СПЕКТР ОДНОМЕРНЫХ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ СЛОИСТОЙ СРЕДЫ, СОСТОЯЩЕЙ ИЗ УПРУГОГО МАТЕРИАЛА И ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Brzozowski J.A., Luba Т. Decomposition of Boolean functions specified by cubes //J. Multiple Valued Logic and Soft Comput. 2003. 9. 377-417.

2. Meier W., Pasalic E., Ca,riet С. Algebraic attacks and decomposition of Boolean functions // Advances in Cryptology — EUROCRYPT 2004. Lect. Notes Comput. Sei. Vol. 3027. Berlin: Springer, 2004. 474-491.

3. Жук Д.Н. Предикатный метод построения решетки Поста // Дискрета, матем. 2011. 23, № 2. 115-128.

4. Cook S.A. The complexity of theorem proving procedures // Proc. Third Annual ACM Symposium on Theory of Computing (STOC'71). Association Comput. Machinery. N.Y., 1971. 151-158.

5. Левин JI.А. Универсальные задачи перебора // Пробл. передачи информ. 1973. 9, № 3. 115-116.

6. Climent J.J., Garcia F. J., Requena V. The degree of a Boolean function and some algebraic properties of its support // Trans. Inform, and Commun. Technol. 2013. 45. 25-36.

7. Alon N. Combinatorial Nullstellensatz // Combin. Probab. and Comput. 1999. 8, N 1-2. 7-29.

8. Chevalley C. Démonstration d'une hypothèse de M. Artin // Abh. Math. Semin. Univ. Hamburg. 1936. 11. 73-75.

9. Warning E. Bemerkung zur vorstehenden Arbeit von Herrn Chevalley // Abh. Math. Semin. Univ. Hamburg. 1936. 11. 76-83.

10. Papadimitriou C.H., Zaehos S. Two remarks on the power of counting // Proc. 6th Conf. Theor. Comput. Sei., Lect. Notes Comput. Sei. Vol. 145. Berlin: Springer, 1983. 269-276.

11. Belovs A., Ivanyos G., Qiao Y., Santha M., Yang S. On the polynomial parity argument complexity of the combinatorial Nullstellensatz // Proc. 32nd Comput. Complex. Conf. (CCC'17). Schloss Dagstuhl-Leibniz-Zentrum fuer Informatik. Vol. 30. Dagstuhl, 2017. 1-24.

Поступила в редакцию 11.09.2019

УДК 534-18

СПЕКТР ОДНОМЕРНЫХ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ СЛОИСТОЙ СРЕДЫ, СОСТОЯЩЕЙ ИЗ УПРУГОГО МАТЕРИАЛА И ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

А. С. Шамаев,1 В. В. Шумилова2

Исследован спектр одномерных собственных колебаний слоистой среды с периодической структурой, состоящей из изотропного упругого материала и вязкой несжимаемой жидкости. Установлено, что точками спектра являются корни трансцендентных уравнений. Для многослойных сред при численном решении этих уравнений в качестве начальных приближений предложено использовать корни квадратных уравнений.

Ключевые слова: спектр, собственные колебания, слоистая среда.

The spectrum of one-dimensional natural vibrations of a layered medium with a periodic structure consisting of an isotropic elastic material and a viscous incompressible fluid is studied. It is established that the spectrum points are the roots of transcendental equations. In order to solve these equations numerically for multi-layered media, the roots of quadratic equations are proposed to use as initial approximations.

Key words: spectrum, natural vibrations, layered medium.

Исследование спектров собственных колебаний двухфазных сред, состоящих из твердого материала и жидкости, является актуальной задачей механики гетерогенных сред. Среды такого типа

1 Шамаев Алексей Станиславович — доктор физ.-мат. наук, гл. науч. сотр. лаб. механики управляемых систем ИПМех РАН; проф. каф. дифференциальных уравнений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: shamQrambler.ru.

2Шумилова Владлена Валерьевна — канд. физ.-мат. наук, науч. сотр. лаб. механики управляемых систем ИПМех РАН, e-mail: v.v.shumilovaQmail.ru.

Shamaev Aleksei Stanislavovich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Senior Researcher, Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics RAS, Laboratory of Control of Mechanical Systems; Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Differential Equations.

Shumilova Vladlena Valerievna — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Researcher, Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics RAS, Laboratory of Control of Mechanical Systems.

могут иметь как естественное, так и искусственное происхождение: к первым можно отнести, например, флюидонасыщенные горные породы и нефтеносные пласты, а ко вторым — фильтры. Знание структуры указанных спектров и точное описание их точек позволяет находить такие важнейшие динамические характеристики гетерогенных сред, как собственные частоты колебаний и коэффициенты затухания собственных колебаний. В настоящей работе получены уравнения для нахождения точек спектров одномерных собственных колебаний слоистой среды, состоящей из изотропного упругого материала и вязкой несжимаемой жидкости. Следует отметить, что подобные уравнения для двухфазных слоистых сред, состоящих из изотропных упругого и вязкоупругого материалов, были выведены в работах авторов [1, 2].

Рассмотрим полосу 0 < Х\ < Ь в пространстве М3, заполненную чередующимися слоями изотропного упругого материала и вязкой несжимаемой жидкости. Предполагается, что слои параллельны плоскости ОХ2Х3, а жидкость заполняет М полос е(1 — К)/2 + еш < Х\ < е(1 + К)/2 + еш, где е = Ь/М, 0 < К < 1, ш = 0,...,М — 1, М ^ 2. Таким образом, периодом слоистой среды является полоса 0 < Х1 < е, содержащая два "упругих" слоя одинаковой толщины е(1 — К)/2 и один "жидкий" слой толщины еК.

Определяющие соотношения, связывающие компоненты тензоров напряжений и малых деформаций слоистой среды, и условие несжимаемости жидкости имеют вид

а£ = ацкнекк(и£), Х е

(ди£ \ ди£

— ), СИУ— = 0, X е П2е,

Лё^дкк + К^гк+ Ьл^к), 0 ^ г,], к,К ^ 3,

где и£(х,Ь) — вектор перемещений, а£ — тензор напряжений, в(пе) — тензор малых деформаций, — символ Кронекера, п — коэффициент вязкости жидкости, р£(х,Ь) — давление в жидкости, Л и р _ параметры Ламе упругого материала,

м-1

П.3£ = взе х М2 (8 = 1,2), Б2е = У (е(К1 + ш),е(К2 + ш))

т=0

__1 — Ъ 1 + Л

01е = (0,Ь)\02е, Ь = =

Начально-краевая задача, описывающая одномерные колебания в слоистой среде вдоль оси Ох1, записывается в виде

д2и£ д2п£

= а1~оЩ' + /(Ж1>^)> Х1 е г>1е'> д2и£ др£ .. . д2и£ ^

и£ (е(Кк + ш) — 0,г) = и£ (е(Кк + ш)+0,г), к = 1,2; ди£

аг — (е(Л.1 + т) - 0, ¿) = -р£ (е(1ц + т) + 0, ; ди£

аг — {е{к2 + т) + 0, = -р£ {е{к2 + т) - 0, ¿);

ди£

т = о,..., М — 1, и£(0,г) = и£(ь,г) = О, и£(хъ 0) = —(жь0) = о,

где и£(х1 ,Ь) — смещение точки, имевшей в положении равновесия абсциссу Х1 в момент времени Р1 — плотность упругого материала; р2 — плотность жидкости; а1 = а1111 = Л + 2р; f(х1 ,Ь) — функция внешней силы, направленная вдоль оси Ох1.

Применяя преобразование Лапласа и£(х1 ,Ь) ^ и£(х1), р£(х1,Ь) ^ (х\), запишем предыдущую задачу при f (х1,Ь) = 0 в изображениях Лапласа:

2 д2и£р

рг( и\ = хг е Би] (1)

dpi duf

uf (e(hk + m) - 0) = uf (e(hk + m) + 0), fc = 1,2; duf

aidx ^hl + m) ~ = (£(hl + + °); duf

aidx ^h2 + m) + = + - °);

m

= 0,...,M - 1, uf(0) = uf(L) = 0.

Под спектром одномерных собственных колебаний слоистой среды вдоль оси Ох\ понимается множество Бе всех комплексных значений £ = £(е), при которых последняя задача имеет нетривиальные решения у (Х1) и ^(х^. При этом множество Ее всех положительных мнимых частей точек спектра Бе образует спектр собственных частот одномерных колебаний, т.е. Ее = {ш = 1т£ : £ € Бе, 1т £ > 0}.

Для того чтобы найти элементы множеств Бе и ^обозначим ч ерез К квадратную матрицу 2-го порядка, такую, что

uf (е + em) \ / uf (em)

„ _ 1 I „ £

а^е + ет)) К*т " (3)

Выписывая решения и^(х1) и ^(х1) дифференциальных уравнений (1) и (2) при Х1 € (ет, е(Л-1 + т)), х1 € (е(Н1 + т),е(Н2 + т)) и х1 € (е(Н2 + т),е(т + 1)), а затем используя граничные условия при х1 = е(Нк + т), можно показать, что К^т = К|, т.е. элементы матрицы К^т не зависят от т и

(Щ) и = (Щ)22 = С08 Ъ(А£е) + втЪ(А£е), А = (1 - 1г)М,

2л/р1а1 V а1

= + ^ (Ш5Ь('4«£) " 11'

(Щ)21 = + (соъЦА^е) + 1).

В силу условия ие(0) = ие(Ь) = 0 из матричного равенства (3) получаем

дУ | = (К!)м ( дие I ,

а значит, множество Бе — это корни уравнения (К)^ = 0. С помощью рассуждений, приведенных в работах [1, 2], доказывается, что последнее уравнение разбивается на М уравнений

(#1)12 = 0, (К1)п + (Щ) 22 = 2со8^, к = 1,..., М — 1. (4)

К е

получаем, что спектр Бе состоит из корней М уравнений

M

•• — — s

cosh(^) + Sinh(^e) = cos к = 1,..., М - 1. (6)

M=1

ящей из трех слоев — двух упругих и одного жидкого), то спектр Бе представлял бы собой только

корни уравнения (5). Таким образом, поиск точек спектра одномерных собственных колебаний слоистой среды, состоящей из M периодов, сводится к решению M трансцендентных уравнений (5), (6). Эти уравнения можно решить только численно, например с помощью принципа аргумента, хорошо известного из теории функций комплексного переменного. При этом для многослойных сред в качестве начальных приближений естественно взять конечные пределы последовательностей корней уравнений (5), (6) при е ^ 0. Для того чтобы найти эти пределы, подставим в (5) и (6) разложения

и, 1 A А£е)2га . и, , _ A (A£e)2n_1 пк A (-1)n (епк^ 2n

coshM£e) = 1 + > , {, , sinhMie) = > ——, cos — = 1 + > ^—1

n=1 v ' n=1 n=1

Переходя затем к пределу при е — 0, нетрудно показать, что для уравнения (5) не существует конечных предельных точек последовательностей его корней, в то время как для к-го уравнения (6) этими точками являются корни квадратных уравнений

+ = * = СО

где ро = р\Н + р2(1 — К) — плотность усредненной среды, соответствующей двухфазной слоистой среде [1, 3]. Следует отметить, что объединение корней уравнений (7) при всех к € N представляет собой "усредненный" спектр, под которым мы будем понимать спектр Б одномерных собственных колебаний усредненной среды вдоль оси Ох\, т.е.

8 = и Ы,2к = ±Шо,к, Шо,к = ~Г 1 1

ьу (1 — К)ро'

где г — мнимая единица, шо,к — собственная частота одномерных колебаний усредненной среды.

Полученные результаты совместно с теоремой Руше позволяют сделать вывод о сходимости спектров Бе — Б по Хаусдорфу, что означает выполнение двух условий: 1) для любого £ € Б найдется последовательность £е € Бг, такая, что £е — £ при е — 0 2) если £е € Бги £е — £о < ж при е — 0, то £о € Б. В этом плане предельное поведение спектра Бе аналогично поведению спектра собственных колебаний упругих композитов, т.е. твердых микронеоднородных сред без диссипации (это следует из результатов работы [4]). Любопытно также отметить, что если в исходной среде жидкие слои заменить на слои изотропного вязкоупругого материала Кельвина-Фойгта, то указанной сходимости по Хаусдорфу не будет: пределом по Хаусдорфу является множество Би{£1^, где £1 — отрицательное вещественное число.

Для того чтобы продемонстрировать степень близости точек спектров Бе и Б и ее зависимость от числа слоев, рассмотрим четыре образца слоистой среды, занимающие полосу 0 < х1 < Ь при Ь = 0.3 м и отличающиеся друг от друга только числом и толщиной слоев. Для первого образца принимаем М = 1, е = 0.3 м; для второго — М = 3 е = 0.1 м; для третьего — М = 6, е = 0.05 м; для четвертого — М = 10 е = 0.03 м. Их остальные числовые характеристики берем следующими: К = 0.2, р1 = 2000 кг/м3, р2 = 1000 кг/м3, Л = 2 • 108 Па, / = 1.4 • 108 Па. Заметим, что мы можем не задавать значение вязкости жидкости п, поскольку коэффициенты уравнений (5)-(7) не зависят от п-

Численное исследование показывает, что внутри круга |£| = 3.2 • 104 с-1 комплексной плоскости спектр Бе для каждого из четырех образцов слоистой среды состоит из десяти чисто мнимых точек ±гшм,к, к = 1,2,... , 5. Так как и усредненный спектр Б содержит только чисто мнимые точки ±Шо,к, то сравнение спектров Бе и Б будем проводить, вычисляя собственные частоты колебаний шм,к и шо,к слоистой и усредненной сред.

В таблице указаны собственные частоты шо>1, ..., шо,5 и шм,ъ ■■■: шм,ъ при М = 1, 3, 6,10. Для сравнения в этой же таблице выписаны собственные частоты Ш1, ..., Ш5 одномерных колебаний сплошного упругого материала, из которого состоят упругие слои исходной среды и который целиком заполняет полосу 0 < Х1 < Ь.

к шк, с"1 Wo ,ki С 1 _1 Wl,fc, с W3)fc, с 1 W6 ,ki с 1 WlO,fc, С 1 Лб,к, % Aio.fc, %

1 5130.2 6046.0 5706.6 6042.3 6045.1 6045.7 0.015 0.005

2 10260.4 12092.0 12825.5 12049.7 12084.6 12089.5 0.061 0.021

3 15390.6 18138.0 17254.1 17119.7 18109.6 18129.1 0.157 0.049

4 20520.8 24184.0 25651.0 24267.4 24099.5 24161.7 0.351 0.092

5 25651.0 30230.0 29092.9 30084.8 29965.6 30182.7 0.882 0.157

Дадим некоторые пояснения к приведенным результатам вычислений: £ = ±шм,к при M = 1, k ^ 5 или M = k = 3 являются корнями уравнения (5), а при остальных значениях шм,к из таблицы — корнями уравнений (6). При этом уравнение (5) при M = 6 и M = 10 не имеет корней, удовлетворяющих условию |£| < 3.2• 104 с-1. Численный анализ показывает, что при фиксированном k корни £ = ±1шм,к уравнения (5) "уходят" на бесконечность при неограниченном увеличении M, т.е. шм,к ^ œ при M

В таблице также приведены относительные погрешности Ашм,к корней Шо,к квадратного уравнения, принимаемых в качестве приближенных значений корней 1шм,к трансцендентных уравнений (6) при M = 6 и M = 10. Мы видим, что увеличение числа периодов в 5/3 раз привело к довольно значительному повышению точности приближенных значений гшо,к-

Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ (проект №16-11-10343).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Шамаев А. С., Шумилова В. В. Асимптотическое поведение спектра одномерных колебаний в среде из слоев упругого материала и вязкоупругого материала Кельвнна-Фойгта // Тр. Матем. ин-та РАН. 2016. 295. 218-228.

2. Shamaev A.S., Shumilova V.V. Calculation of natural frequencies and damping coefficients of a multi-layered composite using homogenization theory // IFAC PapersOnLine. 2018. 51, N 2. 126-131.

3. Gilbert R.P., Mikelic A. Homogenizing the acoustic properties of the seabed: Part I // Nonlinear Analysis. 2000. 40. 185-212.

4. Олейник О. А., Иосифьян Г. А., Шамаев А. С. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. М.: Изд-во МГУ, 1990.

Поступила в редакцию 11.09.2019

УДК 519.21

ВЕРОЯТНОСТЬ РАЗОРЕНИЯ В МОДЕЛЯХ СО СТОХАСТИЧЕСКИМИ ПРЕМИЯМИ

А. А. Муромская1

Изучается вероятность разорения страховой компании в рамках двух различных моделей риска со стохастическими премиями. Получены оценки сверху для вероятности разорения при условии, что или процесс поступления страховых требований, или процесс поступления страховых премий строится с помощью процесса восстановления.

Ключевые слова: страхование, модель риска со стохастическими премиями, вероятность разорения.

The probability of ruin of an insurance company is studied under two different risk models with stochastic premiums. Upper bounds for the probability of ruin are obtained provided that either the aggregate claims process or the aggregate premium process is constructed using the renewal process.

Key words: insurance, risk model with stochastic premiums, ruin probability.

Первые математические модели, основанные на принципах деятельности страховых компаний, появились в начале XX в. Значительный вклад в развитие теории риска внесли работы шведских математиков Ф. Лундберга [1] и Г. Крамера [2, 3], положившие начало изучению механизма функционирования страховых компаний на основе модели, в соответствии с которой процесс поступления страховых требований описывался с помощью пуассоновского потока. Данная модель впоследствии получила название классической модели риска Крамера-Лундберга. Именно в рамках модели

1 Муромская Анастасия Андреевна — канд. физ.-мат. наук, ассист. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: aa-muromskayaQyandex.ru.

Muromskaya Anastasia Andreevna — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Assistant, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Probability Theory.