О грубости уравнений Абеля с периодическими коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

В. Ш. Ройтенберг

О грубости уравнений Абеля с периодическими коэффициентами

В работе доказаны необходимые и достаточные условия грубости дифференциальных уравнений Абеля с периодическими коэффициентами.

Ключевые слова: уравнения Абеля с периодическими коэффициентами, грубые дифференциальные уравнения. V. Sh. Roitenberg

On Structural Stability of Abel Equations with Periodical Coefficients

In the paper are proved necessary and sufficient conditions of structural stability of Abel equations with periodic coefficients. Keywords: Abel equations with periodic coefficients, structurally stable differential equations.

Обозначим R = R ^ двухточечную компактификацию R. Превратим R в одно-

мерное Cх -многообразие с краем, взяв в качестве карт (R,h1), h1(x) = x , ((0,+^>],h2), h2(x) = 1/x при x e (0, +œ), h2(+œ) = 0 и [—да,0),h3), h3(x) = 1/x при x e (—да,0),h3(—да) = 0.

Дифференциальное уравнение Абеля

x = a(x,t), a(x,t) = a0(t) + a1(t)x + a2(t)x2 + a3(t)x3 с 1-периодическими коэффициентами ak(t), к = 0,1,2,3 определяет автономную систему S: je = a(x, S), S = 1 на цилиндре R X R/Z . В координатах (y, S) y = 1/ x в областях x > 0 и x < 0 траектории системы S задаются, соответственно, системами уравнений S+ и S , где

S± : y = ma3(s) m a2(s)y m ax(s)y2 m a^(s)y3, S = y,

определенные и при y = 0. В результате получаем на R X R/Z одномерное ориентируемое слоение с особенностями, для которого пересечение слоев с R X R/Z совпадает с траекториями системы S, а пересечение слоев с (0, +да] X R/Z и [—да,0) X R/Z - с траекториями, соответственно,

систем S+ и S . Слои этого слоения будем называть траекториями уравнения (1) в R X R/Z .

Обозначим Ar — множество уравнений Абеля с 1-периодическими коэффициентами ai e Cr

( Г > 1) . Уравнение a e Ar будем коротко записывать в виде a = (a0, a1, a2, a3) . Будем рассмат-

для

ривать А как банахово пространство с нормой a = max max max\a (t)

r 11 llr 0<m<3 к=0,1,...,r t m

a = (a0,a1,a2,a3) e Ar.

Уравнения a и <5 из Ar назовем топологически эквивалентными в R X R/Z , если существует гомеоморфизм ha пространства R X R/Z, переводящий траектории уравнения a% в траектории

© Ройтенберг В. Ш., 2012

уравнения a . Уравнение a е А назовем грубым, если найдется такая его окрестность U (a) , что любое уравнение a е U(а) топологически эквивалентно уравнению a .

Пусть s0 — простой нуль функции a3() . Тогда (0,s0) — особая точка системы S+ (S- )с характеристическим уравнением ЛЛ ± a2 (S0 )Л + a3 (S0 ) = 0 .

Обозначим D( a,

S0) = a2 (S0) 4a3(S0) . Если a3(S0) > 0 и D(a, S0) < 0 , то корни характеристического уравнения комплексные. Для уравнения a будем называть S0 = (+да, S0) (S0 = (—да, S0)) срезанным фокусом. Траектории a, проходящие через точки достаточно малой окрестности S0 , и при возрастании, и при убывании времени кончаются в точках дуги X R/Z

({—да} x R/Z).

Если a3(S0) > 0 и D(a, S0) > 0, то корни характеристического уравнения действительные и различные и (0, s0) — узел системы (S"). Для системы (S+) он устойчив (неустойчив) при a2(s0) > 0 (< 0), а для системы (S ) он устойчив (неустойчив) при a2(s0) < 0 (> 0). Для уравнения a будем называть особую точку S0 устойчивым (неустойчивым) срезанным узлом. В этом

случае существует единственная траектория уравнения a , входящая в S0 при возрастании (убывании) времени по неведущему направлению - соответствующему корню характеристического уравнения с наибольшей абсолютной величиной [1, 2]. Назовем ее входящей (выходящей) сепаратрисой точки S0 . Если (x', s') — точка, лежащая на входящей (выходящей) сепаратрисе в достаточно малой

окрестности S0, то при некотором 8 > 0 траектории, начинающиеся в точках (x', S) , S е (S' — 8,S'] (соответственно, S е [s', s' + 8) ), w(a) -предельны к S0, а траектории, начинающиеся в точках (x',S) , S е (s',s' + 8) (соответственно, S е (S' — 8,s') ), при возрастании (соответственно, убывании) времени кончаются в точках дуги {+да} x R/Z (соответственно,

{—да} x R/Z).

Если a3(s0) < 0, то (0, s0) — седло систем S+ и S . Будем говорить, что S0 — срезанное седло уравнения a . У седла (0, s0 ) есть одна входящая сепаратриса и одна выходящая сепаратриса, лежащие в области y > 0 (y < 0). Соответствующие траектории уравнения a еЛг назовем входящей и выходящей сепаратрисой срезанного седла S0 .

Траекторию уравнения a е Ar назовем двойной сепаратрисой, если она является и входящей, и выходящей сепаратрисой некоторых особых точек.

Обозначим Л. подмножество Л. , состоящее из уравнений, удовлетворяющих следующим условиям: 1) все его замкнутые траектории гиперболические; 2) если a3(s0) = 0, то a3(s0) Ф 0 и D(a,s0) Ф 0; 3) нет двойных сепаратрис.

Теорема. 1) 20 А открыто и всюду плотно в А 2) Уравнение a е А является грубым тогда и только тогда, когда оно принадлежит 20 А .

Доказательство. Сначала докажем, что 20 А всюду плотно. Пусть a е А . Зададим произвольное 8 > 0 и найдем a% е 20Ar, для которого ||<5 — a||r < 8 . Очевидно, что в А всюду плотны О грубости уравнений Абеля с периодическими коэффициентами 17

уравнения, для которых выполняется условие 2). Поэтому можно считать, что условие 2) выполняется уже для уравнения а .

Рассмотрим уравнение а1 = (ао,а^а^ + Ц,аз) е Аг, имеющее при малых Ц > 0 те же особые точки и того же типа, что и уравнение а . При достаточно малом 1 > 0 а1 — а < 8 /2, если

г

1е (0,1 ).

Покажем, что найдется ¡1 е (0,1), при котором уравнение а1 не имеет двойных сепаратрис. Далее, будет удобно рассматривать уравнение а1 на К X К . Если 50 = (±да, £0) — особая точка типа срезанное седло или устойчивый (неустойчивый) срезанный узел уравнения а1, ¡1 е [0,1), то при достаточно малом 1 и некотором Е > 0 ее входящая (выходящая) сепаратриса задается в некоторой окрестности точки S0 в координатах (у, £) уравнением вида у = (£, /1) , £ е (£0 — Е, £0) (У = (£, 1), £ е (£0, £0 + е) ), где (•, •) е Сг [1]. Покажем, что если 50 = (+да, £0), то W+ (£, •) — возрастающая функция. Предположим, что это не так, то есть (£, 1) < (£, 10 ) при некоторых £ и Ц> Ц0 . Рассмотрим область О = {(у, £): £ < £ < £0,0 < у < W+o (£, 10)}. В точках (у, £), у = W+o (£,10), £ е (£0 — Е, £0) , ее границы траектории уравнения а1 направлены внутрь

О . Поэтому дуга у = WJ+ (£,1), £ < £ < £0 целиком лежит в О, то есть W+ (£, ц) < w'+ (£,10) для £ < £ < £0 . Обозначим

={(y, £): £ <£ < ^ Ч( £ 1) <£ < Ч(£,10)} •

Положительная полутраектория уравнения а , начинающаяся в любой точке О из О , не выходит и потому С -предельна S0 . Поскольку у = W+ (£, ц) , £ < £ < £0 — дуга входящей сепаратрисы, то это невозможно не только, если 50 — срезанное седло, но и если 50 — срезанный узел. Из полученного противоречия следует, что (£,•) — возрастающая функция. Аналогично доказывается, что если 50 = (—да, £0 ) , то w5fj (£,•) — также возрастающая функция на интервале (0,1), а если 50 = £0) , то W— (£, •) — убывающая функция на (0,1).

Пусть существует двойная сепаратриса Ь : X = I(£), £ е (£1, £2) £1 < £ < £2 , уравнения а10, 10 е (0,1) , соединяющая особые точки 51 = (±да, £1) и 52 = (±да, £2) . Тогда у = WS^ (£, 10) (у = W+ (£, 10)) — уравнение отрицательной (положительной) полутраектории Ь в координатах (у, £) и W- (£,10 ) = 1/1(£), W+2 (£, 10) = 1/1(£) . Обозначим G+ (соответственно, 0~) множество точек (X,£) из К X К, для которых £ е (£1,£2 ), X > I(£) (соответственно, X < I(£)).

Пусть сначала 51 = (+да, £1). Так как при Ц е (10,1) и некотором Е> 0 для всех £ е (£1, £1 + е] Ws^ (£, 1) < Ws^ (£, 10 ), то есть некоторая отрицательная полутраектория выходящей сепаратрисы точки 51 уравнения а1 принадлежит С + . Точно так же получаем, что при неко-

тором V > 0 для всех S e [S2 — V, S2 ) W+ (S, ff) > W+ (S, f0 ), то есть некоторая положительная

полутраектория входящей сепаратрисы точки S2 уравнения af принадлежит G . В точках L траектории af при f е (f0, f* ) направлены внутрь G+ . Поэтому точки входящей сепаратрисы S2 либо принадлежат G , либо лежат в области s < sj ; при S2 = (+да, s2 ) все точки выходящей сепаратрисы Sj принадлежат G+, а при S2 = (—да, s2) либо принадлежат G+, либо лежат в области s > s2 . Следовательно, af не имеет сепаратрисы, идущей из Sj в S2 . При f е (0, f 0 ) некоторая отрицательная (положительная) полутраектория выходящей (входящей) сепаратрисы точки Sj ( S2 ) принадлежит G ( G+ ) . Так как в этом случае в точках L траектории af направлены внутрь G , то точки выходящей сепаратрисы Sj принадлежат G , если S2 = (—да,s2) , и принадлежат G или области s > s2, если S2 = (+да, s2) . При этом все точки входящей сепаратрисы S2 принадлежат G+ . Следовательно, эти сепаратрисы не совпадают. При Sj = ( —да,sj) рассуждения аналогичны со

сменой ролей G+ и G . Таким образом, пара особых точек уравнения af, рассматриваемого на R X R , может иметь общую сепаратрису не более чем при одном значении f е (0, f* ) . Так как

особых точек у af на R X R счетное множество, то и значений f е (0, f '), при которых a10

имеет двойную сепаратрису, не более чем счетное множество. Поэтому существует f е (0,f') , для

которого уравнение a = af не имеет двойных сепаратрис и ||â — a||r < S/2.

Рассмотрим уравнение av = (a0 + v, aj, a2 + f, a3) е Ar, где v — постоянная. Решение этого уравнения x(t,U, v) , удовлетворяющее начальному условию x(0,U, v) = U , является аналитической функцией от (u, v) . Поэтому функция последования P(-, v) = x(j,-, v) может обладать только конечным числом неподвижных точек, и они имеют конечную кратность. Предположим, что уравнение a = a0 характеризуется замкнутыми траекториями. Тогда P(-,0) принадлежат неподвижные точки; пусть U0 - одна из них. Производная x'(t,^,0) удовлетворяет уравнению в вариациях, имеющему вид (x')' = b(t)x' + j, где b(t) - j-периодическая функция, и начальному условию x'v(0,U0,0) = 0 . Следовательно,

p'(u0,0) = x;(j,U0,0) = f jexp fjb(t)dtds > 0.

J0 J s

Согласно леммам 2 и 3 из [j, с. 404] отсюда следует, что найдется сколь угодно близкое к нулю число v Ф 0 такое, что у уравнения av есть хотя бы одна замкнутая траектория и все они гиперболические. Если v достаточно мало, то условия 2) и 3) выполняются и для уравнения av. Поэтому

av — a < S . Если уравнение a не имеет замкнутых траекто-

av e S0А

, и можно считать, что

рий, то уже а £ 2° Аг.

Нетрудно убедиться, что особые точки типов срезанный фокус, срезанное седло и срезанный узел грубые: для такой точки 5° существуют окрестность и и V и число 8 > 0 такие, что для любого

уравнения а £ Аг, ||а — а||г < 8 , найдутся окрестность V точки 5° и гомеоморфизм И : и ^ V , И(Б°) = 5°, переводящий связные компоненты пересечений и с траекториями а в связные комО грубости уравнений Абеля с периодическими коэффициентами 19

поненты пересечений V с траекториями С. Поэтому доказательство того, что уравнение а е 2° А является грубым, аналогично доказательству достаточных условий грубости на плоскости [1].

Пусть уравнение а — грубое. Докажем, что а е 20Аг.

Так как 20 А. всюду плотно в А , то существует уравнение а е 2 Аг и гомеоморфизм ^^^ пространства К X К/г , переводящий траектории уравнения а в траектории уравнения а . Так как Иа и переводит особые точки в особые точки, то Сз() имеет конечное число нулей. Если какой-нибудь нуль не является простым, то существует сколь угодно близкая к Сз() функция Сз() с большим числом нулей. Но тогда уравнение а не может быть топологически эквивалентно уравнению а = (а0, а1, а2, сз), в противоречие с грубостью. Поэтому все нули Сз() простые. Пусть а3(£0) = 0 и О(а, £0) = 0 . Выберем окрестность Q(£0) точки £0 в К/г , не содержащую нулей а3() отличных от £0, и такую Сда -функцию Ц : К/г ^ [0, +да), что £0 ) = 1, а £) = 0 для £ £ Q(£0) . Уравнение а1 = (а0, С1, С2 + ЦЦ, С3) е Аг имеет те же особые точки, что и уравнение а; его траектории в некоторых окрестностях особых точек, отличных от (±да, £0), те же, что и у уравнения а . В точке (±да, £0) имеем С2(£0) Ф 0, О(а1, £0) = 21Сг1(£0) + 1 . Поэтому мы можем выбрать сколь угодно близкие к нулю числа 11 и 12 так, чтобы О( а11, £0) < 0, а Да12, £0) > 0 . Тогда точки (±да, £0) для уравнения а1 — срезанные фокусы, а для уравнения а12 — срезанные узлы. Поэтому у уравнения С11 срезанных фокусов больше, чем у уравнения а12 . Если 11 и 12 достаточно близки к нулю, то С11 и а12 топологически эквивалентны. Так как для срезанного узла есть траектория а(с) -предельная к нему, а для срезанного фокуса такой траектории нет, то у С11 и а1 должно быть одинаковое число срезанных фокусов. Получаем противоречие, из которого следует, что на самом деле О (а, £0 ) Ф 0 .

Предположим, что а имеет двойную сепаратрису Ь, идущую из особой точки 51 в особую точку 5*2 . Пусть точка 2 е Ь. Среди положительных (отрицательных) полутраекторий уравнения а , проходящих через любую окрестность точки 2, есть как полутраектории с(а) - предельные к ^ (51), так и траектории, кончающиеся в точке из {+да} X К/г ({—да} X К/г). Тогда и среди положительных (отрицательных) полутраекторий уравнения С е 20 Аг, проходящих через любую окрестность точки 2), есть как полутраектории с(а) -предельные к ^2) (51)), так и траектории, кончающиеся в точке из {+да} X К/г ({—да} X К/г). Но это может быть только, если Ь = Н— (Ь)

двойная сепаратриса. Поскольку у С е 20 Аг двойных сепаратрис нет, то предположение неверно и у а тоже нет двойных сепаратрис.

Так как грубое уравнение а топологически эквивалентно уравнению из 20 Аг, то его замкнутые траектории имеют нечетную кратность. Предположим, что уравнение имеет негиперболическую замкнутую траекторию Г : X = §(?) . Для определенности, пусть она устойчива. Выберем ее окрестность и (Г) , не содержащую других замкнутых траекторий, с границей ди (Г) , состоящей из двух замкнутых кривых, трансверсальных траекториям уравнения. Замена С : X I—> у = X — §(?) инду-

цирует гомеоморфизм а *: 4 ^ Аг, переводящий уравнение а в уравнение, которое обозначим С (а) = (0, , а3 ) . Для этого уравнения = 0 - замкнутая траектория с характеристическим

показателем I а1 (?= 0 . Рассмотрим уравнение а Б = (0, а1 + Б, а2, а3 ), зависящее от пара* 0

метра Б £ R . Уравнение аБ = (С ) 1(а Б) имеет замкнутую траекторию X = §(?) с характери-

Г1 *

(а1 (?) + = Б. Возьмем Б > 0 . Тогда Г - неустойчивая гиперболи-

^ 0

ческая замкнутая траектория уравнения аБ . При Б , достаточно близком к нулю, траектории уравнения а в точках ди (Г) , как и траектории уравнения а , будут направлены внутрь и (Г) . Поэтому

уравнение аБ имеет в и (Г) не менее трех замкнутых траекторий, а вне и (Г) число его траекторий не меньше, чем у уравнения а . Следовательно, у аБ больше замкнутых траекторий, чем у а . Но это противоречит тому, что при Б , достаточно близком к нулю, эти уравнения должны быть топологически эквивалентными. Если Г неустойчива, то противоречие получаем при Б < 0. Таким образом, грубое уравнение а имеет только гиперболические замкнутые траектории. Теорема доказана.

Библиографический список

1. Андронов, А. А. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости [Текст] / А. А. Андронов [и др.]. — М. : Наука, 1967. — 488 с.

2. Шильников, Л. П. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Часть 1 [Текст] / Л. П. Шильни-ков [и др.]. — М. - Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2004. — 416 с.