Рекуррентные уравнения для вероятностей разорения страховой компании для некоторых моделей риска Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.86:368

Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2013. Вып. 4

РЕКУРРЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДЛЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ РАЗОРЕНИЯ СТРАХОВОЙ КОМПАНИИ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ МОДЕЛЕЙ РИСКА*

Т. М. Товстик1, В. Ю. Богдан2

1. С.-Петербургский государственный университет, канд. физ.-мат. наук, доцент, [email protected]

2. С.-Петербургский государственный университет, студент, [email protected]

В статье выведены рекуррентные формулы для вычисления вероятности разорения страховой компании при выплатах страховых возмещений. Задача решается для двух моделей риска, одна из которых — классическая модель Крамера—Лундберга, в которой величины страховых возмещений распределены по показательному закону. Вторая — рисковая, в которой случайные премии и страховые возмещения независимы и имеют показательные распределения. Число премий — однородный процесс Пуассона, а страховые случаи происходят в те же моменты, в которые поступают премии, но их интенсивность равна некоторой доле от интенсивности числа премий. Полученные вероятности дают возможность вычислить вероятности разорения на бесконечном интервале, а также для первой модели оценить, а для второй модели найти вероятности разорения на конечном интервале.

Введение. Математические разработки помогают страховым компаниям понять связь параметров моделей риска с вероятностями разорения. Классическая модель риска, называемая моделью Крамера—Лундберга [1], предполагает, что число страховых случаев (исков) подчиняется закону Пуассона, премии (взносы клиентов) компании увеличиваются с постоянной интенсивностью, а страховые возмещения независимы и одинаково распределены. Если страховые возмещения подчиняются экспоненциальному закону, то получаем модель Эрланга. Для модели Крамера—Лундберга известны уравнения, которым подчиняются вероятности неразорения на бесконечном [1] и конечном [2] временных интервалах, а для модели Эрланга получены явные выражения для вероятности неразорения на бесконечном [1] и конечном [2] временных интервалах. В статье [3] для модели со случайными независимыми премиями и возмещениями получены интегральные и интегро-дифференциальные уравнения для вероятности неразорения соответственно на бесконечном и конечном промежутках времени, а при экспоненциальных распределениях премий и возмещений найдена явная формула вероятности неразорения на бесконечном временном интервале. В статье [4] для несколько видоизмененной случайной модели Бойкова [3] получены аналогичные результаты. В работах [1-4] для соответствующих моделей доказаны неравенства, ограничивающие сверху вероятности разорения.

А в данной статье рассматриваются модели, в которых изменение капитала происходит случайными независимыми одинаково распределенными скачками, каждый из которых может привести к разорению. Скачки происходят через случайные неза-

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 11-01-00769-а).

© Т. М. Товстик, В. Ю. Богдан, 2013

висимые одинаково распределенные промежутки времени. Найден алгоритм рекуррентного вычисления вероятностей разорения компании при каждом из скачков. Для двух моделей выведены явные рекуррентные уравнения вычисления этих вероятностей. Первая модель — это модель Эрланга. Вторая модель имеет экспоненциально распределенные независимые случайные премии и иски, причем премии поступают по закону Пуассона, а страховые случаи поступают в те же моменты, что и премии, но с меньшей интенсивностью. Полученные вероятности разорения при каждой выплате иска дают возможность проследить тенденцию изменения вероятности разорения на бесконечном временном интервале, а также для первой модели оценить, а для второй модели получить вероятности разорения на конечном интервале. Приводятся примеры.

1. Основные предположения и общая постановка вопроса. Исходный капитал компании обозначим через и (и > 0), вероятность разорения компании на бесконечном временном интервале — через Ф(м), а на интервале (0,;) —через Ф(м,£). В дальнейшем предполагаем, что число страховых случаев N(;) к моменту времени ; является однородным процессом Пуассона с интенсивностью Л, EN(;) = Л;, где ; — время, в качестве единицы измерения которого принят один год.

Пусть имеется последовательность независимых событий Бк , к = 1, 2,..., осуществление каждого из которых приводит к изменению капитала компании на случайную величину Ск, и разорение может произойти только в момент появления одного из событий Б к. Предполагается, что величины Ск, к = 1, 2,..., независимы, одинаково распределены и имеют плотность распределения /(ж). По прошествии п событий капитал будет равен

п

Кп = и й . (1.1)

к= 1

Для обеспечения платежеспособности компании должно выполняться неравенство

ЕСк < 0. (1.2)

Разорение произойдет в момент появления события Бп, если Кп < 0 и Дк > 0 при 1 < к < п. Пусть Рп(и) —вероятность разорения компании в момент появления события Бп, а Рп(и) —вероятность неразорения вплоть до этого же момента, тогда

Рп (и) = Р(Йк > 0, 1 < к < п) = Р ( С1 < и, ^ Ск < и,. . . , ^ Ск <и ) =

к=1 к=1 /■ и !■ и — Х1 !■ и— £ П-11 Хк

= / /с (ж1) / / (ж2) ... / / (жп)^Ж1 ...¿Жп, (1.3)

Рп(и) = Р(Дп < 0; Дк > 0, 1 < к < п) =

(2 п—1 п \

С1 < и, ^ Ск < и, . . . ^ Ск < и, ^ Ск > и I =

к=1 к=1 к=1 ^ п-2

/и 1-и—х 1 ги — 1^ к=1 Хк гто

/с (Ж1М / (ж2) ... / (Жп—1М _ 1 /с (Жп ...¿Жп.

-то ^—ТО ^—ТО и —^ П-1 Хк

(1.4)

оо

оо

оо

Как видно из формул (1.3) и (1.4) эти вероятности связаны соотношениями P (u) = 1 - Pi (u), pP2(u)= Pl (u) - P2 (u),..., Pk (u)= Pk—i (u) - Pk (u),...

Пусть Ak —событие, состоящее в разорении в момент появления события Sk, тогда P(Ak) = Pk (u). При разных к эти события несовместны, их объединение соответствует разорению компании, поэтому

*(u) = £ Pk (u), (1.5)

k=i

а вероятность неразорения компании равна

1 - ад = lim Pk(u) = PTO(u). (1.6)

k—

Пусть P(u, N) — вероятность того, что разорение произойдет не позже момента появления события Sn , тогда

N

P(u, N ) = ^ Pk (u) = 1 - Pn (u) (1.7)

k=i

и справедливы равенства

N

lim V(Pk(u) - Pk+i(u)) = 1 - PTO(u) = lim P(u, N) = *(u). (1.8)

NN k=i

Заметим, что Pn(u) можно представить в виде

/и

fz (xi )Pn-i (u - xi )dxi, n = 2, 3,..., Pi(u)= P(Z>u), (1.9)

а также в виде

/и Си — Y^, fc = 1 Xk ( ^ \

fz (xi) .../ fz (xi)P„—Л u Xk dxi, ...dxi, i < n.

\ k=i J

(1.10)

На основе формул (1.9) и (1.10), если позволяют плотности fz(x), можно в явном виде найти рекуррентные уравнения, которым подчиняются вероятности Pn(u) при разных n. Рассмотрим два случая, в которых удалось вывести соответствующие рекуррентные формулы.

2. Модель Эрланга. Рекуррентные уравнения для вероятностей разорения в моменты наступления страховых случаев. Предположим, что страховые возмещения £k, к = 1, 2,..., — независимые одинаково распределенные случайные величины с показательной плотностью распределения f (x) = i exp(-x/^). Число страховых случаев N(t) к моменту времени t — это однородный процесс Пуассона с интенсивностью Л, EN(t) = At. При этих условиях промежутки времени 6k между наступлениями (к - 1)-го и к-го страховых случаев независимы и одинаково распределены по показательному закону с параметром A (см. [5]). Предположим, что случайные величины £k, к = 1, 2,..., и процесс N(t) взаимно независимы, тогда независимы и случайные величины £k и 6j.

Капитал Z(;) компании в момент времени ; равен

N (4)

^ (;) = и + с; — ^ Ск. (2.1)

к=1

Здесь с — интенсивность поступающих премий за год.

Здесь и в дальнейшем предполагается, что иск по страховому случаю выплачивается в момент его поступления. Изменение капитала компании от момента после выплаты (к — 1)-го страхового возмещения до момента после выплаты к-го страхового возмещения есть случайная величина

Ск = Ск — сек, к = 1, 2,..., (2.2)

а общий капитал после выплаты п страховых возмещений равен

Zn = u Zk• (2.3)

k=i

Так как Еек = 1/Л, условие (1.2), представляющее положительность процесса риска, соответствует неравенству

Л^ < с.

Случайные величины Ск и е^, к = 1, 2,..., независимы в совокупности, поэтому Ск также независимы, одинаково распределены и имеют функцию распределения

P(Z < x)

f ТО

P(Z < x) = Ae-AiP(C < ct + x)dt, (2.4)

Jo

ie условиях равна !-л^ехР("§) при х > О,

'о

которая при перечисленных выше условиях равна

ехр( —) при х < 0.

А^+с ^^ с

Плотность распределения f (x) случайной величины Z записывается в виде

{Яехр(--) при х > 0, \

М Я=——. (2.5)

Яехр(^) при х < 0, A/i + c

Процессы с независимыми приращениями Д„ и Zn имеют одинаковую структуру. Пусть Pfc (и) — вероятность разорения компании в момент выплаты k-го страхового возмещения, а Pk (и) —вероятность неразорения вплоть до этого момента времени, тогда они удовлетворяют равенствам (1.3)—(1.10), полученным в п. 1.

Вероятности Pk (и) и Pk (и) будут находиться только при и > 0, в частности,

Р^и) = (лНе'Ъ, Р2(и) = jjH2e^i(u +В), 5 = —^—, и > 0. (2.6)

AyU, + c

В дальнейшем воспользуемся равенствами

f u f u f 0 i ^

ем tf(x)dx = U I dx + tl I e1'^"'

/u /.u /.о

effc(x)dx = H dx + H еж(7г+с) = Hu + HB, (2.7)

о

' -ТО ./0

С

/и

eifc(x)xndx = Нип+1/(п + 1) + HBn+í{ — l)nn\. (2.8)

Теорема 1. Для модели Эрланга в форме (2.3) вероятность разорения компании при выплате (n + 1)-го страхового возмещения вычисляется по формуле

n k

Pn+l{u) = e-í n > 1, (2.9)

fc=0 '

в которой коэффициенты находятся рекуррентно согласно уравнениям

n— 1 i

4n+1) = Ha0n), аПп+1) = ^аг(п), a(n+1) = Я^а,кп), 1 < i < n - 1, n > 1,

i=0 fc=0

(2.10)

с начальными данными

Pi(m) = a^e'í, = цН. (2.11)

Доказательство. Воспользуемся методом индукции. Начальная вероятность P1(u) задана, а последующие будем находить, вычисляя интегралы (1.9). В (2.6) приведено значение P2(u) и легко убедиться, что формула (2.9) для нее справедлива. Будем считать, что она выполняется для вероятности Pn (u) и докажем, что Pn+1(u) имеет вид (2.9):

Pn+1 (u) = fz(x)Pn (u - =

J — tt

/И n— 1 _ t¿ — x ^—^

f({x)e

fc=0

n—1 /• И i k

k'

Ые-ТГ- >

fc=0 '

п 1 X /• и / \ к /® 0 1 к \

(п к п — к п — 1 \

к=1 ' ¿=0 ¿=0 /

При вычислении интегралов были использованы равенства (2.7) и (2.8). Приравнивая коэффициенты при /к\ в формулах (2.9) и (2.12), убеждаемся в справедливости формул (2.10). Теорема доказана.

Для данной модели страховой компании вероятность разорения на бесконечном временном интервале при начальном капитале и известна [1] и равна

{V -¿(l-^Ou \ .

— е * v <= > при ли < с,

с

1 при Ay > c.

Если Ay < c, то Ф(и) = J2Г=1 Pn(u), а Ф(0) = Ay/c = ^^=1 «ПЛ.

Выведенные формулы дают возможность проследить характер изменения вероятности разорения в зависимости от числа страховых случаев, а также оценить вероятность разорения в любом конечном интервале времени. В частности, страховую компанию в первую очередь интересует изменение капитала в течение первого года, когда 0 < ; < 1.

Для любого момента времени ; можно найти границу Ь(;), которую с вероятностью 7, близкой к единице, не превзойдет количество страховых случаев за промежуток (0,;). Можно утверждать, что с этой вероятностью 7 вероятность разорения в промежутке (0,;) не превзойдет Р(и, Ь(;)). Последние вероятности можно сравнить с вероятностями разорения на конечном временном интервале (0,;), полученными в работе [2].

Замечание. Если рассматривать вместо модели (2.4) модель

Р(С<ж|;)= ^Ле-ЛяР(С<св + ж)^ ^^ Ле-Лу^ , (2.13)

то вероятность ^(и,;) разорения на конечном интервале (0,;) принимает вид

то

^(и,;) = ^ Л (и|;),

к=1

где Рк(и|;) —вероятность разорения при выплате к-го иска у модели (2.13). Однако в этом случае вычисления сильно усложняются.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий возможности выведенных формул. У суммарной величины страховых возмещений У(;) = ^1 Ск параметр N(;) является случайным, дисперсия У(;) равна О У(;) = DN(;)(ЕСк)2 + EN(;)ОСк. Здесь рассматривается модель, в которой число страховых случаев N(;) подчиняется закону Пуассона. Для этой модели

т(;) = ЕУ(;) = EN(;) • ЕСк, а2(;) = ОУ(;) = EN(;) • Е(Ск)2. (2.14)

Пример 1. Году страхования соответствует ; = 1. Оценим вероятности разорения компании при ^ = ЕСк = 2, Л = EN(1) = 20, ; = 1 и разных значениях параметров и и с. При ; = 1 с помощью формул (2.14) получаем т(1) = 40, <г(1) = 12.65. В течение года с вероятностью 0.978 происходит не более Ь(1) = 29 страховых случаев, поэтому с этой же вероятностью можно утверждать, что вероятность разорения в течение года не превосходит Р(и, 29). В таблице 1 приведены вероятности разорения компании для следующих вариантов интенсивности премий: с = с(к) = т(1) + к • а(1), к = 1, 2, 3; с(1) = 52.65, с(2) = 65.30, с(3) = 77.95. Здесь т(1) = Л^ < с.

Таблица 1 показывает, что вероятность разорения существенно зависит от начального капитала и. При большом начальном капитале (например, при и = 60) вероятность разорения к концу года существенно меньше вероятности разорения Ф(и). При малом начальном капитале и < т(1) (например, при и = 10 в вариантах №5 и №6) вероятности Р(и, 29) и Ф(и) мало отличаются друг от друга и даже от вероятности Р(и, 20) для среднего числа Л = 20 страховых случаев за год, которая в варианте №5 равна Р(и, 20) = 0.0433, а в варианте №6 равна Р(и, 20) = 0.0783. В таблице Р1(и) —вероятность разорения в момент выплаты первого страхового возмещения.

Таблица 1. Вероятности разорения

№ 1 2 3 4 5 6

и 60 60 40 40 10 10

с 65.30 52.65 65.30 52.65 77.95 65.30

Pl{u) 3.55-КГ14 4.04-КГ14 7.83-Ю~10 8.90-10~10 0.00228 2.56-КГ3

Р{и, 29) 7.97-10~7 8.31-10~6 1.24-КГ4 8.57-10~4 0.04456 8.42-КГ2

Р{и, 100) 5.31-10-6 3.40-10-4 2.61-Ю-4 4.94-Ю-3 0.04499 8.82-КГ2

Ф(м) 5.49-10-6 5.63-10-4 2.64-Ю-4 6.22-Ю-3 0.04499 8.83-КГ2

Для модели Эрланга вероятности Ф(и,4) разорения страховой компании на конечном временном отрезке (0,4), если начальный капитал равен и, можно получить с помощью формул из работы [2]. Для некоторых вариантов примера 1 найдем число страховых случаев Ь*(4), при которых выполняется приближенное равенство

Ф(М) « Р(и,Ь*(г)). (2.15)

Обозначим через 7г вероятность того, что число страховых случаев на промежутке (0,4) не превзойдет Ь*(4). Величину ж7 найдем из равенства

Ъ = Р <Ь*(4)), = Е(Ж(4))+х7УВ(7Щ. (2.16)

Связь величин Ф(и,4), Ь*(4), Р(и,Ъ*(Ь)), и ж7 проследим на некоторых вариантах примера 1.

Таблица 2. Числа страховых случаев L*(t)

№2 №5 №6

t L*(t) х7 t L*(t) х7 t L*(t) ж7

1 33 2.907 1 31 2.460 0.5 15 1.581

3 81 2.711 3 90 3.873 1 32 2.683

В таблице 2 для вариантов №2, 5 и 6 (см. таблицу 1) приведены значения параметров: t — длины промежутков, на которых оцениваются вероятности разорения; L*(t) —количество страховых случаев, при которых выполняется приближенное равенство (2.15); xY —величины, удовлетворяющие равенству (2.16). У данных вариантов yt попадает в диапазон 0.9512 < jt < 0.99988. Как видим из таблицы 2, величины xY существенно различаются в рассмотренных вариантах, хотя казалось, что расхождение не должно быть большим.

3. Стохастическая модель со случайными премиями и исками. Рас-

смотрим рисковую модель, у которой премии nk, k = 1, 2,..., и страховые возмещения Cfc ,k = 1, 2,..., являются независимыми случайными величинами с соответ-

ствующими показательными плотностями распределения fn(x) = a-1 exp(-x/a) и

f (x) = М-1 exp(-x/^).

Число премий M(t), поступивших к моменту времени t,—это однородный процесс Пуассона с интенсивностью v, EM(t) = vt. Предполагаем, что страховые случаи происходят в те же моменты, в которые поступают премии, но их интенсивность меньше и равна pv, 0 < р < 1. Число исков Mр (t), поступивших к моменту времени t, — это разреженный процесс с долей р от числа премий M(t) и EMp(t) = pvt. Предполагаем, что при оплате страховых исков могут быть использованы премии, поступающие одновременно.

Для такой рисковой модели в статье [4] выведены интегро-дифференциальные уравнения для вероятностей неразорения на конечном промежутке времени и найдена вероятность неразорения на бесконечном промежутке. Найдем рекуррентные уравнения для вероятностей разорения компании в моменты страховых выплат.

Оставим прежние обозначения для исходного капитала и и вероятностей разорения компании Ф(и) и Ф(и,£). Капитал Д(£) компании в момент времени £ для данной модели равен

М(4) Мр(4)

Д(*) = и Пк "Е &• (3.1)

к=1 к=1

Изменение капитала от момента после поступления (к — 1)-й премии до момента после поступления к-й премии есть случайная величина

й = 7к& — Пк, к =1, 2,. • •, (3.2)

причем случайные величины 7^ принимают только два значения 1 и 0 с вероятностями Р(7^ = 1) = р, Р(7й = 0) = 1 — р и не зависят от случайных величин и Пк.

Общий капитал после поступления п премий равен

Z* = u — Е Z*. (3.3)

fc=1

Для положительного баланса компании должно выполняться неравенство EZ* < 0, а так как EZ* = ру — a, оно выливается в следующее неравенство:

ру < a. (3.4)

Случайные величины Z* при разных k независимы и одинаково распределены. Найдем их функцию распределения при x < 0:

P(Z* < x|x < 0) = P(7fc = 0)P(—nfc < x)+P(7fc = 1)P(e—nfc < x) = ex/a(1—ру/(а+у)). Аналогично при x > 0 находим

P(Z* < x|x > 0) = 1 — руе-x/M/(a + у). Плотность распределения случайной величины Z* равна

Ых) = {СеМ~») ПРИ Ж"0' w=a+y~P^. (3.5)

[ Dexp(f) при ж < 0, « + М a(a + y)

Пусть Pfc (и) — вероятность неразорения компании после поступления k-й премии, а Pfc (и) — вероятность разорения компании после поступления k-й премии, если в этот момент произошел страховой случай с иском, приведшим к разорению компании. Для этих вероятностей справедливы формулы (1.6)—(1.10).

В дальнейшем считаем и > 0, так как это начальный капитал компании. Имеем

Pi (и) = P(Z* > и) = и > 0. (3.6)

Вычислим интегралы, которые нам понадобятся в дальнейшем:

/и а,

еТ;/с*(х)хп<1х = Сип+1/(п+1) + ШУп+1(-1)пп\, п > О, V = ——, и > 0.

-то а + М

(3.7)

Теорема 2. Для рисковой модели (3.3) вероятность разорения компании при выплате страхового возмещения в момент поступления (п + 1)-й премии вычисляется по формуле

п к

= п> 1, (3.8)

к=0 '

в которой коэффициенты находятся рекуррентно согласно уравнениям

п-1 ¿-1

б0п+1) = Сб0п), бПп+1) = бкп), 6(п+1) = Сб(.п) + б(п), 1 < 3 < п — 1,

к=0 ¿=0

(3.9)

с начальными данными

Р^и) = Ъ{01] = цС. (3.10)

Доказательство. Как и при доказательстве теоремы 1, будем использовать метод математической индукции. На основе формулы (1.9) находим вероятность Р^(и) = /лСе^^ (Си + 1¥У) и видим, что ее коэффициенты Ъ^ = ¡лС2, Ъ^ = уСТУ удовлетворяют равенствам (3.9). При п =1 утверждение теоремы доказано. Будем считать, что оно справедливо для вероятности Рп(и), и проверим выполнение равенства (3.8) с коэффициентами (3.9). Согласно формулы (1.9)

/и с и п 1 / \ к

/,.(х)Рп(и-х)с1х = / =

-то J-то к=0 к'

п-1 / „и / \к р0 1 \

При вычислении интегралов воспользуемся формулами (3.7), тогда получим

„ п-1 ^ ( ик+1 ^ и \

Рп+1(и) = е"? £ Ь(^)_1_кУп-1-к + .

, (к + 1)' — г'

к=0 ¿=0

Поменяв порядки суммирования, придем к окончательному виду

(п п-1 ¿ / п-1 \ п-1 \

сьоп)^ + Етг^"4 ^ + ь{:\-кьп\-к ■

' ¿=1 ' V к=^ / к=0 /

(3'П)

Отсюда, приравнивая коэффициенты при е /к\ в представлениях Рп+х(и) в виде (3.8) и (3.11), убеждаемся в справедливости формул (3.9). Теорема доказана.

В статье [4] найдена вероятность разорения компании для данной модели на бесконечном промежутке времени:

{(а — ри)

Oil — --^^-U .

— е при пи < а, ,

Р № ' (3.12)

1 при рр > а,

которая через вероятности Pn (u) выражается формулой (1.5).

Пусть нужно найти вероятность разорения до момента времени t, тогда баланс компании представим не формулой (3.3), а в виде случайного процесса [6]

Z*(s) = u СП!(tn < s), s < t. (3.13)

n>1

Здесь tk — моменты поступления премий, не зависящие от а I(tk < s) —индикатор выполнения неравенства tk < s. Для модели (3.3) разности т = tj — tj_i, г < 1 (to = 0) независимы, одинаково распределены и имеют показательное распределение fT(t) = ve_vt. Напомним, что страховые возмещения модели (3.3) выплачиваются в те же моменты tk и могут привести к разорению.

Теорема 3. Для модели (3.13) вероятность разорения компании на конечном временном интервале (0, t) при начальном капитале u равна

n=1 \ k=0

фм = (1 - ) • (314)

Доказательство. В силу сделанных предположений разорение на интервале (0, 4) может наступить при поступлении любой премии, если при этом происходит выплата иска.

Вероятность разорения на отрезке (0,4) записывается в виде

V>(u,t) = У fT(ti)dti (P(Ci > u) + P(Ci < u) J fT(ta)dt^P(Ci + Z2 > u|Ci < u)+

0 0

t_ti_t2

+P(Ci+C2 <u|Ci <u) I fT(ts)dt^P(Ci + C2*+Z3>u|Ci<u,ci+Z2<u)+...))

0

и в наших обозначениях она равна

V>(u,t) = X) -^(u)^^ Tk < Л. (3.15)

n

n= k=

Вероятности Pn(u) вычисляются по формулам (3.8), а

^ 4 n \-vt (Vt)

P &>t =& kl •

k= k=0

Отсюда следует утверждение теоремы. 78

tt

Заметим, что в [4] рассматривается модель (3.1) и для нее выведено интегро-дифференциальное уравнение для вероятности неразорения компании на конечном интервале (0,4), однако решение для него в явном виде не найдено.

Пример 2. Зададим исходные данные модели (3.3): р = 5, а = 0.9, V = 20, р = 0.1. На рис. 1 приведены вероятности разорения компании ^(и,4) при 0 < и < 35 в интервалах (0,4) при 4 = 0.5,4 =1,4 = 3, а также предельный график ^(и).

10 20 30 и

Рис. 1. Вероятности разорения компании

В таблице 3 для ряда значений начального капитала даны вероятности разорения Р1(и) при выплате первого иска.

Таблица 3. Вероятности разорения при выплате первого иска

и 0 5 10 15 20 25 30

Pl(v-) 0.08470 0.03118 0.01147 0.00422 0.00155 0.00057 0.00021

Заключение. Полученные соотношения дают возможность вычислить вероятности разорения на бесконечном интервале, а также для первой модели оценить, а для второй модели найти вероятности разорения на конечном интервале.

Литература

1. Cramer H. Collective Risk Theory. Reprint from the Skandia Juilee Volume. 1955.

2. Pervozvansky A. A. Jr. Equation for survival probability in a finite time interval in case of non-zero real interest force // Insurance: Math. Econ. Vol.23. 1998. P. 287-295.

3. Бойков А. В. Модель Крамера—Лундберга со стохастическими премиями // Теор. вероят. и ее прим. Т. 47, №3. 2002. С. 549-553.

4. Luo Jian-hua. Survival probability and ruin probability of a risk model // Appl. Math. J. Chinese Univ. Vol. 23(3). 2008. P. 256-264.

5. Штрауб Э. Актуарная математика имущественного страхования. «Крокус-Т». 1990. 147 с.

6. Ширяев А.Н. Вероятность-2. М.: Изд. МЦНМО, 2004. 927 с.

Статья поступила в редакцию 27 июня 2013 г.