CC BY
36
148
Путевые работы
Путевые работы
УДК 528.34:629.783+625.11
СОВМЕСТНАЯ ОБРАБОТКА ПУТЕИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ И СПУТНИКОВЫХ ДАННЫХ ПО КОНТРОЛЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ПУТИ
В.А. Коугия
Аннотация
В статье изложена теория алгоритмов для вычисления координат и высот путем совместного уравнивания путеизмерительных и спутниковых данных, собранных аппаратурой, установленной на путеизмерительном вагоне. Предлагаемые алгоритмы обеспечивают вычисление по простым рекуррентным формулам строгих эффективных оценок координат и высот на основе совместной обработки всей собранной навигационной информации.
1. Постановка задачи
Для контроля геометрических параметров железнодорожного пути служат путеизмерительные вагоны и тележки. Оснащение их спутниковой аппаратурой позволяет получить точные планы и профили за счет точности определения координат. На работы по созданию измерительных комплексов, сочетающих путеизмерительную и спутниковую технику, указывается в публикациях (Боронихин А.М., 2001; Васекин А.И., 1999; Власов В.М., 2002; Матвеев С.И., 2002; Соловьев Ю.А., 2003; Frail J.M., 2000). Разработка математического аппарата, обеспечивающего строгую совместную обработку путеизмерительной и спутниковой информации в настоящее время является актуальной задачей.
Исходными данными для съемки являются координаты и высоты точек привязки путеизмерительного вагона к реперам геодезической сети. Будем называть эти точки опорными.
Спутниковыми измерениями дискретно определяются пространственные геоцентрические координаты. По пространственным координатам, пользуясь известными формулами, вычисляют плоские прямоугольные координаты х, у точек в некоторой проекции и их геодезические высоты Hg. Полагая известными высоты С, квазигеоида над поверхностью применяемого земного эллипсоида и пренебрегая малыми величинами, перейдем к нормальным высотам Н - Н = Hg - С,. В дальнейшем результатами спутниковых определений будем считать координаты х, у и нормальные высоты Н.
2004/2
Известия Петербургского университета путей сообщения
Путевые работы
149
Результатами измерений, выполненных путеизмерителем, будем считать значения дирекционных углов направления движения, углы наклона и пройденные расстояния.
В результате обработки измерений должны быть вычислены эффективные оценки координат и высот всех точек.
Применяемый в навигации для решения близких задач фильтр Калмана позволяет определять координаты в режиме “on line”, но обладает и недостатком. Он не позволяет учесть результаты измерений, выполненных после оцениваемого момента времени. Нужен алгоритм, свободный от этого недостатка.
2. Математическая модель исходных данных
Обозначим xi, yi, Hi координаты и высоты опорных пунктов и точек спутниковых определений, где i = 1, 2, ... n их порядковые номера. Напишем вектор координат точки i и ковариационную матрицу его ошибок:
X =
K, =
ml Kxy KxH
Kxy m2y KyH
K,,„ m l
xH
yH
H
Заметим, что для опорных пунктов, координаты и высоты которых считаются безошибочными, все элементы матрицы Ki равны нулю. При этом если у опорного пункта известны только плановые координаты т, у, то его высоте Ht присваивается приближенное значение, а дисперсии ml -большое значение (ничтожный вес). Если известна только высота, то
приближенные значения присваиваются координатам х, у и большие
? ?
значения - дисперсиям тх и ту.
Для спутниковых определений вектор координат Xi и матрица Ki являются результатом обработки выполненных в точке i измерений. При хорошей геометрии спутниковых созвездий недиагональные элементы К,
? 9
можно считать равными нулю и тх ~ ту.
Измеряемые путеизмерителем элементы обозначим: q -
дирекционный угол направления движения, v - угол наклона и s -пройденное расстояние. Приращения координат между точками i и (i + 1) будут равны
si+1
hxt= JS cosvcosq- ds ,
si
Известия Петербургского университета путей сообщения
2004/2
150
Путевые работы
Ay = Js cos v sin q-ds, (1)
si
st+1
A//. = js sin v ■ ds .
st
Полагая что осевая линия проекции проходит близко к месту работ, в формулах (1) пренебрегли искажениями проекции. Напишем вектор измеренных приращений координат
'дО
AX, Ay Ш
i )
Погрешности измерения s, q и v будем считать независимыми, а их стандарты обозначим ms, mq и ту. Пренебрегая кривизной траектории на отрезке между точками i и (/ + 1), и дифференцируя АХЬ по всем переменным, запишем
cosqcosv sin q cos v sin v
-s sin q cos v scosqcosv 0
- s cos q sin v -s sin q sin v s cos v
'dsЛ dq
Vdvy
Ковариационную матрицу Кпг- погрешностей приращений координат на отрезке определим по формуле
где П =
cosqcosv sin q cos v sin v
f 2 r\
ms 0
-s sin q cos v scosqcos v 0
Кп, = П 0 m,
0 0
v
- s cos q sin v -s sin q sin v scos v
0
0
nT,
m
2
v )
матрица переноса ошибок.
3. Совместное уравнивание выполненных измерений
По результатам выполненных измерений можно составить следующую систему уравнений: по результатам спутниковых измерений
X-X=Vb, (2)
2004/2
Известия Петербургского университета путей сообщения
Путевые работы
151
по результатам путеизмерения
Xi+i - Xt - AXj - V2i
(3)
здесь Xt - уравненное и хг - приближенное значения вектора координат.
Решение методом наименьших квадратов (VYR) системы уравнений (2) - (3) с учетом ковариационных матриц Ki и Кпг- приводит к определению уравненных значений координат Хг. Однако при большом
числе измерений такое решение связано с образованием большой системы нормальных уравнений, имеющей разные размеры в разных случаях, что усложняет алгоритм. Решение значительно упрощается, если использовать предложения статьи (Коугия В.А., 1983).
4. Вычисление координат и оценок точности в режиме “Online”
Пусть для точки i-1 с использованием всей собранной ранее информации вычислен вектор координат Хг_х и матрица Kt,. В начальной
точке Х\ и К\ — это вектор координат и ковариационная матрица исходного опорного пункта или результат выполненных в начальной точке спутниковых измерений. Измерив приращения координат до следующей точки со спутниковыми измерениями, найдем приближенный вектор ее координат Хс I, ЛХ,.\, и ковариационную матрицу /2, Кп,.\. Из
спутниковых измерений для той же точки имеем вектор Xi с ковариационной матрицей K Приходим к следующей системе уравнений.
X,-Xc = Vl,
Xt-xt = v2,
где X - вектор координат, вычисленный с использованием всей
полученной в точке i и ранее информации, a V\ и V2 ~ векторы согласующих поправок.
Напишем систему уравнений поправок
SXi-(Xi-Xc) = V2,
где SXi - вектор поправок к приближенному вектору Хс. Ковариационная матрица системы уравнений равна
K =
\Kt_ г+ кп_! о
о
Известия Петербургского университета путей сообщения
2004/2
152
Путевые работы
МНК-решение полученной системы уравнений с учетом матрицы K приводит к рекуррентным формулам:
X-Х,_, + ЛХН +[(*,_,+£пн)" + к;1]лк;1 (Х,-х,_-ЛХИ), К, = [(^,+А-п,,,)-1 + Кг']-\
(4)
(5)
где Хг и Кг - вектор координат и ковариационная матрица для точки i.
Алгоритм, описываемый формулами (4) и (5) соответствует фильтру Калмана. Конечно, координаты, вычисляемые по формуле (4) нельзя считать окончательно уравненными, так как здесь используется только информация, полученная до момента измерений в данной точке, и не использована полученная позже. В полной мере уравненные значения Хг и Кг, вычисленные с использованием всей информации, будут получены только для последней точки.
5. Уравнивание результатов измерений, полученных из прямого и обратного хода
Вычислим координаты и оценки точности для каждой точки со спутниковыми измерениями, используя весь объем измерений. Для этого сначала по формулам (4) и (5) вычислим координаты и оценки точности для всех точек в порядке их номеров. Затем по тем же формулам вновь вычислим координаты и оценки точности в обратном порядке, начиная от последней опорной точки. Полученные результаты прямого и обратного ходов уравняем совместно.
Обозначим по-прежнему вектор координат и ковариационную матрицу, полученные для точки i из прямого хода, Хг и Хг. Те же оценки из обратного хода обозначим Xt и Kt. Уравненные значения обозначим Xt
и K.
X
Составим систему уравнений, связывающих векторы координат А-i и
y-^+AX^Jl^
x,.-x,. = v2,
и весовую матрицу
P =
■ + Кп,_■ 0
0
K: ■
МНК-решение составленной системы уравнений приводит к формулам:
2004/2
Известия Петербургского университета путей сообщения
Путевые работы
153
K =
t-t+Kn,_t^+K-‘
П-1
X = K.
t t
Kt-1 + Knt_ Л Xt_ 1 + AX;_ >) + Kt1Xt
(6)
(7)
Используя те же значения Хг_х и Хг, составим иную систему уравнений поправок, в которой определяемыми параметрами являются составляющие вектора Xt_x:
и весовую матрицу
_ X^-X^=Vx , X^-^-AX^yV,
p = \K“ . 0
0 Ki +Кп !
Из этой системы уравнений получаем формулы:
*,■-1 = *,--1
+ Кп
[ + С,
Т-,=к, t-Л,+с,+fiv, з с, - дт,_,;
г-1 >
(8)
(9)
Используя формулы (6) и (7) или (8) и (9), можно выполнить строгое уравнивание всей совокупности выполненных измерений. При этом рекуррентный характер формул приводит к алгоритму, чрезвычайно экономному в отношении объема оперативной памяти, позволяющему последовательно обрабатывать файлы измерений любой длины. Но такой алгоритм требует трехкратного вычисления координат и ковариационных матриц, первое - в прямом порядке по формулам (4) и (5), второе - в обратном порядке по тем же формулам и третье - по формулам (6) и (7) или (8) и (9).
6. Уравнивание результатов измерений без вычислений обратного хода
Рассмотрим возможность сокращения алгоритма за счет исключения процедуры предварительного вычисления координат X и матриц K из обратного хода. Исключим из уравнений (7) и (9) вектор X , для чего сначала их преобразуем. В правой части уравнения (7) прибавим и отнимем Хг1 + AXt_i и после несложных преобразований получим
Известия Петербургского университета путей сообщения
2004/2
154
Путевые работы
л-+ л-Ги + К,к;' t - Х,_, - ддг,_,
(10)
В правой части уравнения (8) прибавим и отнимем Хг1 и после преобразований получим
(11)
Подставим в уравнение (11) выражение для й-Т-.-ду.У, полученное из (10), и найдем
Т,_,+ км С + кпм * к,к;' - х,_, - ддг,_,
Избавимся в полученной формуле от Кг. Для этого преобразуем входящее в нее выражение Kt_Y %i + ЛГп; | ^ АГДД. Подставим в него выражения для Кг из (6) и для Kt, из (8) и воспользуемся тождеством вида
^-1+К21^К21=К1^1+К2^,
где К1 и К2 матрицы симметрические неособенные. Опуская промежуточные выкладки, найдем
6 + Й1,_, К,к;' = Км < + Кп,_,
и окончательно
X,
■Х^-АХ^
(12)
Полученная формула освобождает от необходимости предварительного вычисления координат в обратном порядке. Имея значения Хг и Kt из прямого хода, непосредственно по формуле (12) найдем окончательно уравненные координаты точек. Очередность рекуррентных вычислений - в направлении обратного хода.
Для вывода формулы оценки точности, не использующей данных обратного хода, приведем выражения (6) и (8) к следующему виду
i-l + KUr-l >
V = к,
2004/2
Известия Петербургского университета путей сообщения
Путевые работы
155
В силу равенства правых частей равны и левые
[К-'- С,-, + Кп,_ J г1 = f-k-\
1 A^i-1 > JVAAz-1 ?
откуда находим:
-i
/-1
=£,-,+ + кп,_, j-1
Получили выражение, не содержащее данных, связанных с обратным ходом. Преобразуем его с целью упрощения и уменьшения числа обращений матриц. Умножим обе стороны равенства на выражение
1 + Кп!_]. В ходе преобразований будем учитывать перестановочность входящих в произведения матриц, вытекающая из их симметричности. Получим
Г1 + ^:11Kn,.,=je,-4^-,-f,.1+xn,+ k^Kn,.t +е.
>!-1
Умножим обе части полученного выражения справа на [К;1- fy + Ат1(Ч ^ ](К^ + Knt_t )Kt и после преобразований запишем:
К~\ К,_,(К, К,_,+ Кпг_х К,_,+ Кпг_х Кпг_х ) = К^ + Ки^ ^К^ + Ки^ )
И далее К,
i-1
= (К,_, + Кп}.,у'К1_,[К, + *пм].
Введем вспомогательное обозначение Q = Kj, (kj, + АЛ , )"' и напишем окончательные формулы
Trt. +Q-$,-x,_1-axi_1 KM=Q-K,AQ-k, +jrn,.,].
(13)
(14)
где
Q= к^к^+кп^)
-i
7. Заключение
Совместная обработка результатов спутниковых и путевых измерений выполненных по рекуррентным формулам выполняется по следующим алгоритмам.
Алгоритм “Online”. Файлы зарегистрированных результатов
измерений обрабатываются в том порядке, как они поступили на устройства памяти. Обработка выполняется по формулам (4) и (5). В
Известия Петербургского университета путей сообщения
2004/2
156
Путевые работы
результате обработки для каждой точки i получают вектор ее координат XX t и ковариационную матрицу Kt, вычисленные с использованием всей предшествующей информации. Алгоритм может применяться для решения навигационной задачи, то есть обработки результатов измерений в реальной шкале времени.
Алгоритм “A posteriori ”. Включает два этапа вычислений. На первом этапе, используя алгоритм “Online ”, вычисляют векторы X и матрицы X. На втором этапе результаты первого этапа обрабатывают в обратном порядке по формулам (13) и (14). В результате обработки для каждой точки i получают вектор уравненных координат Xt и ковариационную
матрицу K, вычисленные с использованием всей, как предшествующей, так и последующей, информации. Алгоритм предназначен для апостериорной обработки результатов измерений и достижения строгого решения задачи.
Алгоритм “A posteriori ” может применяться и при решении навигационной задачи в реальной шкале времени. По формулам (13) и (14) по мере выполнения новых спутниковых измерений можно уточнять координаты нескольких ближайших предшествующих точек. Получаемые таким образом текущие координаты (хотя и с незначительной задержкой во времени) будут точнее, чем координаты, определенные только по предшествующим данным.
Отметим еще, что вычисление координат точек, расположенных между точками спутниковых определений, если это потребуется, следует выполнять после завершения описанных в предыдущих пунктах уравнительных вычислений. При этом координаты каждой такой точки могут быть вычислены, например, сложением уравненных координат предыдущей точки со спутниковыми измерениями с приращениями координат, вычисленными по формулам, аналогичным формулам (1).
8. Литература
Боронихин А.М. и др. Исследование интегрированной системы навигации на рельсовом пути. Сб. «Интегрированные инерциально-спутниковые системы», ГНЦ ЦНИИ «Электроприбор», Санкт-Петербург, 2001.
Васекин А.И. и др. Опыт внедрения аппаратуры спутниковых навигационных систем в технологиии управления желзнодорожным транспортом. Тезисы региональной научно-практической конференции, МПС РФ, Новосибирск, 24-26 июня 1999 Власов В.М. Автоматизированная спутниковая радионавигационная система на наземном транспорте // Мир связи - Connect, #4, 1999.
Геоинформационные системы и технологии на железнодорожном транспорте. Под ред. С.И. Матвеева. - М. 2002.
Соловьев Ю.А. Спутниковая навигация и ее приложения. - М.: ЭКО-ТРЕНДЗ, 2003. -326 с.
Fraile J.M. SATURN An innovating Concept for GNSS-based Localisation of Railway Vehicles, GNSS-2000 Conference Proc., Edinburgh, 2000.
2004/2
Известия Петербургского университета путей сообщения
Путевые работы
157
Коугия В.А. Рекуррентные способы уравнивания измерений на галсе. Геодезия и картография, №3, 1983, с. 30-33.
УДК 621.873/.875(031)
АДАПТИВНАЯ ВЫНОСНАЯ ОПОРА ДЛЯ КРАНОВ НА ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОМ ХОДУ
О.А. Бардышев, Д.Е. Попов, Я.С. Ватулин, В.А. Попов
Аннотация
В статье приводится результаты исследования взаимодействия элементов опорного контура железнодорожного крана, оснащенного адаптивными выносными опорами. Предлагается кинематическая схема адаптивной опоры, оборудованной гидроприводом поступательного действия. Приводятся результаты численного эксперимента.
Ключевые слова: адаптивная выносная опора, несущая
металлоконструкция, опорный контур, земляное полотно, железнодорожный кран.
Введение
Одной из особенностей работы железнодорожных кранов является работа в условиях опирания на ограниченное пространство рабочей площадки верхнего строения пути и профиля земляного полотна.
Действующие на кран вертикальные и горизонтальные (ветер, инерция, качание груза) силы создают вертикальные и горизонтальные опорные давления, величина которых определяет основные параметры напряженно-деформируемого состояния элементов опорного контура.
Величина опорных давлений определяется для рабочего и нерабочего состояния крана при различных углах поворота стрелы, создающих наименее выгодные расчетные условия. При рабочем состоянии предполагается нагружение максимальным весом груза на максимальном вылете стрелы, а в нерабочем - при поднятой стреле и максимальной силе ветра. Суммарное вертикальное давление на все опоры крана равно его полному весу, однако распределение нагрузки между опорами зависит от положения центра тяжести, которое изменяется при вращении поворотной части и положения противовеса. Кроме того, горизонтальные силы создают дополнительный опрокидывающий момент, который разгружает одни опоры крана и пригружает другие. Распределение нагрузок между опорами зависит также от состояния грунта рабочей площадки и упругих
Известия Петербургского университета путей сообщения
2004/2
