CC BY
8Дадим некоторые пояснения к приведенным результатам вычислений: £ = ±шм,к при M = 1, k ^ 5 или M = k = 3 являются корнями уравнения (5), а при остальных значениях шм,к из таблицы — корнями уравнений (6). При этом уравнение (5) при M = 6 и M = 10 не имеет корней, удовлетворяющих условию |£| < 3.2• 104 с-1. Численный анализ показывает, что при фиксированном k корни £ = ±1шм,к уравнения (5) "уходят" на бесконечность при неограниченном увеличении M, т.е. шм,к ^ œ при M
В таблице также приведены относительные погрешности Ашм,k корней îwq,к квадратного уравнения, принимаемых в качестве приближенных значений корней шм,к трансцендентных уравнений (6) при M = 6 и M = 10 Мы видим, что увеличение числа периодов в 5/3 раз привело к довольно значительному повышению точности приближенных значений îwq,к-
Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ (проект №16-11-10343).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Шамаев А. С., Шумилова В. В. Асимптотическое поведение спектра одномерных колебаний в среде из слоев упругого материала и вязкоупругого материала Кельвнна-Фойгта // Тр. Матем. ин-та РАН. 2016. 295. 218-228.
2. Shamaev A.S., Shumilova V.V. Calculation of natural frequencies and damping coefficients of a multi-layered composite using homogenization theory // IFAC PapersOnLine. 2018. 51, N 2. 126-131.
3. Gilbert R.P., Mikelic A. Homogenizing the acoustic properties of the seabed: Part I // Nonlinear Analysis. 2000. 40. 185-212.
4. Олейник О. А., Иосифьян Г. А., Шамаев А. С. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. М.: Изд-во МГУ, 1990.
Поступила в редакцию 11.09.2019
УДК 519.21
ВЕРОЯТНОСТЬ РАЗОРЕНИЯ В МОДЕЛЯХ СО СТОХАСТИЧЕСКИМИ ПРЕМИЯМИ
А. А. Муромская1
Изучается вероятность разорения страховой компании в рамках двух различных моделей риска со стохастическими премиями. Получены оценки сверху для вероятности разорения при условии, что или процесс поступления страховых требований, или процесс поступления страховых премий строится с помощью процесса восстановления.
Ключевые слова: страхование, модель риска со стохастическими премиями, вероятность разорения.
The probability of ruin of an insurance company is studied under two different risk models with stochastic premiums. Upper bounds for the probability of ruin are obtained provided that either the aggregate claims process or the aggregate premium process is constructed using the renewal process.
Key words: insurance, risk model with stochastic premiums, ruin probability.
Первые математические модели, основанные на принципах деятельности страховых компаний, появились в начале XX в. Значительный вклад в развитие теории риска внесли работы шведских математиков Ф. Лундберга [1] и Г. Крамера [2, 3], положившие начало изучению механизма функционирования страховых компаний на основе модели, в соответствии с которой процесс поступления страховых требований описывался с помощью пуассоновского потока. Данная модель впоследствии получила название классической модели риска Крамера-Лундберга. Именно в рамках модели
1 Муромская Анастасия Андреевна — канд. физ.-мат. наук, ассист. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: aa-muromskayaQyandex.ru.
Muromskaya Anastasia Andreevna — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Assistant, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Probability Theory.
Крамера-Лундберга многими учеными в XX и XXI вв. исследовались математические задачи, посвященные различным аспектам страхового бизнеса (см., например, работы [4-6]). Основное предположение данной модели заключается в том, что капитал страховой компании в момент времени t имеет вид
Nt
Xt = x + ct-Y^ Yi, t ^ 0,
i=i
где x — это начальный капитал, c — интенсивность поступления премий, Nt — пуассоновский процесс. При этом случайные величины {Yi}, обозначающие размеры исков, являются независимыми, одинаково распределенными и неотрицательными. Процесс Nt также не зависит от {Yi}. Таким образом, в классической модели риска Крамера-Лундберга предполагается, что премия поступает в страховую компанию непрерывно. Подобное допущение упрощает расчеты, но может негативно сказываться на точности оценивания различных актуарных показателей в рамках данной модели. В 2002 г. A.B. Бойков в работе [7] предложил другой подход к моделированию поступления премий, а именно рассмотрел следующий процесс:
Pt Nt
Xt = x + Y Cj -YI Yi, t ^ 0, j=i i=i
где Pt — это тоже пуассоновский процесс, а случайные величины {cj } независимы (между собой и от Pt), неотрицательны и одинаково распределены. Кроме того, процессы ^2р= i Cj и Yli=ti Yi также полагаются независимыми. В работе [7] найдены интегральные уравнения и экспоненциальные оценки для вероятности неразорения страховой компании на бесконечном промежутке времени и приведены интегродифференциальные уравнения для вероятности неразорения на конечном промежутке времени. Предложенная модель со стохастическими премиями вызвала большой интерес среди исследователей. В рамках данного подхода были получены и другие различные результаты, связанные не только с вероятностями разорения и неразорения [8], но и, например, с функцией Гербера-Шиу [9]. Также изучались модели, представляющие собой модификации той, что описана в работе [7]. Так, в статьях [10, 11] введено дополнительное условие, что страховая компания является акционерной и должна выплачивать дивиденды своим акционерам, а в статье [12] введена возможность инвестирования. Однако во всех упомянутых публикациях, как и в работе [7], предполагалось, что Pt Nt
Pt Nt
цессом восстановления. Изучению вероятности разорения в рамках подобных более общих моделей и будет посвящена настоящая работа.
Итак, пусть сначала капитал компании имеет вид
Pt Nt
Xt = X + Y Cj -Y Yi,t > 0, (1)
j=1 i=1
где Pt является пуассоновским процессом с параметром Ai, а Nt — процессом восстановления. Моменты поступления требований обозначим {Tn} (при этом To = 0). Предполагаем также, что случайные величины {Yi} являются невырожденными и выполнено условие -^Щ- — \\Ecj < 0. Докажем тогда, что справедливы две следующие вспомогательные леммы (здесь и далее My (r) = EerYi, MT(r) = EerTl, Mc(r) = Eercj и my(r) = lnMy(r), mT(r) = lnMT(r)).
Лемма 1. Существует не более одного от,личного от, нуля корня уравнения
My(r)MT (Ai(Mc(-r) - 1)) = 1, (2)
и если данный корень существует, то он положителен.
Доказательство. В первую очередь подчеркнем, что нуль принадлежит множеству корней уравнения (2). Далее рассмотрим функцию 9(r), определенную равенством
My(r)MT (-d(r) + Ai(Mc(-r) - 1)) = 1. (3)
Очевидно, что R будет являться корнем уравнения (2) тогда и только тогда, когда R — нуль функции 9(r). Таким образом, нам необходимо понять, сколько нулей может иметь функция 9(r) и какого знака могут быть эти нули. Для этого прологарифмируем равенство (3):
my(r) + mT (-0(r) + Ai(Mc(-r) - 1)) = 0
и возьмем вторую производную по г:
т'У (г) - (0"(г) - ХМ—т)) ш'т(-0(г) + Х1(Мс(-т) - 1))+
+ (0'(г) + Л1МС(-г))2шТ^(—0(г) + Хг(Мс(-г) - 1)) = 0.
Согласно лемме 1.9 работы [13], т'У(г) > 0 и т'Т(-0(г) + Л1(МС(-г) - 1)) ^ 0. Кроме того, легко показать, что т'т(-0(г) + Л1(МС(-г) - 1)) > 0 и М"(-г) > 0. Получаем
Шу(г) + {в'{г) + А1М^(-г))2т£(-0(г) + Х1{Мс{-г) - 1))
у \г) = -Т1—777^-. ,г ,-ч-ттт--Ь л\М (—Г) > и,
тТ(-0(г) + Л1(Мс(-г) - 1)) с1
а значит, функция 0(г) выпукла вниз. Также мы знаем, что 0(0) = 0, и кроме этого в силу (3)
Л4(0)мт(0) ЕУг
в (0) = Му(0)Л4(0) - Л1Мс(0) = ш\- Х1Ес> <
Отсюда следует, что функция 0(г) не имеет нулей на луче (-те, 0) и может иметь не более одного нуля на промежутке (0, то) □
Лемма 2. Пусть существует единственный корень К > 0 уравнения (2). Тогда случайный процесс с дискретным временем является мартингалом.
Доказательство. Преобразуем условное математическое ожидание Е[е-ЯХТп+1 | Ттп]:
Е
е-КХтк+1 | тТп
= Е[е-ЯХТп+1 +кХТп-*ХТП | = е-ПХтп Е
= е-КХтп Е
ртп+1
-я| £ с, -Уп+1
з=ртп +1
-К(Хтп + 1 -Хтп )
Тт
Тт
= е-КХтп Е
тп + 1
-к Е с,
еКУп+1 е ,=ртп +1
= е-КХтп Му (К)Е
тп+1
-к Е с,
з=ртп +1
Рассмотрим последний множитель отдельно:
Е
Ртп+
-к Е
=Е
" Ртп+1
п
з=Ртп +1
е-Кс ,
=Е
Е
Рт-
п+1
П е-Ес1 | Ртп+1 ,Ртп з=Ртп +1
=Е
(Мс (-К))Ртп+1
Ртп + 1 -Ртп
=Е
е(Ртп+1 -Ртп) 1п(Мс (-К))
Легко проверить, что если £ имеет распределение Пуассона Ро18(а:), то М^(у) = Ееу = еа(еУ 1). Отсюда получаем
Е
0(Ртг++1 -Ртп) 1п(Мс (-к))
=Е
о\1(тп+1-тп)(е1п(мс(-*))-1)
= Мт (Л1(Мс(-К) - 1))
К
Е
-КХт
Тт
= е-КХтп Му (К)Е
рт +1
-к Е с
3 1 = ртп +1
= е-кХтп Му(К)Мт (Л1 (Мс(-К) - 1)) = е-кХтп
и случайный процесс {е кХтп } является мартингалом. □
е
с
, = ртп +1
е
Теперь перейдем к доказательству существования оценки сверху для вероятности разорения страховой компании. Пусть т = т^ ^ 0 : XI < 0] — это момент разорения страховой компании, капитал которой в момент времени Ь имеет вид (1). Тогда ф(х) = Р(т < те|Хо = х) — вероятность разорения и справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Пусть существует единственный корень К > 0 уравнения (2). Тогда имеет место следующее неравенство для вероятности разорения страховой компании ф(х):
-Ях
ф(х) ^ e
Доказательство. В силу теоремы об оптимальной остановке
e-Rx = E [e-RX^ = e [e-RXЦТ^}] + E [e-BXT"I{r>Tn}] ^ E [e-RX{. Далее, устремляя n к бесконечности и используя теорему о монотонной сходимости, получаем
lim E [e-RXI{T^t„}] = E \ lim e-RX{^ }1 = E [e-RXI{r<^}] > P(t < ж),
а значит,
е-Ях ^ ф(х),
что и требовалось доказать. □
Пусть теперь капитал компании имеет вид
Рг N
X = х + I] 3 Ъ> 0, (4)
3=1 г=1
где является процессом восстановления, а N — пуассоновским процессом с параметром Л2- Моменты поступления премий обозначим } (при этом 50 = 0). Предполагаем также, что случайные величины {с,-} являются невырожденными и выполнено условие \2EYi — < 0. Кроме того, введем новое обозначение Ms (о) = Еед81. В данной модели будут справедливы сформулированные ниже леммы 3 и 4 и теорема 2, доказательства которых не приведены, поскольку они аналогичны доказательствам соответственно лемм 1 и 2 и теоремы 1. Как и ранее, т = т^Ь ^ 0 : XI < 0] — это момент разорения страховой компании, капитал которой в момент времени Ь имеет вид (4), ф(х) = Р(т < те|Х0 = х) — вероятность разорения.
Лемма 3. Существует не более одного от,личного от, нуля, корня уравнения
Мс(-о)Мз (Л2(Му(о) - 1)) = 1, (5)
и если данный корень существует, то он положителен.
Лемма 4. Пусть существует единственный корень Q > 0 уравнения (5). Тогда, случайный
процесс с дискретным временем {е-^Хвк } является мартингалом.
Теорема 2. Пусть существует единственный корень Q > 0 уравнения (5). Тогда, имеет место следующее неравенство для вероятности разорения страховой компании ф(х):
ф(х) < е-ф.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Lundberg F. Approximations of the probability function // Reinsurance of collective risks. Uppsala: Doctoral thesis, 1903.
2. Cramer H. On the mathematical theory of risk. Stockholm: Skandia Jubilee Volume, 1930.
3. Cramer H. Collective risk theory. Stockholm: Skandia Jubilee Volume, 1955.
4. Калашников В.В., Константинидис Д.Г. Вероятность разорения // Фунд. и прикл. матем. 1996. 2, № 4. 1055-1100.
5. Azcue P., Muler N. Optimal reinsurance and dividend distribution policies in the Cramer-Lundberg model // Math. Finance. 2005. 15, N 2. 261-308.
6. Gerber H.U., Shiu E.S. W., Smith N. Methods for estimating the optimal dividend barrier and the probability of ruin // Insurance: Math. Econom. 2008. 42, N 1. 243-254.
7. Бойков А.В. Модель Крамера-Лундберга со стохастическими премиями // Теор. вероятн. и ее примен. 2002. 47, № 3. 549-553.
8. Zinchenko N., Andrusiv A. Risk process with stochastic premiums // Theory Stochast. Process. 2008. 14, N 3-4. 189-208.
9. Ьа,ЪЪё С., Sendova К.P. The expected discounted penalty function under a risk model with stochastic income 11 Appl. Math, and Comput. 2009. 215, N 5. 1852-1867.
10. Dong H., Liu Z.M., Zhao X.H. Risk process with barrier and random income // Appl. Math. E-Notes. 2010. 10. 191-198.
11. Ragulina 0. The risk model with stochastic premiums, dependence and a threshold dividend strategy // Mod. Stochast.: Theory Appl. 2017. 4, N 4. 315-351.
12. Belkina T.A., Konyukhova N.B., Kurochkin S.V. Singular boundary value problem for the integrodiflferential equation in an insurance model with stochastic premiums: analysis and numerical solution // Comput. Math, and Math. Phys. 2012. 52, N 10. 1384-1416.
13. Schmidli H. Lecture notes on risk theory. Cologne: Institute of Mathematics, University of Cologne, 2000.
Поступила в редакцию 16.10.2019
УДК 532.54.031
ОБ ОСОБЕННОСТЯХ ПРОНИКАНИЯ ВЕРТИКАЛЬНЫХ СВОБОДНЫХ ТУРБУЛЕНТНЫХ СТРУЙ ЧЕРЕЗ ПОВЕРХНОСТЬ ЖИДКОСТИ В УЗКИХ КАНАЛАХ РАЗНОЙ ПРОТЯЖЕННОСТИ
В. П. Карликов1, А. Т. Нечаев2, С. Л. Толоконников3
Представлены новые результаты экспериментального изучения процесса проникания вертикальных плоских и круглых турбулентных струй через поверхность жидкости, находящейся в относительно узких каналах разной протяженности с водосливным режимом стока. Обсуждается характер полученных экспериментальных зависимостей для периода возникающих автоколебательных режимов течений. Выполнен анализ ряда обнаруженных особенностей изучаемых течений.
Ключевые слова: струя, свободная поверхность, проникание, автоколебания.
New results of experimental investigation of the penetration of vertical plane and circular turbulent jets through a free surface of a liquid in relatively narrow channels of different extent are presented in case of the overflow regime of water removal at the end sides. The behavior of the experimental correlations for the period is discussed for self-oscillating flow patterns. An analysis of some new peculiar properties of the flows under consideration is given.
Key words: jet, free surface, penetration, self-oscillation.
В работе fl] описан обнаруженный авторами новый парадокс симметрии (по терминологии Г. Биркгофа [2]), состоящий в возникновении, несмотря на наличие первоначальной симметрии, регулярных устойчивых автоколебательных режимов течений при проникании свободных жидких
1 Карликов Владимир Павлович — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. гидромеханики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: karlikovQmech.math.msu.su.
2 Нечаев Артем Тимурович — ассист. каф. гидромеханики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: artm26Qmail.ru.
3 Толоконников Сергей Львович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. гидромеханики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: tolslQmech.math.msu.su.
Kariikov Vladimir Pavlovich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Head of Chair of Hydromechanics.
Nechaev Artem Timurivich — Assistant, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Hydromechanics.
Tolokonnikov Sergey Lvovich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Hydromechanics.
