CC BY
51
2004 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Сер-. 10 Вып. 1
ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ
УДК 519.8 Е. И. Веремей
СПЕКТРАЛЬНЫЙ ПОДХОД К ОПТИМИЗАЦИИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ПО НОРМАМ ПРОСТРАНСТВ Я2 и Яоо
1. Введение. Одной из главных особенностей современных формализованных подходов к анализу и синтезу систем управления является ориентация на широкий спектр оптимизационных задач в конечномерных или бесконечномерных пространствах. На базе таких задач формируются те аналитические инструменты, с помощью которых обеспечивается достижение содержательных практических результатов, ведущих к единой глобальной цели - построению законов управления,*удовлетворяющих всей совокупности требований, предъявляемых к проектируемой системе.
В частности, в последние десятилетия особое внимание уделяется методам построения таких систем, математические модели которых представляются элементами с. минимальными нормами в пространствах Харди Н^ и Н00. Теория оптимизации линейных систем по нормам указанных пространств является единой базой для целого ряда направлений, которые ранее рассматривались автономно в теории управления.
В настоящее время существует эффективный аналитический и вычислительный аппарат, позволяющий проводить исследования и практические разработки на базе указанной теории. Обзор соответствующих методов приведен, например, в работах [1-4]. Тем не менее теория ^-оптимизации продолжает интенсивно развиваться как в фундаментальном, так и в прикладном аспекте. ч
Цель данной статьи - представление двух содержательных задач теории управления, которые могут быть сведены к задачам оптимизации по нормам пространств Л"2 и Ню, а также спектральных методов их решения, основанных на Я-теории. Результирующие формулы метода решения первой задачи впервые были опубликованы в статье [5], однако здесь предлагается новый путь их вывода. Метод решения второй задачи ранее не публиковался, хотя в работе [3] были указаны основные направления для его формирования.
Заметим, что в отличие от универсального подхода, основанного на решении уравнений Риккати, предлагаемые ниже методы используют спектральные особенности, синтезируемых систем, позволяя в ряде частных ситуаций существенно упростить анализ и поиск оптимальных решений.
Особую роль при этом играет снижение вычислительных затрат при адаптивной реализации оптимальных законов управления в реальном масштабе времени. Предлагаемый подход может послужить основой для проектирования систем управления с использованием нейронных сетей, нечеткой логики, прогнозирующих моделей и других эффективных средств, базирующихся на современных компьютерных технологиях.
© Е. И. Веремей, 2004
2. Задачи оптимизации в пространствах Н2 и Нос. Для формализации исследуемых в работе вопросов введем линейное пространство До дробно-рациональных функций /&(«) комплексной переменной г с вещественными коэффициентами.
На множестве Ко выделим линейное подпространство ИЬ элементов, не имеющих полюсов на мнимой оси, и определим на нем скалярное произведение и норму
OU
(huh2) = - 1 hx(-ju>)h2(j»)dw, ||А||2 = - [ \h(ju>)\2du, (1)
7г J \ 7г J
О N°
а также метрическое расстояние p(h1,h2) = ||/&i — Л.2Ц2- Кроме того, будем рассматривать гильбертово пространство RL2 С RL, состоящее из функций с конечными нормами Щ\2 < 00. Очевидно, что этими функциями являются строго правильные дроби.
Пространство RL2 можно разложить в прямую сумму ортогональных подпространств
RL2 = RH2 е дя2х. (2)
Здесь замкнутое подпространство RH2 - множество строго правильных дробно-рациональных функций, которые не имеют полюсов в правой полуплоскости.- Ортогональным .дополнением к указанному множеству является подпространство RH2, состоящее из всех элементов множества RL21 аналитических в левой полуплоскости. Введем норму элементов пространства RL иным способом:
НЭД» = sup \h(s)\. (3)
Ree^O
Множество элементов из RL, для которых выполняется условие Ц^Ц^ < 00, будем обозначать RL^. Очевидно, что сюда входят только правильные дробно-рациональные функции.
Из пространства RL^ выделим подпространство RHco, включающее все его элементы, аналитические в правой полуплоскости. Это пространство является полным для (3), т.е. банаховым. • ' Л ' ' " ''
' Согласно принципу максимума мЬдул^ аналитической функции, нетрудно показать, что для нормы элементов пространства RHсправедливо равенство
11л11оо= SUP IMS)I = SUP IMj»)!-' (4)
Res^O w£[0,oo)
Введенные выше пространства RH2 и RUoо являются частными вариантами пространств Харди [б].
Определим некоторые отображения для рассматриваемых пространств. Прежде всего введем в рассмотрение оператор Лорана Тр с индексом F, отображающий RL2 в RL2:
д = Tp{h) = Fh, h € RL2) FzRLoo, Tf : RL2RL2. (5)
Как было отмечено выше, пространство RL2 может быть разложено в прямую сумму RL2 = RH2 ф RH2 ортогональных подпространств. Отображения RL2 на множества RH2 и RH2 соответственно определяют операторы проектирования ГЦ : RL2 -4 RH2 и П2 : RL2 RH2, а также соответствующие проекции элемента д £ RL2: = ni(^) € RHl и д+ = П2(д) € RH2.
В дальнейшем будем использовать тегшицев и ганкелев операторы и Гр с индексом F, действующие из RH2 в RHz и RH2 соответственно. Они представляют собой суперпозицию оператора Лорана с индексом F (5) и операторов проектирования П2 и Щ: Qp — ПгТр : RHz —> RH2, Гр = ЩТр : RH2 —» RH2- Иными словами, отображения RH2 в RH2 и RH2 в RH2, определяемые теплицевым и ганкелевым операторами, осуществляются по следующим правилам: д+ — Of(/i) = IX2(J^/i), = Tp(h) = Tli(Fh), где h G RH2, F € Ä£oo.
Существо задач оптимизации в пространствах RH2 и RHqq состоит в следующем. Пусть имеем два элемента h(s) £ RL и g(ä) G Ro, причем д - независимый элемент, a h зависит от выбора д: h(s) = h[g(s), s]. Тогда под абстрактной задачей оптимизации в пространствах RH2 или /Шое? будем понимать поиск такого элемента д = д* £ R0) ' при котором /i*(s) = h[g*(s), s] принадлежит RH г или RHoo и соответствующая норма (1) или (4) элемента h* минимальна: • "
v. ; / = = |[%(s), inf , (6)
St»,-
где fi, = {g G Ro ' h[g(s)> s] G RHi}, i = 2 или г = oo.
Область приложений задач оптимизации в пространствах Харди RH2
и RHqq весьма
широка, поскольку дробно-рациональные функции служат математическими моделями линейных стационарных систем (LTI-систем) в рамках преобразования Лапласа. Это определяет непосредственный выход в сферу анализа и синтеза LTI-систем с обратной связью.
В частности, рассмотрим задачу среднеквадратичного синтеза в SISO-постановке. Пусть задано уравнение объекта управления
A{p)x = B(p)u + <p(t), (7)
в котором х,щ(р G R1 - соответственно регулируемая величина, управление и возмущение, А, В ~ взаимно простые полиномы от оператора дифференцирования р = d/dt с постоянными коэффициентами. Пусть возмущение <p(t) - это случайный стационарный эргодический процесс с нулевым средним по бремени ж с заданной спектральной плотностью - строго правильной четной дробно-рациональной функцией
Sv(u>) = Nv(w)/Tv(io) = (8)
S\(s) — N(s)/T(s), a = ju, N, T - гурвицевы полиномы. Поставим задачу
I = I(W) min ' wen
о поиске оптимального линейного регулятора
и = W{p)x, W(p) = Wi(p)/W2(p). (10)
Здесь Wi, W2 - полиномы,
(И)
(9)
г
I(W) =< х2 > +к2 < и2 >= lim ~ [ [x2(t) + k2u2(t)l dt
Т-+00 Т J
о
F, среднеквадратичный функционал, заданный на движениях замкнутой системы (7), RÍO), допустимое множество Ü определяется требованием гурвицевости ее характеристического полинома.
Задача (9) может быть трактована как задача оптимизации в пространстве RH2. ■Действительно, в соответствии с формулой Парсеваля, функционал (11) можно предоставить в виде
ОО 0¿
^ = ly* ^(f)^ - (12)
О Ö
д,
где F(s) - обобщенная передаточная функция замкнутой системы, определяемая равенствами. '
\F(ju>)|2 = IFx(ju)J2;+ к2 \Ри(зш)|2 , (13)
Fx = I/ [Л(з) - 5(s) W(s)] , Fu = W{s)¡ [A(s) - B{ß)W(s}]. (14)
Кроме того, в формуле (12) 7с учетом (8) обозначено
F(M = F(jw)Si(ju), F(s) - F(a)S^). (15)
Дробно-рациональная функция F(s) — F[W(s), s] однозначно определяется по формулам (12)—(15) выбором регулятора (10). При этом легко видеть, что задача (9) эквивалентна задаче-
I2=J2(W)= F(W)2-^mjп, (16)
2 УУ fe S ¿2
0,2 W 6 До F(W) € которая является типичным примером задач оптими-
зация в гильбертовом пространстве RH2.
Тепёрь рассмотрим другую классическую задачу о построении гарантирующего регулятора для'SISO-задачи оптимального синтеза с неопределенностью в задании свойств возмущения.
Пусть заданы объект (1), множество регуляторов вида (10) и функционал (11). Однако будем считать, что функция не задана, но известна ее принадлежность множеству
ft =ñ : i JSv(u;)du 1J . (17)
При этом, согласно (12), функционал (11) зависит от функций W и что позволяет говорить о поиске гарантированной оценки Iq и гарантирующего решения Wo:
lo — min sup I(W,S<p), Wo = arg min sup I(W,SV>). (18)
Покажем, что эта задача сводится к оптимизации в банаховом пространстве RH ж. Для доказательства воспользуемся очевидным неравенством
се оо
i f \F(ju)f Sv(a>)du sup \F(j*)\2^f S^du, .... V J' w€[0,oo) * J
О 1 ' О
из которого с учетом (12) и (17) следует, что для любой спектральной плотности G К возмущения и для любой передаточной функции У/ € справедливо условие
оо
I{W,SV) = ±f \F(jw)\2 Sv(u,)du < \\F(W)\
I2 •
loo
0
Но тогда для любой W G SI и выполняется неравенство
It(W)= sup 11^)1^,
sve »
причем заметим, что точная верхняя граница здесь достигается. Действительно, множеству Si принадлежат функции S^ — тг<S(w, — w), Vw £ Й1, Введем обозначение wo = arg sup \F(jtü)\. Поскольку функция F является .правильной дробью без по-
ш€[0,оо)
люсов на мнимой оси, то величина шо либо конечна, либо бесконечно велика. В первом случае, поскольку 7г8(ш — wo) G нгьходим
оо
(W) = sup - f \F(ju)\2 Sr(u)du s^ea? TT J о
oo
= J \F{ju)\2 S{u - w0)dw = |F(jw0)|2 ,
0
а во втором случае аналогичное равенство можно получить предельным переходом при wo .-г» оо. В итоге имеем
I.(W)= sup I(W,SV) = sup TOw)|2 = |[F(W)||^. (19)
Sv£ SR . w6[0,oo)
Из доказанного равенства I${W) — Ioo(W), которое выполняется для любой передаточной функции W(s) G Q, следует, что задача (18) эквивалентна задаче
I00=I00(W)= F(W) 2 min , ■'■'■■' (20)
ОО WeClao
^оо — { W G Ro : F(W) G ДЯоо}, которая является типичным примером задач оптимизации в банаховом пространстве RHoo.
Известно, что решения задач (16) и (20) на множествах Ог и Ооо соответственно существуют.
3. Спектральный метод решения задачи (16). Минимизируемый функционал для этой задачи можно представить в виде
i2(w) = J I + ^WI' . (21)
J \A(iu)-B(jU)W(j») I2 V
Заметим, что непосредственный поиск минимума функционала I2(W) (21) затруднен в силу его нелинейной зависимости от передаточной функции W(s) регулятора.
л
Отмечей^ая трудность может быть преодолена путем параметризации множества О |пособом, предложенным работе [7], базирующимся на введении варьируемых функций-|йраметров Ф(з):
Ф (а) = Ф)РХ(8)+-0(8)Ри(8), (22)
Р
Г
[есь a¡(s) и ß(s) - любые полиномы, одновременно не обращающиеся в нули и обеспе-ивающие гурвицевость полинома
<?(«)= Л(в)0(в) + В(в)а(«). (23)
этим, что функции-параметры Ф(й) и передаточные функции W(s) в (21) связаны очевидными формулами
.'*-*(«> = &тг? ■ ,<24>
Введем в рассмотрение множество дробно-рациональных функций: ííf = е
fo: ¿^(Ф)) е №}. Нетрудно убедиться в том, что соотношения (24) определяют взаимно однозначное соответствие между множествами ííf и
Используя формулы (24), представим минимизируемый функционал (21) в явной зависимости от функции-параметра Ф:
¿со
\ J + (25)
о
• . ... Здесь и далее знак «-» над рациональной дробью означает замену ее аргумента s на
С учетом взаимно однозначного соответствия между множествами fif и Пг нетрудно убедиться в том, что'задача (19) эквивалентна задаче о поиске оптимальной функции-параметра Фо:
/(Ф) min , . Ф0 = arg min 7(Ф). (26)
Теорема 1. Функция-параметр Фо(з), являющаяся решением задачи (26), определяется соотношениями . -
[^аООЖ-з) - ßB{-s)} Sx{s) - R(s)Q(s) " ' G($)G{-8)Si{8). '
где R(s) = ¿' 9* K0PHU полинома G(—s) (полагаем, что все
- ^^ __ _
они простые); гурвицев полином G(s) - результат факторизации k2AÁ + В В г GG,
Доказательство. Преобразуем подынтегральное выражение в формуле (25), которое запишем следующим образом:
^(Ф)^(Ф) + А;2-Р1«(Ф)Д1(Ф) = (Ti - ПФ)(Тг - Г2Ф) + Т3, (27)
tfaÁ-0 G
QG ' 2~Q'
С учетом (27) функционал (25) принимает вид
j ОО JOO
1(Ф) = J (Tí-T2$){T1-T2$)Svlds+ J TzSipds.
о о
Поскольку второе слагаемое здесь не зависит от функции Ф, оптимальное решение Фо
задачи (26) одновременно является решением задачи 1(Ф) —> rain , где
$enf
оо
J($) = ¿ / ¡Т^ш) -Т2(и)Ф(и)\2 S^du,
— оо
или /(Ф) = [|JFt(s)5'i(5)||з = ||[Ti(s) -Та(в)Ф'(в)]51(в)||2. Подставляя сюда выражения для Ti и Т2 у находим
1( Ф) =
f k2aÄ — ßB G\ 2 v QG--51
(28)
Обратим внимание на то, что тривиального решения задачи, обеспечивающего нулевое значение функционала, на множестве нет. Действительно, полагая Ф = Ф = (к2аА — /ЗВ)/СО, получим /(Ф) = 0, однако Ф £ 0|> поскольку все корни полинома (5 = (?(—») расположены в правой полуплоскости, а все элементы множества должны иметь гурвицевы знаменатели.
Продолжим преобразование формулы (28), разделив оба слагаемых на выражение ((5/(т). Поскольку У2 = 1, имеем
7(Ф) = ||(М - Щ = ||MSt - LQStWl> ,, k2aÄ — ßB T G
Разложим произведение MSi в сумму ортогональных элементов с помощью тепли-цева <дм и ганкелева Г^ операторов:
/(ф) - |]©м(5i) + YM{Si) - LSS^l = = ||0m(SI) - ХФ&Н* + ||rM(5'i)ß .
Последнее равенство имеет место, так как в силу выполнения условий Гm(<Si) 6 RH2 и (QM{Si) — L$Si) € RH2 справедливо соотношение (0дг (Si) — ¿Фб^Л-Гм (Si),
Теперь найдем функции &m(Si) и Tm(Si)- С этой целью сепарируем рациональную дробь M(s)Si(s):
k2a(s)A(-s)-ß(s)B(-s)N(s) _ M1(s) R(s)
Q(s)G(-s) T(s) - Q(s)T(s) + G(-*y { У)
откуда следует, что
0м(51) = дМЩ' = (30)
В соответствии с (29) построим полином üE(s), для чего приведем правую часть к общему знаменателю, получая при этом k2aÁN—¡3BN = Mi(s)G(—s) + R(s)Q(s)G('s)T(s). Обозначая через </, (г = 1,п) корни полинома <?(—з),' нетрудно найти значения полинома R(s) в п комплексных точках R(gi)' — — * = Тогда, применяя
интерполяционную формулу Лагранжа, получим R(s) = J2 A{gi)T(g])G'9(-g{) •
Теперь обратимся к минимизируемому функционалу /(Ф) = ||©íw(Si) — ХФ^Цз + ||Гм (-S'x) 112 - Поскольку второе слагаемое не зависит от параметра Ф, то минимум достигается при равенстве нулю первого слагаемого. Покажем, что его можно обратить в нуль с помощью функции Ф из множества üf. На основании (29) и (30) имеем Ом (Si) = ^"qS138 Si - §. Тогда из условия 0м (Si) - L&S = 0 находим
ф - (k'aÁ-ISBWi-RQ
~ GGSi • _ _
При этом справедливы равенства [(к2аА — 'f3B)S\ — RQ] = 0, г = 1, п, т.е. числитель функции Фо(з) нацело делится на полином G(—s). Тогда, поскольку полиномы G(s) и Ñ(s) являются гурвицевыми, и знаменатель дроби Фо(«) - гурвицев полином. Кроме того, при условии Ф = Фо функционал /(Ф) принимает конечное значение
1(Фо) = Щ^У 2' т,е- G 0ТКУда следует Ф0 6 Í2* ■ ■ '
Теорема 2. Передаточная функция Wo(s) оптимального регулятора, являющегося решением исходной задачи (9) или (16), определяется выражением
' w ,-л _ ms)T(s)R(s) + B(-s)N(s)]/G(-s)
0{ } ~~ [B(s)T(s)R(s) - k2A(—s)N(s)} /G(-s)' ., 1 ;
где деление на полином G(—s) в числителе и знаменателе осуществляется нацело (без остатка).
Доказател ь с т в о. Выражение в правой части -(31) получается после подстановки оптимальной функции-параметра Фо(з) в (24) с выполнением элементарных преобразований, где учитываются формулы, определяющие полиномы Q(s) и G(s)G(—s).
Докажем делимость полинома A(s)T(s)R(s) + B(—~¿)N(s) без остатка на полином G(—s), имеющий корни gi(i — 1 ,та). Действительно, поскольку R(gi) — —B(-~gi)N(gi)/ [A(gi)T(gi)], то имеем A(gi)T(gi)R(gi) + B(—gi)N(g¡) = 0, что и доказывает делимость. Аналогично с дополнительным учетом тождества k2AÁ -f- В В — GG подтверждается и делимость на G(—s) полинома в знаменателе.
Обратим внимание на то, что передаточная функция Wo(e) (31)' оптимального регулятора не зависит от выбора вспомогательных полиномов a(s), /3(s) и определяется только исходными данными решаемой задачи. Иное доказательство теорем 1 и 2 приведено в работах [8, 9].
4. Спектральный метод поиска гарантирующего регулятора. Теперь обратимся к задаче (20), которая эквивалентна задаче (18) о поиске гарантирующего регулятора в частной ситуации, определяемой равенством к = 0 в среднеквадратичном функционале (11).
Представим полином B(s) в уравнении (7) объекта в виде
B(s) = Bh(s)Bn(-s), (32)
где Bh(s) - гурвицев полином, а Вп (—$) - полином, все корни $ которого, i — 1,1, расположены в полуплоскости Re з > 0.
Будем считать, что 1 ^ I < п, т.е. полином В (в) имеет, ;по крайней мере, один правый корень. ;
; В соответствии с (13) и (14) в данном случае получаем для замкнутой системы Рх(з) = 1/ [Л(я) — В(з)РГ(з)], При этом минимизируемый функционал, согласно (19). и (20), принимает вид
loo {W) = sup
W6[0,oo) \A(jiü) -B(ju)W{jü>) I
T
(33)
Как и для предшествующей задачи, осуществим параметризацию множества Г2 функциями-параметрами Ф(з) (22) с учетом обозначений (14). Введем в рассмотрение следующее множество дробно-рациональных функций:
« п* ={ф(«)€Яо:^(Ф))€ЯЯоо}.
При этом соотношения (24) определяют взаимно однозначное соответствие между множествами О*, и Оосг
Используя формулы (24), представим минимизируемый функционал (33) в явной зависимости от функции-параметра Ф:
т
/3 в — -I—Ф
Q Q
(34)
С учетом взаимно однозначного соответствия. между множествами О®, и fi«, нетрудно убедиться в том, что задача (20) эквивалентна задаче о поиске оптимальной функции-параметра Фто:
/оо(Ф) niin , Фоо = arg min ДФ).
(35)
Для решения задачи (35) могут быть привлечены различные подходы как во временной, так и в частотной области. Следуя [б], с учетом (32) преобразуем минимизируемый функционал:
1(Ф) =
L + BhÉn Ф
Q Q
л. ( Ё.Ёи л. ЁЬЁНф) n\QBn Q )
(3 вп BhBn -------ф
QBn Q
поскольку \Bn (—ju))/Bn (ju) | = 1. Вводя обозначения
Р(а) = M^ífL 6 д^ и х{в) = -ЩМй € ЛЯоо,
Q(s)Bn{-s) приведем задачу (35) к виду
í(X) = \\P-X\\l
min xeRHc
Q(s)
P € RL,
Л
oo;V.
что позволяет воспользоваться теоремой Нехари, в соответствии с которой
~ 2 2
min " ||Р — -Х^Лоо = ||Гр|| , где Гр ганкелев оператор с индексом Р. При этом ре-
X^RHoo
шение исходной задачи (35), можно получить, решая два вспомогательных уравнения Ляпунова [3].
Однако^примени^ иной подход, непосредственно использующий спектральные свойства, оптимальной замкнутой системы.
.Теорема 3. Функция-параметр Фоо'О5)"» являющаяся решением вспомогательной задачи (35), определяется равенством
Фоо (в) = [ToQ(s)C?o(s)-ß(s)]/B(s), (36)
где 7о - корень квадратный из максимального собственного значения положительно определенной эрмитовой матрицы
Go(s) - решение задачи интерполяции Неванлинны-Пика с исходными данными {^1/[7о Л(Д)],г = М}.
Доказательство. Зададим некоторое вещественное число 7 > 0 и попытаемся найти такую функцию Ф G fi*,, чтобы имело место неравенство
IIG9 + M)/giL^7.. . (за)
Поставленная промежуточная задача может быть трансформирована к известной эквивалентной задаче интерполяции Неванлинны-Пика [1]. С этой целью введем в рассмотрение дробно-рациональные функции вида
G(e) = D9(i) + JB(i)«(e)]/[7g(e)]. (39)
. Заметим, что, поскольку числа Д- - это корни полинома B(s), а функции Ф не имеют полюсов в правой полуплоскости, с учетом формулы (23), определяющей полином Q(s), имеем
Gißt) = ßißi)/ [7Qißi)} = 1/ bA(ßi)}, г = Ü.
Задача Неванлинны-Пика состоит в поиске такой функции G(s) £ RHкоторая удовлетворяет двум условиям:
11^(5)1^^1; G(ßi) = l/bA(ßi)}1 г = ТД. (40)
Искомая функция G = G-y(s) может быть определена за конечное число шагов с помощью простого вычислительного алгоритма, приведенного в [1]. При этом, по теореме Пика, необходимым и достаточным условием существования решения является неотрицательная определенность Г (7) ^ 0 эрмитовой матрицы Пика
fl-l/[72A(A)A(^)]|
1 fr+ßi Г
Если для заданного числа 7 указанное условие выполнено и найдена функция б — (х7(з), удовлетворяющая (40), то из соотношения (39) однозначно определяется функция, которая обеспечивает выполнение неравенства (38):
«м«) = - да]/[ад]. (41)
Обратим внимание на то, что в соответствии с формулами (23) и (40) числитель этой функции нацело делится на полином Bn(—s), но тогда знаменателем функции Ф7(а) является гурвицев полином JBft(s), т.е. Ф7(а) € 0,%.
Очевидно, что если найти такое минимальное число 7 = 7о >0, для которого существует функция (41), то тем самым будет найдено решение задачи (35) о минимуме функционала (34). Но это эквивалентно вопросу о минимальном числе 7 > 0, для которого выполнимы условия (40). Ответ на данный вопрос непосредственно следует из теоремы Пика: искомое минимальное число 7 = 70 > 0 есть корень квадратный из максимального собственного значения положительно определенной эрмитовой матрицы Гоо (37).
Замечание. Решение Go (s) задачи интерполяции Неванлинны-Пика является равномерно пропускающим (all-pass), т.е. \Go(ju)\ = const, Vw € [0,00).
Теорема 4. Передаточная функция Woq{s) оптимального регулятора, являющегося решением исходной задачи (18) или (20), определяется формулой
w М - ~ ra2(s)/7o] /Вп(-в)
Woo[S) ~ Вф)тг(в) ' (42j
где полиномы т\(s),rri2(s) - соответственно числитель и знаменатель дробно-рациональной функции Gq(s), деление на полином Bn(—s) в числителе осуществляется нацело (без остатка). При этом передаточная функция оптимальной замкнутой системы является равномерно пропускающей.
Доказательство. Для формирования передаточной функции регулятора подставим Ф = Фоо (36) в формулу (24):
Woo = W(Фоо) - АФ°° ~ а - oQGo ~
ВФТО + 0 BhjoQGo
откуда с учетом Go(s) = mi (s)/m2 (s) имеем (42). Делимость нацело на полином Bn(—s) непосредственно следует из формулы (40).
Рассмотрим передаточную функцию Fx(s) оптимальной замкнутой системы (7), (10) от возмущения к регулируемой переменной при условии, что W = W^ = И^оо/И^оо» W2oo(s) = Bh(s)m±(s), WiooCs) = [^(s)mi(s) - m2(s)/y0]/Bn(-s). При этом Fx = Ftn/A,
A(s) = A(a)W2oo(s) - B(s)Wl0Q(s) = Bh{s)m2{s)f7o
- характеристический полином замкнутой системы,
Fxn(s) = Wioo(s) = Bh(s)mi(s)
- числитель ее передаточной функции.
Тогда Fx(s) = 70mi(s)/m2(s) — y0Go(s), откуда следует, что
\Fx(ju)\ = 7о \Go(juj)\ = const, т.е. передаточная функция Fx(s) является равномерно пропускающей.
Summary
Veremey E. I. Spectral approach to control system optimization in the meaning of H2 and i?oo norms.
The special approach to a mean square synthesis problem is suggested taking into account the presence of external disturbance uncertainties. It allows to realize linear synthesis on the base of modern Hi- and Hoc-optimization theory.. Two new methods are developed to design the optimal controllers in a frequency domain.
Литература
1. Doyle J., Francis В., Tannenbaum A. Feedback control theory. New York, 1992.Vol. XI. 227 p.
2. Барабанов A. E., Первозванский А. А- Оптимизация по равномерно-частотным показателям (Н-теорйя) // Автоматика и телемеханика. 1992. № 9. С. 3-32.
3. Бокова Я. М., Веремей Е. И. Вычислительные аспекты спектрального метода Ноо-оптимального синтеза // Теория и системы управления. 1995. № 4. С. 88-96.
4. Поля к Б. Т., Щербаков П. С. Робастная устойчивость и управление. М., 2002. 303 с.
5. Веремей Е. И., Петров Ю. П. Управляемость линейных систем при наличии возмущающих воздействий. - Л., 1977. 19 с. - Деп. в ВИНИТИ, № 1984-77 от 20 мая 1977 г.
6. Francis В. A. A. course in Ноо control theory. Berlin, 1987. (Lecture Notes in Control and Information Sciences. Vol. 88) v ,f x
7. Алиев Ф. А., Ларин В. Б., Науменко К. И., Сунцев В. Н. Оптимизация линейных инвариантных во времени систем управления. Киев, 1978. 327 с.
8. Веремей Е. И. Частотный метод синтеза оптимальных регуляторов для линейных систем со скалярным возмущением (ч. 1) // Изв. вузов СССР. Электромеханика. 1985. № 10. С. 52-57.
9. Веремей Е. И. Частотный метод синтеза оптимальных регуляторов для линейных систем со скалярным возмущением (ч. 2) // Изв. вузов СССР. Электромеханика. 1985. № 12. С. 33-39.
Статья поступила в редакцию 10 мая 2004 г.
