CC BY
29
Веремей Е.И.
зав. кафедрой, профессор факультета ПМ-ПУ СПбГУ
e_veremey@mail.ru
Вопросы оптимизации цифровых систем управления и
обработки сигналов
Аннотация
В докладе обсуждаются базовые аспекты общей методологии аналитического проектирования цифровых систем с применением оптимизационного подхода. Основное внимание уделяется частной ситуации с конкретной реализацией этого подхода для синтеза линейных стационарных систем с обратной связью, функционирующих в дискретном времени. Предлагается спектральный метод минимизации функционалов, представленных нормами передаточных функций цифровых систем как элементов пространств Харди H2 и H«.
1. Введение
Применение цифровых динамических систем управления и обработки информации, базирующихся на современных компьютерных устройствах и технологиях, в настоящее время приобрело всеобъемлющий характер практически во всех отраслях науки, техники, экономики, образования и т.д. Естественно, что в основе построения и использования таких систем лежат различные общие идеи и конкретные способы формализации соответствующих содержательных задач, прежде всего - на математическом уровне.
Это обстоятельство определяет особую ответственность прикладных математиков и ИТ-специалистов за выбор, модификацию и разработку математических методов моделирования, анализа, синтеза и практической реализации цифровых систем. Эти методы должны в максимальной степени соответствовать возможностям и функциональной ориентации тех компьютерных средств, с помощью которых они реализуются, что в конечном итоге определяет суммарную эффективность процессов принятия решений, управления и обработки информации.
Современное состояние компьютерных технологий дает возможность выделить две стратегические линии, находящиеся в настоящее время в стадии бурного развития и постоянного совершенствования:
- параллельные вычисления, суперкомпьютеры (Parallel Computing and Supercomputers) и способы их эффективного применения;
- встраиваемые вычисления и системы (Embedded Computing and Systems) во всем многообразии их использования.
Оба указанных направления служат базой для реализации современных цифровых систем, хотя они имеют принципиальное различие.
В рамках первого из них используются мощные вычислительные ресурсы, предоставляемые пользователю, а второе, напротив, связано с существенными их ограничениями. Тем не менее, специальная ориентация математических моделей и методов на реализацию цифровых систем в соответствующей вычислительной среде позволяет существенно повысить эффективность их практического применения.
В частности, здесь представляется специализированный спектральный подход к синтезу цифровых систем с обратной связью, базирующийся на идеологии оптимизации линейных стационарных систем в пространствах Харди H2 и H« [1,2].
Принятый подход позволяет уменьшить время вычислений и объем оперативной памяти, что имеет особую значимость в тех ситуациях, когда по тем или иным причинам расчетный алгоритм синтеза используется для перенастройки в ходе функционирования систем, работающих в режиме реального времени. Это имеет особое значение для адаптивной реализации в составе различных встраиваемых систем автоматического управления и обработки сигналов.
2. Постановка задач H-оптимизации
Пусть задана математическая модель неизменяемой линейной стационарной части системы, функционирующей в дискретном времени n, в виде следующего разностного уравнения:
A(q)y[n] = B(q)u[n] + d[n] , n e N1, (1)
где y,u и d - скалярные дискретные процессы:y - контролируемая переменная, u - сигнал обратной связи (управление), d - внешнее воздействие; A(q) и B(q) - взаимно простые полиномы степеней v и m^v-1 от оператора q сдвига на такт вперед.
Будем замыкать объект (1) обратной связью
u = W (q) У, (2)
с передаточной функцией W (q) = W1(q)/W2(q), Wi,W2 - полиномы. В результате замыкания получим SISO-систему (1), (2) с уравнением [A(q) -B(q)W(q)]y = d, где d = {d[t] - случайный стационарный эргодический процесс со спектральной плотностью мощности
Sd(eJw)l„__z - Si(z)Si(z-1), Si(z) = N(z)/T(z), (3)
N(z) и T(z) - шуровские полиномы (все их корни находятся в открытом единичном круге D на комплексной плоскости).
Качество работы замкнутой цифровой системы (1), (2) в данном случае имеет смысл оценивать среднеквадратичным функционалом
1 N
I = I(W) = (y2) + k2(u2) = ^lim N£[У2[n] + k2u2[n]], (4)
n=1
который задан на ее движениях, k = const.
Если функция Sd (eJw) задана, то решается задача о синтезе оптимальной обратной связи, обеспечивающей минимум функционала (4) на множестве стабилизирующих регуляторов (2).
Если же функция Sd априори не задана, но известна её принадлежность допустимому множеству
* = k(ej): 1}Sd(ej)dw< ll ,(5)
то рассматривается задача о синтезе гарантирующей обратной связи по отношению к функционалу (4) с учетом (5).
Введем в рассмотрение множество RL рациональных дробей р(2) без полюсов на единичной окружности, а также гильбертово пространство
1 % 2
^2 с ж правильных функций с нормой И2 = — ||р(Уш)| ^. Справедливо
0
представление RL2 = RH2 ©, где пространство ш2 содержит все функции аналитические в круге D, а его дополнение ян^ - вне этого круга. Введем также пространство ^ с я1 правильных дробей, имеющих норму
"р"м = 'р(2)' ^Шад^ ^, выделяя из него подпространство ян„, включающее
все элементы аналитические вне единичного круга D.
Нетрудно убедиться в том, что указанные выше задачи оптимизации могут быть строго формализованы в следующем виде:
J2^) = |н(W)^||2 ^ шш , ={ W : н(W) £ ян2} ; (6)
^(W) = н(WУ& ^ Щ1. , Ою = { W : Н^) £ ЯНм} , (7)
где н ) - обобщенная передаточная функция замкнутой системы
Н(W)Н(2-1, W) - Ну (W)Ну (2-, W) + к2ни (W)Ни (2-1, W) . (8)
Здесь ну = 1/(А -и ни = W/(А -Ш) - передаточные функции этой системы по выходу и по управлению соответственно.
Заметим, что функционалы 2 и в задачах (6) и (7) нелинейно зависят от функций W, что существенно затрудняет их поиск. Эту трудность можно снять параметризацией множества стабилизирующих обратных связей, как показано в работе [3], вводя варьируемые функции-параметры Ф(2) формулами
Ф(2) = а(2)Ну (2) + Р(2)Ни (2), Q(2) = А(2)Р(2) + В(2)а(2), (9)
где а и р - любые полиномы, для которых < - шуровский полином. Формула (9) и тождество Ану- ВНи =1 дают однозначную связь
W = Lф (Ф) = ^^ Ф = = (10)
Ф ВФ + Р , ^ 7 А - BW' ( ^
а также выражения ну = (ВФ + р)/< и ни =(АФ-а)/<
Введем в рассмотрение два множества функций Ф(2) со всеми
полюсами внутри единичного круга: ^ = Дф(^2), ^ = L;Ф1(WM).
Тогда оптимизационные задачи (6) и (7) эквивалентны задачам
12 = 12 (ф) = J2 (L? (Ф)) = I\H(®)SH2 ^ mm (11)
ФРИ? , (±±)
1 со = 1 со (?) = JM (L? (?)) = IH(?)112 ^ min
ФеП? '
где н (Ф)н (Ф) = ну (Ф) ну (Ф)+k2 Ну (Ф) Ну (Ф).
Здесь и далее черта над дробью означает обращение переменной 2. Нетрудно показать, что функционалы ^(Ф) и 4,(Ф), представленные формулами (11) и (12), однозначно преобразуются к виду
12(Ф) = ) -Т2(е*)Ф(е-,ш)|2 + k2|з(е>)|2]?а(о)<1®, (13)
о
(Ф) = тах |т1(е^ш) - Т2(е* )Ф(е'т )|2 + k 2 Т3еш )|2 ], (14)
тбГО.я]
ме[0,л]'
где Т1, Т2 и тз - рациональные дроби с шуровскими знаменателями
Т1 ={к 2аЛ - РВ )/QG, Т2 = в/в, тз = VG , (15) причем полином О(2) - шуровский результат факторизации
k2ЛЛ + ВВ = ОО . (16) 3. Синтез оптимальных обратных связей
Представление минимизируемого функционала ^(Ф) в виде (13) позволяет легко найти оптимальную функцию-параметр Фо2( 2), а затем и передаточную функцию ^ = ^ (Фо2) оптимальной обратной связи.
Теорема 1. На множестве &ф существует единственная функция Фо2(2), обеспечивающая минимум функционала ^(Ф), причем
Ф = ^2оЛ - 2—рВ^ - RQ R(2) = ^ О(2) k2Л(g1 ^) (17) 02 ' £2 - gi в^,)ё'&) , ( )
где gi (1 = 1,V) - простые корни полинома О(2). Доказательство. После подстановки (15) в (13) имеем:
12 (Ф) =
С учетом тождества р(е )/О(е],я)|= 1 получим
k 2аЛ -РВ О ") ||2 2 ,, k2аЛ -РВ г О р - — Ф к = 1ШЯ - ЛФЯ. 112 М =--— L = —
ОО " в ФЯ =|м51-, М вО ' Q ■
Разложим М^16^2 в сумму ортогональных элементов с помощью теплицева ©м и ганкелева гм операторов с индексами м:
11©м №) + Гм (^) - LФSJ2 = II©м №) - LФSl ||2 + ||Гм (^ )|2, поскольку (©м (^1) - 1Гм (^1). При этом из сепарации рациональной дроби
м (2)^1(2) имеем
мш (2) = k 2а(2) Л( 2) - 2"-"Р( 2 )В( 2) N (2) ^ мд 2) + Я^) (.д)
( ) 1( ) в(2)О(2) Т(2) в(2)Т(2) О(2), ( )
откуда следует, что ©м (З) = м^вт, гм (51) = я/О . Из факторизации (16) находим
gV~mв(g1) = ^2 Л( gi) Л( g1)/В(^г), 1 = , что в соответствии с (19) при учете (9) позволяет получить
) = k2 Л(^г )/В(^г), 1 = ^. (20) Зная числа ), с помощью интерполяционной формулы Лагранжа находим полином Я(2) (17), причем из (19) следует
©м ф) = (к2аА - 2^трВ)^/(бО) - Я / О , Гм (S1) = Я / О . (21)
Обращаясь к (18) 4(Ф) = 11©м№)-+||ГМ(^1^12 + к2^/О||2 , замечаем, что второе и третье слагаемые не зависят от параметра Ф. Тогда минимум функционала достигается при условии ®ы О^)- = 0, отсюда, с учётом (21), следует (17).
В соответствии с формулой (21) нетрудно показать, что знаменатель Фо2( 2) - шуровский полином. Кроме того, при условии Ф = Фо2 функционал 12 принимает конечное значение 4ОФ 02) = 1Я / О2 + к 21К/ О12, следовательно Ф02 £^Ф, что и доказывает теорему. ■
Замечание: знак «~» обозначает обратный полином.
На базе теоремы 1 [5] легко найти решение задачи (8) в виде передаточной функции К оптимального регулятора, а также исследовать ее существенные спектральные особенности. Действительно, подставляя формулу (17) в (10) после выполнения достаточно простых преобразований с учетом (9) и (16) получаем единственным образом
% ( 2) = А 2 )Т (2 )Я(2 ) + 2 V-mN ( 2~В( 2)]/О( 2) 0 [в(2)Т(2)Я(2) - к2N(2)А(2)]/ О(2) ' (
С учетом (20) легко видеть, что деление на полином О (2) здесь осуществляется нацело, а выражение д0( 2) = - N (2)О( 2) дает характеристический полином замкнутой системы (1), (2) причем минимум
функционала определяется формулой 1/20 = ЩЩ /2°¥"> = 'я / + О|2.
4. Синтез гарантирующих обратных связей
Теперь рассмотрим задачу н -оптимизации (7), для решения которой будем искать такую функцию Ф( 2) £ ^, что
4(Ф) = |н(2,Ф)112 ¿у, (23) где у>0 - заданное вещественное число. Очевидно, что минимально достижимое у в (23) определяет решение задачи (7).
Заметим, что в соответствии с (14) задача (23) принимает вид
4(Ф) = ||H(z,Ф)||2 = max|Т(ej)-T2(ej)Ф(е>)| + k2T3(ejw)| j<y . (24)
Для решения задачи (24) введем вспомогательное число Ig:
Ig = max k2Т(ej)|2 = k2 maxll/G(eJw)|2 (25)
g ше[0,я] 1 3 1 ше[0,я]' 1 . J
Будем говорить, что в задаче (24) имеет место регулярная ситуация, если для любых Ф(z) ейф выполняется условие 4.(Ф) >Ig. Если же существуют такие функции Ф( z) еПф, что 4.(ф) = Ig, то ситуацию будем называть вырожденной.
Теорема 2. В регулярной ситуации задача (31) об ограничении нормы обобщённой передаточной функции H(лФ) сводится к задаче о поиске такой функции Ф^) е^Ф, чтобы выполнялось условие IKT + Т2Ф)Р||2 < 1, где P(z) 6 RH2 -весовой множитель, однозначно определяемый начальными данными.
Доказательство. Введём обозначение y = e+Ig, где е> о - такое число,
чтобы нашлись функции Ф(2) еПф, обеспечивающие (31), т.е.
Ще^)-Т2{е]ю)Ф(е-,ш)|2 <у-k2|Т3(е-;ш)|2 "ю 6 [0,л]. (26)
Согласно (25) у- k2 |т3(е"ю )|2 > о "юб[0, л], поскольку у> . Тогда существует такая дробь ^(2), что ^(е]ю)|2 =у-k2|Т3(е"ю)|2 "Ю6[0,л],
^ <г-у-, Lу« ■ О^, (27)
где шуровский полином Яу определяется факторизацией
Яу (2)Яу (2) ■уО(2)О (2) - к2. (28)
Тогда имеем \т1(езю) - т2(е]ю )Ф(е"ш )|2 < |яу (е1ю)/О(е1ю )|2 "ю 6 [0, л] после подстановки (27) в (26), или ИСТ -Т2Ф)Л12 < 1, где Р = О(2)/Яу(2), что и доказывает теорему. ■
Теорема 3. Задача о поиске функции Ф(2) б&ф, указанной в теореме 3, имеет решение для таких и только для таких величин у>^, для которых знакоположительна эрмитова матрица Ду) = {11,(у)}, построенная для корней gi полинома О(2):
I" = (1 -Р,Р" )/(1 -1/), Р, =-В (gl )|СЛ(gг )Яу ^)), 1," = . (29)
Доказательство. Подставляя выражения Р =О( 2)/ Яу(2) и (15) в формулу 2(2,у,Ф) = Р(2,у)[Т1(2) -Т2(2)Ф(2)], получим
" k 2а(2 ) Л( 2) -Р( 2)В ( 2) О ( 2)
г (2, у, Ф) = О(2)
Яу ( 2)
Ф(2)
(30)
в(2)О(2) в(2)
откуда с учетом О = 0 следует 2 (я „ у, Ф) = -В(я 1)/[Л(я1 )Яу (я ¿)], поскольку из (16) имеем к1!^ = -В(я1 )В(я1 )/Л(я1 ). Тогда из (29) р; = 2 С^ ), 1 = 1, V, причем 1>1, и для функций Ф должно быть
\\г (2)|м< 1, г (я 1) = р 1, 1 = , (31) что определяет задачу Неванлинны-Пика [2], причем необходимым и достаточным условием существования её решения является неотрицательная определённость эрмитовой матрицы Пика Ду). ■
Теорема 4. Пусть 2(2у) - любое решение задачи (31) Неванлинны-Пика при заданной величине у>4. Тогда для него существует единственная функция Ф = Ф(2,у) бПф, определяемая формулой
- 2(2, у)в(2)Яу (2) +еа(2)Л (2)-Р(2)В(2)
Ф(2,у) =-у п лг< л-, (32)
О(2)О (2)
для которой Рлу)[Т1(2)+Т2(2)Ф0(2,у)]^ г(2,у).
Доказательство. Пусть задано число у> , для которого Ду) ^0, и найдено решение задачи (31). Тогда, в соответствии с (30),
|ф4 г, (33)
откуда следует формула (32). Нетрудно показать на основании (41), (19) и (10), что числа не входят в состав полюсов ф , поскольку одновременно являются и нулями этой функции. Согласно (24) имеем
4 (Ф( 2, у)) = н(2, Ф( 2, у)||;<у<», т.е. н £ ян2, и Ф( 2, у) £^Ф. ■
Заметим, что минимальное число у = у0 ^^ для условия (23), легко найти как минимальное решение уравнения ^(Ду)) = 0 на интервале ,2), где 8шш - минимальное собственное значение матрицы Ду). В силу особенностей задачи (31), при у = у 0 она имеет одно решение ([2])
^(2,у0) = т^2)/т2(2), (34) причем т1(2) = /722(2) , где т2(2) - шуровский полином.
Теорема 5. Решением задачи (7) гарантирующего синтеза в регулярной ситуации по отношению к функционалу (4) с учётом (5) является обратная связь (2) с передаточной функцией
Ш , ч _ W00l(z) _ [А(2 )/~2 (2 )Яу (2) 2^ + 2-тВ(2)т2(2)\/ О(2)
Wо«(2) = „г , , —г-~---, (35)
Wда2 (2) [в(2)т2 (2)Яу (2)2к2А(2)т2(2)]/О(2) ^ 1
где полином т2 определяется решением (34) задачи (31) при условии у = у0, яу(2) - шуровский результат факторизации (28), где у = у0.
Доказательство. Пусть найдено число у = у0 > 4, для которого построим передаточную функцию ^ = (Ф0):
W = АФ0 -а =^0А£Я1+ВЮ Г36 ^ = --(36)
ВФо +ß - Q{BZR1- k 2 A )/ G с учетом (9) и (16). Вводя обратные полиномы и учитывая (34), приходим к формуле (35). Аналогично доказательству теоремы 1, легко показать, что в ее числителе и знаменателе имеет место делимость на полином G( z), а характеристический полином замкнутой системы представляется выражением <V> - AW«2-BW«i --m2G .
И, наконец, в соответствии с формулой (34), решение задачи (31) является равномерно пропускающей (all pass) функцией, поскольку Z(ej)| = |m2(e Jw^^^)| - i. Используя формулы (8) и (35) легко показать, что таким же свойством обладает и обобщённая передаточная функция (z), для которой |Яо„(ejw)|2 -уо . ■
5. Пример синтеза цифровых систем
Пусть задан дискретный линейный объект с моделью
(q2 + 0.215q - 1.18)y[n] = (q + 0.990)и[и] + d[n], n e N1, (37) для которого A(z) = z2 + 0.2i5z-i.i8, B(z) = z+0.990, v = 2, m = l. Введем спектральную плотность Sd с единичной H2 -нормой:
Sd(eJwjz - Si(z)Si(z-1), Si(z) - N(z)/T(z), (38) где N (z) = 0.301z+°.255 и t (z) = z2 + i.82z+0.828 - шуровские полиномы, и будем рассматривать функционал с весами k e (0,2]:
1 N
I = I(W) = (y2) + k2(u2) = lim — £(y2[n] + k2u2[n]) . (39)
N^да N '
n=l
Решая задачу (6) для значения k = 0.153, последовательно получим:
G = -1.05z2 -0.964z + 0.0263 , G = 0.0263z2 -0.964z -1.05 , G = G/z2 , g = 37.7 ,£2 = -106, R(z) = 0.0133z-0.509 , W01(z) = 0.506z3 + 0.194z2--0.751z -0.474 , W02(z) = 0.506z2 + 0.902z + 0.403 .
Для объекта (37), замкнутого регулятором и = / ^02) у, имеем следующие значения н2 -норм и минимизирумого функционала:
Jy =||Ну^Ц2 = 3.41, Ju = ||НАИ2 = 77.9 , J20 = ^¡2 = 5.23 . (40) На рис. 1 показана кривая -1у = ^«Л) для оптимальных замкнутых систем при k6 (0,2], причем точка м2 соответствует (40).
Для решения задачи (7) при тех же исходных данных с весом k = 0.153 используем полученные ранее полиномы О и о с корнями , Я2 . В соответствии с (25) находим 4 =618, а решение уравнения 8шт(Ду)) =0 приводит к гарантии у0 = 619.
Рис. 1. Кривая '7у = F(Ju). Рис. 2. Функции Лш(ю) и Лн2(ю)
После выполнения факторизации (28) при условии у = у 0 находим полиномы Яу(2) = -2.5422 - 2.472+0.0673 и ^2(2) = 11.32-0.300 для решения (34) задачи Неванлинны-Пика (31). Далее по формуле (35) формируем функцию
(2) = W2l(2)/ Г„2(2) :
Woo1<2) = 29.125 + 3.6424 -33.323 -9.9122 + 0.2862 , W22<2) = 29.124 + 26.223 -0.89222 + 0.2572 -0.00671.
2
Соответствующая частотная характеристика Лн1(ю) = |н02 (е]ю )| представлена на рис. 2, а величины -1у,-1и для найденного регулятора дают точку М0 на рис. 1.
Заметим, что полученные передаточные функции не являются правильными дробями, что делает невозможной их непосредственную реализацию. Однако положение может быть исправлено методами, указанными в работе [4]. В частности, в качестве приближения к оптимальной гарантии построена реализуемая передаточная функция Wg = Wg1/ Wg ,
частотной
н
и
н
в
внимания
где Wg1 = 2.2122 -0.6272-2.84, Wg2 = 22 + 3.392 + 2.39 , с
характеристикой Лн 2(ю) = |н(е"ю )|2 (рис. 2). 6. Заключение
Вопросы оптимизации по нормам пространства Харди последние десятилетия находятся в центре особого специалистов, занимающихся цифровыми системами управления и обработки сигналов. Тем не менее, в рамках Я-теории продолжаются интенсивные исследования по повышению эффективности алгоритмов синтеза и получаемых с их помощью решений.
В данной работе предложен один из вариантов экономичных
алгоритмов расчета оптимальных цифровых систем. Обратим особое внимание на тот факт, что синтез передаточной матрицы W(z) обратной связи, однозначно определяет соответствующий цифровой фильтр, обладающий линейным и стационарным свойством. Его реализация в виде программного кода не вызывает никакого труда и легко автоматизируется. В этом смысле привлечение оптимизационного подхода в рассматриваемом случае можно трактовать как автоматизированное формирование программного обеспечения, реализующего обратные связи в замкнутых цифровых системах.
Литература
1. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. - М.: Наука, 2002. - 303 с.
2. Doyle J., Francis B., Tannenbaum A. Feedback control theory. New York: Macmillan Publ. Co., 1992. - 227 p.
3. Алиев Ф. А., Ларин В. Б., Науменко К. И., Сунцев В. Н. Оптимизация линейных инвариантных во времени систем управления. - К.: Наукова думка, 1978. - 327 c.
4. Веремей Е. И., Петров Ю. П. Метод синтеза оптимальных регуляторов, допускающий техническую реализацию // Математические методы исследования управляемых механических систем. - Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1982.- С. 24 - 31.
5. Веремей Е.И. Алгоритмы решения одного класса задач H^-оптимизации систем управления // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2011. - № 3. - С. 52 - 61.
