CC BY
21
Веремей Е.И.
Санкт-Петербургский государственный университет, г. Санкт-Петербург, д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой компьютерных технологий и систем,
е . veremey@spbu.ru
Спектральное представление оптимальных регуляторов в задачах среднеквадратичного синтеза
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА
Среднеквадратичный синтез, функционал, И-теория, объект управления, оптимизация, спектральный метод.
АННОТАЦИЯ
Рассмотрена специальная спектральная форма представления передаточных функций оптимальных решений для задач минимизации среднеквадратичных функционалов. Показана связь этого представления с современной трактовкой задач в рамках Н -теории. Предлагаемая спектральная форма удобна для исследования динамических и структурных свойств оптимальных регуляторов и замкнутых ими систем. При этом основное достоинство подхода определяется существенным снижением вычислительных затрат на поиск оптимальных решений для SISO-систем, что особо значимо для ситуаций, когда такой поиск производится в режиме реального времени.
1. Введение
Одним из широко используемых подходов для решения практических задач по моделированию, исследованию и проектированию систем управления динамическими объектами служит теория среднеквадратичного оптимального синтеза. Она объединяет математические методы и алгоритмы поиска регуляторов, обеспечивающих максимальное подавление влияния внешних возмущений на желаемые движения замкнутых систем. История вопроса восходит к работам Н. Винера и А.Н. Колмогорова по линейной фильтрации с последующим развитием для систем с обратной связью.
В частности, широкую известность приобрели такие монографии, как [1, 2], где задача рассматривалась в частотной области на базе уравнений Винера-Хопфа. В более поздних работах (например, [3]) отражены исследования по оптимизации во временной области с использованием уравнений Риккати. В ряде публикаций дан анализ достоинств и недостатков частотного и временного подходов, указана их связь и выявлены сферы эффективного применения.
Особая роль принадлежит циклу исследований, представленному в
[3]. Его авторы предложили эффективный единый подход к решению задач синтеза, реализованный в виде ряда методов для конкретных частных ситуаций. В работе [4] были детально рассмотрены алгоритмы подхода, выявлены особенности оптимальных регуляторов, указаны пути устранения их недостатков. В развитие этого направления в статьях [5, 6] впервые была получена спектральная форма представления оптимальных регуляторов, упрощающая их анализ и синтез.
Следует отметить, что указанная форма вначале рассматривалась автором лишь как модификация расчётных алгоритмов синтеза, позволяющая существенно повысить вычислительную эффективность подхода. Однако её применение в исследованиях и в практических задачах, начиная со статьи [5], выявило существенную значимость спектрального представления как одного из весьма эффективных инструментов теории среднеквадратичного оптимизации.
Особая роль спектральной формы проявилась в связи с бурным развитием методов Н -теории, поскольку оказалось, что задачи среднеквадратичного синтеза в современной трактовке можно ввести в рамки прикладной ветви теории оптимизации по нормам пространств Харди Н2 и Нш. Методы этой теории для задач управления широко представлены в ряде известных работ (например, [7 - 13]) и обеспечены весьма эффективной программной поддержкой, в частности - средствами популярной среды МА^АВ.
Вопрос о возможности использования Н -теории для решения задач среднеквадратичного синтеза в некоторых деталях рассматривался в работах [9], [12 - 16]. Однако было отмечено, что прямое применение универсального аппарата этой теории при этом сопряжено с рядом трудностей, определяемых вырожденностью стандартных среднеквадратичных задач. Вопросы вырожденности в рассматриваемом контексте широко обсуждались во многих работах: подробное обсуждение этой проблемы было проведено в обзоре [9].
Заметим, что трудности, связанные с проблемами приложения Н -теории для решения SISO-задач среднеквадратичной оптимизации в полной мере не преодолены до сих пор. В связи с этим обстоятельством в данной статье проводится детальное обсуждение существа и особенностей использования методов Н2 и Н оптимизации для среднеквадратичного синтеза на базе предлагаемого спектрального представления оптимальных решений.
Конечной целью работы служит развитие аналитического и, в особенности, вычислительного аппарата среднеквадратичного синтеза. Особо значимыми являются те возможности, которыми обладает предлагаемая спектральная форма для адаптивной реализации результатов среднеквадратичного синтеза в режиме реального времени. Это связано с существенной ограниченностью вычислительных ресурсов
встраиваемых систем, что определяет постоянное стремление к упрощению алгоритмов поиска оптимальных регуляторов, ведущему к уменьшению объёма используемой памяти и времени счета.
2. Постановка SISO-задач среднеквадратичного синтеза
В работе рассматриваются две центральные задачи синтеза
регуляторов, связанные с линейной моделью динамического объекта управления
A(p)y = B(p)u + d(t), p = d / dt, (2.1)
где y, u и d - скалярные величины: y - контролируемая переменная, u -управление, d(t) - возмущение; полиномы A(p) и B(p), а также A(p) и B(-p) являются взаимно простыми и имеют степени n и m < n -1 соответственно.
Наряду с уравнением (2.1) введём линейную модель регулятора
u = W (p)y, (2.2)
где W(p) = W1(p)/W2(p), W1,W2 - полиномы. Замкнутая SISO-система (2.1), (2.2) имеет скалярные вход d и выход y, связанные уравнением
[ A( p) - B( p)W (p)] y = d. (2.3)
Пусть возмущение d (t) - это случайный эргодический стационарный процесс с заданной спектральной плотностью мощности
Sd(®)lш=-js s Si(s)Si(-s), Si(s) = N(s)/T(s), (2.4)
где N(s) и T(s) - гурвицевы полиномы.
В классической теории среднеквадратичного синтеза исследуется функционал
1 т
I = I (W) = (y2) + k2{u2) = Tim т J[ y2(t) + k2u\t)] dt, (2.5)
0
который задан на движениях замкнутой системы (2.1), (2.2), k = const.
Если спектральная плотность Sd (ю) возмущения известна, то решается задача
I = I(W) ^ min
WeQs
о поиске оптимального регулятора, доставляющего минимум функционалу (2.5) на множестве Q стабилизирующих регуляторов (2.2). Если же конкретная функция Sd(ю) не задана в пределах совокупности
^ = (©):-} Sd(®)d®< l|, (2.6)
ж 0
то рассматривается задача
Ii = Ii(W) = maxI(Sd,W) ^ min
синтеза гарантирующего регулятора с учётом неопределенности возмущения. Покажем, что эти задачи сводятся к минимизации норм передаточных функций замкнутых систем в пространствах Харди H2 и соответственно.
Введём в рассмотрение множество RL дробно-рациональных функций p(s), не имеющих полюсов на мнимой оси, определим произведение и норму
l 00 от
(Pi,p2> = - fpi(-7®)p2(j®)d®, |p||2 = - f|p(j®)|2 dra, (2.7)
ж 0 \ ж J
Ж 0
и образуем гильбертово пространство RL2 строго правильных функций р(^) е ^, которое можно представить в виде
RL2 = ЯИ2 0 ЯИ2 , (2.8)
где слагаемое КИ2 содержит все функции р(^) аналитические в правой полуплоскости, а его ортогональное дополнение КИ2 - в левой. Будем также рассматривать пространство , состоящее из правильных рациональных дробей р(^), не имеющих полюсов на мнимой оси, с нормой
Пр|1» = ^Р 1рС01 = ^Р 1р(У®) (2 9)
Re 5>0 юе[0,от) .
Из выделим подпространство ЯИХ, с элементами
аналитическими в правой полуплоскости, которое является полным для нормы (2.9), т.е. банаховым.
Для указанных пространств введём два функционала
32(ф) = |\И(s,W, если Ие ЯИ2, (2.10)
(Ж) = \\И(^)||2, если И(s,W) е ЯИХ, (2.11)
где И Ж) - обобщённая передаточная функция замкнутой системы:
И(^Ж)И(-s,W) = Иу (s, Ж)Иу + k2Ия(s,W)Ии(-?,Ж), (2.12)
Иу (s,W) = 1/[Л^) - («)], Иы (s,W) = Ж^)/[Л^) - Б^)Ж(s)] -
передаточные функции замкнутой системы по выходу и по управлению соответственно. Заметим, что из (2.4) следует, что если Н^^) е КН2, то и
Н^^)^) е Ш2.
Учитывая отмеченную выше цель управления, сформулируем две оптимизационные задачи по отношению к функционалам (2.10) и (2.11):
•2) = |Н(ЮЗ^2 ^ тт, 02 = { W: Н^) е Ш2} ; (2.13)
Л,(Ю = IН^11 ^ , = { w: Н^) е КН^}. (2.14)
Нетрудно убедиться в том, что первая из них эквивалентна задаче об оптимальном регуляторе по отношению к функционалу (2.5). Действительно, по формуле Парсеваля этот функционал можно представить в виде
I^) = [|Ну ('о, W)|2 + k21Ни ('ф, W)|2 ]за ,
—<Х)
2 2 2 2 но согласно (2.12) имеем |Ну('&)\ + k \Ни(у'ю)| = \Н(у'ю)| , а с учётом (2.4) и
(2.7) справедливо равенство
I ^) = 11 Н (Ш. М\2 = IН ^ ^ = ).
— <Х)
Соответственно, гарантирующий синтез сводится к задаче (2.14).
3. Параметризация допустимого множества регуляторов
Необходимо отметить, что непосредственное решение задач (2.13) и (2.14) затруднено нелинейной зависимостью функционалов от искомых функций W. Эта трудность снимается одним из вариантов параметризации, представленных в [3], [9], [10]. Следуя [3], введём варьируемые параметры Фф формулой
Ф( s) = Ф)Ну ^) + ^), (3.1)
где а^) и Р( s) - любые полиномы, для которых гурвицев полином
= лют + В^)а^). (3.2)
Формулы (2.12) и (3.1) дают очевидную связь между функциями Ф( s) и W(s) в (2.2), а также выражения для передаточных функций Ну и Ни:
w=<ф (Ф)=^, ф=^)-а—^ (3,)
TT Вф + ß TT ^ч Аф-а
Hy = Hy (ф) , Hu = Hu (ф) = —— . (3.4)
Введем два множества функций-параметров Ф(s) с гурвицевыми знаменателями, определяемые формулами = L;bl(Q2), = L-1)l(QOT). Тогда можно утверждать, что задачи (2.10) и (2.11) эквивалентны задачам
12 = 12(ф) = J2L (ф)) = IН(ф)^ ^ Ш1иф , (3.5)
феП2
I от = 4, (ф) = Jот (Lф (ф)) = |H(ф)|£ ^ min (3 6)
файф , (3.6)
где функция H задается тождеством (черта «-» над функцией обозначает замену знака ее аргумента (« s » на « - s »))
H(ф)H(ф) = Hy(ф)Ну(ф) + k2Hu(ф)H(ф). (3.7)
Лемма 1. Тождество (3.7) может быть представлено в виде
Н(ф)Н(ф) = (Т - Т2ф)(Т -Т2ф) + T3, (3.8)
где дробно-рациональные функции Tl(s), T2(s) с гурвицевыми знаменателями и функция T3(s) a RL определяются формулами
Tl = (k2аА - ßB)/(GQ), Т2 = G /Q, T3 = k2 /(GG), (3.9)
а полином G(s) является гурвицевым результатом факторизации
k2АА + BB = GG . (3.10)
Данная лемма позволяет использовать для решения оптимизационных задач (3.5) и (3.6) известную идею о максимальном приближении к заданным моделям [7]. Справедливо следующее утверждение.
Теорема 1. Задача (3.5) обеспечения минимума взвешенной Н2-нормы обобщённой передаточной функции Н = Н(s, ф) эквивалентна задаче
Я2(ф) = (Т- - Тф)^ ^ min (3 11)
фейф
о наилучшем приближении к заданной модели Tl в смысле той же нормы ошибки.
Для введения аналогичного утверждения для задачи (3.6) введем новое обозначение
Ig = max Т3(ю) = max k /IG(/ю)| (3 12)
g юе[0,от) 3 юе[0,от) . ^.iZJ
Определение 1. Будем говорить, что по отношению к задаче (3.6) имеет место регулярная ситуация [9], если для любых функций-параметров
Фф е тф выполняется условие (Ф) > I,. Если же найдутся функции Ф^) е0ф, для которых А»(Ф) =, то ситуацию будем называть вырожденной (сингулярной).
Теорема 2. В регулярной ситуации задача (3.6) о минимуме нормы Нт обобщённой функции Н сводится к поиску такого параметра Ф(s) е тф
, чтобы взвешенная Нх -норма ошибки Е(Ф) = ||(71 — Т2Ф)/Ц|м в задаче о
максимальном приближении к заданной модели не превосходила единицы, т.е. Е(Ф) < 1.
2 2
Следствие 1. Нормы 1а = ||в0и = ||в0||м рациональной функции
в0(s) = k/в^) являются нижними оценками для оптимальных значений функционалов в задачах (3.5), (3.6) и (2.13), (2.14) соответственно:
•20 = тт •2(Ж) = 12о = тт ^(ф) > 4 (3 13)
№ еП2 феОф , (3.±3)
<1^0 = — ) = 40 = 4 (Ф) > 1, (3 14)
№ еП„ ФеОф " (3Л4)
4. Передаточная функция Н 2 -оптимального регулятора
В соответствии с теоремой 1, классическая задача среднеквадратичного синтеза сводится к задаче (3.11) о максимальном приближении к заданной модели в смысле достижения минимума Н2 -нормы ошибки приближения. Результат решения этой задачи одновременно даёт оптимальную функцию-параметр Ф 02(я) и по отношению к задаче (3.5), а применение формулы (3.3) позволяет, в свою очередь, найти оптимальное решение задачи (2.13), т.е. передаточную функцию = (Ф02) среднеквадратичного оптимального регулятора.
Теорема 3. На множестве тф существует единственная функция-параметр
Ф 02 = [(к 2аЛ — ЯО]/^,) (4.1)
где
которая дает минимум Е(Ф02) = ||К/2 ошибки приближения в задаче (3.11).
Формулы (4.1) и (4.2) позволяют непосредственно найти
передаточную функцию среднеквадратичного оптимального регулятора в задаче (2.13) и выявить её существенные спектральные особенности.
Теорема 4. Регулятор (2.2) с передаточной функцией
_ [A(s)T(s)R(s) + B(-s)N(s)]/G(-s) (43)
0 [B(s)T(s)R(s) - k2A(-s)N(s)]/ G(-s) ( . )
является единственным решением задачи (2.13). Этот регулятор и замкнутая им оптимальная система обладают следующими спектральными свойствами:
1. Деление на полином G(-s) в (4.3) осуществляется нацело (без остатка).
2. Характеристический полином замкнутой системы имеет вид
# (s) _- N (s)G(s). (4.4)
3. Минимум ^20 _ m^n J2(W) функционала (2.10), а следовательно - и
исходного функционала (2.5), превосходит свою нижнюю оценку Ia на величину
#J2 _lR/Gl2. (4.5)
Теоремы 3 и 4 определяют алгоритм нахождения оптимального регулятора: вначале выполняется факторизация (3.10), затем по формуле (4.2) формируется полином R(s) и, наконец, по формуле (4.3) после деления на полином G(-s) определяется числитель и знаменатель искомой передаточной функции.
5. Спектральное представление гарантирующего регулятора
Как было отмечено выше, при решении задачи (2.14), сводящейся к (3.6), можно выделить две ситуации: регулярную и вырожденную. В вырожденном случае [9] решением является любой регулятор (2.2), для которого
max \H (W, jra)|2 _ \H (W, j^f _ Ig где ®0 _ arg max k2 /| G (jra)|2 (4 6)
юе[0,ж>) ' " юе[0,ж>) J
Заметим, что условия (4.6) предоставляют свободу выбора, которую можно использовать для обеспечения каких-либо дополнительных требований к свойствам системы, сужающих множество стабилизирующих регуляторов.
В регулярной ситуации условия (4.6) не могут быть выполнены, поэтому поиск оптимального решения базируется на теореме 2, позволяющей свести задачу (3.6) к задаче о максимальном приближении замкнутой системы к заданной модели. Для её решения приведем следующие утверждения.
Лемма 2. Задача о поиске параметра Ф(з) efif удовлетворяющего условию
E(Ф) = ||(7i -Г2Ф)Р2 < 1, где Pi(s) = G(s)/R(s), (5.1)
2 ^ т
имеет решение для таких и только для таких величин $ > Ig, для которых положительно полуопределена эрмитова матрица
( , 1 - dd. , B(-g ) _
где гурвицев полином R( s) определяется факторизацией
R (s)R$ (-s) - $2G(s)G(-s) - *2. (5.3)
Теорема 5. Пусть для интерполяционной задачи Неванлинны-Пика
\\D(s)L <1, g, d* -Do(g)--B(-g)/[A(g*)R$o(g)], *-Щ, (5.4)
известно решение D0(s) e , соответствующее минимальной
2 2
величине $ - $0 > Ig, для которой выполняется условие L($) > 0. Тогда для
указанного решения D0(s) на множестве найдётся единственный
параметр
ф0« - (*2oÂ-PB -D0QR$0)/GG еОф, (5.5)
для которого выполняется неравенство E(Ф0«) - ||(T1 -Т2Ф0«)РЦ« < 1.
Как следует из теоремы 2, функция-параметр Ф 0« (s) (5.5) является решением задачи (3.6). Это позволяет легко найти передаточную функцию гарантирующего оптимального регулятора в задаче (2.14) и указать существенные спектральные особенности замкнутой им системы, что определяется следующим утверждением.
Теорема 6. Решением задачи (2.14) в регулярном случае для функционала (2.5) с учётом (2.6) является регулятор (2.2) с передаточной функцией
W (s) - (s) - [¿(sH^R^s) + B(-s)m2(s)]/G (-s)
где m1,m2 - числитель и знаменатель решения D(i(s) задачи Неванлинны-Пика (5.4). При этом замкнутая система имеет следующие особенности:
1. Деление на полином G(-s) в (5.6) осуществляется нацело (без
остатка).
2. Характеристический полином А0. замкнутой системы имеет вид
#0.(5) = -т2ДО(5). (5.7)
3. Обобщённая передаточная функция Н0. оптимальной замкнутой системы является равномерно-пропускающей (all-pass), причём справедливо тождество
Н». (У®)|2 = $ 2 . (5.8)
На основании теорем 5 и 6 можно предложить схему поиска оптимального гарантирующего регулятора. Вначале выполняется
факторизация (3.10), затем по формуле (3.12) определяется величина ^ и
2 2
по формулам (5.2), (5.3) и (5.4) находится минимальное число $ = $0 > ^, удовлетворяющее условию Ц$) > 0. Далее находится решение D0(s) = т1(5)/т2(5) задачи (5.4) Неванлиныы-Пика при условии $ = $ 0. И, наконец, по формуле (5.6) строится искомая функция Щ0. (5).
6. Примеры синтеза на базе спектральных представлений
Рассмотрим математическую модель (2.1) объекта управления с заданными полиномами А( 5) = 54 +1.0653 + 0.41552 + 0.07095 + 0.00446, В( 5) = 5 -1, а также функционал (2.5) с весовым множителем k = 1.
В результате выполнения факторизации (3.10) получаем полином
G(-5) = 54 -2.8253 + 3.8252 -2.945 +1.00,
имеющий корни ^2 = 0.493 ± 0.941/, gЪA = 0.915 ± 0.220j. Для этих корней по формуле (4.2) находим полином
R(5) = -2.64з3 + 7.4852 - 9.945 + 6.94 для заданной спектральной плотности (2.4) с полиномами N (5) = 53 + 352 + 5 + 0.1, Т (5) = 5 +1. Тогда формула (4.3) приводит к передаточной функции оптимального регулятора
„„ ч 2.6454 + 5.3953 + 3.5052 + 0.8245 + 0.0691
Щ}(5) =-з-2-.
53 + 4.7652 +10.55 + 6.94
Теперь построим гарантирующее решение. В соответствии с формулой (3.12) определяем значение ^ =1, а на основании формул (5.2),
(5.3) и (5.4) находим минимальное число $2 =$2 = 6.385, удовлетворяющее условию Ь($) > 0. Этому числу соответствует полином
R$0(s) = 2.5354 + 7.0053 + 9.3552 + 7.055 + 2.32 и решение D0(s) = т1(5)/т2(5) задачи Неванлинны-Пика, где
т^) = -0.97853 + 2.1252 - 2.145 +1.06, т2(я) = 0.978я3 + 2.1252 + 2.145 +1.06.
В соответствии с формулой (5.6) получаем искомую функцию Щ,® (5): 2.4757 +11.156 + 24.055 + 32.554 + 29.053 +17.05 2 + 6.115 +1.05
(5) =-4-3-2-,
2.475 + 6.965 + 9.445 + 7.275 + 2.47
которая обеспечивает минимальное значение J. 0 =$2 = 6.385 функционала (2.11).
7. Практическая применимость спектрального подхода
Приведенные формулы (4.3) и (5.6) для рассматриваемых оптимальных регуляторов позволяют выявить наличие ряда их существенных недостатков, характерных для теории среднеквадратичного синтеза:
- в общем случае передаточная функция не является правильной дробью;
- возможна неустойчивость регулятора, как динамического объекта;
- радиус шара робастной устойчивости в пространстве параметров объекта в общем случае является нулевым.
Указанные недостатки, которые подробно обсуждались в работах [4, 6, 9], существенно затрудняют практическую реализацию регуляторов, полученных непосредственным применением предлагаемого подхода. Однако существует простой путь преодоления отмеченной трудности в рамках среднеквадратичной теории, идея которого была детально обоснована в статье [14]. Существо соответствующего метода состоит в искусственной деформации спектральной плотности заданного или наихудшего возмущения путем введения нормирующего множителя, определяемого исходными данными задачи.
Естественно, это путь вполне применим и в рамках рассмотренного выше подхода на базе Я-теории. Технические подробности методики обеспечения практической реализуемости и варианты соответствующей программной поддержки в среде МА^АВ приведены в работах [15] и [16].
8. Заключение
В статье дано обобщение исследований автора, связанных со спектральной формой представления передаточных функций среднеквадратичных оптимальных и гарантирующих регуляторов. Предложен вывод указанной формы на базе методов теории оптимизации по нормам пространств Харди Н2 и Н.. Указаны особенности подхода и исследованы спектральные свойства определяемых им решений. Приведен пример выполнения численных расчетов с использованием разработанного спектрального представления.
Теоретическая значимость работы состоит в выявлении
аналитической связи предложенной спектральной формы с идеями и методами теории Н -оптимизации. Применение этой формы для представления оптимальных и гарантирующих решений в SISO-системах существенно упрощает исследование их свойств по сравнению с другими способами синтеза.
Практическая направленность подхода определяется указанием пути для существенного сокращения вычислительных затрат по сравнению с «2-Рикккати» или LMI методами для построения передаточных функций SISO-регуляторов. Это, в частности, весьма значимо для их адаптивной перенастройки в рамках различных встраиваемых систем с ограниченными вычислительными ресурсами.
9. Приложение
Доказательство леммы 1. Непосредственно из (3.7) и (3.4) имеем
Н (8, Ф)Н (-8, Ф) - Ну (8, Ф)Ну (-8, Ф) + к2Ни (8, Ф)Ни (-8, Ф) -= [(к2АА + ВВ)ФФ + (рВ - к2аЛ )Ф + (рВ - к2аА)Ф + к2аа + рр]/(00), что в сопоставлении с правой частью (3.8) приводит к тождествам
„„ ~ к 2аа + рр _ = к2 АА + ВВ - рВ - к2 аА
7,7,+ 13 =- 112 =-=- - 11.=—-=- (П 1)
ИЗ ,22 ,21 00 . (П.1)
Третье тождество из формул (П.1) дает Т=(к2аА -рВ)/(0G), а после подстановки Т2 и Т в первое равенство (П.1) с учётом (3.2), получим
= к 2аа+рр ти = к 2 Ар( А р + Ва) + к 2 Ва( А р + Ва) = _к-2_ 3 - 00 т= " ОО'
В итоге имеем формулы (3.9), что доказывает лемму.
Доказательство теоремы 1. В соответствии с леммой 1 имеем
1|Н(Ф)Я 112 = - Г |ш, I2 d® = - Г [7 - т2Ф|2 + Тз = —J — ->
о о
2
да да да да
= - Г1 - Т2Ф12 Я^Ъ +-Г Тз ^ = - Г 1 - Т2Ф12 Я^ы + - Г — Л — ^ — Л — ^
т.е.
Н (Ф)^ и2=1 кт - тфЯ и2 +
V
О 1
(П.2)
Заметим, что второе слагаемое в формуле (П.2) не зависит от Ф, т.е. для достижения минимума функционала Н(Ф)Я 2 необходимо и достаточно, чтобы достигало минимума первое слагаемое, что и
доказывает теорему.
Доказательство теоремы 2. Согласно (3.8) по лемме 1 имеем
4(Ф) = IH(Ф)£ = sup \H\2 = sup [|Ti - Т2Ф|2 + Тз ] (П 3)
ше[0,») ше[0,») ^ J
2
Введём вспомогательное обозначение $ =е + Ig, где е> 0 -
вещественное число такое, что найдутся функции Ф( 5) еПф, обеспечивающие неравенство
I»(Ф) = 1 Н(Ф)||2 = sup [Ti -Т2Ф|2 + Тз]<$2.
ше[0,<х>)
Это условие с очевидностью можно записать в эквивалентной форме
Ti (уш) - Т2 (уш)Ф(уш)|2 < $2 - Тз (ш) 'ш е да). (П.4)
22 Поскольку $ > Ig, из (3.12) имеем $ - Т3(ш) > 0 'ше [0, да), причём
$2 - Т3(ш) - это четная функция. Тогда существует такая дробь L$ (s), что
L$ (j®)f =$2 - Тз(ш) 'ше [0,»), (П.5)
т.е. L$(s)L$(-s) = $2 - k2 /[G(s)G(-5)], L$(s) = R$(s)/G(s), где гурвицев полином R(s) определяется факторизацией (5.3).
Подставляя (П.5) в (П.4), имеем для любого ше [0,»)
22 Т1(уш) -Т2(уш)Ф(j®)| < \Я$(уш)/G(j&)\ , что эквивалентно условию
Е(Ф) = |(7i -Т2Ф)Р,|2 <i, где P(s)- G(s)/R$(s). (П.6)
Очевидно, что минимальное число $2 > Ig, для которого можно обеспечить условие (П.6) при Ф^) е 0Ф, является минимумом в задаче (3.6).
Доказательства теорем 3 и 4. Рассмотрение выражения для ошибки приближения в задаче (3.11) после подстановки (3.9) дает выражение
Е2(Ф) =
- k 2aA -pB G -
-----Ф
QG Q ,
(П.7)
которое можно привести к виду Е2(Ф) = ||0м-+ ||Гм(^) 2 с использованием теплицева ©м и ганкелева Гм операторов [7]. Заметим, что второе слагаемое не зависит от параметра Ф, поэтому минимум достигается при условии ©м №) - LФSl = 0, причём выполнение этого равенства возможно в единственном варианте Ф = Ф02 =©м№)/LSl - отсюда следует (4.1).
В соответствии с формулой (4.2) нетрудно показать выполнение
2
равенств [(k2aA-ßB)Si -RQ],== 0, i = 1, n, т.е. числитель функции ф02 (s) нацело делится на полином G(-s). Но поскольку G(s) и N(s) - гурвицевы полиномы, то и знаменатель функции Ф02 (s) - гурвицев полином. При этом
II —1|2 и 2
функционал E2 принимает конечное значение E(Ф02) = R/G 2 = R/G 2,
следовательно, конечна и величина ||Я(Ф)^||2, т.е. Ф02 е , что и доказывает теорему.
Доказательство теоремы 4 определяется прямой подстановкой выражения (4.2) в (3.3) с учетом (3.2), откуда следует формула (4.3). Заметим, что функция W>(s) не зависит от выбора полиномов a(s) и ß(s), введённых параметризацией, и определяется лишь исходными данными задачи.
Доказательства теорем 5-6 и леммы 2 в целом выполняются по аналогичным схемам с учетом доказательств соответствующих утверждений, приведенных в работе [13].
Данная статья написана на базе исследования, которое выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта No. 14-07-00083a.
Литература
1. Солодовников В. В. Статистическая динамика линейных систем управления. М.: Физматгиз, 1960.
2. Чанг Ш. Синтез оптимальных систем автоматического управления. М.: Машиностроение, 1964.
3. Алиев Ф. А., Ларин В. Б., Науменко К. И., Сунцев В. Н. Оптимизация линейных инвариантных во времени систем управления. К.: Наукова думка, 1978.
4. Петров Ю. П. Синтез устойчивых систем управления, оптимальных по среднеквадратичным критериям качества // АиТ. 1983. № 7. С. 5-24.
5. Веремей Е. И., Петров Ю.П. Управляемость линейных систем при наличии возмущающих воздействий. М., 1977. Деп. В ВИНИТИ 20.05.77., № 1984-77.
6. Веремей Е. И. Частотный метод синтеза оптимальных регуляторов для линейных систем со скалярным возмущением (Часть 1, Часть 2) // Известия вузов СССР. Электромеханика. 1985. № 10. С. 52-57, 1985. № 12. С. 33-39.
7. Francis B.A. A course in HQcontrol theory. Berlin: Springer-Verlag, 1987.
8. Doyle J., Francis B., Tannenbaum A. Feedback control theory. New York: Macmillan Publ. Co., 1992.
9. Барабанов А. Е., Первозванский А. А. Оптимизация по равномерно-частотным показателям (H-теория) // АиТ 1992. № 9. С. 3-32.
10. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002.
11. Mackenroth U. Robust control systems. Berlin. Springer-Verlag. 2004.
12. Бокова Я. М., Веремей Е. И. Вычислительные аспекты спектрального метода Hq-оптимального синтеза // Теория и сист. управл. 1995. №4. С. 88 - 96.
13. Веремей Е. И. Спектральный подход к оптимизации систем управления по нормам пространств H2 и Hq // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. 2004. Вып. 1. С. 48 - 59.
14. Веремей Е. И., Петров Ю. П. Метод синтеза оптимальных регуляторов, допускающий техническую реализацию // Математические методы исследования управляемых механических систем. - Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1982.- С. 24-31.
15. Веремей Е.И. Особенности решения задач среднеквадратичного синтеза в среде MATLAB // Тр. II Всероссийской научной конференции "Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB". М., 2004. С. 864-883.
16. Веремей Е.И. Вопросы На-оптимизации SISO систем в среде MATLAB // Тр. IV Всероссийской научной конференции «Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB». Астрахань, 2009. С. 18-39.
