CC BY
55
ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Сер. 10. 2009. Вып. 3
УДК 519.95 В. Н. Иголкин
О ВЫЧИСЛЕНИИ ВЕРОЯТНОСТИ НЕРАЗОРЕНИЯ СТРАХОВОЙ КОМПАНИИ *)
1. Введение. В работе рассматривается одно обобщение классической модели Лундберга-Крамера разорения страховой компании. В этой модели капитал компании u(t) изменяется таким образом:
N (t) N (t)
u(t) = u + ct -^2 Xk = u +^2(CTk - Xk).
k=l k=l
Здесь tk - моменты прихода исков, Tk = tk — tk_l, u - начальный капитал, c - интенсив-
ность поступления премий, Xk - случайные иски с распределением F(x), N(t) - простейший поток. Данная модель обобщалась разными авторами в основном в отношении распределения Tk. Хороший обзор этих работ приведен в [1], где также рассмотрена модель, в которой интенсивность потока N(t) меняется по марковскому закону.
В работе [2] предложена модель, в которой интервалы Tk и иски Xk могут быть m типов с распределениями gk(t) и fk(x) соответственно, k = 1, 2,..., m. Интервалы связаны в марковскую цепь с известной матрицей вероятностей переходов П, тип интервала определяет тип иска, приходящего в конце интервала. Интервал от начала функционирования страховой компании t = 0 до прихода первого иска является, вообще говоря, особым, и мы будем его называть нулевым. Если в некоторый момент t u(t) < 0, то произошло разорение компании и она прекращает свое существование. Ясно, что разорение может произойти только в моменты прихода исков, и приход очередного иска будем называть шагом.
Обозначим Pn,j (uj) вероятность неразорения на шаге п, если в конце нулевого интервала пришел иск типа j, не произошло разорения и после выплаты по иску остался капитал uj. Тогда для Pn,j (uj) справедлива следующая система рекуррентных соотношений [2, с. 56]:
/ОО m
J2jk Pn_i,k (y + uj )d'&k (y), j = 1, 2,...,m, (1)
~Uj k=1
где со
фк(у) = ~ [ 9k fk(x)dx.
c J_o \ c J
Иголкин Владимир Николаевич — доцент кафедры математической теории моделирования систем управления факультета прикладной математики—процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 45. Научное направление: задачи оптимизации при случайных воздействиях. E-mail: Vigolkin@pobox.spbu.ru.
+ ) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 09-01-00360).
© В. Н. Иголкин, 2009
К этой системе нужно добавить еще описание изменения капитала от и до и^ на нулевом интервале, если пришел иск типа і и не произошло разорения. Такая процедура аналогична заданию начального распределения состояний в марковском процессе. Последовательность Рп^ (и2) является монотонной по п при Ро,2 (и2) = 1. Потому в (1) можно перейти к пределу по п ^ и получить систему интегральных уравнений для вероятностей неразорения Р^ (и^) на бесконечном интервале
Если система (2) решена и определены Р^ (и^), і = 1,...,т, найдем р (и, и^) - плотности распределения вероятностей неразорения на нулевом интервале, где и - начальный капитал, и^ = и + ег^ — X^ > 0. Тогда Р(и) - вероятность неразорения на бесконечном интервале с начальным капиталом и равна
Здесь - вероятность интервала и иска типа ] на нулевом шаге.
2. Решение системы (2). Рассмотрим подробнее, как решается система (2). Если использовать преобразование Лапласа, то при переходе к изображениям в уравнениях для изображений появляются неизвестные константы, подлежащие определению.
Рассмотрим важный частный случай т = 2, д\^) = Ах ехр(-А11), 92(1) =
А2 ехр(— Х^Ь). Для существования нетривиальных Р^(и^) будем предполагать, что > гп1, ^ где гп1 и 7712 — средние значения исков первого и второго типов. Обозначим = /1, = 1-2- Выпишем систему (2) для рассматриваемого случая, опустив
для краткости индекс
-из к = і
(2)
(3)
Рі(и) = пі,іРі(у + и) І1 ехр[—Іі(у + і)]Іі(і)ЗМу +
+ Пі,2Р2 (у + и) І2 ЄХр[ — І2(у + і)]І2(і)ЗМу,
Р2(и) = П2,іРі(у + и) Іі ехр[—Іі(у + і)]Іі(і)ЗМу +
+ П22Р2 (у + и) І2 ЄХр[ — І2(у + і)]І2(і)ЗМу,
или
П2,іРі(х) Іі ехр[ — 1і(х + і — и)]/і(і)&ІЇ,Х +
Перейдем к изображениям по Лапласу, обозначив Р\(и) ^ ф1(р), Р2(и) ^ ф2(р), 11(х) ^ фх(р), /2(х) ^ ф2(р). Имеем
рЖ Г рЖ рЖ
Фт-(р)= ещ>(—ри)ё,и I п1,1Р1 (х) 11 ехр[—11(х + t — u)]f1(t)dtdx +
•у 0 0 -у — ж
р Ж рЖ
+ П1,2Р2(х) 12 ехр[—12(х + £ — u)]f2(t)dtdx ,
о 0 о -Ж
рЖ Г рЖ рЖ
ф2(р)= exp(—pu)du / п2,1Р1 (х) 11 ехр[—11(х + t — u)]f1(t)dtdx +
•у 0 _'У 0 -у — ж
рЖ р Ж
+ / П2,2Р2(х) 12 ехр[—12(х +1 — u)]f2(t)dtdx .
о 0 О —ж
Нетрудно обосновать возможность перестановки интегралов и, сделав замену х+1 — u = у во внутреннем интеграле, после несложных преобразований получим
ох+Ь
рж рж px+t
ф\(р) = ni,iPi(x)exp(-px) fi(t)exp(-pt) li exp[y(p - li)]dydtdx +
J0 Jo Jo
рж p ж p x+t
+ ni,2P2(x)exp(-px) f2(t)exp(-pt) l2 exp[y(p - 12)]dydtdx,
Jo Jo Jo
p ж p ж p x + t
ф2(р) = n2,iPi(x)exp(-px) fi(t)exp(-pt) li exp[y(p - li)]dydtdx +
Jo Jo Jo
рж p ж p x + t
+ n2,2P2(x)exp(-px) f2(t)exp(-pt) h exp[y(p - I2)]dydtdx.
Jo Jo Jo
oo Вычисляя интегралы, находим
ФЛр) = 7Г1,1!1 {ФЛк)ф1{к) - ФЛр)ФЛр)) + 7Г1,2/,2 (ф2(12)ф2(12) - ф2(р)ф2(р)), p - li p - l2
ф2(р) = 7Г2,1!1 {ф\{к)ф1{к) - ф1(р)ф1(р)) + 71-2,2/2 (ф2(12)ф2(12) - ф2(р)ф2(р)), p - li p - l2
или
Ф^)^ - li + ni,il^i(p))(p - h) + Ф2(p)ni,2hip - kYhip) =
= ni,ilidi(p - h) +ni,2hd2(p - li),
Ф1^)п2,111^ - h^iip) + Ф2 (p)(p - h + П2,2 12Ф2^))^ - li) =
= n2,ikdi(p - h) +n2,2hda(p - li), (4)
где
di = Ф^к)Ф1(11), d2 = Ф2(Ь)ф2(h)•
Из системы (4) получим ф2(р) = где
Д = (p/li - \)(p/h - l)(hh)2 [(p/li - 1 + ni^i(p))x x(pj/h - 1 + П2,2ф2 (p)) - ni,2n2,^i(p^2(p)] ,
Ai = (p/li - 1)(p/h - 1)(hh)2 [ni,id1(p/l2 - 1) +
+ ni,2d2(p/li - 1) + |n|diф2(р)},
A2 = (p/li - 1)(p/l2 - 1)(hhf [n2,idi(p/l2 - 1) +
+ n2,2d2(p/li - 1) + |n|di^i(p)}.
Здесь |П| = ni,in2,2 - ni,2n2,i. Тогда
___________^i,idi(p/l2 - 1) +Ki,2d2(p/h - 1) + \H\di^2(p)_____________
(p/h ~ 1 + ^i,i^i(p))(p/h - 1 + ^2,2^h{p)) - ^1,2^2,i^iipYhipY ___________^2,\d\(p/h ~ 1) +K2fid,2{p/h ~ 1) + |ПИ2У>1(р)_____________
(p/h - 1 + ^i,i^i(p))(p/h - 1 + ^2,2^h{p)) - ^i,2^2,^h{pYh{p)'
3. Нахождение неизвестных констант. Для того чтобы найти неизвестные константы di и d2, используем известное свойство преобразования Лапласа
limpф1(p) = 1, limpф2(p) = 1. p—►О p—►о
Обозначим через A(p) знаменатель Ф1(p) и Ф2 (p). Заметим, что p = 0 является простым корнем A(p), так как A'(pj) = -n2}i(1/li - m1) - ni}2(1/l2 - m2) < 0. Тогда предельные соотношения дают только одно уравнение
-ni idi - ni,2d2 + |n|di = -n2,idi - ni oda = lim A(p)/p.
p— О
Чтобы получить еще одно уравнение, покажем, что A(p) имеет корень qo в правой полуплоскости. Тогда, в силу аналитичности фl (p) и Ф2(p) в Rep > 0, числители фl и ф2 также равны 0 при p = qo.
Рассмотрим замкнутый контур Гд г, состоящий из правой полуокружности Cr сколь угодно большого радиуса, левой полуокружности Cr сколь угодно малого радиуса и отрезков мнимой оси. Запишем A(p) в виде A(p) = W(p) + x(p), где
W(p) = (p/li - 1 +ni,^i(p))(p/h - 1 + ^2,2^2(p)),
X(p) = ni,2n2,i ^i(p)^2(p).
Покажем, что на контуре Гд г W(p)| > |x(p)|. Очевидно, что это неравенство выполняется на Cr и отрезках мнимой оси. При малых p
W(p) = [p/li - 1 + nii(1 + ф[(0)p + 0(p))}[p/h - 1 + П2,2(Ф'2(0)p + 0(p))} =
= [(1/li - ni,imi)p - ni,2 + 0(p)][(1/h - n2,2m2)p - П2Д + o(p)} =
= ni,2^2,i - [ni,2(1/h - n2,2'm2) + K2,i(1/h - ni,imi)}p + 0(p) =
= ni,2^2,i(1 - (mi + m2)p) - [nifi(1/h - m2) + K2,i(1/h - mi)}p + 0(p).
Так как 1/h > mi, 1/h > m2 и Rep < 0, то при достаточно малом p
W(p)| > ni,2K2,i[1 - (mi + m2)Rep}
на Cr, а
X(p) < ni,2n2,i[1 - (mi + m2)Rep}.
Так как W(p) имеет в Rep > 0 два корня, то по теореме Руше A(p) также имеет два корня в области с границей Гд г. Значит, существует qo, Reqo > 0 такой, что A(qo) = 0. А тогда числители ф1 и ф2 при p = qo равны 0. Имеем
di[ni,i(qo/l2 - 1) + |П|^2(qo)} + d2ni,2(qo/li - 1) = 0,
din2,i(qo/l2 - 1) + d2[n2,2(qo/li - 1) + |n|^i(qo)} = 0.
Получили систему линейных однородных алгебраических уравнений. Ее определитель равен |П| A(qo) = 0. Значит, эти уравнения линейно зависимы. Таким образом, для определения констант di и d2 имеем два уравнения
n2,idi + П12d2 = - lim A(p)/p, p— o
di[ni,i(qo/l2 - 1) + |П|^2(qo)} + d2ni,2(qo/li - 1) = 0.
Если константы di , d2 получены, можно обратить преобразование Лапласа и найти Pi(u) и P2(u). После этого, определив p(u, ui) и p(u, U2), можно вычислить вероятность неразорения P(u), использовав формулу (3):
p(
^ 1
гг, Uj) = —
9j I ------ ) fj(x)dx.
max(o,u-uj)
Тогда
00
P (u) = ni
+
+ П2
+
^91 fX + U^------ ) f1(x)dx I P1(u1)du1 +
191 (X + Ul------ ) fl{x)dx I Pi(Mi)dwi
+
OO
1 f X + u2 — uir/x , I7-)/ NT
:92 ( ---:---- ) J2(X)dx P2{U2)dU2 +
lg2 fx + u2-----“ j f2^dx I P2(u2)du2
(5)
4. Пример. Рассмотрим пример вычисления вероятности неразорения. Он заимствован из дипломной работы студента V курса СПбГУ И. С. Демьянова.
Пусть Ах = А2 = А = 3, ]1(х) = Ц1 ехр(—р!х), /2(х) = р2 ехр(—р2х), цх = 10, р2 = 11,
с =1, П1д = 0.6, П2,2 = 0.7:
ФЛр) = -^\сл{{.р - х)(р + !12) + Хк2^!12) - С2А7Г112/Х2],
<Ь(р) = -^[С2{{.Р ~ х)(р + щ) + - С1А7Г2Д/Х1].
Здесь ci = ni,idi + ni,2d2, C2 = n2,idi + ^2^2 - новые неизвестные константы,
A(p) = [(p - X)(p + Hi) +ni,ipiX}[(p - X)(p + Ц2) +П2,2№М - ^2П1,2П2,1И1И2,
A(p) = p4 + 15p3 + 34.1p2 - 165.3p.
Для нахождения корней использована стандартная программа Mathcad 2001 Professional.
Приближенными значениями корней являются -9.79, -7.46, 0, 2.26.
Тогда для нахождения ci и c2 получим систему
-0.3ci - 0.4c2 = -0.167,
-9ci + 8.93c2 = 0.
Отсюда ci « c2 = 0.24. Разделив числитель и знаменатель ф1, ф2 на p - 2.26, находим
0.71 р2 + 14.47р + 73.26 ~ р(р + 9.79) (Р + 7.46) ’
0.71р2 + 14.47р + 72.73 ^Р’ ~ р(р + 9.79)(р + 7Л6) '
Разложив эти выражения на простейшие, имеем
1 0.02 0.27
р р + 9.79 р + 7.46’
1 0.02 0.26
р р + 9.79 р + 7.46
Отсюда
Pi(ui) = 1 - 0.02exp(-9.79ui) - 0.27 exp(-7.46ul),
P2(u2) = 1 - 0.02 exp(-9.79u2) - 0.26 exp(-7.46u2).
Используя (5), получим
P(u) = 1 - nl(0.22exp(-9.79u) + 0.31 exp(-7.46u) - 0.23 exp(-10u)) -
- n2(0.43 exp(-9.79u) + 0.23 exp(-7.46u)).
Литература
1. Grandell J. Aspects of Risk Theory. New York: Springer-Verlag, 1992. 175 p.
2. Иголкин В. Н., Ковригин А. Б. Финансовые потоки и их флуктуации. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2006. 134 с.
Статья рекомендована к печати проф. Л. А. Петросяном.
Статья принята к печати 5 марта 2009 г.
фl(p)
ф2^)
