CC BY
4Краткие сообщения
УДК 510.52
О НЕПРИВОДИМОСТИ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ ОТНОСИТЕЛЬНО КОММУТАТИВНОЙ АССОЦИАТИВНОЙ ОПЕРАЦИИ
Г. В. Сафонов,1 Г. В. Боков,2 В. Б. Кудрявцев3
В работе исследуется проблема представления булевых функций в виде fi о ... о fm, где о — коммутативная ассоциативная операция и f i,..., fm — булевы функции меньшей арности. Для каждой коммутативной ассоциативной операции определены необходимые и достаточные условия отсутствия такого представления и найден соответствующий класс алгоритмической сложности.
Ключевые слова: булевы функции, коммутативные ассоциативные операции, разложение, сложность.
The paper is focused on decomposition of Boolean functions on the form fi о ... о fm, where о is a commutative associative ope ration and fi,...,fm are Boolean functions with fewer arguments. For each commutative associative operation, we define necessary and sufficient conditions for the absence of such a decomposition and find the related complexity class.
Key words: Boolean functions, commutative associative operations, decomposition, complexity.
Представление булевых функций в виде суперпозиции более простых функций является важной фундаментальной проблемой, сохраняющей актуальность и по сей день. Разложение булевых функций на простые компоненты используется в оптимальном синтезе логических устройств [1], в построении алгебраически стойких шифраторов [2] и во многих других областях.
В настоящей работе рассматриваются разложения булевых функций f £ P^ арности п в виде
f = fl о ... о fm, (1)
где о — коммутативная ассоциативная операция на {0,1} и fi,...,fm — булевы функции арности меньше п. Функции, непредставимые в виде (1), будем называть о-неприводимыми. Например, функция xi V Х2 является Л-неприводимой, а функция x\ Л Х2 является V- и ©-неприводимой, где V, Л и © — логическая дизъюнкция, конъюнкция и сумма по модулю 2 соответственно. Нас будут
о
Irredo — проблема проверки о-неприводимости булевых функций, заданных булевыми формулами.
Сложность Л- и V-неприводимости. Напомним, что для любого набора (ai,..., an) £ {0,1}n набор (ai,..., ец_1 ,ТЦ, ец+1,..., ап) называется смежным с набором (ai,..., ап) для любого 1 ^ г ^ п.
Набор а £ {0,1 }n будем называть a-существеннъш для функции /, где a £ {0,1}, если f(a) = а и /(/?) = а для всех смежных с а наборов /3 £ {0,1}га. Например, набор (0,0) является 0-существенным для функции xi V Х2, а набор (1,1) является 1-существенным для функции xi Л x2.
Обозначим через 3xn+i f (xi,..., xn+i) функцию g(xi,..., xn), такую, что g(ai,...,an) = 1 ^ 3an+i £{0,1}: f(ai,...,an+i) = 1,
Сафонов Георгий Владимирович — студ. каф. математической теории интеллектуальных систем мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: gosha-safQyandex.com.
2Боков Григорий Владимирович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. математической теории интеллектуальных систем мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: bokovQintsys.msu.ru.
3Кудрявцев Валерий Борисович — доктор, физ.-мат. наук, проф., зав. каф. математической теории интеллектуальных систем мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: ilakyQbk.ru.
Safonov Georgiy Vladimirovich — Student, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Mathematical Theory of Intelligent Systems,
Bokov Grigoriy Vladimirovich — Associated Professor, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Mathematical Theory of Intelligent Systems.
Kudryavtsev Valeriy Borisovich — Professor, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Head of Chair of Mathematical Theory of Intelligent Systems.
и через Vхп+1 / (х\,... ,хп+1) функцию д(х\,... ,хп), такую, что
д(а\,..., а,п) = 1 ^ V ап+1 е{0,1}: f (аь...,ап+1) = 1.
Справедлив следующий критерий Л-неприводимости.
Лемма 1 [3]. Следующие условия равносильны:
1) ¡'является Л-неприводимой;
2) / обладает 0-существенным набором;
3) f = ¡1 Л ... Л ¡п, где /¿(хь .. .,х—1 ,хг+1,.. . ,х,п) = 3хг f (х1,.. .,Хп)•
Отсюда по принципу двойственности получаем критерий У-неприводимости.
Лемма 2. Следующие условия равносильны:
1) /является V-неприводим,ой;
2) /обладает 1-существенным набором;
3) f = /1 V ... V и, где /¿(хь .. .,х—1 ,хш,.. . ,х,п) = Vxi f (х1,.. .,х,п).
Условие 2 лемм 1 и 2 гарантирует, что 1ггеёд и 1ггеёу принадлежат NP — классу всех задач, решаемых на недетерминированной машине Тьюринга за полиномиальное время. Докажем более сильное утверждение.
Теорема. 1ггеё0 является NP-полной задачей для о е {Л, V}, т.е. существует полиномиальное сведение любой задачи из класса, NP к этой проблеме.
Доказательство. По принципу двойственности достаточно доказать, что 1ггеёу является NP-полной задачей. Поскольку проблема выполнимости булевых формул является NP-пoлнoй [4, 5], мы осуществим полиномиальное сведение задачи выполнимости булевых формул к задаче У-неприводи-мости.
Рассмотрим булеву функцию /(х1,..., хп), заданную булевой формулой Р. Пусть Рг — булева формула, выражающая условие
если Л (х1,..., хг-1,0,х+, ...,х,п) = Л (хь .. .,х—1,1,х+,. ..,х,п) = 1, то хг = 0.
Несложно убедиться, что формула Рг может быть построена с помощью формулы Р таким образом, что \Рг \ = О(|Р |), где \Р \ — число символов в фор муле Р. Обозначим через С формулу Р ЛР1 Л.. .ЛРп. По построению |С| = О (|Р|2). Докажем, что формула Р выполнима тогда и только тогда, когда формула С У-неприводима. По лемме 2 это равносильно тому, что функция д, заданная формулой С, обладает 1-существенным набором.
Если формула Р выполнима, то существует набор а е {0,1}п, такой, что / (а) = 1. Рассмотрим минимальный относительно лексикографического порядка набор а с таким свойством. Тогда / (в) = 0 для всех смежных н аборов в ^ а, поэтому д(а) = 1 и д(в) = 0 для всех смежных наборов в ^ а. Для каждого смежного набора в а, такого, что / (в) = 0 выполнено д(в) = 0. Если же / (в) = 1 и табор а смежен с в по переменной хг, то /¿(в) = 0 ГДе ¡г — функция, заданная формулой
Рг. Поэтому д(в) = 0 для всех смежных наборов в а и, значит, а является 1-существенным д
Р С д
1
Сложность ф- и о-неприводимости. В заключение рассмотрим оставшиеся две коммутативные ассоциативные операции на {0,1} — сумму по модулю 2 ф и эквивалентность о. Справедлив следующий критерий ф- и о-неприводимости.
Лемма 3 [6]. Следующие условия равносильны:
1) / является ф-неприводимой;
2) / является о-неприводимой;
3) число наборов (а1,..., ап) е {0,1}п; т,аких, ч,то /(а1,..., ап) = 1, нечетно.
Стоит отметить, что лемма 3 является следствием более общих теорем об алгебраических многочленах — комбинаторной теоремы о нулях [7] и теоремы Шевалле-Варнинга [8,9]. Из леммы 3 следует, что 1ггеёф и 1ггеё^, а также их дополнения принадлежат одному классу сложности. Следующая лемма утверждает, что 1ггеё0 для о е {ф, о} является ф^^^^^^^й проблемой, где фP — класс всех задач, котрые решаются на недетерминированной машине Тьюринга за полиномиальное время и для которых условием принятия их экземпляра а малиной М является нечетность числа всех путей в М, принимающих а [10].
Лемма 4 [11]. 1ггеё0 является ф^^^^^^^й задачей, для, о е {Л, V}.
Для дальнейшего исследования представляет интерес получение условий и оценка сложности проверки неприводимости к-значных функций относительно коммутативных ассоциативных операций на {0,1,... ,к — 1} при к ^ 3.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Brzozowski J.A., Luba Т. Decomposition of Boolean functions specified by cubes //J. Multiple Valued Logic and Soft Comput. 2003. 9. 377-417.
2. Meier W., Pasalie E., Ca,riet С. Algebraic attacks and decomposition of Boolean functions // Advances in Cryptology — EUROCRYPT 2004. Lect. Notes Comput. Sei. Vol. 3027. Berlin: Springer, 2004. 474-491.
3. Жук Д.Н. Предикатный метод построения решетки Поста // Дискрета, матем. 2011. 23, № 2. 115-128.
4. Cook S.A. The complexity of theorem proving procedures // Proc. Third Annual ACM Symposium on Theory of Computing (STOC'71). Association Comput. Machinery. N.Y., 1971. 151-158.
5. Левин JI.А. Универсальные задачи перебора // Пробл. передачи информ. 1973. 9, № 3. 115-116.
6. Climent J. J., Garcia F. J., Requena V. The degree of a Boolean function and some algebraic properties of its support // Trans. Inform, and Commun. Technol. 2013. 45. 25-36.
7. Alon N. Combinatorial Nullstellensatz // Combin. Probab. and Comput. 1999. 8, N 1-2. 7-29.
8. Chevalley C. Démonstration d'une hypothèse de M. Artin // Abh. Math. Semin. Univ. Hamburg. 1936. 11. 73-75.
9. Warning E. Bemerkung zur vorstehenden Arbeit von Herrn Chevalley // Abh. Math. Semin. Univ. Hamburg. 1936. 11. 76-83.
10. Papadimitriou C.H., Zachos S. Two remarks on the power of counting // Proc. 6th Conf. Theor. Comput. Sei., Lect. Notes Comput. Sei. Vol. 145. Berlin: Springer, 1983. 269-276.
11. Belovs A., Ivanyos G., Qiao Y., Santha M., Yang S. On the polynomial parity argument complexity of the combinatorial Nullstellensatz // Proc. 32nd Comput. Complex. Conf. (CCC'17). Schloss Dagstuhl-Leibniz-Zentrum fuer Informatik. Vol. 30. Dagstuhl, 2017. 1-24.
Поступила в редакцию 11.09.2019
УДК 534-18
СПЕКТР ОДНОМЕРНЫХ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ СЛОИСТОЙ СРЕДЫ, СОСТОЯЩЕЙ ИЗ УПРУГОГО МАТЕРИАЛА И ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
А. С. Шамаев,1 В. В. Шумилова2
Исследован спектр одномерных собственных колебаний слоистой среды с периодической структурой, состоящей из изотропного упругого материала и вязкой несжимаемой жидкости. Установлено, что точками спектра являются корни трансцендентных уравнений. Для многослойных сред при численном решении этих уравнений в качестве начальных приближений предложено использовать корни квадратных уравнений.
Ключевые слова: спектр, собственные колебания, слоистая среда.
The spectrum of one-dimensional natural vibrations of a layered medium with a periodic structure consisting of an isotropic elastic material and a viscous incompressible fluid is studied. It is established that the spectrum points are the roots of transcendental equations. In order to solve these equations numerically for multi-layered media, the roots of quadratic equations are proposed to use as initial approximations.
Key words: spectrum, natural vibrations, layered medium.
Исследование спектров собственных колебаний двухфазных сред, состоящих из твердого материала и жидкости, является актуальной задачей механики гетерогенных сред. Среды такого типа
1 Шамаев Алексей Станиславович — доктор физ.-мат. наук, гл. науч. сотр. лаб. механики управляемых систем ИПМех РАН; проф. каф. дифференциальных уравнений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: shamQrambler.ru.
2Шумилова Владлена Валерьевна — канд. физ.-мат. наук, науч. сотр. лаб. механики управляемых систем ИПМех РАН, e-mail: v.v.shumilovaQmail.ru.
Shamaev Aleksei Stanislavovich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Senior Researcher, Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics RAS, Laboratory of Control of Mechanical Systems; Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Differential Equations.
Shumilova Vladlena Valerievna — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Researcher, Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics RAS, Laboratory of Control of Mechanical Systems.
