Синтез h2-оптимальных регуляторов для систем с запаздываниями. Спектральный подход Текст научной статьи по специальности «Математика»

Сер. 10. 2012. Вып. 1

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 681.5.013 А. И. Арефина

СИНТЕЗ H2-ОПТИМАЛЬНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ ДЛЯ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЯМИ. СПЕКТРАЛЬНЫЙ ПОДХОД

Введение. В последние десятилетия активно развивается теория, связанная с вопросами построения систем, математические модели которых представляются элементами пространств H2 и HTO, и оптимизации движений таких систем по нормам в этих пространствах [1]. В частности, в работах [2, 3] рассматриваются вопросы применения спектрального подхода для оптимизации непрерывных систем по нормам пространств H2 и HTO.

Использование спектрального подхода для задач с одним управлением позволяет существенно упростить анализ и синтез оптимальных решений по сравнению с методами «2-Риккати» и LMI [4]. Такое упрощение имеет особый смысл при реализации алгоритмов адаптивной настройки законов управления для различных объектов в режиме реального времени. Это связано с тем, что, с одной стороны, несмотря на бурное развитие цифровых устройств, по-прежнему остаются актуальными ограничения, связанные с недостаточными вычислительными ресурсами для подвижных объектов и разных встраиваемых систем, как следствие, порождающих особые требования к простоте применяемых алгоритмов. С другой стороны, достаточно остро ставится вопрос качества управления.

При моделировании реальных управляемых объектов (в технике, экономике, компьютерных сетях и т. д.) часто оказывается невозможным пренебрегать наличием запаздывания в канале управления. Известно (см., в частности, работы [5, 6]), что явное введение запаздывания в модель объекта управления существенно усложняет анализ и синтез, делая непосредственно неприменимыми известные подходы для систем без запаздывания.

В связи с отмеченными обстоятельствами в настоящей статье разобран ряд вопросов, связанных с обобщением использования спектрального подхода к синтезу оптимальных по норме пространства H2 регуляторов для систем с запаздываниями.

Постановка задачи. Рассмотрим объект управления, представленный линейной моделью

A(p)x(t) = B(p)u(t - т) + (1)

где x - контролируемая переменная; u - управление; - внешнее возмущение; p = d/dt -оператор дифференцирования; A и B - полиномы от p; т - постоянное запаздывание в канале управления. Будем считать, что возмущение является стационарным

Арефина Антонина Игоревна — аспирант кафедры компьютерных технологий и систем факультета прикладной математики—процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 2. Научный руководитель: доктор физико-математических наук, проф. Е. И. Веремей. Научные направления: математическое, компьютерное моделирование и управление динамическими объектами, оптимизация систем управления. E-mail: a.arefina@gmail.com.

© А. И. Арефина, 2012

эргодическим случайным процессом с нулевым математическим ожиданием и его спектральная плотность задана в виде

где N и Т - гурвицевы полиномы, причем черта над переменной здесь и далее обозначает замену знака аргумента на противоположный, например Л^в) = — в). Степени указанных полиномов таковы, что дробно-рациональная функция й строго правильная.

Разложим полином А в произведение двух полиномов, А+ и А-, корни которых имеют только отрицательные и только положительные либо нулевые вещественные части соответственно, представляя их и полином Т в виде произведения элементарных множителей:

А(в) = А+(в)А- (в),

то

А+(в) = ^ (в — а, Кеаг < 0, % = 1 : то,

г=1 т

А-(в) = ^ (в — аг), Иеаг ^ 0, % = то + 1 : т,

г=то + 1 I

Т(в) = П(8 — сЦ).

г=1

Будем считать, что все корни полиномов А и Т являются простыми и попарно различными.

Введем в рассмотрение линейную модель обратных связей (регуляторов)

и(г) = Ж (р)х(г) (2)

с передаточной функцией

[Р> \¥2(рУ

в которой и Ж2 - квазиполиномы запаздывающего типа с таким же запаздыванием, как в анализируемой модели объекта управления. При этом замкнутую систему (1), (2) можно считать Б^О-системой со входом и выходами х и и и с передаточными функциями

Нх(в,Ш) 1

А(в) — Б(в)е-*т Ж'

Ж(в) (3)

Поставим задачу об отыскании передаточной функции регулятора (2), которая доставляет минимум среднеквадратичному функционалу I(Ж) = (х2) + &2 (и2} при условии гурвицевости характеристического квазиполинома замкнутой системы (1), (2) (область гурвицевости будем обозначать символом П):

Ж * = аг?шт I (Ж). (4)

ж еп

Выделим множество QT, содержащее дроби, аналитические в полуплоскости Res ^ 0, числитель и знаменатель которых являются квазиполиномами. Пространство функций из QT со скалярным произведением

{P1,P2) = ^ J pi(-ju)p2(ju)du>, (5)

которое обозначим HT, - это подпространство пространства H2 [7]. Аналогично пространство HT^ аналитических в полуплоскости Res < 0 дробей с квазиполиномами в качестве числителя и знаменателя и скалярным произведением (5) есть подпространство пространства H2, ортогональное подпространству H2 .

Введем в рассмотрение обобщенную передаточную функцию замкнутой системы (1), (2), определяя ее тождеством

H(s, W)H(-s, W) = Hx(s, W)Hx(-s, W) + k2Hu(s, W)Hu(-s, W), (6)

и зададим функционал, представляющий собой квадрат нормы обобщенной передаточной функции в пространстве HT:

JT(W) = \\H(s,W)S1\\2, H(s,W) e HT.

Тогда задача минимизации этого функционала

JT (W) ^ min ,

2 w (7)

= {W :Hx(W) e HT, Hu(W) e HT}

будет эквивалентна задаче (4) о поиске оптимальной передаточной функции W* регулятора (2).

Отметим, что непосредственное решение задачи (7) затруднено из-за нелинейной зависимости минимизируемого функционала от искомой функции W и сложного вида допустимого множества ^2.

Параметризация допустимого множества регуляторов. В связи с указанными трудностями для решения этой задачи можно применить подход, использовавшийся в [2], с введением параметризации

Ф^) = a(s)Hx(s)+ ß(s)Hu (s), (8)

где а и ß - произвольные квазиполиномы запаздывающего типа, для которых является гурвицевым квазиполином A(s) = A(s)ß(s) + e—STB(s)a(s). Рассмотрим уравнение (8) совместно с уравнением связи

A(s)Hx(s) - B(s)e—STHu(s) = 1, (9)

выполняющимся в силу определения Hx и Hu. Из формул (3) и (9) имеем выражения

Wß + а АФ- а

Ф = -:-ттт^-, W =

А - ШБе-^' ВФе-8Т + в'

устанавливающие взаимно однозначное соответствие между параметрами Ф и передаточными функциями Ш.

Из системы (8), (9) выведем также следующие выражения для передаточных функций замкнутой системы через параметр Ф:

Нх(в, Ф) =

/?(в) + В(в)е-зтФ

Дй '

Ни(в, Ф) =

АЙ '

Подставив их в (6), можем получить соотношение, которому удовлетворяет обобщенная передаточная функция Н замкнутой системы (1), (2):

НН = ( = + СФ

' с

С ДА Ш'

(10)

Тг = Везт/3 - к2 Аа,

где полином С(в) является гурвицевым результатом факторизации

СС = ВВ +к2 АА.

Теперь подставим представление (10) в выражение для функционала в задаче (7). После преобразований получим

Ц = \\Н(в, Ж)5\\\2 =

СА А

+

(11)

Для простоты записи явные зависимости от в и Ж в последних формулах опустим.

Из представления (11) видно, что задача (7) эквивалентна следующей оптимизационной задаче:

1Т (Ф) —> шт ,

^ ФеПф

12 (Ф) =

Пф = {Ф : Ж(Ф) € П2} .

СА А

(12)

Обратим внимание на то, что для данной задачи нельзя воспользоваться тривиальным решением, соответствующим равенству Ф° = —Т\/{СС). Действительно, такой выбор параметра обращает функционал Ц в нуль, однако при этом функции Нх(в, Ф0) и Ни(в, Ф0) не принадлежат подпространству Щ и, следовательно, Ж(Ф0) € П2, т. е. имеет место выход за пределы допустимого множества.

Передаточная функция оптимального регулятора. Представим слагаемое (Т1!^!)/{СА) в виде суммы ортогональных элементов

СА

= К- + К+, К- € Н

2 ^, К+ € щ.

Тогда функционал 1Т можно записать в виде

IТ

\K-\2 +

с

К+ + -Ф^

При этом первое слагаемое не зависит от функции-параметра Ф, а второе можно обратить в нуль, взяв Ф = Ф* = — (К+А)/(СЙ1). Нетрудно проверить, что для такого

2

2

2

2

2

2

2

2

значения параметра передаточные функции Hx и Hu будут иметь гурвицевы знаменатели.

Таким образом, была доказана

Теорема 1. Оптимальный параметр Ф*, являющийся решением задачи (12), определяется выражением

GS1 '

где K+ - аналитическая в полуплоскости Res ^ 0 функция, полученная в результате сепарации

GA +

На базе теоремы 1 можно непосредственно найти передаточную функцию оптимального регулятора для исходной задачи.

Теорема 2. Передаточная функция оптимального по отношению к функционалу I2 регулятора для замкнутой системы (1), (2) задается следующими соотношениями:

W* =

—Be—ST M + GN

„diT

\г=1 г=1 /

_ Bja^Njaj) _ ~B(di)N (di)

Лен — "TT;—TT7——7' ~

Доказательство. Нетрудно убедиться в том, что справедливо тождество

GA ÁG 1 АА [ '

Для того чтобы воспользоваться теоремой 1, разложим дробь (TiSi)/(GA) в сумму ортогональных элементов. Сделаем это в два этапа, для каждого из слагаемых, входящих в соотношение (13).

Прежде всего разложим первое слагаемое в сумму ортогональных элементов, K(1) е ЩL и K+1) е Щ:

Be- _ BeST N (1) (1) _ м|1}

+к+ + (14)

Приведем левую и правую части к общему знаменателю:

Ве8ТК = М{Уа+Т + М^СА-. Будем искать функцию М(1) в виде М(1) = е,эт¡1 + ¡2, где ¡1 и ¡2 - полиномы: Ве8ТК = е8ТА+Тц1 + А+Тц2 + М^А'.

Приравняв коэффициенты при eST, имеем = (BN)/(A+T). Подставляя полученное выражение в (14), можно показать, что

A+T-'GA-- ( }

Поскольку выражение в левой части принадлежит подпространству Щ, получаем, что выражение /j,2 должно делиться на GM-. Вместе с тем функция имеющая вид

должна быть аналитической в полуплоскости Res < 0. Для того чтобы данное условие выполнялось, потребуем, чтобы выражение BNeST + ¡12А+Т было равно нулю в точках, соответствующих корням полиномов А+ и Т, а предел отношения (BNeST + ¡^2А+Т)/(А+Т) в этих точках был конечен. Тогда функция М^ будет иметь в них устранимые особые точки.

Таким условиям удовлетворяет функция

eaiT В(<ц)Щ<ц) , Л ediT B(di)N(di) \

K

ч.= 1 5 - а, А'(<ц)Т(<ь)С(<ь) АЩТ'ЩС^))

Зная функцию ^2, из формулы (15) можно получить выражение для слагаемого

(1)

+

М(1) ,, т° ат 1

к+ =% = = Е —+Е -ЧГ

+ А+Т С А- ^ а - щ в-

г=1 г=1

— "777—7777;—7^7—7;

Теперь рассмотрим второе слагаемое в (13), представляя его в виде суммы:

Са СаМ (2) (2) _ м|2)

АД 1_ЛДТ - + ~~ А- + А+Т А'

Приведя к общему знаменателю, имеем

СаМ = М+2)А- + М-]А+Т {Ар + Вав-вт) .

Найдем значения выражений слева и справа в точках, определяемых корнями по-

(2)

линома А-, которые обозначим через а^, г = то + 1 : т, и выразим функцию М( в точках а^

А+(а*)В(а*)Т (а*)'

(2)

Предположим, что функция М(2) является полиномом, тогда его можно восстановить по интерполяционной формуле Лагранжа

(s - <ц) (А-у(<ц)А+(<ь)В(<ь)Т(<ь)'

M_ (s) = ]Г

i=mo + 1

При этом

(2) = М^= f. __G(at)N(at) ,

- А~ .¿¿+1(з-<ь)(А-)>(<ь)А+(<ь)В(<ь)Т(<ь) 2'

(2) = = GaN ^ __G(a,)jV(a,)

+ А+ТД АДТ .=^+1(8-а4)(А-)'(<ц)А+(<ч)В(<ч)Т(<ч)

GaN - M(l)A+AT

A-A+AT

Заметим, что полином M(2) строился таким образом, что в корнях полинома A-

(2)

функция K+ имеет устранимые особые точки. Можно доопределить ее в этих точках и получить функцию, аналитическую в полуплоскости Res ^ 0. Таким образом, найдено искомое разложение (GaSi)/(AA).

Объединяя полученные результаты, завершим разложение функции K+

m° eaiT l ediT

г=1 г=1

(GaN m eai G(ai)N (ai)

\AAT i=m0+1 (s - ai) (A-)'(ai)A+(ai)B(ai)T(a) еа^т , A ediT , GaN GaN

+ Е -АКТ-м~ааг

1=1 1=1

г=1 г=1

Согласно результату теоремы 1, оптимальный параметр Ф* задается формулой Ф* = -(К+А)/(^Б1). Подставим в нее выражение для функции К+

К+А МА а Ф =--1— =---1--.

С5\ С5\ А

Для найденного оптимального параметра после преобразований определим передаточную функцию оптимального регулятора

= ЛФ*-а -АМ

БФ*е-°т + в -Бе-°т М + GN Теорема доказана полностью. ■ __

Замечание 1. Выражение -Бе-11ТМ + GN обращается в нуль в корнях полинома А, и, кроме того, существует конечный предел

-Бе-8Т М + GN

lim

A

Следовательно, функция (-Be STM+GN)¡A является целой, и выражение для передаточной функции оптимального регулятора W* можно переписать следующим образом:

W* -M ~ ~

W* = =----, w; = -М, W.о = (-Be-STM + GN)/A.

W2* (-Be-»rM + GN)/A 1 2

s—>a

Характеристический квазиполином системы (1), замкнутой регулятором с передаточной функцией Ш*, имеет вид

(-Be-STM + GN)

А* = AW2* - Be~aTW* = А---—■-+ Be-STM = GN

и, очевидно, является гурвицевым.

Замечание 2. Запаздывание полученной передаточной функции оптимального регулятора такое же, как и у исходного объекта.

Алгоритм получения передаточной функции Нг-оптимального регулятора. Доказанная теорема 2 дает возможность сформулировать расчетный алгоритм для получения искомой передаточной функции по исходным данным задачи, который включает следующие шаги:

1. Факторизация выражения G(s)G(s) = B(s)B(s) + k2A(s)A(s), позволяющая определить полиномы GhG, первый из которых гурвицев.

2. Поиск корней полиномов A(s) = П!=1 (s — ai) и Т(s) = П|=1 (s — di). Будем считать, что они попарно различны.

3. Нахождение коэффициентов Xai и Xdi по формулам

Л B{ai)N{aj) л B(di)N(dj;)

А'(гМ)Т(гМ)ЩгМу d" А(<и)Т'(<Ь)Щ<иУ

4. Построение вспомогательного полинома

' „diT

м = АТ Е ^ + Е -Чга*

\ s — ai s — d:

i=1 i=1

s — ai ' s — di

i=1

5. Непосредственное формирование передаточной функции оптимального регулято-

ра

-Ве-ат М + СМ

Рассмотрим пример использования приведенного алгоритма для объекта управления с математической моделью

х(г) - 4х(г) = п(г - т) + п(г - т) + ^(г),

определяющей полиномы А и В в виде

А = в2 - 4, В = в +1.

Будем искать для такой системы оптимальный регулятор по отношению к среднеквадратичному функционалу I = (х2) + (п2), считая, что спектральная плотность возмущения после факторизации задается полиномами

М(в) = 0, 3в + 0,1, Т(в) = в2 + 0, 2в + 0, 25.

Следуя приведенному алгоритму, получим выражение для С:

С = в2 +4,15в + 4,12.

Полиномы A и T имеют корни

ai = -2, a2 = 2,

di = -0,1 + 0,49j, d2 = -0,1 - 0,49 j. Соответственно коэффициенты Xai и Xdi равны ^ai = 0, 006, Aa2 = 0, 206,

Xdl = -0,009 + 0,004j, Xd2 = -0, 009 - 0, 004j, а полином M имеет вид

M = 0, 2385s3 + 0, 5468s2 + 0, 2353s + 0,1166.

Наконец, получаем выражение для передаточной функции оптимального регулятора для данной системы

_ -0, 24s5 - 0, 55s4 + 0, 72s3 + 2, 07s2 + 0, 94s + 0,47

~ -(0, 24s4 + 0, 79s3 + 0, 78s2 + 0, 35s + 0,12)e-ST + 0, 3s3 + 1, 35s2 + 1, 65s + 0, 41'

Заключение. В статье рассмотрена задача отыскания передаточной функции оптимального по норме пространства H регулятора для линейных стационарных систем с запаздываниями. Предложен способ синтеза, основанный на спектральном подходе. Такой подход облегчает анализ и синтез оптимальных решений и позволяет использовать простые рассчетные схемы. Сформулирован алгоритм получения передаточной функции оптимального регулятора. Использование алгоритма проиллюстрировано примером.

Литература

1. Зубов В. И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. 495 с.

2. Веремей Е. И. Спектральный подход к оптимизации систем управления по нормам пространств И и Иж // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2004. Вып. 1. С. 48-59.

3. Веремей Е. И. Особенности решения задач среднеквадратичного синтеза в среде MATLAB // Труды II Всерос. науч. конференции «Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB». М., 2004. С. 864-883.

4. Doyle J., Francis B., Tannenbaum A. Feedback control theory. New York: Macmillan Publ. Co., 1992. XI. 227 p.

5. Жабко А. П., Харитонов В. Л. Методы линейной алгебры в задачах управления: учеб. пособие. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1993. 320 с.

6. Беллман Р., Кук К. Л. Дифференциально-разностные уравнения / пер. с англ. А. М. Зверкина, Г. А. Каменского; под ред. Л. Э. Эльсгольца. М.: Мир, 1967. 548 с. (Bellman R., Cooke K. L. Differential-difference equations)

7. Francis B. A Course in Иж conrol theory. Berlin: Springer-Verlag, 1987. 150 p.

Статья рекомендована к печати проф. Е. И. Веремеем. Статья принята к печати 20 октября 2011 г.