана.

Следствие 1. Пусть ^, и, FC) - игра, удовлетворяющая (2), (3), и C(v) = 0, где v(S) = и(е *), 5 е О. Тогда существует такая структура FC е Р2, что и^) > и | FC |< п.

Доказательство. Согласно теореме 2, из C(v) = 0 следует существование такой структуры

FC е Р2, что и^^ > v(N) . Значит, для любой оп-

мальное множество задачи (6). Тогда каждому тимальной структуры FC* е Р2 справедливо нера-АеЛ взаимно однозначно соответствует структура *

венство u(FC ) > v(N) . Ранг матрицы ограничений

задачи (6) равен п. Поэтому любое базисное реше-

Теорема 1 доказана. ние X еЛ имеет количество ненулевых компонент

Во многих играх (Ж у, С) , моделирующих эко- , „ л -,*

г V''/' т < п. По теореме 1 А однозначно определяет оп-

номические ситуации, вес оптимальной структуры

где

Равенство ^ AS = 1 следует из ^^ = 1 .

SeQ, ieS k=1

Получили, что к e Л . Обозначим через Л опти-

FC* е argmax u(FC), где FC* - {Xje^} . е F2.

FCeF2

Л* >0

'Л* >0'

равен v(N) . Практический интерес представляют тимальную структуру FC = {А5е }

условия, при которых использование нечетких коа- | FC |= т. Следствие 1 доказано. лиций позволяет увеличить суммарную полезность,

распределяемую между участниками игры.

Теорема 2. Пусть (N, и, FC) - игра, удовле-

Следствие 2. Пусть (Ы,и,FC) - игра, удовлетворяющая (2), (3). Тогда существует такая

творяющая (2), (3), и v(S) = u(eS), S eQ Для су- структура FC e F \ C , что u(FC) > max u(FC).

FCeC

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 4-1

Доказательство. Рассмотрим игру (N, u,FC) трёх лиц, для которой известны значения: u(em) = u(e{2}) = u(e{3}) = 0, u(ei12) = u(eiU!) = u(ei2'3!) = u(eN) = 1 . Множество C состоит из пяти структур

CF = {{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}, {(1,1,0), (0,0,1)}, {(1,0,1),(0,1,0)}, {(0,1,1),(1,0,0)}, {(1,1,1)}}. Вес первой структуры равен 0, а веса всех остальных структур равны 1. Значит, max u(FC) = 1. Возьмем

FC eC F

FC = {(0,1,i),(i,0,i),(i,1,0)} eF2 \CF . 2 2 2 2 22

— 3

Согласно (3), u(FC) = — . Следствие 2 доказано.

Нечеткие игры с коалиционными структурами и ограниченной кооперацией

Пусть (N, v, 3) - четкая игра, где 3 - математический объект, содержащий информацию о запрещенных коалициях. Игре (N, v, 3) соответствует

нечеткая игра (N, u, F3), где u(eS) = v(S) для разрешенных коалиций; F3 - список запрещенных носителей коалиций FCe[0,1]" . Стандартный прием поиска решений игр (N, v, 3) заключается в переходе к вспомогательной игре (N, v3), характеристическая функция которой v3 : 2n ^ R определена для всех коалиций. Например, если задан коммуникационный граф G = (N. E) с множеством ребер E с {{i, j} | i, j e N, i Ф j}, то допустимы коалиции S , соответствующие его связным подграфам GS = (S, ES) . Значения vG (S) в игре (N,vG) без ограничений полагаются равными сумме v(S) для

компонент связности подграфа GS [7].

Предположим, что ограниченная кооперация связана с личными взаимоотношениями игроков и 3 - список запрещенных коалиций. В этом случае нельзя использовать классический способ [7] перехода к игре без ограничений, а также способы, предложенные для игр с запретами, описанными с помощью гиперграфа, матроида, антиматроида и т.д. Например, пусть N = {1,2,3,4}, S = {1,2,3}, 3 = {К e Q | {1,3} с К, {2,4} с К, {3,4} с К} . Граф

GS = (S,ES) , где ES = {{1,2}, {2,3}} , связный.

Значит, у° (Б) = у(1,2,3). Но значение у(1,2,3) не определено, так как (1,2,3} е 3.

Для нечеткой игры с коалиционной структурой и ограниченной кооперацией (N, и, ЕС, Е3) предлагается следующий метод построения вспомогательной игры иЕ,ЕС) без запретов. Вес коалиции ЕБ с запрещенным носителем suppFS е Е3 полагается равным весу оптимальной нечеткой структуры с допустимыми носителями, содержащимися в suppFS. Этот метод похож на способ вычисления значений характеристической функции четкой игры, в которой все коалиции разрешены, но некоторые из них убыточны [8].

Предположим, что характеристическая функция нечеткой игры определяется оптимизационной задачей. Соответствующие экономические ситуации описаны в [9] и других работах. На примере коллективного инвестирования покажем, что существуют игры с запретами, в которых нечеткие коалиции более выгодны, чем четкие.

Пусть N - множество инвесторов;

К = (К1 )ш е- вектор капиталов; Р = (Р,..., Рр}

- множество инвестиционных проектов; d е -

вектор минимальных допустимых вкладов в проекты;

га

х ■ - количество денег, вкладываемых коалицией

FS e [0,1]" в проект P e P; xFS = (<,...,xFS) -

p _FS>

инвестиционный план коалиции Б8; gj (х ) -

функция доходности j-го проекта. Максимальное количество денег м(Т8), которое может получить коалиция Б8, определяется ее капиталом

п

К (ЕБг • К) , т.е. м(Б8) - оптимальное зна-

1=1

чение задачи

p

2 g} (xFS) ^ max,

j=1

2 xFS < kfs ,

j=1

xFS > d

(8)

Рассмотрим игру, моделирующую ситуацию двухгодичного инвестирования (капиталы 700, 700 и 600 д.е. в иностранной валюте) с тремя проектами:

- двухлетний срочный вклад (сумма вклада не меньше 1000 д.е., ставка по вкладу 2 %);

- срочный вклад на первый период (сумма вклада не меньше 500 д.е., ставка по вкладу 0,8 % годовых);

- реинвестирование всех денег, полученных на первом этапе (ставка 0,8 % годовых).

ISSN G321-3GG5 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2G17. No. 4-1

Имеем N={1,2,3}, Р={РЬР2, Рз}, ё=(1000, 500, 500), К{1} = К{2} = 700 , К{3} = 600 , К{12} = 1400 , К{и} = К{23} = 1300 , К{из} = 2000 , g1 (хга) = 1,02 • хБ, g2 (хБ8) = 1,008 • хБ,

gз(xFS) = 0,008 • g2(xFS) • Х3Б .

В инвестиционных планах xS = (хБ, хБ, хБ) переменная х^ е (0,1} имеет отличную от ххБ, хБ е Я+ интерпретацию ( хБ = 1 при реинвестировании и хБ = 0 в противном случае). Из определения и(Т8) следует, что и(БЗ1) > и(БЗ 2) , если К™' > К™2. Поэтому тах{ ЦБ8) | suppFS=К еП) = ) для

всех Б8 е [0,1]". Предположим, что первый и второй инвесторы не желают сотрудничать друг с другом, т.е. Е3 = (К еП | К Э (1,2}} . Для К £ Е3 получаем

711,2448, (К = (1}) V (К = (2}), ^еК) = ] 609,6384, К = (3},

1326, (К = (1,3}) V (К = (2,3}).

В игре (^ uF3, ЕС) без запретов:

uF3 (e1) = u(eK ) для К e F3,

F N t (e )

F ^íUK

.ra/J2hi _.

u J(eN ) = max{ uF3(et1J) + uF3(eí2}) + uF3(et3J),

F3 лЛ3Ь

uF 3(eu'3í) + uF3(eí2})} = 2O37,244S , uF3(eí12) = (eí1}) + uF3(eí2}) = 1422,489б .

Следовательно, max u (FC) = u (e ).

FCeCF

Нечеткая структура FC = {FC , FC } = = {{1,0, 0,5},{0,1, 0,5}}eF\CF не содержит компонент с запрещенными носителями, KFC = KFC =1000 и, согласно (8), u(FC ) = u(FC ) =1200. Значит, (FC) = u(FC) = u(FC1) + u(FC2) =2400. Получи-

ли, что max u 3(FC) < u 3(FC).

FCeCF

Литература

1. Aubin J.P. Cooperative fuzzy games // Mathematics of Operations Research. 1981. № 6. P. 1-13.

2. Mares M., Vlach M. Fuzzy ^al^iond structures (alternatives) // Mathware & Soft Computing. 2006. Vol. 13. P. 59-70.

3. Meng F.Y., Zhang Q., Cheng H. The Owen value for fuzzy games with a coalition structure // International J. of Fuzzy Systems. 2012. Vol. 14, № 1. P. 22-34.

4. Meng F.Y., Zhang Q. The Shapley value on a kind of cooperative fuzzy games // J. of Computational Information Systems. 2011. Vol. У, № 6. P. 184б-1854.

5. Meng F.Y., Zhang Q. The Symmetric Banzhaf Value for Fuzzy Games with a Coalition Structure // International Journal of Automation and Computing. 2012. Vol. 9, № 6. P. 600-б08.

6. Billot A. Economic theory of fuzzy equilibria: an axiomatic analysis. Springer, 2013. 1бб p.

У. Myerson R. Graphs and cooperation in games // Mathematics of Operations Research. 1977. № 2. P. 225229.

8. Мулен Э. Кооперативное принятие решений: аксиомы и модели. М. : Мир, 1991. 464 с.

9. Fukuda E., Ishihara S. Muto S. Tijs S.H., Branzei R. Cooperative fuzzy games arising from economic situations // Fuzzy economic review: the review of the International Association for Fuzzy-Set Management and Economy. 2005. Vol. 10, № 1. P. 3-15.

References

1. Aubin J.P. Cooperative fuzzy games. Mathematics of Operations Research. 1981, No. б, pp. 1-13.

2. Mares M., Vlach M. Fuzzy ^al^ional structures (alternatives). Mathware & Soft Computing. 200б, vol. 13, pp. 59-У0.

3. Meng F.Y., Zhang Q., Cheng H. The Owen value for fuzzy games with a coalition structure. International J. of Fuzzy Systems. 2012, vol. 14, No. 1, pp. 22-34.

4. Meng F.Y., Zhang Q. The Shapley value on a kind of cooperative fuzzy games. J. of Computational Information Systems. 2011, vol. У, No. б, pp. 184б-1854.

5. Meng F.Y., Zhang Q. The Symmetric Banzhaf Value for Fuzzy Games with a Coalition Structure. International Journal of Automation and Computing. 2012, vol. 9, No. б, pp. б00-б08.

6. Billot A. Economic theory of fuzzy equilibria: an axiomatic analysis. Springer, 2013, 1бб p.

У. Myerson R. Graphs and cooperation in games. Mathematics of Operations Research. 19УУ, No. 2, pp. 225-229.

8. Mulen E. Kooperativnoe prinyatie reshenii: aksiomy i modeli [Co-operative decision-making: axioms and models]. Moscow: Mir, 1991, 4б4 p.

9. Fukuda E., Ishihara S. Muto S. Tijs S.H., Branzei R. Cooperative fuzzy games arising from economic situations. Fuzzy economic review: the review of the International Association for Fuzzy-Set Management and Economy. 2005, vol. 10, No. 1, pp. 3-15.

Поступила в редакцию /Received

7 июля 2017 г. / July, 7, 2017