CC BY
36
УДК 372.851
Германов Олег Степанович
кандидат физико-математических наук, доцент. Нижегородский государственный педагогический университет имени Козьмы Минина [email protected] Григорян Мара Эдиковна
преподаватель. Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского mara. manushak@mail .ru Oleg S. Germanov
Candidate of Physical-Mathematical Sciences,
lecturer. Minin Nizhny Novgorod State
Pedagogical University
Mara E. Grigoryan
Lecturer. Lobachevsky State University
of Nizhny Novgorod
mara. manushak@mail. ru
Социально-исторический и логико-гносеологический аспекты анализа понятия вероятности случайного события в процессе обучения теории вероятностей
Socio-historical and logical-epistemological aspects of the analysis of probability of a random event in the process of teaching the theory of probability
Аннотация. В статье проанализировано понятие вероятности случайного события с социально-исторических и логико-гносеологических позиций. Изучена динамика развития понятия вероятности случайного события в математике, проведен анализ имеющихся определений этого понятия с целью поиска путей совершенствования методики его введения и организации технологии его усвоения.
Ключевые слова: теория вероятностей, понятие вероятности случайного события, история развития теории вероятностей.
Abstract. The article analyzes the concept of the probability of a random event with the socio-historical and logical and epistemological positions. The authors studied the history of the development of the definition of probability, and they analyzed the different definitions of this term in order to find ways to improve the methods of teaching the theory ofprobability.
Keywords: probability theory, the definition of probability of a random event, the history of probability theory.
Понятие вероятности случайного события в своем появлении, становлении и развитии, с одной стороны, сохраняло инвариантные, устойчивые характеристики, а с другой - конечно же, изменялось как во времени (различные эпохи), так и в пространстве (различные страны). Выделим основные характеристики понятия вероятности, инвариантные во времени и в пространстве. Для этого выясним, из чего складывается исходное содержание этого понятия (логико-гносеологический аспект), условия его развития и изменения содержания (социально-исторический аспект).
Проанализируем понятие вероятности с социально-исторических позиций. С самой общей, философской точки зрения, в наше время вероятность реального события есть количественная мера его объективной возможности. В античности вероятным называли то, 1) во что можно верить, что может оказаться правдой; 2) что можно проверить; 3) на что можно надеяться. Аристотель случайным называл то, что происходит редко, а вероятным - то, что происходит часто [7, с.45]. Античный анализ случайности шел без попыток оценить вероятность наступления случайного события.
В средневековье в связи с развитием товарно-денежных отношений и страхового дела, усилился сбор и анализ статистических данных. Была поставлена проблема численного анализа случайности, которая была связана, в том числе, и с азартными играми. Самыми распространёнными азартными играми были разнообразные игры в кости.
Значительное продвижение в процессе формирования понятия вероятности связано с именами Л. Пачоли, Н. Тарталья и Дж. Кардано. Кардано правильно подсчитал количество всевозможных исходов (с повторениями и без повторений) при бросании двух и трех игральных костей. Он вплотную подошел к определению вероятности через отношение равновозможных событий. Однако, рассматриваемые им отношения воспринимаются им скорее как доля случаев, чем как характеристика возможности появления случайного события при испытании [6].
В середине 17 века в формирование понятия вероятности были вовлечены известные ученые: Б. Паскаль, П. Ферма и Х. Гюйгенс. В их работах отсутствует понятие вероятности, они ограничиваются рассмотрением возможных шансов, благоприятствующих наступлению события. Введение в науку классического понятия вероятности принадлежит лишь 18 столетию.
Впервые классическое определение вероятности было сформулировано Я. Бернулли (1713г.). Он дал такое определение: «Вероятность есть степень достоверности, и отличается от нее, как часть от целого» [3]. Это предложение поясняется на примере решения задачи, из которого следует, что Бернулли в данную им формулировку вкладывал тот же смысл, какой мы вкладываем в классическое определение вероятности. Я. Бернулли не заострял внимание на
то, что шансы должны быть равновероятными. Это уточнение впервые было введено в определение классической вероятности П. Лапласом.
П. Лаплас (1812г.) ввел следующее классическое определение вероятности: «Вероятность события A равняется отношению числа возможных результатов испытания, благоприятствующих событию A, к числу всех возможных результатов испытания». Предполагается, что возможные результаты испытания равновероятны [3]. Лаплас ввел принцип недостаточности или отсутствия оснований, придав определению вероятности субъективный смысл. Этот принцип состоит в том, что, если вероятность события неизвестна, то мы для её значения назначаем некоторое число, которое нам представляется разумным. В случае, если мы имеем несколько событий, которые составляют полную систему, но не знаем вероятности каждого события в отдельности, то мы считаем, что все эти события равновероятны [3].
В первой половине 18 века выяснилось, что классическое определение вероятности имеет ограниченную область применений, а значит необходимо какое-то его расширение. Классическое определение предполагает, что число элементарных исходов испытания конечно. На практике же часто встречаются испытания, число возможных исходов которых бесконечно. Отмеченный недостаток может быть преодолен, в частности, введением геометрических вероятностей и использованием аксиоматической вероятности. Геометрическим вероятностям посвящены труды Т. Симпсона, Д. Арбутнота, Ж. Бюффона и др. Ж. Бюффон в своих работах сформулировал знаменитую задачу о бросании иглы на разграфленную плоскость и предложил ее решение (1733г.).
Наиболее совершенное аксиоматическое построение теории вероятностей принадлежит А. Н. Колмогорову (1936). Аксиоматика Колмогорова способствовала тому, что теория вероятностей окончательно укрепилась как полноправная математическая дисциплина.
Анализ понятия вероятности с социально-исторических позиций показывает, что формирование понятия вероятности заняло длительный промежуток времени, на протяжении которого происходило непрерывное совершенствование формулировки. В процессе развития теории вероятностей учеными были предложены различные подходы к определению понятия вероятности. Рассмотрим данные подходы с точки зрения современных представлений, дополнив социально-исторический анализ понятия вероятности случайного события логико-гносеологическим анализом.
Как любая наука, теория вероятностей имеет свои исходные (неопределяемые) понятия, через которые определяются другие понятия. К основным понятиям теории вероятностей относятся: испытание, событие, вероятность события.
Испытание представляет собой комплекс условий, при выполнении которого происходит событие. Событие - это любое явление, в отношении которого имеет смысл говорить, наступило ли оно или не наступило, в
результате осуществления определенного комплекса условий. Таким образом, событие есть результат испытания.
Случайное событие в его классическом понимании - это некоторое множество. Поэтому логико-гносеологические корни понятия вероятности случайного события следует искать в теории множеств. Ближайшими родовыми понятиями здесь являются понятия "множества" и "меры множества". Сама же теоретико-вероятностная схема задается тремя компонентами: конкретным пространством элементарных исходов, выступающим в роли базиса, в котором описываются все наблюдаемые события; конкретным набором его подмножеств, являющихся областью определения функции вероятности; конкретным заданием вероятностей на всех множествах пространства элементарных исходов.
Набор этих трех компонент, удовлетворяющий аксиомам теории вероятностей, составляет вероятностное пространство (или вероятностную схему).
Обратимся теперь к различным определениям понятия вероятности. Выделим основные характеристики этих определений и области их применения. Для краткости приведем их в виде таблицы. _Основные подходы к интерпретации понятия вероятности._
Определение
Характеристики
Область Применения
Классическая (априорная) интерпретация (Я. Бернулли, А. М
уавр, П. Лаплас)
Вероятностью события
называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу [2].
1)число элементарных исходов испытания конечно;
2)результат испытания представлен в виде совокупности элементарных событий;
3)элементарные события должны быть равновозможными;_
имеет очень
ограниченную сферу использования: оно применимо
только к анализу экспериментов с
конечным числом равновозможных исходов.
Статистическая (апостериорная) интерпретация (Дж.
раунт)
Статистической вероятностью
события A называется относительная частота появления события A в п произведенных испытаниях, то есть т
где m—число
рЛ) = w(Л) = т
п
испытаний, в которых событие А наступило; п—общее число произведенных испытаний [2].
1)тесная связь с практикой;
2)требуется, чтобы испытания производились в действительности;
3)неоднозначность статистической вероятности.
демография, статистика, страхование, медицина,
физика, контроль качества продукции.
Геометрическая интерпретация (Ж. Бюффон)
Если обозначить меру (длину, площадь, объем) области О через mesG, то вероятность попадания точки, брошенной наудачу в область g — часть области G, равна применяется для испытаний с бесконечным числом исходов. физика, биология, медицина, инженерное дело и т.д.
P = meSg [2]. тes G
Аксиоматическая интерпретация (А. Н. Колмогоров)
Пусть Q - множество всех возможных исходов некоторого опыта (эксперимента), А подмножество множества Q.
1)Каждому случайному событию А поставлено в соответствие неотрицательное число Р(А), называемое его вероятностью P(A)>0.
2)P(Q)=1.
3)Если события Л1,Л2Ли попарно несовместимы, то
p(a+л2+... + л ) = p(a )+p(a2 )+...+p(a ).
Вероятность является функцией со значением в интервале от 0 до 1, определенной на некоторой сигма-алгебре событий и удовлетворяющей некоторым условиям._
создает логическим порядок в
вероятностной теории, но не указывает, как найти эти вероятности на практике.
Субъективная интерпретация (Б. Финетти, Л. Сэвидж)
Субъективными вероятностями событий
называются удовлетворяющие аксиоматического приписанные событиям личного опыта экспертов.
вероятности, аксиомам определения, на основе
степень веры индивида в возможность того, что событие произойдет, как мера личного доверия к утверждению.
экономика,
политология,
социология.
Проведенный анализ понятия вероятности позволяет предложить следующие основные принципы построения методики обучения понятия вероятности случайного события:
• Прежде чем ввести понятие вероятности, со студентами необходимо разобрать следующие базовые понятия: испытание, случайное событие, полная группа событий, элементарный исход, множество элементарных исходов, благоприятствующие элементарные исходы, равновозможные элементарные исходы.
• Необходимо изучить различные подходы к интерпретации понятия вероятности. В противном случае, происходит неполное представление о нем. При введении каждого из определений вероятности необходимо обращать внимание студентов на его недостатки и области возможного применения.
• Необходимо проанализировать со студентами источники получения вероятностей для их использования в реальной жизни: непосредственный подсчет вероятности события; экспериментальное определение вероятности события как предела относительной частоты его появления в серии опытов при увеличении их числа; вычисление вероятности одного события по известным вероятностям других событий, с ним связанных; экспертная оценка величины вероятности событий.
• Развитие понятия вероятности в сознании учащихся в некоторой степени повторяет историческое развитие, которое это понятие прошло в течение всей истории развития математики. Чтобы помочь студентам преодолеть трудности в понимании понятия вероятности, целесообразно познакомить студентов с динамикой развития понятия вероятности, решить
5
некоторые исторические задачи теории вероятностей [1,4,5]. Например, можно проанализировать парадокс де Мере. Этот парадокс стимулирует обучающихся к постоянному контролю предлагаемой информации и поиску ошибок. Анализ «решений» этого парадокса позволяет обратить внимание учащихся на необходимость правильного описания пространства элементарных событий при решении любой вероятностной задачи.
Резюмируя вышесказанное, можно делать вывод о том, что существуют различные подходы к интерпретации понятия вероятности, которые выявлялись исторически в процессе познания. Все они не противоречат, а дополняют и обобщают друг друга. Каждая интерпретация вероятности составляет основу вероятностных методов исследования, применяемых в определенных областях научной и практической деятельности.
Литература
1. Винник В.К., Григорян М.Э. Система Moodle в процессе обучения теории вероятностей как средство организации самостоятельной работы студентов в высшей школе // Современные проблемы науки и образования. — 2014. — № 3; URL: www.science-education.ru/117-13232 (дата обращения: 26.06.2014).
2. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов/ В.Е. Гмурман. — 9-е изд., стер. — М.: Высш. шк., 2003.—479 с.
3. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей: Учебник. Изд. 8-е, испр. и доп. — М.:Едиториал , УРСС, 2005. — 448 с. (Классический университетский учебник).
4. Григорян М.Э. Роль истории развития теории вероятностей в формировании общих и профессиональных компетенций студентов среднего профессионального образования // Гуманитарные, социально-экономические и общественные науки. —2014. — №3. — С. 156-161;
5. Григорян М.Э. Роль парадоксов в процессе обучения теории вероятностей студентов среднего профессионального образования // Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов. - 2013. - № 12. - С.177-179;
6. Майстров Л.Е. Теория вероятностей. Исторический очерк. - М.: Наука, 1967. - 320с.
7. Чайковский Ю.В. О природе случайности. Монография. 2-е изд., испр. и доп. Вып. 27. «Ценологические исследования». - М.: Центр системных исследований - Институт истории естествознания и техники РАН, 2004. -280 с.
References
1. Vinnik V.K., Grigoryan M.E. Moodle system while teaching the probability theory as a means of organization of student's independent work in higher education // Modern problems of science and education. — 2014. — № 3;
2. Gmurman V.E. Theory of Probability and Mathematical Statistics. 2003, -
479p.
3. Gnedenko B.V. Course on probability theory. 2005, - 448p.
4. Grigoryan M.E. The role of the history ofprobability theory in the formation of general and professional competencies of Secondary Vocational Education students// Humanities, social-economic and social sciences. —2014. — №3. — P. 156-161;
5. Grigoryan M.E. The role of the paradoxes in the process of teaching the theory of probability of Secondary Vocational Education students // Journal of scientific publications graduate and doctoral. - 2013. - № 12. - P.177-179.
6. Maistrov L.E. Probability historical review. - Moscow: Nauka, 1967, - 320p.
7. Tchaikovsky Y.V. On the nature of randomness. Monograph. Moscow, 2004, - 280p.
