CC BY
15УДК 517.9, 681.51
Vladimir A. Koval'1, Alexander Samarskij2, Michael F. Stepanov3, Olga Yu. Torgashova4
SPECTRAL METHOD OF ANALYSIS AND SYNTHESIS FOR SPATIALLY TWO-DIMENSIONAL DISTRIBUTED CONTROL SYSTEMS
Yuri Gagarin State Technical University of Saratov, Politekh-nicheskaya str., 77, Saratov, 410054, Russia e-mail: [email protected]
The main theoretical positions of the spectral method for spatially two-dimensional distributed plant defined in a cylindrical coordinate system are presented. A transition from the mathematical model of a distributed system in the form of a partial differential equation to a mathematical model in the Cauchy form is made on the basis of the spectral method. The infinite state vector of this new representation is the spectral characteristic vector. A regulator for the spatially two-dimensional distributed system of regulation of the temperature field of a heating oil flow unit prior its transportation is synthesized.
Keywords: distributed system, heat equation, cylindrical coordinate system, spectral characteristic, synthesis, analysis.
В.А. Коваль1, А.А. Самарский2, М.Ф. Степанов3, О.Ю. Торгашова4
СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА И СИНТЕЗА ПРОСТРАНСТВЕННО ДВУМЕРНЫХ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А., ул. Политехническая, 77, Саратов, 410054, Россия e-mail: [email protected]
Представлены основные теоретические положения спектрального метода для случая пространственно двумерного распределенного объекта управления, заданного в цилиндрической системе координат. На основе спектрального метода выполнен переход от математической модели распределенного объекта управления в форме дифференциального уравнения с частными производными к математической модели в форме Коши, бесконечным вектором состояния которой является вектор спектральной характеристики. Синтезирован регулятор для пространственно двумерной системы управления температурным полем установки проточного нагрева нефтепродукта перед его транспортировкой.
Ключевые слова: распределенная система, уравнение теплопроводности, цилиндрическая система координат, спектральная характеристика, синтез, анализ
Введение
В различных областях техники широко используются объекты управления, в которых физические параметры конструкций или среды, где происходит управляемый процесс, зависят от пространственных переменных: многослойные оболочки в авиации, приборостроении, строительных конструкциях; устройства, выполненные из композиционных материалов; атомные и химические реакторы и т.д.
При решении задач управления указанными объектами возникают существенные трудности, так как функция, описывающая состояние объекта, как правило, зависит от двух или трех пространственных переменных. Кроме того, физические параметры конструкционных материалов и активных сред в объектах управления также могут зависеть от пространственных переменных.
В большинстве известных работ для преодоления указанных трудностей обычно проводятся следующие упрощения математической модели: исходная математическая модель заменяется сосредоточенной моделью или распределенной математической моделью пониженной пространственной размерности; применяются методы дискретизации по пространству.
Указанные упрощения могут приводить к весьма существенным погрешностям результатов анализа и даже к изменению физического смысла решаемой задачи.
Задачи анализа и синтеза пространственно многомерных распределенных систем в данной работе решаются спектральным методом [1-3].
В основе спектрального метода лежит понятие вектора спектральной характеристики по пространственным переменным для функций, описывающих поведение объекта управления, что дает возможность перейти от интегральных, интегро-дифференциальных и дифференциальных уравнений с частными производными к бесконечной системе дифференциальных уравнений в форме Коши. При этом в правую часть полученной системы аддитивно входят граничные условия, внешние воздействия и возмущения в спектральной форме.
В работе ставятся следующие задачи. Разработать основные теоретические положения для перехода от пространственно двумерной математической модели, записанной в дифференциальной форме в цилиндрической системе координат, к бесконечной системе дифференциальных уравнений в форме Коши с учетом зависимости регулируемой переменной и параметров объекта от пространственных переменных. Синтезиро-
1 Коваль Владимир Александрович, д-р техн. наук, профессор, каф. радиоэлектроники и технокоммуникаций, e-mail: [email protected] Vladimir A. Koval', Dr Sci. (Eng.), professor of the Department "Radioelectronics and telecommunications"
2 Самарский Александр Александрович, аспирант, каф. радиоэлектроники и технокоммуникаций, e-mail: [email protected] Alexandrer A. Samarskij, post-graduate student of the Department "Radioelectronics and telecommunications"
3 Степанов Михаил Федорович, д-р техн. наук, профессор, каф. радиоэлектроники и технокоммуникаций, e mail: [email protected] Michael F. Stepanov, Dr Sci. (Eng.), professor of the Department «Radioelectronics and telecommunications
4 Торгашева Ольга Юрьевна, д-р техн. наук, профессор, каф. радиоэлектроники и технокоммуникаций, e mail: [email protected] Olga Yu. Torgashova, Dr Sci. (Eng.), professor of the Department "Radioelectronics and telecommunications"
Дата поступления - 4 октября 2017 года
вать закон управления процессом нагрева нефтепродукта перед его транспортировкой.
Спектральная характеристика функции, зависящей от двух пространственных переменных, заданной
^ (а*!г) = *ДЛ (а*! г)¥у (а*1 Я 2) - 7 (а*1 г)Л (а*1 Я 2)], И, = 1,да; (3)
Jy{ahr), гу(аЙ1г) - функции Бесселя первого и второго рода 1 соответственно порядка у = 0,1,2,...; а * -
положительные корни уравнений, представленных в в цилиндрической системе координат табл. 1; МуК - нормирующий множитель, определяемый Будем полагать, что регулируемая переменная выражением
(4)
объекта управления в цилиндрической системе координат _ представляется функцией ф(г, 2,0, где г_е[Я1,Я2], г£[а,Ь] - пространственные переменные, я 1 = я 1 - е, я2 = я2 + е, а = а-е, ь = ь + е, £ - бесконечно малая величина, стремящаяся к нулю, г е [0, да) - время. Функция фО, 2,0 является вещественной, однозначной, непрерывной, всюду дифференцируемой по пространственным переменным и времени и является ограничен- По переменной г будем использовать разложе-ной функцией с интегрируемым квадратом на указанных ние в ряд Фурье по системе ортонормированных тригоно-интервалах по пространственным переменным. Согласно метрических функций {Р{к2, г)} [4], такую функцию можно разложить в двумерный ряд Фурье по пространственным переменным. По переменной г будем использовать разложение в ряд Фурье-Бесселя по системе функций {5у(ай г)}, ортонормированных с весовым коэффициентом г на интервале г е [Д15 Я2], то есть
, - 0, к2Фк2,
/?,, /г7 = 1,оо.
(9)
лг2 [О, И, ф к.
й„
=1,оо,
(1)
Ряд Фурье по двум пространственным перемен ным г и г с учетом (1), (9) представляется в виде
Ф(г, 2, г) = £ ¿Ф(И 1, И2, г)Бх(аИ1 г)Р(И2,2)
(10)
где Бх (а) является линейной комбинацией функций Бесселя первого и второго рода [5]
Бу (а* 1 г) = Му(а* 1 г)¥у (а* 1Я,) - 7 (а* 1 г)Л (а* 1Я,)], Их = 1, да (2) или
_ Ф(к,,Ь2,0= \ и(г,2,0гВу(а11г)Р(к2,г)с1гс1г, (11)
Таблица 1. Уравнения для определения корней а * функций (2), (3)
Функция Бесселя
(2)
(2)
(3)
(3)
Уравнение для определения корней
Л (а * Я 2 )7 (а * Я,) - 7 (а *Я, )Л (а *Я,) = 0, И, = 1,
Л(а*!г)/дг| 7(а*1Ях)-д^(а^ г)/дг| Л(а*1Ях) = 0, Их = 1,
Л (а*! Ях )7 (а ^Я 2) - (а ^Я, )Л (а ^Я 2) = 0, И, = 1,
д/
(а* 1 г)/дг| Гу(а* 1Я2)-д^(а* 1 г)/дг| Л(а^ Я2) = 0, Их = 1,
Номер уравнения
(5)
(6)
(7)
(8)
И. =1 И „ =1
гг
сг
Функцию Ф (И 1, И 2, г), определяющую коэффициенты двумерного ряда Фурье, назовем спектральной характеристикой функции ф(г, 2, г) по пространственным переменным г и г. Эта функция зависит от двух дискретных значений И1, И2 = 1,да, времени t и может быть представлена в векторной форме:
Ф(0 - со1оп{Ф(1,1,0, Ф(1, 2,0,..., Ф(2,1,0, Ф(2,2,0,.•.}. (12)
На основании (11) можно сформулировать свойство линейности спектральных характеристик:
У с1 ф, (г, г, о
,
(13)
где ег, / = 1, V - постоянные величины; ^ - спектральная характеристика по переменным г, г, полученная в соответствии с (11).
Ниже будут сформулированы теоремы о спектральных характеристиках пространственно двумерных функций, заданных в цилиндрической системе координат.
Теоремы о спектральных характеристиках
Теорема 1 о представлении произведения двух функций, заданных в цилиндрической системе координат, с помощью спектральных характеристик. Спектральная характеристика произведения двух функций
ф (г, 2, г) = ф 1 (г, 2, г) ф2 (г, 2, г), (14)
может быть представлена в векторно-матричной форме
фф (г) = РФ. (г) фФ (г)
(15)
где ФФ(г), Фф(г) е яп1П2 (п 1,п2 е 1, да) - бесконечномерные векторы спектральных характеристик функций ф (г, 2, г) и Ф 2(г, 2, г), составленные в соответствии с выражением (12); Рф (г) - операционная матрица сомножителя ф ,(г, 2, г), элементы которой имеют вид
Рф1(А1,Л2,А1,Л2,0 =
"рф1(1,1,1,1,0 Рф1 (1,1,1,2,0 ••• Рф1 (1,1,2, 1,0 Рф1 (1,1,2,2,0 ..."
Рф1(1,2,1,1,0 Рф[(1,2,1,2,0 Рф,(1,2, 2, 1,0 Рф] (1,2,2,2, 0 ...
Рф1(2,1,1,1,0 Рф1(2,1,1,2,0 ... Рф,(2,1,2, 1,0 Рф(2,1,2,2,0 •••
Рф1 (2,2,1,1,0 Рф[(2,2,1,2,0 ••• РФ,(2,2,2, 1,0 Рф1( 2,2,2,2,0 ...
/г1,/г1 = 1, к2,к2 =1, й^йз =1, оо.
Осуществляя перебор индексов И1, й2 по строкам, а индексов И1, А 2 - по столбцам, определим операционную матрицу Рф1 (г) размерности (п 1 п 2) * (п 1 п 2), элементами которой являются функции Рф1 (И 1, И 2, И1, И2,0 ,
РФ,(0 =
Рф(1,1,1,1,0 Рф1 (1,1,1,2,0 Рф (1,2,1,1,0 Рф1(1,2,1,2,0
Рф1 (2,1,1,1,0 Р„ (2,2,1,1,/)
Рф, (2,1,1,2,0 Р (2,2,1,2,0
(1,1,2,1,0 Рф1 (1,1,2,2,0
Р (1,2,2,1,0 Рф1 (1,2,2,2,0
Рф, (2,1,2,1,0
Р (2,2,2,1,0
Рф1(2,1,2,2,0 Р (2,2,2,2, 0
(17)
Анализ представления спектральной характеристики в виде матрицы (17) показывает, что номер строки / и номер столбца } операционной матрицы вычисляются по выражениям_{= п2 (И1 -1) + И 2; у = п2 (И1 -1) + И2;
И, И1
1, п, ; И2, И2 = 1, п2 ; п1, п2 = 1, да
Теорема 2 о спектральном представлении производной по переменной г функции, заданной в цилиндрической системе координат. Вектор спектральной характеристики производной дф(г, 2, t)/дг определяется выражением
,
где Ф10(ОеЯ'?1"2 (ир п2=\, оо) - вектор спектральной
характеристики _производной Зср(г, г, г)/дг\
Ф0(t) е Яп 1п2 (п 1, п 2 = 1, да) - вектор спектральной характеристики функции Ф0(г>->0> совпадающей с функцией фна интервале ге[Я1,Я2]. геГа.Ы: -операционная матрица определяемая соотношением
дифференцирования, (19)
в котором ® - тензорное произведение, I - единичная матрица соответствующей размерности, Р[ - операционная матрица дифференцирования размерности п1 х п1 (п1 = 1, да) пространственно одномерной функции, вычисляемая в соответствии с выражением
(20)
- векторы спектральных
характеристик функций -фЯ, (г, t) Я18(Я1 - г)/г и
фЯ2 (2, t)Я2 5(г - Я2)/г, имеющие вид1
(21)
где (,п2 = 1» " векторы спектральных
характеристик одномерно распределенных функций Фд {г, 0, фЯ,(М)> определяющих внешние воздействия
,
(22)
- векторы, элементами которых являются ортонормированные функции разложения
(£у(а^г)} в точках г = Я1, г = Я2:
= со1оп{5у(а17?2), Ву(а2Я2),...}
(23)
Теорема 3 о спектральном представлении второй производной по переменной г функции, описываемой в цилиндрической системе координат. Вектор спектральной характеристики производной второго порядка по пространственной переменной г определяется выражением
(24)
где Ф20(/) еЫ"1"2 (пх, п2 =1,оо) - вектор спектральной характеристики второй производной д2ф (г, 2,0/Зг2; Ф) е Яп 1п2 (п1, п2 = 1, да) - вектор спектральной характеристики функции ф0(х, у, , совпадающей с функцией ф(г,г,о на интервале ге^,^], ге[а,Ь]\ р20 - операционная матрица дифференцирования, определяемая как тензорное произведение
,
(25)
в котором Р2г представляет собой операционную матрицу дифференцирования пространственно одномерной функции с элементами
(18) РЦкх,кх)=\гВ^а-кг)
дЧК.г)
дг2
с1г, /г., к, = 1, да
(26)
(«!, «2 =1,да) - векторы спектральных характеристик функций граничных условий
-фЯ1 (г,t)Я15(Я1 -г)/г, фЯ2(г,t)Я25(г-Я2)/г соответственно, вычисляемые по выражениям
(27)
где Ф^СО» (и2=1,°°) ■ векторы спектральных
характеристик одномерно распределенных функций Фя О,0, ф1 (г,/), представляющих внешние воздействия
,
(28)
- векторы, вычисляемые в соответствии с выражениями (23);
г™1 (О, г^2(£) <е яП1"2 7^,712 = 1^ - векторы спектральных характеристик функций граничных условий
фЯ2 (2, t) Я2 ^дг (8(г - Я2 Vг) , фЯ2 (2, t) Я2 ^дг (5(г - Я 2 )/г)
соответственно, вычисляемые по выражениям
,
г^(0=д2(яу(д2)®/я ,)Ф° (О-
(29)
где ФЯД0> фЯ2(0еК"2 («2=1'°°) " векторы спектральных характеристик пространственно одномерных распределенных функций ф°п (г. Л. ф» (г. Л. определяемые
выражением (28); Ну(Я2)еК"1 (и1 = 1,оо) - векторы
,
//у(Л2) = со1оп{Яу(а1Л2), Нч(а2Я2),...}1 элементами которых являются функции
Н V К- Я1) = -дБv (а * г )/ дг|^ ^ + Бv (а*- Я1 )/Ях
Таблица 2. Параметры нагревательной установки
Н V (а *Я 2) =
-дБ (а * г Vдг - Бv (а * Я 2 )/Я 2
1 ' 1г =Я 2 1 /
, И1 = 1, да. (31)
Теоремы спектрального метода позволяют перейти от описания объекта управления интегральными, дифференциальными, интегро-дифференциальными уравнениями с частными производными к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которая в дальнейшем может быть использована для решения задач анализа и синтеза.
Математическое описание технологической установки нагрева нефтепродуктов
В условиях низких температур большинство нефтепродуктов становятся высоковязкими жидкостями, что сильно затрудняет их транспортировку. Наиболее эффективным методом современной технологии подготовки транспорта нефтепродуктов является электроподогрев, который осуществляется нагревателем, расположенным внутри трубопровода. Управляющее воздействие в этом случае представляет собой функцию, дискретную по пространству. Кроме того, управляющее воздействие дискретно по времени, что связано с применением ЦВМ для реализации законов управления.
Технологическая установка, предназначенная для внутреннего подогрева нефтепродукта представлена на рисунке 1.
Рисунок 1. Схема нагревательной камеры установки нагрева нефтепродуктов
Нагревательная камера (трубопровод) 1 представляет собой пространство между двумя коаксиально расположенными цилиндрами, внутри которого с постоянной скоростью V вдоль оси цилиндров течет нагреваемый нефтепродукт 5. Границы нагревательной камеры находятся в пределах г е (я0, Я1), 2 е (0, Ь). Нагревательные элементы 3 расположены' на радиусе г < Я0 внутри корпуса нагревателя 6. Между нагревательными элементами и корпусом нагревателя имеется воздушный зазор 4. Корпус нагревателя теплоизолирован 2. На входе в трубопровод и в точке (г*, г*), г" =0.91 установлены датчики температуры 7 и 8. Параметры установки представлены в таблице 2.
Математическая модель объекта управления содержит уравнения теплообмена в нефтепродукте и корпусе установки, соответствующие граничные и начальные условия [6].
Будем считать, что отрицательный температурный градиент на выходе нагревателя ничтожно мал, что связано с непрерывным движением нагретого нефтепродукта. Учитывая это, будем считать, что производная по пространственной координате от температуры нагретого нефтепродукта на выходе нагревателя равна нулю.
При составлении математической модели будем пренебрегать теплотой трения, выделяющейся при протекании нефтепродукта по трубопроводу. Также не будем учитывать теплообмен, протекающий в изоляции.
Обозначение Наименование Единица измерения
Т Температура нефтепродукта град
Т1 Температура стенки трубопровода град
То Температура нефтепродукта на входе в нагреватель град
с Теплоемкость нефтепродукта Дж/(кгград)
С1 Теплоемкость материала стенки трубопровода Дж/(кгград)
У Плотность нефтепродукта кг/м3
У1 Плотность материала стенки трубопровода кг/м3
Л Коэффициент теплопроводности нефтепродукта Вт/(мград)
Л1 Коэффициент теплопроводности материала стенки трубопровода Вт/(м- град)
V Скорость течения нефтепродукта через нагреватель м/с
к1 Коэффициент теплоотдачи от стенки трубопровода к нефтепродукту Вт/(м2 град)
D Внутренний диаметр трубопровода м
Dl Внешний диаметр трубопровода м
61 Толщина стенки трубопровода м
t Время с
г, г Переменные по радиусу и длине соответственно м
Rо, Rl Внутренний и наружный радиусы трубопровода м
L Длина нагревателя м
Wl(z, t) Мощность путевого подогрева на 1 метр нагревателя Вт/м
Рассматривается задача, симметричная относительно продольной оси нагревательной установки, поэтому вторыми производными по угловой пространственной координате в уравнении теплообмена для нефтепродукта можно пренебречь. Кроме того, будем считать, что температура корпуса трубопровода зависит только от продольной пространственной координаты и не зависит от радиальной, поскольку толщина корпуса мала по сравнению с толщиной трубы, а теплопроводность стали, из которой изготовлен корпус установки, высока.
Требуется осуществить нагрев нефтепродукта по заданному закону по результатам измерений в двух точках трубопровода.
Относительные функции распределения температуры нефтепродукта 9 (р, т) и температуры корпуса нагревателя 91(^, т) по пространственным координатам можно представить следующим образом
9(р, т) = 9(р, т)|^ +9Д (р, т) 9 Д, т) = 9 Д, т)| +91Д& т)
(32)
где 9 = Т/Т0, 91 = Т\/Т0 - безразмерные переменные; 9Д (р, т), 91Д (£, т) - функции, описывающие отклонение от величины постоянной составляющей для температуры нефтепродукта и температуры корпуса нагревателя соответственно; 9(р, т)1 =9, Ц, т)| = 1 - постоянная составляющая температуры нефтепродукта, поступающего на вход установки.
С учетом сделанных выше допущений и (32) уравнения теплопроводности для нефтепродукта и корпуса нагревательной установки в безразмерной форме могут быть записаны в отклонениях от постоянной составляющей
д9д (р, Е, т) _ |д29д (р, Е, т) 1 д9д (р, Е, т), _ д29д (р, Е, т) 1 д9д (р, Е, т)
дт
■ = Ф,
др2 р др
ре (р0, 1), Е е (0,1), те (0,да),
+ ФЕ-
д^2
Ф
1Г~, (33)
д91д (Е, т) д291д (Е, т) г 1
" = Ф15-+ а 1 [9д(р0, Е, т)-91д(Е, т) ]+
дт Ф1^ д^2
-а2 91д(Е,т) + ажуш(Е,т), Е е (0,1), те (0, да),
(34)
где у№ = ^/Ж, т = г/г,, р = г/Я,, р 0 = ^, Е = 2/ь , д = дь/ь
- безразмерные переменные; W0 - средняя мощность подогрева, которая приходится на метр нагревателя, Вт/м; г0 - время течения нефтепродукта через нагреватель, с;
Фр=^ ^/(с у Я2) , Фе = (Я7Ь)2, Ф „ = уг0/Ь, Ф1 1 г 0/{е 1 у 1Ь2), а! = к! Иг 0/{€1 у! 5! И), а 2 = к 2 г „Д^ р х 5), а ш = Ж0 г „/(л у х 5 х Бх Т0)
- безразмерные коэффициенты.
Начальные условия:
ре[р0,1], ^[0,1].
Граничные условия:
(35)
= 0.
ы
= ^[е1д(^х)-ед(р,^т)|р=р0],
(36)
Функция уж (Е, т) является управляющим воздействием - совокупностью прямоугольных импульсов безразмерной мощности уЖц = ж1 Ж0, вырабатываемых на секциях нагревателя, и может быть выражена соотношением
у Ж (Е, т) = £ у Ж, (т) [1(Е - ц д) -1(Е - (ц+1) д)], д = дь/ь . (37)
Уравнения (33), (34) с соответствующими начальными и граничными условиями (35), (36), а также выражением (37) для управляющего воздействия, представляют собой математическую модель в отклонениях установки нагрева нефтепродукта.
Рассмотрим задачу синтеза регулятора для изменения температуры нефтепродукта в соответствии с законом
по результатам измерений в точке р* = 0.4, Е* = 0.9.
(38)
Решение задачи синтеза на основе спектрального представления математической модели технологической установки нагрева
нефтепродуктов
Спектральное представление математической модели объекта управления (33)-(34) с применением теорем, приведенных выше, и теорем из [3]:
(39)
где Ф9д (т) е Яп 1 п2, Ф9 д (т)е Яп2 (п1, п2 = 1, да) - векторы спектральных характеристик функций 9д(р, Е, т), 91д(Е, т), описывающих отклонение от величины постоянной составляющей для температуры нефтепродукта и температуры корпуса нагревателя; ФЖ(т) е Яп2 (п2 = 1, да) -вектор амплитуд управляющих прямоугольных импульсов мощности; рр, р§ (1 = 1,2) - операционные матрицы дифференцирования /-го порядка по пространственным переменным р и ( соответственно, элементы которых определяются как
_ 1 д1бv (а *р) Е _ 1 _ д Р(И 2, Е)
Рр (*1, *1) = {р Бу (а И-р) др1 1 dр, рЕ (*2, и 2) = | р (и 2, Е) дЕ ^,
и1, И1, И2, и2 = (1 = 1, 2);
(40)
р
операционная матрица сомножителя 1/ р с элементами, определяемыми выражением
1
Рур (И, И1) = | Bv (а* р) Бv (а - р) йр, Их, И х = 1, да; (41)
р 0
РЖту = Р- - матрица, для вычисления которой используется выражение
и 2/п 2
Рж (-2, -2 ) = \ Р(И2, Е)йЕ , -2, -2 = Щ (п 2 = 1^); (42)
(И 2 -1)/п 2
Б,(р,) е Яп 1, Р(0) е Яп2, дР(Е)^ е Яп2 (п, п2 = 1^) векторы, составленные из функций разложения, вычисленные в точках р = р0, Е = 0 в соответствии с выражениями
Б0(р0 ) = со1оп{Б0(а 1р) Б0(а 1р) К }| ,
Ф=р0
Р (0) = С010П{Р(1, Е) Р(2, Е) К } |Е=0, дР (Е)/дЕ|Е=0 = со1оп{дР (1, Е)1 дЕ, дР (2, Е)/дЕ, К } |
(43)
Объект управления (39) может быть представлен в векторно-матричной форме пространства состояний
йх (тVй т = Ах (т) + Б и (т) + О /(т), х (0) = 0,
(44)
где х (т) = со1оп{Ф9д (т) Ф9 (т)} е Яп 1 п 2+п 2 (п1, п 2 = 1, да) -вектор состояний; ди(т) = Ф^(т) е Яп2 (п2 = 1, да) - вектор управлений; /(т) = Ф9 (г) е Я 1 (п1 = 1, да) - вектор внешних возмущений; А, Б, О - бесконечномерные числовые матрицы с блоками, соответствующими разбиению вектора состояний на составляющие Ф0 (т), Ф0 (т):
(45)
Гт =
-фрф, к, ®эр(Е)/эе1=п]-фЛ/„1 0)1
ц
Дополним (44) уравнением выходов
y (т) = DX(t),
(47)
где у(т) е Яг - вектор измеряемых переменных; гу -количество точек, в которых производится измерение температуры; D - матрица, составленная в соответствии с [7] из элементов ортонормированной системы разложения, вычисленных для фиксированных значений пространственных координат из открытого интервала \ е (0,1), ре(р0,I).
Представление распределенного объекта в форме (44)-(47) открывает возможность синтеза регулятора на основе методов пространства состояний для решения задачи нагрева нефтепродукта до заданной температуры и последующего поддержания заданного температурного режима.
Синтезируем регулятор для нагревания нефтепродукта с помощью трехсекционной установки от Т = 10 град до Т = 30 град и для последующего поддержания температуры на уровне Т = 30 град. Используем следующие параметры нагревательного устройства и нефти: L = 4 м, D = 0,4 м, Dl = 0,41 м, 61 = 0,005 м, Ro = 0,05 м, R1 = 0,2 м, у = 900 кг/м3, у! = 7800 кг/м3, Т0 = 20 град, Л = 0,122 Вт/(мтрад), Л1 = 47 Вт/(м-град), V = 0,02 м/с, М = 1000 Вт/м, с = 2100 Дж/(кгтрад), С1 = 500 Дж/(кг град), к1 = 400 Вт/(м2трад), к2 = 10 Вт/(м2трад), t = 100 с.
Процедура синтеза регулятора выполнена на основе LQ-оптимизации и теории наблюдающих устройств. Результаты анализа замкнутой системы приведены на рисунке 2.
¿10
35
30
25
20
15
10
ipt
шЯ
Рисунок 2. а) изменение регулируемой переменной в точке р* = 0,4, = 0,9; б) значения управляющей удельной мощности на секциях 1-3
Анализ замкнутой системы показал, что ошибка регулирования не превышает 1 % от заданной температуры.
Заключение
Для пространственно двумерной математической модели, записанной в виде уравнений с частными производными в цилиндрической системе координат, разработана совокупность теорем и алгебраических преобразований, позволяющих перейти к спектральной форме записи в виде бесконечной системы обыкновенных дифференциальных уравнений в форме Коши. Полученные результаты могут быть обобщены на пространственно трехмерную математическую модель.
Разработанная математическая модель дает возможность использовать теорию аналитического синтеза регуляторов обыкновенных систем для построения регуляторов распределенных систем в спектральной области представления.
На основе полученных теоретических положений синтезирован регулятор для дискретной по пространству и времени распределенной системы управления нагревом нефтепродуктов перед их транспортировкой.
Литература
1. Коваль В.А., Осенин В.Н., Суятинов С.И., Торга-шова О.Ю. Синтез дискретного регулятора для построения распределенной системы управления температурным режимом проточного нагревателя нефтепродукта // Известия РАН. ТиСУ. 2011. № 4. С. 132-147.
2. Коваль В.А., Торгашова О.Ю. Синтез дискретных регуляторов пониженной размерности для распределенной следящей системы // Автоматика и телемеханика. 2011. № 10. С. 72-85.
3. Коваль В.А., Торгашова О.Ю. Решение задач анализа и синтеза для пространственно-двумерного распределенного объекта, представленного бесконечной системой дифференциальных уравнений // Автоматика и телемеханика. 2014. № 2. С. 54-71.
4. Толстов Г.П. Ряды Фурье М.: Гос. изд-во физико-математической литературы, 1960. 392 с.
5. Бейтмен Г. Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. М.: Наука, 1966. 296 с.
6. Тугунов П.И. Нестационарные режимы перекачки нефтей и нефтепродуктов. М.: Недра, 1984. 224 с.
7. Коваль В.А. Спектральный метод анализа и синтеза распределенных управляемых систем. Саратов: СГТУ, 1997. 192 с.
References
1. Koval' V.A., Osenin V.N., Suyatinov S.I., Torgashe-va O.Y. Synthesis of discrete Controller for Temperature Conditions of steam oil Heater // J. of Computer and Systems Sciences International. 2011. Т. 50. № 4. С. 638-653.
2. Koval' V.A., Torgasheva O.Y. Synthesis of discrete Controller for a Distributed Servosystem // Automation and Remote Control. 2011. Т. 72. № 10. С. 2071-2083.
3. Koval' V.A., Torgasheva O.Y. Solving Analysis and Synthesis Problems for spatially two-dimensional distributed Object represented with an infinite System of differential Equations // Automation and Remote Control. 2014. Т. 75. № 2. С. 219-233.
4. Tolstov G.P. Rjady Fur'e M.: Gos. izd-vo fiziko-matematicheskoj literatury, 1960. 392 s.
5. H. Bateman, A. Erdelyi Higher transcendental functions. New York, Toronto, London: Mc Graw-Hill Book Company, 1953.
6. Tugunov P.I. Nestacionarnye rezhimy perekachki neftej i nefteproduktov. M.: Nedra, 1984. 224 s.
7. Koval' V.A. Spektral'nyj metod analiza i sinteza raspredelennyh upravljaemyh sistem. Saratov: SGTU, 1997. 192 s.
а
