CC BY
35
TELECOMMUNICATIONS
His
Совместный метод фильтрации -дифференциальной импульсно-кодовой модуляции с помощью сплайн-функций
На основе математического аппарата векторных сплайн-функций предложен совместный метод фильтрации — дифференциальной импульсно-кодовой модуляции. Определены особенности его применения при синтезе алгоритмов функционирования кодеков. Приведен пример.
Ключевые слова: дифференциальная импульсно-кодовая модуляция, сплайн-функции, экстраполяция.
Хуторцева А.В.,
Северо-Кавказский филиал Московского технического университета связи и информатики
Одним из наиболее эффективных подходов к цифровому кодированию непрерывных сообщений является подход, основанный на методе дифференциальной импульсно-кодовой модуляции (ДИКМ) (методе цифрового кодирования с предсказанием) [1-5]. Он обеспечивает наибольший выигрыш в отношении уровня кодируемого сигнала к уровню шума квантования.
При решении задач ДИКМ сигналов, как правило, исходят из предположения об их скалярной структуре [1,3-5]. Вместе с тем, как показано в [2,6], первичный сигнал обычно является компонентой многомерного марковского процесса, что накладывает определенные требования на процедуру его предсказания или экстраполяции. Кроме того, первичный сигнал может наблюдаться на фоне помех. В этом случае, вначале необходима его фильтрация, а уже потом ДИКМ.
Однако, как алгоритм фильтрации, так и алгоритм цифрового кодирования с предсказанием, предполагают реализацию процедуры экстраполяции [1,2,6]. В связи с этим, целесообразно рассмотреть вопрос о разработке совместного метода фильтрации - дифференциальной импульсно-кодовой модуляции (Ф-ДИКМ) на основе общей процедуры экстраполяции.
Исходя из специфики импульсно-кодовой модуляции, состоящей в дискретизации с заданной частотой непрерывного сигнала, в основу решения задачи необходимо положить класс математических моделей, обладающих непрерывно-дискретной структурой.
Одним из наиболее эффективных в рамках такого класса является аппарат векторных сплайн-функций [7-11].
Таким образом, разработка совместного метода фильтрации — дифференциальной им-пульсно-кодовой модуляции на основе метода сплайн-аппроксимации для векторного информационного процесса, одна из компонент которого является передаваемым на фоне шума сигналом, представляется актуальной.
Рассмотрим векторный непрерывный информационный процесс, представленный непрерывной марковской моделью
Л = АШ)+), Ло)=Л, (1)
где ЛеЯ1; пЛЕ#; АеВГ1; ; пЛЦ)
— векторный формирующий гауссовский шум, у которого М [пл (01 =
М[пх(Г)п{(Г-т)] = Мл8(т); Ыхе ЯгХг -
диагональная матрица; Л0 векторная случай*
ная величина; М [Ло] = Ло;
* ^ Т
М[(Ло -Ло)(Ло-Ло)1 ] = Ко.
Предположим, что передаче подлежит первая компонента вектора ЛЛ1 (() = [Х1(()...Хп(/)], причем, наблюдается эта компонента на фоне помехи
у(0 = Л (0 + п(0, (2)
где г() — гауссовский шум, у которого
М[п()] =0; М[п(1)п{1 — т)]=М08{1 -т).
Простейшими примерами, иллюстрирующими (1), могут служить [2,6] модель речевого сообщения, модель типового телеметрического сообщения, модель узкополосного сообщения (п = 2, г = 1).
Joint method of filtering - differential pulse code modulation with the help a spline functions
Khutortseva A.V.,
North-Caucasian branch of the Moscow technical university relationship and informaticses
Abstract
On base of the vector spline-function mathematical device the joint filtering -differential pulsed-code inflexion method is offered. The particularities of its using at syntheses of codec operation algorithm are considered. The example is brought.
Keywords: differential pulse code modulation, spline functions, extrapolation.
High technologies
in Earth space research — _
№ 2-2010 25
ш
ТЕЛЕКОММУНИКАЦИИ
Поставим задачу для модели информационного процесса (1), (2) разработать совместный метод Ф-ДИКМ, базирующийся на векторной сплайн-аппроксимации оценки процесса А(У).
Первый этап решения задачи. Для уравнения состояния (1) и уравнения наблюдения (2) проведем синтез алгоритма фильтрации. Соответствующие уравнения имеют вид [2,6]
^ = +кнтщ\у-т\ <3> л
— = АК + КАТ + gNяg1 - А7/ТА'(71/Ж, Л
Л*((0) = Л0, К(Г0) = К0,
(4)
где К = М[(Л-Л*)(Л-А*)Т]еЯ"х" -
корреляционная матрица ошибок фильтрации; Я =[1 0.... 0].
Отметим, что уравнение (4) не зависит ни от наблюдения ни от оценки
А* (/) и может быть решено заранее.
Отметим, что алгоритм фильтрации (3) содержит процедуру, характерную для ДИКМ и состоящую в формировании разностного сигнала ( у _ //Л* )•
Второй этап решения задачи. Представим А. в терминах вектор-сплайна. Остановимся на базисных параболических нормализованных сплайнах дефекта 1 [7,9,11], обеспечивающих компромисс между точностью представления аппроксимируемых процессов и сложностью вычислений.
Введем на временной оси две сетки с шагом разбиения Ь
Д:/_2 </_1 <?0 <?1 <•■•>
А:7_2 </_1 <10 <4 <->
гд Г7 =-
0+1 +'].
Здесь величина шага Ь определяется частотными характеристиками процесса
т-
Рассмотрим интервал времени
['у>0-1]' • Для него в соот"
ветствии с [7-9, 1 1 ] получим
А =5,- =
[Ь]_, -26,- +Ъ]+Х
гДе 5,- е Я" (у =0,1,...)
(7)
параболический
вектор-сплайн дефекта 1;
= -1Д1,...) - вектор коэффициентов сплайна.
Представление (7) позволяет перевести алгоритм фильтрации (3) из категории непрерывных в категорию непрерывно-дискретных, для которой каждый шаг обработки включает две составляющих:
- прогнозирование оценки на основании априорных данных;
- уточнение прогноза на основании наблюдения.
Третий этап решения задачи. Рассмотрим экстраполирование оценки на ^ ^ ] в
терминах (7). В основе экстраполяции лежит решение уравнения (3) без учета наблюдений (КНТЩ1{у-НЛ*)=0).
Определим на у. ] сплайновое
представление для производной оценки
М* &
___1_
Л Л
= [Ь,_,-2Ь,+Ь
(8)
2/7 ' '
Рассматриваемая задача относится к классу задач Коши. Для обеспечения устойчивости ее решения в [7,1 1 ] использован подход, предполагающий для формирования экстраполированного
значения вектора и ■ , использо-
°]+\ К 1
вать соотношения (7), (8) в узле ^ ^
сетки (6). То есть
= (9)
^ зЬэ \ (ю) Л 2ИХ ' 1 > ->+и Из (9), (10) следует 1 3
- V1 = А(1] + ;)Х
X Ы—Ь,_\ - — Ъ: ! 1
и 4 ■> 8 1 )
ИЛИ
/у-;., /.д-,-/>•/,,-.
где
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
Т ,- пПХП
1 е К - единичная матрица.
При достаточно малых значениях Ь матрица Р в силу диагонального преобладания не вырождена. Тогда
А/., /71/./Л/|./;/1/'//>/,
(16)
Отметим, что на первом шаге [/д,^]
прогноз осуществляется, исходя из начальных условий в (3)
Ь_1+Ь0=2Л1*0, (17)
-Ь_1+Ь0=М(г0)^.
В соответствии с (7), (16) на [у tj+l\
может быть сформирована экстраполя-ционная оценка Л*э вектора Л- В частности, для первой его компоненты д*э
( " л2
получаем
где ¡уу. - первый элемент вектора
(18)
Ь]=[ЬЦ Ь2]....Ъп]1
Четвертый этап решения задачи. Этот этап связан с формированием на [Г ^ +1] интегрального значения сигнала
ошибки
>+1 * (19)
и уточнения значения вектора ^
(20)
где полагается, что
Далее для [{]+х,1]+2\, [1]+2^+3Ъ -
алгоритм обработки, основанный на реализации соотношений (16), (18)-(20), повторяется с соответствующими заменами индексов.
Выражения (16), (18)-(20) составляют основу совместного метода Ф-ДИКМ.
Соответствующая ему процедура включает:
1. Прогнозирование на основании априорной информации о процессе Д(^)
в соответствии с (16) сплайн характеристик оценки Л* (У);
2. Определение в соответствии с (1 9) интегрального значения сигнала ошибки
3. М-уровневое квантование значения §. в момент окончания интегриро-
]
7+1
Наукоёмкие технологии в космических исследованиях Земли № 2-2010
TELECOMMUNICATIONS
m
где п . - ошибка квантования;
4. Кодирование значений § . и Пе-
Кв/
редача соответствующих кодов в канал связи;
5. Уточнение в соответствии с (20) предсказанного вектора коэффициентов сплайна с последующим использованием для экстраполяции вектора /-,'> ^ на
Последовательность восстановления сигнала на приемной стороне включает
1. Экстраполяцию коэффициентов сплайна по соотношению, аналогичному (16)
, . /•/|/у)/; (22)
2. Определение в соответствии с (20), (2 1) уточненного значения
3. Восстановление по коэффициентам сплайна принятого сообщения
1
11ф,.1м] 2
+ blj+l
(24)
Отметим, что соотношения (16)-(20), (22)-(24) определяют алгоритм функционирования кодека при совместной Ф-ДИКМ.
Пример. Рассмотрим совместную процедуру Ф-ДИКМ применительно к модели узкополосного сообщения [2]
dt
dt
(25)
=-х2\ (t)-2a\(t)+x2nA(t),
параметры, характеризую-
щие а, х щие ширину полосы частот. Для приведенной модели
0
..2
А =
1
- 2 а
' 0 "
> g = 2
X
(26)
В силу (26) для (4) имеет место установившееся решение К = Ку = const, определяемое из матричного алгебраического уравнения
AKy + KyAT+ggTNA -- KyHTHKyNо1 = О, где ЯТ = [l 0].
(27)
В среде МаЖСАЭ было проведено моделирование процедуры совместной Ф-ДИКМ при передаче и приеме процесса (I), соответствующего модели
(25), наблюдаемого на фоне шумовой помехи у(/) = ^(г) + Полагалось, что « = 1200, х = 2 • 104, Л^=10"7, Ж0=Ю"9, /е[0,Т], Т = 0.1, Ъ = (2,4,8,10,16,20,25,32) • 10~6.
Здесь и далее параметры приведены в безразмерных единицах.
Значения (/) и ,¿2(0 определялись из численного решения уравнений (25) в соответствии со схемой Эйлера при
А? = 5 - Ю-7.
Формирование и ппрово-
дилось с помощью датчиков нормально распределенных случайных чисел в соответствии с методикой, рассмотренной в [2,6]. Число уровней при квантовании передаваемого сигнала полагалось равным М = 15,31. Ошибки квантования задавались с помощью датчика равномерно распределенных случайных чисел.
На рис.1 представлены фрагменты информационного (!) и наблюдаемого у(7) процессов. Очевидно, что применять непосредственно к у^) стандартную процедуру ДИКМ нельзя.
На рис.2 представлены фрагменты информационного процесса Я\(1) и
процесса Х\0), восстановленного на приемной стороне в соответствии с (22)-(24) (М = 31, Л = 20-10~6)- Они оказываются достаточно близкими. Для оценки степени этой близости был проведен расчет зависимости относительной дисперсии оценки восстановленного на приемной стороне процесса
~2
W = —2-'
С7Л1рг
(28)
где
= —1Й-4)2,! 29> и - 1 ,~у
и = Т/Af, Au= Ли (г ■ At); Ли = Л1 (¿At):
2 дг
_2 _х - априорная дисперсия
Ххрг 4а процесса Л\ (/),от шага h при М = 15 (кривая 1) и М =31 (кривая 2).
Кривая 3 на этом же графике характеризует зависимость от И относительной дисперсии оценки формируемой в соответствии с (17) на передающей стороне
а2, (Л)
Л\рг
1 и
—У (4-я,,)-2 и-ltr
(30)
Функция (30) является нижней гранью, к которой стремятся зависимости (28) по мере роста А/1.
Из графиков следует, что для каждого значения М может быть выбран оптимальный шаг сеток (5), (6) сплайн-функции, обеспечивающий минимальное значение погрешности восстановления.
Вогнутый характер кривых 1, 2 обусловлен с одной стороны, снижением точности сплайн-аппроксимации по мере роста Л, а с другой - увеличением по мере уменьшения шага И влияния на
оценку Я] ошибок квантования.
На основе математического аппарата векторных сплайн-функций получен метод синтеза алгоритмов функционирования кодеков ДИКМ, основанный на объединении процедуры фильтрации и собственно процедуры дифференциальной импульсно-кодовой модуляции.
Применение сплайновых структур обусловлено хорошей согласованностью их непрерывно-дискретных свойств со спецификой импульсно-кодовой модуляции.
Совместная процедура Ф-ДИКМ позволяет осуществлять обработку непосредственно зашумленного информационного процесса, не прибегая к предварительной его фильтрации. Объединение фильтрации и ДИКМ основано на использовании общего алгоритма экстраполяции, присущего как одному, так и другому классу задач.
Специфические черты рассмотренного совместного метода Ф-ДИКМ, отличающие его от традиционных методов ДИКМ, состоят в следующем:
1. Задача экстраполяции (предсказания) решается относительно коэффициентов сплайнов на основе конечно-разностной схемы (1 6);
2. Для квантования и кодирования используются не мгновенные значения рассогласований текущего и предсказанного процессов, а интегральные значения сигнала ошибки, определяемые в соответст-
High technologies in Earth space research № 2-2010
us
R E S E A H С II
ТЕЛЕКОММУНИКАЦИИ
Литература
вии с (19) и привязанные к подынтервалам времени, задаваемым сеткой (5);
3. Восстановленный на приемной стороне сигнал является непрерывной кусочно-полиномиальной зависимостью.
Проведенный вычислительный эксперимент показал работоспособность и эффективность предложенного метода.
Представлен подход, базирующийся на применении параболических векторных сплайнов дефекта 1. Для получения алгоритмов совместной фильтрации и ДИКМ более высокого класса точности, можно использовать сплайны более высокого порядка, например, кубические сплайны дефекта 1 [8]. Сложность соответствующей обработки при этом увеличится незначительно.
1. Помехоустойчивость и эффективность систем передачи информации / под ред. А.Г.Зюко. - М.: Радио и связь, 1 985. - 272 с.
2. Ярлыков М.С, Применение марковской теории нелинейной фильтрации в радиотехнике. - М.: Сов.радио, 1980. - 360 с.
3. Прокис Дж. Цифровая связь. - М.: Радио и связь, 2000. - 800 с.
4. Ли У. Техника подвижных систем радиосвязи. - М.: Радио и связь, 1985. - 392 с.
5. Кириллов С.Н., Лоцманов А.А. Дифференциальная импульсно-кодовая модуляция с нелинейным адаптивным фильтром-предсказателем // Сб. докладов 5-й Международной конференции «Цифровая обработка сигналов и ее применение» РБРА - 2003. - С. 1 -2.
6. Тихонов В.И., Кульман Н.К. Нелинейная фильтрация и квазикогерентный прием сигналов, - М.: Радио и связь, 1 974. - 706 с.
7. Стечкин C.B., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. - М.: Наука, 1976.-248 с.
8. Альберг Д., Нильсон Э., Уолш Д. Теория сплайнов и ее приложения. - М.: Мир, 1972.-31 6 с.
9. Хуторце в В. В. Метод сплайново-гауссовской аппроксимации в задаче адаптивной фильтрации // Радиотехника и электроника, 1990. Т.35. №6. - С. 1217-1225.
1 0. Хуторцев В.В. Использование базисов финитных функций в задачах фильтрации априорно неопределенных временных процессов на стохастических пространственных фракталах // Проблемы передачи информации, 1998. №2. - С.86-97.
11. Хуторцев В.В., Федоренко О.С. Использование метода сплайн-функций при синтезе цифровых алгоритмов фильтрации с группированием наблюдений // Радиотехника, 201 0. №2. - С.4-8.
Наукоёмкие технологии в космических исследованиях Земли № 2-2010
