Марковский вариант модели Лундберга-Крамера разорения страховой компании Текст научной статьи по специальности «Математика»

Сер. 10. 2012. Вып. 1

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 519.95 В. Н. Иголкин

МАРКОВСКИЙ ВАРИАНТ МОДЕЛИ ЛУНДБЕРГА-КРАМЕРА РАЗОРЕНИЯ СТРАХОВОЙ КОМПАНИИ*)

В основной модели Лундберга разорения страховой компании предполагается, что страховые премии поступают детерминированно с интенсивностью с, а иски образуют простейший поток с интенсивностью А. Интервалы между исками и сами иски независимы и имеют распределения соответственно G(t) и F(x). Обозначим tk моменты прихода исков, Tk = tk — tk—i - интервалы между исками. Тогда капитал компании u(t) изменяется так:

n

u(tk) = u + ^2(cTk — Xk).

k=i

Здесь u - начальный капитал. Компания разоряется, если u(tk) < 0. Если обозначить Pn (u) вероятность неразорения за n шагов, то имеем рекуррентное соотношение

сю

Pn (u) = j Pn—i(y + u)dfS>T—X (y), (1)

—u

в котором Фет—x (y) - функция распределения ст — X. Для вероятности неразорения на бесконечном интервале с начальным капиталом u при n из (1) получим

сс

P(u) = j P(y + u)d®>„—X(y).

—u

Рассмотрим марковский вариант основной модели, в котором предполагается, что интервалы между исками и сами иски могут быть m типов; gk(t) - плотности интервалов, fk(x) - плотности исков.

Интервалы связаны в марковскую цепь с известной матрицей условных вероятностей переходов П = (ni^j), тип интервала определяет тип иска, приходящего в его конце. Будем называть приход очередного иска шагом, а интервалы нумеровать с 0.

Пусть Pn j (u) - вероятность неразорения на шаге n, если в конце нулевого интервала пришел иск типа j, не произошло разорения и образовался капитал u. Тогда можно

Иголкин Владимир Николаевич — доцент кафедры математической теории моделирования систем управления факультета прикладной математики—процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 45. Научное направление: задачи оптимизации при случайных воздействиях. E-mail: [email protected].

*) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 09-01-00360). © В. Н. Иголкин, 2012

выписать систему рекуррентных соотношений (см. [1, с. 38])

°° т

Рп,з (и) = / ]Г п3,к Рп-1,к (у + и)а$к (у),

-и к=1

а для предельных величин Р3 (и) = Итп^то Рп3 (и) справедлива система

°° т

Рз (и)= Рк (у + и)ЗФк (у),] = 1, 2,...,т, (2)

^ I— 1

1 [ ( х + у4

к=1

¿Фк(у) = ^ J Як 1к(х)<],тЛу.

Тогда вероятность неразорения компании Р(и) на бесконечном интервале с начальным капиталом и равна

т °°

Р(и) = ^ пз Р(и,из)Рз (из )^з. (3)

3=1 о

Здесь р(и, из) - плотность распределения получения капитала из из и на нулевом шаге, П3 - вероятность получения интервала и иска типа ] на нулевом шаге:

р{и,из) = ^ J дз + -$з(х)<1х.

тах(0,и—и^)

Основную трудность представляет решение системы (2). Будем предполагать, что ди(¿) = > М[Хк], к = 1,2, ...,т, М[Х] означает среднее значение X.

Подставим в (2) выражение для ¿Фк и сделаем замену у + и = х. Получим систему

т ° °

Р](и) = ! Рк{х) J ^дк(х - и)}к{Ь)&йх.

к=1 о

Применим преобразование Лапласа: Р3(и) ^ Ф3(р), /к(х) ^ фк(р). Знак ^ означает

переход к изображению по Лапласу. Тогда

т °° °° °°

Фз{р) = к ! Рк(х) J ^дк{х + t - и)1к{Ь)дЫхАи.

к=1 о о -°

Нетрудно обосновать возможность перестановки интегралов. После подстановки дк (Ь) и замены х + Ь — и = у находим

т °° °° х+г

Фз (Р) = т п3,к/ Рк (х)е-рх 11к(Ь)е-Р I 1кey(P-lk)dydtdx.

к=1 о о о

Здесь = —. Отсюда после несложных преобразований имеем систему

т I

ФЛр) = _ , [Фк(1к)Фк(1к) - Фк{р)Фк{р)}, .7 = 1,2,..., то, (4)

к=1 Р 1к

где фк (1к) - неизвестные константы, которые нужно определить, чтобы найти обратное преобразование Ру (и). Выпишем расширенную матрицу системы (4) относительно фу (Р):

( 1 + ^ФМ, • • •, ^ФМ £Г=11^Фк(1к)Фк(1к) \

7Г2,1I

р-1

f^L ¡j V т --k

2-^ФЛр), ■■■, ^ЬфМ ЕГ=11^Фк(1к)Фк(1к)

\

a Up)

,1 +

p-lm

■Фт(р), Е

™ Krrb.klk к= 1 р-1к

(5)

фк (lk)фк (lk) /

Отсюда </>fc(p) = A , /г = 1,2,.. .m, где Д(р) - определитель системы (7), Д-соответствующий минор.

Случай m = 2 подробно исследован в работе [2], в которой показано, что Д(р) имеет корень 0 и еще один корень qi в Rep > 0. Тогда, в силу аналитичности фк (p) в Rep > 0, Дк(qi) = 0. Но эти уравнения относительно неизвестных констант тождественны. Из соотношения limp^o рфк (p) = 1 можно получить два уравнения, которые также тождественны. Таким образом, для нахождения двух констант имеем два уравнения.

Рассмотрим случай произвольного m > 2. Покажем, что 0 - корень Д^) = 0. Действительно, прибавляя в Д(0) все столбцы к первому, получим

0, -п1,2, • , -П1,т

0, 1 - П2,2, • • , -П2,т = 0

0, -Пт,2, • , 1 Пт,т

Займемся теперь вопросом построения системы уравнений для нахождения неизвестных констант dk = lkФк(lk)Фк(lk), k = 1, 2,...,m. Покажем, что из соотношений p^k (p) = 1 получается только одно уравнение. Минор Ak (0) имеет вид

i „,- V* ni id

-пт,1, •••,-Е

li

7Tm>idi к

• ••, -П1

-П1/

1 - Пт

Определитель Лу (0), 2 > к, имеет аналогичный вид, но на месте столбца с номером 2 стоит столбец с номером к определителя Лк (0). Переставим столбцы с номерами 2 и к у определителя Лу (0) и изменим знак на противоположный у элементов столбца Тогда

1 - П1,1, • • ,- Tt\,idi и , • • • ,П1,к, • • , -П1,т

-Пт,1, , - Е Tfmtidt к , • • • , 7i~m:к: • , 1 Пт,т

1 - п1,1, • • •' 2., i di • • ,1 - Егфк П1,г, • , -П1,т

-Пт,1, • • • ' z^ 1 idi • • ,1 - Е i-фк nm,i, • , 1 Пт,т

Дк (0) + Д •

п

• • • , —П

Здесь определитель А имеет вид

1-тпд, ...,1-Е,

= k,j ПМ,

Пт,1,

idi

■■■,1 — £ <

i=k,j

1 - пп

Легко видеть, что этот определитель равен 0, так как его столбец с номером j равен сумме остальных столбцов без столбца с номером к.

Таким образом, соотношения

lim pфk (p) = 1, к = 1, 2,...,m,

дают только одно линейное уравнение для нахождения неизвестных констант di.

Рассмотрим вопрос о нахождении недостающих m — 1 уравнений. Будем предполагать, что определитель A(p) имеет ровно m — 1 корень в Rep > 0. В работе [2] для случая то = 2 доказано, что при > M[Xk], к = 1,2, у определителя А(р) имеется ровно один корень в Rep > 0. Для произвольного m > 2 подобное утверждение доказать затруднительно. Но все рассмотренные примеры (порядка 100) подтверждают справедливость этого утверждения.

Обозначим q1,q2, ■■■, qm-i корни A(p) из правой полуплоскости. Так как фк(p) ана-литичны в Rep > 0, то Ак (qj) должны равняться 0. Покажем, что Ак(qj) = 0 при различных к = 1, 2,...,m дают тождественные линейные уравнения относительно di. Исследуем уравнение Ak(qj) = 0:

1 +

qj-l

Etti ,idi

Iph

■фтЫз)

u— li

.1 +

Разложим определитель по элементам столбца к, обозначив с„ = £™ 1 Получим

линейное однородное уравнение относительно с1,...,ст

AlkCl + A2,k С2 +-----+ AmkCm = 0.

(6)

Здесь А^^ - алгебраические дополнения матрицы А, определитель которой равен А(дз). Уравнения (6) при к = 1,2,...,т образуют систему линейных однородных уравнений с матрицей Ь

(Аг,1, А2,1, ..., Ат,1 .........................

A1,m, А2,т, . .., Ат,

Покажем, что ранг матрицы Ь равен 1. Умножим матрицу А на матрицу Ь. Это произ-

A(qj

0,

ведение равно нулевой матрице, так как диагональные элементы равны |A| а недиагональные члены равны 0 по свойству определителей.

Воспользуемся известным неравенством Сильвестра о ранге произведения матриц: если A и B - две прямоугольные матрицы размерами (n,m) и (m,p) и C = A ■ B, то rang A + rang B - m ^ rang C. В нашем случае произведение A ■ L равно нулевой матрице и имеет ранг 0, матрица A - ранг m — 1, так как qj - простой корень A(p) = 0. Тогда матрица L имеет ранг 1, откуда следует, что уравнения (6) при разных к тождественны.

d

п

Таким образом, для нахождения неизвестных констант di,..., dm получим ровно m уравнений: одно из условия рфк (p) = 1 и m — 1 уравнений из условий Д^ (qj) = 0,

j = 1,...,m—1. После определения неизвестных констант их следует подставить в выражения для фк (p) и, обратив преобразование Лапласа, найти Pk (u). Далее вычисляются функции p(u,uj) и P(u) по формуле (3).

Этот алгоритм вычисления P(u) был реализован в дипломной работе студентки факультета прикладной математики-процессов управления СПбГУ Е. П. Мельниковой в 2010 г. Программа была подготовлена в среде Maple 9 с использованием пакета Linear Algebra. Предполагается, что распределения gi(t), fi(x) - экспоненциальные с параметрами Xi, ¡i соответственно.

Вводимыми параметрами являются: m - размерность задачи, c - интенсивность поступления премий, u - начальный капитал, векторы (Ai,...,Am), (¡i,...,¡m), (ni,...,nm) и матрица П = (nij). Выводятся P(u) и некоторые промежуточные результаты. Рассмотрим иллюстративные примеры.

Пример 1. Пусть m = 3, c =1, u = 0.01, Ai = A2 = A3 = 3, ¡i = 10, ¡2 = 11, ¡3 = 12, (0.6,0.2,0.2),

/0.6, 0.2, 0.2\ П= 10.1, 0.7, 0.2 \0.1, 0.1, 0.8)

Определитель Д(р) получается равным

(p5 + 24p4 + 161.9p3 + 33.6p2 + 1679.58p + 1742.04)p

Д(р)

(p + 12)(p +11)(p +10)(p — 3)3

Его корни равны 0, -9.990, -9.244, -7.877, 1.395, 1.716. Составим и решим систему для неизвестных констант ¿^,¿2,¿3. Получим ¿1 = 0.709,^2 = 0.728,^3 = 0.746. Подставим эти значения в выражения для определителей Д^ (р):

0.720р4 + 12.245р3 + 29.397р2 - 191.665р + 174.204

Д1Ы = Д2 (p) = ДЗ(Р) =

Их корни равны соответственно

(р + 12)(р+11)(р — 3)3

0.730р4 - |- 11.678р3 + 24.478р2 - 172.374^+ 158.367

(р + 12)(р+10)(р -З)3

0.740р4 - |- 11.105р3 + 20.675р2 - 156.521^+145.170

(p + 11)(p +10)(p — 3)3

—10.407, —9.705, —10.395, —8.716, 9.401, 8.710,

1.395, 1.716, 1.395, 1.716, 1.395, 1.716.

После обращения преобразования Лапласа получим

Р1Ы = 1 + 0.031е-9'244и1 - 0.311е-7'877и1,

Р2М = 1 + 1.024е-9'990"2 - 0.083е~9'244"2 - 0.212е-7'877"2, Рз(из) = 1 - 0.071е-9'990"3 - 0.018е~9'244"3 - 0.170е-7'877"3. Найдя р(п,п^) и вычислив все интегралы, окончательно имеем Р(0.01) = 0.707.

Пример 2. Пусть т = 2, с =2, и = 0.01, А1 =3, Л2 = 0.2, =2, ц2 = 0.125, (0.95,0.05),

п = /0.96, 0.04\ И = ^0.95, 0.05у .

Ясно, что в этом случае компания получает в основном иски и интервалы первого типа. Найдем величину Р(0.01) из марковской модели и сравним ее с вероятностью неразорения Р(0.01) из основной модели, для которой существует единственный тип интервала и иска первого типа. Нетрудно найти, что Р{и) = 1 — и Р(0.01) = 0.254.

В марковском случае Р(0.01) = 0.265.

Этот алгоритм можно использовать при небольших значениях т. Количество неизвестных констант при экспоненциальных распределениях интервалов и любых распределениях исков равно т. Если распределения исков являются эрланговскими или их смесями, алгоритм вычисления Р(и) будет мало отличаться от рассмотренного выше.

Литература

1. Иголкин В. Н., Ковригин А. Б. Финансовые потоки и их флуктуации. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2006. 134 с.

2. Иголкин В. Н. О вычислении вероятности неразорения страховой компании // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2009. Вып. 3. С. 39—44.

Статья рекомендована к печати проф. В. Ф. Демьяновым. Статья принята к печати 20 октября 2011 г.