Создание охраняемой территории: моделирование динамики популяции и оценка затрат Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.925.41:519.833

СОЗДАНИЕ ОХРАНЯЕМОЙ ТЕРРИТОРИИ: МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ПОПУЛЯЦИИ И ОЦЕНКА ЗАТРАТ

М, Д, Васильев, М, П, Григорьев, Ю, И, Трофимцев

Рассмотрим влияние создания охраняемой территории на динамику популяции при наличии добычи на неохраняемой части, а также оценим затраты на природоохранные мероприятия. При этом величину добычи будем считать случайной величиной.

Пусть система двух дифференциальных уравнений с параметрами описывает развитие популяции одновременно на охраняемой территории и вне ее:

§ = дх(1) + адШ - х(1)) - /(я, ш), ау(*) +^(*)(*(*)-у(*))-су2 (*).

Здесь х(£) и у(€) — плотности некоторой популяции вне охраняемой территории и внутри нее, /(х, ш) = + Ъ(ш) — функция, описы-

вающая добычу популяции па неохраняемой территории, Н(ш), Ъ(ш) — случайные величины, заданные на верятностном пространстве (П, I, Р), а и д — коэффициенты прироста популяции вне охраняемой территории и внутри нее, с — коэффициент конкуренции внутри популяции па охраняемой территории, ^(в) и ^(в) — коэффициенты обмена особями между охраняемой территорией и остальной частью ареала по-

вд действительное число, все остальные коэффициенты неотрицательны.

Слагаемое в функции добычи /(х,ш) интерпретируется

как величина плановой добычи популяции, а слагаемое Ъ(ш) — как величина браконьерской добычи. Как показано в [1], выбранный вид

© 2013 Васильев М. Д., Григорьев М. П., Трофимцев Ю. И.

плановой добычи не приводит к возникновению бифуркаций в системе уравнений (1).

Существование решений системы дифференциальных уравнений (1) обеспечивают выполнение условий теоремы существования и единственности решения задачи Коши на К3 хПи измеримость коэффициентов Н(ш), Ъ{ш) относительно а-алгебры 1т.

Построим фазовые портреты траекторий системы (1), предполагая, что д — Н > 0 и коэффициент а удовлетворяет неравенству а > д — Н. Данные соотношения следуют из естественно-научного смысла задачи.

Основным методом решения поставленной задачи является исследование устойчивости по первому приближению особых точек системы дифференциальных уравнений [2].

Устойчивость системы (1) полностью изучена в работах [3-5] при /(ж,ш)= Ъ(ш) (в [5] а < д).

Пусть (ж, У1) — особая точка системы (1), лежащая в первой четверти: ж У1 ^ 0. Рассмотрим соответствующую линейную систему для (1):

ГЖ=(д — Н — 4)ж + 4 У, ^

I У = ж + (а — ¿2 — 2су\)у.

Характеристическое уравнение системы (2)

А2 — (д — Н — ¿1 + а — — 2су1)А + (д — Н — 4) (а — ¿2 — 2еу\) — 44 = 0 (3) имеет дискриминант

£=(д — Н — 4 — а + 4 + 2 сух)2 + 444 > 0. (4)

Тогда в системе (1) нет особых точек типа фокуса и центра.

Коэффициент Ъ(ш) не меняет фазовых портретов траекторий системы, он перемещает особую точку по плоскости. Пусть в (1) Ъ(ш) = 0 для почти всех ш. В этом случае имеем две особые точки — начало координат и вторую с координатами

_ ¿1У _ а (д - Н)<12

1 ГТ> У~ 71 , 7 \ • 1°;

4 — д + н с (4 — д + Н)с

Рассмотрим три возможных случая.

1. При 4 — (д — Н) = 0 есть только одна особая точка (0,0) и характеристическое уравнение линеаризованной системы

А — (а — 4)А — 44 = 0 имеет действительные корни разных знаков

Ах 2 = ~ \/(а — ^г)2 + 444),

2. При 4 — (д — Н) < 0 система также имеет в первой четверти

,

характеристического уравнения

А2 — [ (д — Н — 4) + (а — 4)] А + (д — Н — 4) (а — 4) — 44 = 0, (6)

Л1,2 = ^(<7-/1-4) + (а-4)±А, (7)

где

А = •\/[(5| — Ь — 4) + (а — 4)]2 — 4{(д — Н — 4 )(а — 4) — 44]-

Дискриминант характеристического уравнения приводится к виду Д = [(д — Н — 4) — (а — 4)]2 + 444 > 0,

следовательно, корни уравнения — действительные числа. Преобразуем в дискриминанте вычитаемое:

(д — Н — 4) (а — 4) — 44 = (а — 4)(д — Н) — 4а.

В зависимости от знака полученного выражения возможны следующие варианты.

(а) (а — 4)(д — Н) — 4а > 0. Сводя последнее неравенство к виду (а — 4)(д — Н) > 4а получим а — 4 > 0. Тогда (д — Н — 4) + (а — ¿2) > 0. Также

Д < (д — Н — 4) + (а — 4).

Рис. 1. Особая точка (0; 0) неустойчивый узел (Ь = 0, с = 1.5, а = 6, д - Ь = Ъ,а1 = 1.4, = 1.5).

Значит, оба корня характеристического уравнения положительны, и ,

(б) (а — ^)(д — Н) — ^а < 0. Из неравенства

А > (д — Н — 4) +(а — (8)

получаем, что корни характеристического уравнения имеют разные знаки. Начало координат седло.

(в) (а — ¿2)(д — Н) — ^а = 0. Имеем корни характеристического уравнения А1 = 0, Л2 = (д — Н — + (а — > 0, и особая точка (0, 0) будет вырожденным узлом.

3. При ¿1 — (д — Н) > 0 в первой четверти две особые точки. Начало координат является седлом, что следует из выражений (6) (8). Во второй особой точке имеем устойчивый узел.

Пусть все коэффициенты системы не равны нулю. В этом случае система (1) имеет особые точки тех же типов, что и в случае, рассмотренном выше. Однако они могут переместиться из первой четверти.

Рассмотрим уравнения для нахождения особых точек:

(д — Н)ж + ¿1 (у — ж) — Ъ = О, ау + ¿2 (ж — у) — су2 = 0.

Особые точки точки пересечения прямой

4у Ъ

4 — д + Н 4 — д

и параболы

4 — а

ж = Т^ «2

¿2 — а 2с

(4 — а)

4с4

(9)

(Ю)

В зависимости от знаков разностей 4 — (д — Н) и ¿2 — а имеем следующие возможности.

Рис. "2.

1) 4 — (д — Н) = 0. Система (1) имеет особую точку с координатами Ь(с1-2 — а) сЪ2 Ъ

При (¿2 - в ) 0 и при (¿2 — о < 0. Ь > ^("-'Ь) особая точка седло. При (¿2 — о < 0. Ь < особых точек нет.

2) ^ — (д — К < 0.

(а) ¿2 — а < 0. Геометрически (рис. 2) получаем, что при

(П)

¿1 с

система (1) имеет одну особую точку седло. Неравенство (11) означает, что если прямая (9) отсекает па оси Оу отрезок, больший отсекаемого параболой (10). то в первой четверти есть одна особая точка. В отличие от случая, когда Ь(ш) = 0 для почти всех ш и особая точка неустойчивый узел (см. рис. 1). здесь в первую четверть перемещается вторая особая точка седло (рис. 3). Это означает, что при большой величине браконьерской добычи возникает возможность вымирания субпопуляций. Условие (11) гораздо проще аналогичного условия, полученного в [4]. При

Ь (а — Л>)

т < -

¿1 с

особых точек нет (рис. 4).

(Ь = 3, с = 3, а = 6, д - К = 5, ^ = 1.4, ^ = 1.5).

Рис. 4. Нот особых точек в первой четверти {Ь = 2,с= 1.5, а = Ъ,д - И = Ь,(11 = 1.4, (2 = 1.5).

Рис. 5.

(Ь) 4 — а > 0. Из расположения прямой и параболы следует, что в первой четверти всегда будет одна особая точка (рис. 5). В этом случае тип этой точки седло.

3) 4 — (д — Н) > 0. Для определения координат особых точек имеем

уравнение

2 а4 + 4(д — Н) — а(д — Н) Ь4

у ---77--У + Чя-= (12)

с(4 — д + Н) с(4 — д + Н)

координата ж задается выражением (9). Дискриминант уравнения (12) равен

[а4 + 4(д — Н) — а(д — Н)]2 Ь4

4с2 (4 -д + /г)2 с(4 - д + К)'

от его знака зависит количество особых точек. Кроме того, это количество зависит от значения разности 4у — Ь, входящей в (9), причем величина у определяется из (12).

Введем обозначение

в = («4 + <к(д-К)~ а(д - /г))2

4с4(4 - д + /1) ' ^ '

Если Ь > В, то у системы (1) в первой четверти пет особых точек.

Если Ь = В, то в первой четверти одна особая точка — седло при 4 — а ^ 0 и ¿2 — а < 0, (а — 4)(4 — д + Н) ^ 44-

Если 4 — а <0, (а — 4)(4 — д+Н) > 44, то особых точек система не имеет.

Если Ь < В, то

• система имеет две особые точки — седло и устойчивый узел в следующих случаях:

4 — а ^0;

, , ч / , , ч , , , ^ ¿1(а — ¿2)

(а — а2)(а1 — д + п) < 4(12, о ^ -;

с

(а — 4)(4 — д + Н) >44, 4 (а — (¿2) ^ <¿1 (ас?х + (¿2(д — Ь) ~ С'(д ~ Щ) с 2с(4 — д + Н) '

4 (а — ¿2)

(а — 4)(4 — д + Н) < 44, Ь < (а — 4)(4 — д + Н) > 44, Ь ^

с

4 (а — 4)

(а — 4) (¿1 — д + Н) = ¿14, Ъ

4(а4 + 4(д — Н) — а(д — Н)) 2с(4 - з + К)

• особых точек системы (1) в первой четверти нет при

2с(4 - з + /1) <

Рассмотрим создание охраняемой территории с сохранением добычи популяции на неохраняемой части ее ареала и возможностью существования миграции особей между охраняемой и остальной частями территории с точки зрения экономики. Эколого-экономические модели для охраняемой популяции с динамикой, описываемой линейными дифференциальными уравнениями, рассматривались в [6].

Математически задача формулируется как неантагонистическая иерархическая игра двух лиц — управляющего центра и агента, пользователя природными ресурсами. Цели игроков заключаются в выработке оптимальных стратегий для получения максимального экономического выигрыша.

В качестве принципа оптимальности выберем равновесие по Нэ-шу, заключающееся в том, что ни один из игроков не может получить выгоды при одностороннем изменении своей стратегии.

Построим функции выигрыша каждого из игроков в момент времени ¿о- Выигрыш управляющего центра имеет вид

где в — доля заповедной части территории, Н(ш)ж(^о) — величина добычи популяции в момент времени ¿о, /1 — затраты агента на использование неохраняемой территории, /2 — затраты центра на содержание охраняемой территории, /зЪ(ш) — убыток от браконьерской добычи, то — размер оптимальной величины добычи, ^-(ж(£о) — о)) — затраты на содержание части популяции, перешедшей с неохраняемой территории в заповедную зону, — ставка штрафа за превышение

■ к( 1 - 8) -128 - 13ъ(ш) - {^(х(г0) - уЫ)

К0(в, Н,ш) = <

+ о) - то), к(ш)х(Ц) > то,

/1(1 - 5) - 12Э - 13Ъ(ш) - - у(Ш

Н(ш)ж(£о) ^ т,

(14)

нормы добычи, зависящая от доли в заповедной части территории: чем больше эта доля, тем выше ставка штрафа.

Выигрыш пользователя описывается функцией

(Н(ш)ж(£0)(р — дН(ш)ж(£0)) — /1(1 — в)

-гЬ^Н - т), Цш)х(г0) > то,

Н(ш)ж(г0)(р — ?Н(ш)ж(г0)) — М1 — в), Н(ш)ж(£о) < т,

где р — цена продажи единицы добычи, д — затраты па добычу одной единицы; они растут как квадрат добытого.

Все неравенства в (14) и (15) выполняются для почти всех ш. Стратегией центра является выбор оптимальной доли в* заповедной территории, стратегией пользователя — выбор оптимальной величины добычи Н*ж(^о) с учетом поведения центра. в*, Н*

вН

ствующих множеств стратегий для почти всех ш имеют место неравенства для функций выигрыша, зависящих от случайных параметров:

К(в*,Н*,ш) > К0(в*,Н,ш), К(в*,Н*,ш) > К(в, Н*,ш).

Определение взято из [7] и дополнено.

в

* , /Л(/1(^)ж(^0) - то) - к(х(г0) - г/(¿о))

в =1-4/-;——:-, ) > то. (16)

//

Здесь 0 < в* <1 при

к(х(г0) - г/(¿о)) < л < ¿1 + ¿2 + к(х(г0) - у (г о)) Н(ш)ж(£о) —т ^ Н(ш)ж(£о) —т '

в*

л > ¿1 + г2 + г4(д(*о) — г/(*о» ^ Н(ш)ж(£о) — т Если Н(ш)ж(£о) < т, то оптимальной величины доли охраняемой территории не существует.

Оптимальная величина добычи равна

Г Р(1-з)~А г) > ^ /г*Н^о)= 29(1"5) ' Р г-8' (17)

[О,

при Н(ии)х(Ьо) > га; Ъ*{оо) = ^ при Н(ии)х(Ьо) < га.

Величина оптимальной добычи при наличии штрафов зависит от цены продажи единицы добычи: если цена продажи единицы добычи р меньше ставки штрафа то промысел убыточен и нецелесообразен.

Величина /(хо) = К(^)х(£о) + Ь(^), описывающая добычу популяции вне охраняемой территории, является случайной. Будем предполагать, что случайная величина браконьерской добычи Ь{и) равномерно распределена на отрезке [у, эд], а величина К{и) — нормально распределена с математическим ожиданием К и дисперсией а2. Следовательно, величина К(^)х(£о) нормально распределена с математическим ожиданием Кх(£о) и дисперсией а2х2(£о)-

/х

вид [8] (рис. 6):

ш = —

эд — г \ ^ ( К у — г Ф - + —-—- - Ф - +

х(£о)а/ \а х(£о)а

г х2

Здесь Ф(г) = / е~~ (1х — функция Лапласа.

(18)

Рис. 6. Плотность распределения случайной величины /(жо).

Найдем плотности распределения функций выигрыша Ко(з,Ь,и) и К(з, Ь, и). Плотность распределения Ко(з,Ь,и) при Н(и)х(£о) > т представляет собой распределение разности нормальной и равномерно распределенных случайных величин:

Л(*) =

1з(<Ш - У)

-Ф

Ах(£0У

Н (1- + +

Ах(£о)^

(19)

Здесь Ф(г) — функция Лапласа, 1

3 =

1-5

[Ат + Мх(£о) - + ¿10 - 1) +

При Н(и)х(£о) ^ т функция выигрыша центра Ко(з, Ь, и) имеет равномерное распределение на отрезке [-1з,ш, -^у].

Плотность распределения функции выигрыша К (з, Ь, и) имеет вид плотности распределения линейной функции от квадрата нормальной случайной величины (рис. 7):

/з(*) =

2у/2щ(Ь - г)

ехр

Ь - г + дА2 1 , А^Ь - г

1 сп ■

2дС2

Ь - г > 0. (20)

-15 -10 -5

Рис. 7. Плотность распределения функции выигрыша К (5,6, ш).

В формуле (20) при Н(^)х(£0) > т

А = Нх(г о) ~ )' С = х(го)а>

Ь= -^(1 - в) при Н(^)х(£д) ^ т

1

%

Л

1 - в

Лт

А = кх(Ч)-^~, С = х(г0)а, Ь = -к{ 1-8) + ^-.

¿д щ

Сравним плотности распределения функции выигрыша агента К^а, Ъ, ш) при /(жо) = Ь\и))х(Ьа) + Ь(ш) и К^а, Ъ, ш) при /(ж) = Ь(ш) [9]. В последнем случае предполагаем, что Ь{ш) представляет собой сумму двух независимых случайных величин — равномерно распределенной па отрезке [и, ад] (браконьерская добыча) и нормально распределенной ^(Н, а) (плановая добыча). Тогда плотность распределения случайной величины Ь{ш) имеет вид [8]:

1

Н + ш — г\ т / Н + и — г Ф - - Ф

Л(г) =

Выигрыш пользователя описывается функцией

_ Г ЬН(р - ф(ш)) - к(1 - а) - ^(ЬН - т),

= I Ь(ш)>т, (21)

[ Ь{ш){р - дЬ(^)) - ¿1(1 - в), Ь{ш) < т,

Плотность распределения К\{а,Ь,ш) имеет вид

Ь(г) = -* е~^с1х+ сЬ . (22)

д(Ь- г)

.1

В формуле (22)

1г + у + Р л/Ь - г Ь + т + Р л/Ь - г

=---р-, ¿2 =---р-,

сг ^Да

Ь + и) + Р - г

а ^да

Ь + у + Р - г

¿3 =--1--р-, ¿4 =

л/ЧО

а

а

Р = 2q (р ~ T=s) ПРИ > га, Р = ^ при Ь(о;) < га.

Плотности для случайных величин К^в^Ь^и) и ^1(5,6,0;) приведены на рис. 8 (кривая плотности слева). Таким образом, для величины ^1(5, Ь,и) разброс значений будет большим во всех случаях, а затраты агента, описываемые функцией выигрыша существенно выше. На рис. 8 для получения характерной кривой распределения в заданном масштабе полагается, что браконьерская добыча в полтора раза больше плановой.

Рис. 8. Сравнение плотностей распределения случайных величин функций добычи.

1. Арнольд В. И. Теория катастроф. М.: Наука, 1990.

2. Григорьев М. П., Половинкин Ю. Т., Романова Н. А., Софронов Е. Т., Трофим-цев Ю. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения в примерах и задачах. Изд. 2. М.: Вузовск. кн., 2008.

3. Толстихин О. Н., Трофимцев Ю. И. Экологический менеджмент. Новосибирск: Наука, 1998.

4. Леонов А. М., Трофимцев Ю. И. Особые точки и бифуркационные параметры модели восстановления популяции // Мат. заметки ЯГУ. 2008. Т. 15, № 2. С. 106-118.

5. Vasilyev М. D. The stability of ODE system in the models of dynamics // Abstr. Int. Young Scientists Conf. Mathematical Modeling. Linyi, China, May 24-25, 2010. Yakutsk: IMI YSU, 2010.

6. Мазалов В. В., Реттиева А. Н. Равновесие по Нэшу в задачах охраны окружающей среды // Мат. моделирование. 2006. Т. 18, № 5. С. 73-90.

ЛИТЕРАТУРА

7. Петросян Л. А., Данилов Н. Н. Кооперативные дифференциальные игры и их приложения. Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1985.

8. Левин В. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Кн. 1. М.: Сов. радио, 1974.

9. Васильев М. Д., Трофимцев Ю. И. Эколого-экономическая модель охраняемой популяции со случайной величиной добычи // Тр. Междунар. науч. чтений «Приморские зори-2012». Вып. 1. Владивосток: Изд-во ТАНЭБ, 2012. С. 7578.

г. Якутск

18 июня 2013 г.