CC BY
10
ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ
УУУУУУУУУУУУУУУУУУУ
4
Математика
»
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПО ВАЖЕВСКОМУ
Е. В. ВОСКРЕСЕНСКИЙ, доктор фйзико-математических
наук
В понятие асимптотической эквивалентности дифференциальных уравнений вкладывается различный смысл [4|. Все зависит от целей классификации. Точнее, группа преобразований уравнений подбирается по наперед заданному списку инвариантов, и тогда индуцируемое отношение эквивалентности есть асимптотическая эквивален-
л
4
тность (2; 4]. Распространенное отношение эквивалентности по Немыцкому [1 1 обладает существенным недостатком: оно при непрерывно дифференцируемых преобразованиях уравнений не является инвариантом. Это,существенно снижает практическую применяемость всей теорий, относящейся к классификации Немыцкого [I].
В работе [6 ] Важевским приведено другое понятие асимптотической эквивалентности, которое лишено вышеуказанного недостатка. Приведем это определение.
Рассмотрим уравнения
с!х
<И
- f а,. х),
(I)
¿1 ш
Лг
% «, у),
(2)
где ^ g: [Т, + оо) х Я"
>
непрерывные функции,' обеспечивающие существование и единственность решений. Пусть х (X; 10, х0) — решение
уравнения (1), удовлетворяющее / на-
■ _
чальным данным (Х01 х0), Х0 > Т. Аналогично у (1; Х0, у0) — решение
уравнения (2). Первоначально напомним понятие асимптЬтической эквивалентности по Немыцкому [1; 4]. Урав-
л
нения (1) и (2) в этом смысле эквивалентны, если существует гомеоморфизм Ь : И" —> К" такой, ^то
4
у 10, у0) = х (x; 10, ьу0) + о (1)
при всех у0 Е и I —> + оо.
Будем говорить, что решение У Уо) входит в зону решения
х (X; \0, х0), если для любого е > О
существуют д > 0 и Т0 > Т такие, что у (1; !0, У1> е х (X; 10, 8 (х0, е)) при всех X > Т0 и У1 € Б (у0, д) (8 (а, г) шар с центром а радиуса г, х (1; 10, 8 (а, г))—множество всех векторов вида х а; 10мх0), ¥х0 Е 8 (а, г), > Х0). Если к тому же х (П Х0, х0) входит в зону у О; Х0, у0), то решения х и;М0, х0); у (1; Х0, у0) называются асимптотически эквивалентными по Важевскому. Уравнения (1) и (2) называются асимптотически эквивалентными в смысле Важевского [6], если существует гомеоморфизм Ь : ]£п —> такой; что для любого у0 Е Яп решения
У Ф 10, у0) и х (X; Х0> Ьу0) асимптотичет ски эквивалентны в смысле Важевского.
В работе [5] доказана теорема 1 об асимптотической эквивалентности в этом смысле для линейных однородных уравнений (аналог теоремы Левинсона [4|). Однако для нелинейных уравнений, как нам известно, пока аналогичных результатов нет. Оказывается, для
4 <•
некоторых классов уравнений из эквивалентности по Немыцкому вытекает эквивалентность по Важевскому. На этой основе здесь задача решена для нелинейных уравнений.
Теорема. Рассмотрим уравнения
dl dt
dx dt
= A(t)x,
A(t)y + f(t,y),
(3)
(4)
где А (•) : |T, + оо) —> Нот (Rn, Rn)
непрерывное отображение, f G С ([T, + оо) х Rn, Rn). Тогда если f (t, 0) s 0,
11X"1 (t)f (t,X(t)yi> - X-1(t)f(t,X(t)y2)
л m Л Л Ь. т.
V x(t)
У1
У2
+ ОО
/ V (s)ds< t oo,V-yb у2 e Rn, '¥t>T T - "
X(t) фундаментальная матрица уравнения (3), нормированная в точке t = t0; X (t0) = Е, то уравнения (3) и (4) асимптотически эквивалентны по Важевскому.
Доказательство. Преобразуем .уравнения (3) и,(4) заменами
f - Х-1 (t)x, 77 = X~Ht)y.
Тогда получим новые уравнения
(5)
(6)
dt
О,
^ = x-4t)f(t,x(t) • 77),
(7)
(8)
для которых выполняются все условия теорем из работ [3; 4, с. 54] об их асимптотической эквивалентности по Немыцкому. Докажем сначала, что из эквивалентности по Немыцкому в этом случае вытекает эквивалентность по Важевскому уравнении (7) и (8). Рассмотрим решение 77 <t;410, rj0). Пусть
h ' Vo = £o* Известно [2; 4, с. 31 ],
что все решения уравнения (8) равномерно устойчивы и существуют пределы lim г] (t; |0, т/0)ч при ' любом
t-* + 00 . > - f
I
у
т]0Е Rn. Пусть 00; S (т/о, е ))
множество всех векторов limw(t;t0, rj 1),
* t-* + 00 ;
7}i e S Лцо, e). Тогда £0 — внутренняя точка множества t0, S (?/0, e)}>
Поэтому при некотором <5 S(|0, S) с
с r¡ (^Н оо; t0, s (j/0, €)) и границы этих множеств не пересекаются. Отсюда следует, что существует число Т0 > 0 такое, что при ( > Т0 S (£0, <$) С rj (t;,t0, S (r¡0,e)). Действительно, для ¥£ Е S (£0; <5) существует число Т0^ > 0 такое, что при t > T()<t
£
r¡ (t; t0, S (rj0} e)). Пусть T0 =
> T
Тогда при t > * 0
Пусть
выполняется.
= sup T^ < .+
утвержденре sup Т^+оо. В этом случае sup Т()£ не достигается на множестве S (£0, ¿), так как все его точки внутренние, а для них То£ < + оо. Если предположить,
что на границе S(|0, д) Т^ также принимает конечное значения, то от-
__и [ 4
сюда sup Т0£ < + оо. Следовательно, на границе существует точка одновременно принадлежащая границе множества rj ( + 00; t0j S (rj0t г)).. Это
противоречит построению Sf (£0> ^ • Поэтому оществует для всего множе-
ства rj (t; t0, S
(rjQ, e)) число T
о
и
решение £ = £0 входит в зону решения
Пусть Б — произвольный шар
с центром в точке £0 и г]0 = И"1 £о-
Тогда Мт%г) (I; г/0) _ £0 [2; 3 ] Пусть
5(£0, <5) С Б (£0, £) и границы этих множеств не пересекаются. .Тогда каждому вектору г}[ е Б (£0,( д) соответствует единственное решение 772)
такое, что Ит г\ (I; 10, г/2) = Г)\ [2:
+ 00
3; 4, с. 33 ]. Лоэтому отображение
а
Ъп\ в V <+ г)Х) - г\2
является гомеоморфизмом и I"1 Б (£0,<5) — область пространства диаметр
которой стремится к нулю при д-> 0. Существование числа Т0 > 0 здесь доказывается аналогично предыдущему-случаю. Тогда решение гц\;Л0? Г10) входит в зону решения' £ «' £0. Отсюда следует асимптотическая эквивалентность уравнений (7) и (8) по Важевскому. Учитывая замены (5) и (6), придем к доказательству теоремы.
Замечание. В, работе [51 утверждается асимптотическая эквивалентность уравнений
4т - Ait)х, (9)
dt ^ \
^ - |A(t) + B(t) |y (10)
по Важевскому в предположении, что существует M > 0 такое, что:
a) IJ U-' (О В <t)U(t)|| < M || В (I) ||;
b)|| V"1 (О В (t)V (t)||<M -|| В (t) ||
+ 00 1
при всех t > 0 и / II В (S) 11 ds<+ «>.
о
Здесь и <1) и V(1) — фундаментальные матрицы уравнений (9) и (10), нормированные в точке 1-0. Из вышедоказаяной теоремы вытекает, что условие Ь здесь является лишним. Действительно, без этого условия теорема 1 из работы [5] справедлива, так как она вытекает как частный случай из доказанной теоремы.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Былов Б. Ф., Виноград Р. Эм Гроб-ман Д. Мм Немыцкий В. В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости: М.: Наука, 1966. 576 с.
2. Воскресенский Е. В. Асимптотическое равновесие систем дифференциальных уравнений // Диф. уравнения. 1985. Т. 21, № 2. С. 321 — 325.
3. Воскресенский Е. В. Асимптотика решений и гомеоморфизм начальных условий дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Математика. 1985. № 3. С. 3 — 9.
4. Воскресенский Е.<В. Методы сравнения в нелинейном анализе. Саранск: Изд-во Сарат. унта. Саран. фил., 1990. 224 с.
, 5. Trzepizur A. ^équivalence aaymptotique au sens de Wa&wski: un analogue d'un théoréme de Levinson // Bull. Pol. Acad. Sci. Math. 1988. Vol. 36, N 1 —2. P. 39 — 46.
6. Wafcwski T. Sur la coïncidence asymptotique des intégrales de deux systèmes d'équations différentielles // Bull. Acad. Polon. Sci It Lettres, Ser. A, Sci. Math. 1949. P. 147 — 150.
QQQQQQQQQQnfiQQfiâfiQOOaQQQQQQQQQQQQQnQ СОСУЩЕСТВОВАНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ^ЦИКЛОВ И ПЕТЕЛЬ СЕПАРАТРИС
В. В. СТОЛЯРОВ, кандидат фивмко-математических наук
Настоящий материал содержит результаты, составившие основу доклада [5] и двух выступлений на семинаре по дифференциальным уравнениям в Мордовском университете. Рассматривается система
х - Р <х, у), у - (х, у) (1)
аналитического класса в конечной части плоскости, в частности система
X = Р„ (X, у), у = <5* (X, у), (2)
где Р„, <5„ — многочлены степени п переменных х и у с действительными коэффициентами (Б,, — пространство коэффициентов).
Лемма 1. Пусть система (1) имеет в начале координат простое седло,
причем Р'х (0,0) - (0,0) - А > О, Р'у (0, 0} - (0, 0> - 0, петля
сепаратрисы которого является границей области центра С (хд, у0). Пусть при а > 0, ц > 0 система
I ч
х - Р — ц (ау + <}), у - +ау Р, (3)
>
совпадающая при а « ц - 0 с системой (1), имеет вместо центра в точке С грубый неустойчивый фокус в точке Р. Тогда существуют малые значени* а > 0, /л >0, при которых система (3) имеет предельный цикл, окруженный петлей сепаратрисы простого седла.
Действительно, согласно [ 1 с. 324 — 326], существуют малые
а ж а<> > О, /л - * О» ПРИ ко*орыз
