Сосуществование предельных циклов и петель сепаратрис Текст научной статьи по специальности «Математика»

4т - Ait)х, (9)

dt ^ \

^ - |A(t) + B(t) |y (10)

по Важевскому в предположении, что существует M > 0 такое, что:

a) IJ U-' (О В <t)U(t)|| < M || В (I) ||;

b)|| V"1 (О В (t)V (t)||<M -|| В (t) ||

+ 00 1

при всех t > О и / II В (S) 11 ds<+ «>.

о

Здесь и <1) и V(1) — фундаментальные матрицы уравнений (9) и (10), нормированные в точке 1-0. Из вышедоказаяной теоремы вытекает, что условие Ь здесь является лишним. Действительно, без этого условия теорема 1 из работы [5] справедлива, так как она вытекает как частный случай из доказанной теоремы.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Былое Б. Ф., Виноград Р. Эм Гроб-ман Д. Мм Немыцкий В. В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости: М.: Наука, 1966. 576 с.

2. Воскресенский Е. В. Асимптотическое равновесие систем дифференциальных уравнений // Диф. уравнения. 1985. Т. 21, № 2. С. 321 — 325.

3. Воскресенский Е. В. Асимптотика решений и гомеоморфизм начальных условий дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Математика. 1985. № 3. С. 3 — 9.

4. Воскресенский Е.<В. Методы сравнения в нелинейном анализе. Саранск: Изд-во Сарат. унта. Саран. фил., 1990. 224 с.

, 5. Trzepizur A. ^équivalence aaymptotique au sens de Wa&wski: un analogue d'un théorème de Levinson // Bull. Pol. Acad. Sci. Math. 1988. Vol. 36, N 1 —2. P. 39 — 46.

6. Wafewski T. Sur la coïncidence asymptotique des intégrales de deux systèmes d'équations différentielles // Bull. Acad. Polon. Sci It Lettres, Ser. A, Sci. Math. 1949. P. 147 — 150.

QQQQQQQQQQnfiQQfiâfiQOOaQQQQQQQQQQQQQnQ СОСУЩЕСТВОВАНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ^ЦИКЛОВ И ПЕТЕЛЬ СЕПАРАТРИС

В. В. СТОЛЯРОВ, кандидат фивмко-математических наук

Настоящий материал содержит результаты, составившие основу доклада [5] и двух выступлений на семинаре по дифференциальным уравнениям в Мордовском университете. Рассматривается система

х - Р <х, у), у - (х, у) (1)

аналитического класса в конечной части плоскости, в частности система

X = Р„ (X, у), у = <5* (X, у), (2)

где Р„, <5„ — многочлены степени п переменных х и у с действительными коэффициентами (Б,, — пространство коэффициентов).

Лемма 1. Пусть система (1) имеет в начале координат простое седло,

причем Р'х (0,0) - (0,0) - А > О, Р'у (0, 0} - (0, 0> - 0, петля

сепаратрисы которого является границей области центра С (хд, у0). Пусть при а > 0, ц > 0 система

I ч

х - Р — ц (ау + <}), у - +ау Р, (3)

>

совпадающая при а « ц - 0 с системой (1), имеет вместо центра в точке С грубый неустойчивый фокус в точке Р. Тогда существуют малые значени* а > 0, /л >0, при которых система (3)

имеет предельный цикл, окружении* петлей сепаратрисы простого седла.

Действительно, согласно [ 1 с. 324 — 326], существуют малые а ж а<> > О, /л - * О» ПРИ которыз

система (3) имеет неустойчивую петлю сепаратрисы простого седла в точке О (О, 0). Эта петля окружает неустойчивый фокус Р (координаты Е зависят от а, (.I). Отсюда следует заключение леммы.

Теорема 1. В Бг существует двумерное многообразие, каждой точке которого соответствует квадратичная система с петлей сепаратрисы простого седла, окружающей хотя бы один предельный цикл.

Для доказательства рассмотрим систему

х = -у (ах +1), у = х (ах + 1) +

+ /3 (х2 + у2— 1),

где 0<а«/?, которая, согласно [3],

интегрируется сматривалась

(первоначально распоследняя система при Р в 0) и имеет центр внутри окружности х2 + у2 * 1, границей области которого служит петля сепаратрисы простого седла.

После переноса начала координат в седло и приведения системы к каноническому виду справедливость утверждения теоремы следует из леммы (более подробные рассуждения не приводятся здесь из-за громоздкости). V

Замечание. Задача построения квадратичной системы (т. е. системы <2) при 2) с предельным циклом, окруженным петлей сепаратрисы седла, поставлена в обзоре [7], а пример такой системы впервые приведен в статье [6].

Лемма 2. Пусть система

У

дсо \ж ^

хв —— М + асу,

да) ду

^ М +

(4)

аналитические

где со, М, а, Ь, g функции переменных х и у в конечной

- действительное

части плоскости, /г

число мал), не имеет на замк-

нутой линии о» (х, у) = 0 состояний равновесия, кроме седло^узла в точке Мд.

Пусть при переходе от ¡л = 0 к

¡и < 0 (или // > 0) из единственного

состояния равновесия этой системы внутри области, ограниченной линией со (х, у) « 0, являющегося негрубым

фокусом, рождается предельный цикл. Тогда система (4) при ¡л < 0 (или ¡л > 0) (| /и\ мал) имеет предельный цикл, окруженный петлей сепаратрисы седло-узла.

Действительно, согласно [2, 4 ] линия со - 0 является для системы (4) инвариантной и при сделанных предположениях образует петлю сепаратрисы седло-узла в точке Мо, которая будет окружать цикл, родившийся из негрубого фокуса.

Применив утверждение леммы к системе

х = -у (1 — у) +(5х (х2 + у2 — 1),

у = X (1— у) — (<5 + //) у (*2 + у2 — 1),

где -(1/2) < -д </г< 0, получаем, что справедлива следующая теорема.

Теорема 2. ВБз существует двумерное многообразие, каждой точке которого соответствует система с петлей сепаратрисы седло-узла, окружающей хотя бы один предельный цикл, причем петля является алгебраической линией.

ш

Здесь начало координат при переходе от ре- 0 к // < 0 превращается из неустойчивого фокуса 1-й степени негрубости в грубый устойчивый фокус, при этом рождается грубый неустойчивый предельный цикл. Внутри окружности х* + у2 = 1 при сделанных предположениях других состояний равновесия нет, а единственное состояние равновесия на ней в точке М (0, 1) есть седло-узел.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Андронов А. А., Леонтович Е. А., Майер И. Им Гордон А. Г. Теория .бифуркаций динамических систем на плоскости. М.: Наука,

1967. 488 с.

2. Еругин Н. П. Построение всего множества систем дифференциальных уравнений, имеющих

заданную интегральную кривую // Прйкл. мат. и механика. 1952. Т. 16, № 6. С. 659 — 670.

3. Столяров В. В. Об общем интеграле одной динамической системы // Дифференц. уравн.: Тр. мат. каф. пед. ин-тов РСФСР. 1977. № 9. С. 133 — 134.

4. Столяров В. Ii. Об исследовании динамических СИС1СМ, имеющих данный частный интеграл // 11/411 Казахской CCI*. Сер. фил.-мат. 1978. V 1. С 86 — 87.

Я Столяров В. В. О еосущсс/вовании предельных циклон и lid ель сепаратрис // VIII конференция СНГ "Качественная теория дифференциальных уравнений": -Тез. докл. Самарканд. I4Q2 С 106.

6. Bamon R. A class of planar quadratic vector

fields with a limit cycle surrounded by a,saddle

loop // Proc. of Amer. Math. Socicty 1983.

Vol. 88, №>4. P. .719 — 726.

7 Chicone. C., Tian Jinghiang. On general

pro ponies of quadratic systems // Amer. Math.

Monthly 1982, Vol. 89, №' 3 P 1<»7 - 178.

Б иол о г и я

################################*#########

9

ВЛИЯНИЕ ЦИКЛОФОСФАНА НА ИЗМЕНЧИВОСТЬ РАСТЕНИЙ

Н. Ф: САНАЕВ, доктор биологических ,наук, Г. М. МЫШЛЯКОВ, Р Н. БОРИСОВА, кандидаты биологических наук,

Л: П. ЕГОРОВА, Н. В. СЕРЕЖКИНА

В области экспериментального мутагенеза, как известно, иcпoлbЗvютcя биологически"-активные вещества, относящиеся к различным классам химических соединений. Многие из них характеризуются не только формообразующим, но и токсйческим, повреж-

л

дающим действием, ооУсловливающим гибель части индуцированных мутантов, в том числе обладающих хозяйственно ценными признаками. Поэтому задача выявления менее агрессивных, экологически не опасных и »вместе с тем эффективных хемомута.генов весьма актуальна. В этой связи мы изучали в ка-честве мутагенного фактора циклофос-, фан (ЦФ), обладающий свойством по-

1 V

лавлять рост раковых клеток |2).

Циклофосфан — алкилирующее со-единение, предназначенное для Лечения онкологических больных. Это мо-

. #

ногидрат циклического эфира Ы,Ы-ди-

(2-хлорэтил)-Ы-у-оксипропил диамида

фосфорной кислоты.

Мутагенное действие данного фармакологического препарата нами ис-пытывалось, на растениях проса (сорт Скороспелое 66), овощного гороха ч(сорт Пионер), фасоли (сорт Золотая

гора) ,и люпина' (сорт Быстрорастущий 4). Воздушно-сухие или прорастающие семена этих, культур соответственно в течение 24 и 6 ч выдерживали в водных растворах ЦФ в концентрациях 0,01; 0,03; 0,05 и 0,1 %

[1 ]. Кроме того, проводили повторную химическую обработку, в частности, семян фасоли, в течение 1 ч 0,05 % раствором циклофос-фана в воздушно-сухом состоянии и после прорастания. После, каждой обработки семена промывали в проточной воле и высевали в открытый грунт.

Мутагенную активность ЦФ оценивали по частоте и спектру индуцированных изменений. С этой целью проводили цитогенетическии анализ — выявляли хромосомные аберрации при митозе и мейозе [3, 5). Изучали закономерности варьирования показателей роста и развития опытных образцов растений в зависимости от их генотипа, концентрации и методики применения препарата, определяли жизнеспособность и устойчивость измененных форм растений на разных этапах онтогенеза в обычных и экстремальных условиях