CC BY
2
2024
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Математика и механика Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics
№ 87
Научная статья УДК 531.352
doi: 10.17223/19988621/87/6
Состояние фуллерена C60 в двухкомпонентной смеси газов
Владислав Иванович Бородин1, Михаил Алексеевич Бубенчиков2, Алексей Михайлович Бубенчиков3, Дмитрий Владимирович Мамонтов4, Сергей Викторович Тимченко5
1 ООО «Газпром трансгаз Томск», Томск, Россия 2,3 4 5 Томский государственный университет, Томск, Россия 1 [email protected] 2 [email protected] 3 [email protected]
Аннотация. В рамках подхода атом-атомных и атом-молекулярных взаимодействий представлена численная модель динамики частиц газа, включая крупную молекулу фуллерена. Под ударами более мелких частиц поддерживающей газовой среды фул-лерен приобретает вращения. Для расчета этих вращений авторами статьи разработан оригинальный способ определения поворотов молекулярных тел в пространстве. Расчетами определена установившаяся скорость вращения фуллерена, отвечающая заданным параметрам состояния газовой среды. Дается также оценка времени, за которое фуллерен достигает равновесных значений по кинетической энергии. Ключевые слова: численное моделирование, молекулярная динамика, фуллерены, энергия
Благодарности: Исследование выполнено при финансовой поддержке гранта РНФ № 19-71-10049.
Для цитирования: Бородин В.И., Бубенчиков М.А., Бубенчиков А.М., Мамонтов Д.В., Тимченко С.В. Состояние фуллерена C60 в двухкомпонентной смеси газов // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2024. № 87. С. 5972. doi: 10.17223/19988621/87/6
Original article
State of fullerene C60 in a two-component gas mixture
Vladislav I. Borodin1, Mikhail A. Bubenchikov2, Aleksey M. Bubenchikov3, Dmitriy V. Mamontov4, Sergey V. Timchenko5
1 Gazprom Transgaz Tomsk, Tomsk, Russian Federation ■2 3, 4 5 Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation 1 [email protected]
© В.И. Бородин, М.А. Бубенчиков, А.М. Бубенчиков и др., 2024
Abstract. In this paper, the non-equilibrium state of a gaseous molecular system containing nitrogen, helium, and fullerenes is studied in the framework of the model of classical molecular dynamics. In such systems, the non-equilibrium state is determined by different states of single components. Here, the heavy fraction of the fullerenes can induce the internal non-equilibrium state associated with the difference between its translational and rotational temperatures. This paper proposes an original method for calculating the rotations of fullerenes in space, which does not use Euler angles and therefore has no consequential restrictions. The diffusion trajectories of fullerene particles are calculated, and the energy of their rotation is determined as the average temperature in the system of 300 K. The calculated results show that the internal non-equilibrium state of the fullerene fraction becomes apparent at pressures less than 10 atm. At pressures of a few tens of atmospheres, the rotational temperature of fullerenes coincides with their translational temperature. Keywords: numerical modeling, molecular dynamics, fullerenes, energy
Acknowledgments: This work was partially supported by the Russian Science Foundation (project No. 19-71-10049).
For citation: Borodin, V.A., Bubenchikov, M.A., Bubenchikov, A.M., Mamontov, D.V., Timchenko, S.V. (2024) State of fullerene Сб0 in a two-component gas mixture. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 87. pp. 59-72. doi: 10.17223/19988621/87/6
Введение
Актуальными в настоящее время являются работы по исследованию состояний двухатомных молекул внутри С60 [1-10]. Вызывает большой интерес вращательная динамика самих фуллеренов в фуллерите [7-9]. В этих работах фиксируется зависящая от времени связь спина валентного электрона с вращением фуллерена, от которой зависит ориентационный фазовый переход при T > 256 К. В статье [1] на основе масс-спектрометрических экспериментов рассматривается состояние энергии связи С2, или энергии диссоциации этой молекулы, внутри С60. Результаты согласуются с высокоуровневыми расчетами теории функционала плотности ab initio. В [2] изучены электронные свойства одиночных молекул с помощью низкотемпературной сканирующей туннельной спектроскопии. Исследуются молекулы C60, осажденные на поверхности Au(111) при разных температурах подложки и смешанные с двумя разными углеводородами. Таким образом, меняются взаимодействие фуллерена с поверхностью и / или диполярный отклик молекулярного окружения на зарядку. Далее исследуется зависимость выравнивания энергетических уровней от молекулярного окружения. Результаты подтверждают уже установленную картину в фотоэлектронной спектроскопии. Авторы [3] исследовали электронные структуры интерфейсов пентацена и Сб0 с использованием ультрафиолетовой фотоэлектронной спектроскопии и рентгеновской фотоэлектронной спектроскопии. Полученные спектры C1s на этих образцах показывают отсутствие значительных химических связей на границе раздела. В исследовании [4] представлен спектр потерь энергии электронов Сб0
в газовой фазе от 1 до 30 эВ. Спектр аналогичен спектрам твердого тела, но сдвиги взаимно наблюдаемых полос видны только для ранее идентифицированных плазмонных особенностей. Данные результаты подтверждают эту идентификацию, а также обеспечивают косвенное измерение относительного сечения поглощения в рассматриваемой области. Результаты измерений рассеяния под большими углами дают первое свидетельство существования мультипольных плазмонов в Сбо. В [5] электронная структура кристаллических фуллеритов Сбо и С70 исследована методом спектроскопии потерь энергии высокоэнергетических электронов на просвет. По возбуждениям валентной зоны и остовным возбуждениям уровня Си получена информация о занятых и незанятых п- и га-зонах. Пористый углерод, легированный азотом, получают активацией КОН Сб0 в атмосфере аммиака. В качестве анода для литий-ионных аккумуляторов он показывает обратимую емкость до ~ 1 900 мА ч г-1 при 100 мА г1. Моделирование [6] предполагает, что лучшее хранение литий-иона может быть связано с кривизной графена и присутствием легирующих примесей пиррольной / пиридиновой группы. Исследования, собранные в статьях [1-6] так или иначе связаны с изучением энергии фуллеренов Сб0.
Вращательная динамика Сб0 в твердом состоянии была исследована в [7] с помощью ядерного магнитного резонанса на углероде-13 (13С ЯМР). Скорость релаксации из-за анизотропии химического сдвига (1/9Т1С8Л) была точно измерена по зависимости Т1 от магнитного поля, что позволило определить время корреляции молекулярной переориентации т. При температуре 283 К т = 9,1 пс. В серии экспериментов [8] с твердым Сб0 изучались низкоэнергетическая вращательная динамика молекул, высокоэнергетические колебательные спектры и аспекты беспорядка в статической структуре. Почти сферическая форма молекулы Сб0 и возникновение ориентационного фазового перехода при Тс = 25б К делают твердое тело Сб0 превосходной системой для исследований ориентационной динамики. Когерентное квазиупругое рассеяние нейтронов выше Тс количественно описывается моделью вращательной диффузии. В [9] представлен оригинальный способ проверить связь вращения и вращения Машхуна. Поскольку в низкотемпературной фазе (ниже 300 К) твердого тела Сб0 нецентральный межмолекулярный потенциал будет вызывать прецессию и нутацию частоты вращения молекул Сб0, что приводит к зависящей от времени связи спина валентного электрона с вращением Сб0, волновые функции электронов во вращающихся молекулах Сб0 приобретут геометрические фазы, возникающие из-за этой зависящей от времени связи спин-вращение. Геометрические фазы валентных электронов в молекулах Сб0 рассчитаны с использованием теории инвариантов Льюиса-Ризенфельда в настоящей статье. Показано, что геометрические фазы электронов в молекулах Сб0 могут быть измерены с помощью фотоэлектронной спектроскопии Сб0. Также продемонстрирован физически интересный факт, что информация о вращении и прецессии молекул Сб0 в ориентационно упорядоченной (или неупорядоченной) фазе может быть считана из фотоэлектронной спектроскопии Сб0. В [10] представлен гамильтониан для колебаний и вращений СО внутри свободно вращающейся или неподвижной молекулы Сб0 и вычислены его собственные состояния из атом-атомного модельного потенциала. Как показано в [11-13], наноразмер-ные примеси могут оказывать серьезное влияние на свойства расплавов и физических процессов. Одним из наиболее релевантных способов изучения наномате-риалов является молекулярная динамика, как, например, в статьях [14-15].
В настоящей работе также используется атом-атомный или атом-молекулярный модельный потенциал как для частиц, составляющих газовую фазу, так и для атомов углерода фуллерена, взаимодействующих с частицами газовой среды. Столь простая модель взаимодействия, объединенная с условиями недеформируемости молекулярного каркаса Сво, позволяет получить совершенно конкретные и полные результаты по вращательной динамике фуллерена, а также по его трансляционным перемещениям в многокомпонентной смеси газов. Цель настоящей работы - построение универсальной численной процедуры для описания поворотов фуллерена в двухкомпонентной смеси газов и определение на ее основе характерных частот углеродной молекулы в газовой среде с заданными параметрами состояния.
Рис. 1. Представительный объем, содержащий газовые частицы и входящий в него фуллерен Fig. 1. A representative volume with gas particles and a fullerene penetrating into the volume
Для того чтобы рассчитать взаимодействия атомов и молекул, находящихся в газовой фазе, необходимо выделить мезообъем газовой среды, в которой будут разворачиваться последующие молекулярно-динамические события (рис. 1). Объем должен содержать количество частиц, достаточное для проведения статистических осреднений. Однако по понятным причинам это количество не должно быть слишком большим. Для описания движения частиц используется классическая модель динамики газовых частиц. Однако фуллереновая частица рассматривается как недеформируемая молекулярная конструкция, состоящая из 60 атомов углерода. Газовые частицы взаимодействуют между собой и с атомами фуллерена по модели притяжение-отталкивание, в которой используется одна силовая функция, но различные параметры, отвечающие конкретной паре взаимодействующих частиц.
Математическая модель Уравнения движения частиц двухкомпонентной смеси газа имеют вид:
dv M N K
m = Wii (r-k)" Z {rik) - £ VUn (rik) (i = 1,2,...,M), (1)
dt k=1, k=M+1 k=N+1
k
dv м N к
= -£W2i (rit)- Е VU22 (rit)- £ VU23 (rit) (/ = M +1,...,N). (2)
k=1 k = M+1, k=N+1
k ^i
Здесь m1, m2 - массы частиц первой и второй компонент; rik = \r; - ru\; r;, ru - радиусы-векторы i-й и k-й частиц; vi - скорость i-й частицы; M, N - соответственно количество частиц в первой ассоциации и суммарное количество частиц обоих сортов газа; K - сумма количеств всех газовых частиц и всех атомов углерода в фуллерене; U11, U22 - потенциалы взаимодействия частиц определенного сорта; U12 = U21 - потенциалы взаимодействия частиц, принадлежащих различным компонентам. Все эти потенциалы имеют одну форму, но различные значения с и е;
011 = ОЬ е11 = е1; С22 = С2; е22 = е2; "12 = "21 =^ ; S'2 = ^ = ^ . ЗдесЬ C1, е1 -параметры потенциала Леннарда-Джонса, относящиеся к первой компоненте, с2,
„,...9.9,9.., _
е2 - ко второй. V = i--v j--v k—; i, j, k - орты абсолютной системы декарто-
dx dy dz
вых координат; rt =(xi, yt, zt); rk =(xk, yk, zk); x, y, z - прямоугольные декартовы координаты.
В рассматриваемый представительный объем, занятый смесью газов, начиная с определенного момента времени входит фуллерен. Его взаимодействие с молекулярным окружением описывается уравнением движения центра масс фуллере-на и уравнениями его вращательного движения вокруг собственного центра масс. Трансляционные перемещения фуллерена полностью задаются уравнением движения центра масс молекулы С6о
dv KM K N
тз = " Е ЕVU13 (гЛ)- Е Е VU23 (гЛ)., (3)
dt k=N+1 i=1 k=N +1 i=M+1
где m3 - масса фуллерена; vc - скорость его центра масс; U13, U23 - потенциалы взаимодействия атомов углерода фуллерена с частицами первой и второй газовых компонент. Эти потенциалы различаются лишь параметрами взаимодей-
СТ. +СТ3 I--СТ, +СТ3 I-
ствия: ст13 = —-— , е13 = ^/е1е3 ; ст23 = —-—, е23 = ^е2е3 . При этом параметры
с3 и е3, относящиеся к углерод-углеродному взаимодействию, берутся для атомов углерода, находящихся в связанном состоянии 2D углеродной структуры. Эти уравнения необходимо дополнить кинематическими соотношениями
А = v (< = 1.2,., к). (4)
В случае движения фуллерена с вращением скорость его силовых центров определяется из теоремы сложения скоростей с использованием векторного произведения для относительной скорости атома углерода:
vf = vc +[ш,{rt -rc)](< = N +1,...,к).
Здесь rc - радиус-вектор центра масс фуллерена, vc - его поступательная скорость, ю - скорость поворота фуллерена вокруг его центра масс. Эта скорость находится из уравнения, выражающего теорему об изменении момента количества движения фуллерена для относительного движения около его центра масс:
— - Ь
Ж '
В последнем выражении кинетический момент К есть произведение тензора инерции на вектор-столбец мгновенной угловой скорости фуллерена ю:
К = /ю. (5)
При этом тензор инерции определяется выражением
(+ г;2) ху ¿л Л
/ = -ш^ УХ т£(х;2 + г;2) у]^ . (6)
- х% - у]2] + у,'21
х1,у1(г = N +1,...,К) - координаты атомов углерода фуллереновой частицы, хс, ус, - координаты центра масс фуллерена. Здесь х'= х1 - хс, у] = у,, - ус, = - 2С, суммирование производится по числу атомов, составляющих молекулу фуллерена. Момент сил, входящих в правую часть векторного уравнения (6), определяется выражением
1V1 А.
/=1 k= (7) i [(1 -1h)]■
г=М+1 к=N+1
Дифференциальные уравнения (1)-(6) интегрируются численно с использованием следующих начальных условий:
/ = 0; vl = (г = 1,2,...,N); rj = г0 (у = 1,2,...,К); гс = г0; ю = ю0. (8)
При этом величины начальных скоростей равны среднетепловым значениям скорости, относящимся к температуре Т = 300 К. Направления скоростей газовых частиц выбираются случайным образом. Скорость фуллерена направлена в центр грани представительного объема перпендикулярно ее поверхности. Начальные положения газовых частиц должны быть такими, чтобы расстояния между частицами не были слишком малыми. Это позволяет получить прогнозируемую температуру в системе газовых частиц.
Для того чтобы частицы не разлетались из представительного объема, на его границах ставятся условия зеркального отражения частиц с сохранением модуля скорости. Эти условия моделируют переходы частиц из смежных объемов пространства, заполненного газом, и обеспечивают сохранение полной энергии в системе.
Численный метод интегрирования уравнений движения крупных молекул
Во многих процессах молекулярной динамики фуллерен может участвовать как заряженная и магнитовосприимчивая частица, т.е. может реагировать на внешние электромагнитные поля. В этом случае важно уметь рассчитывать не только угловые колебания фуллерена, но и его направленные вращения, вызванные действием внешних полей. При отсутствии электромагнитных полей угловые колебания
фуллерена связаны с тепловым движением окружающих его частиц. Однако и такой случай не является простым в отношении расчета угловых поворотов этой частицы. Движение углеродных частиц, имеющих жесткий каркас, можно разделить на две группы: трансляционные перемещения и повороты. Первая группа, когда любая грань молекулярной конструкции перемещается параллельно самой себе, полностью определяется движением центра масс крупной молекулы. Нахождение этой группы не вызывает затруднений, поскольку получающиеся при этом уравнения явно разрешены относительно компонент линейных скоростей объекта. Уравнения для угловых скоростей молекулярного тела получают из уравнений вращательной динамики относительно центра масс рассматриваемого тела. В таких уравнениях под производную по времени входят проекции момента количества движения молекулярного тела. Каждая из этих компонент в общем случае зависит от трех компонент вектора угловой скорости тела. Численная процедура нахождения элементарных поворотов тела должна быть выстроена так, чтобы на каждом шаге по времени и даже на промежуточных шагах все компоненты вектора мгновенной угловой скорости находились одновременно. Тогда результирующий элементарный поворот будет поворотом относительно мгновенной оси вращения.
Описанная схема позволяет избежать замены результирующего поворота последовательностью поворотов относительно трех различных осей и тем самым избежать ошибок в описании сложных вращений. Решение всех эволюционных уравнений представленной математической модели проводится с использованием пошаговых схем высокого порядка точности, использующих идею пересчета искомых величин в промежуточных позициях каждого отдельного шага. В расчетах использовался постоянный шаг интегрирования Д/ = 10-6 нс. В каждый момент времени полный баланс механической энергии составлял 10-6 относительных единиц.
Результаты расчетов
В куб с ребром 5 нм поместим 100 атомов гелия и 100 молекул азота. Пусть скорости частиц газа будут иметь величины, отвечающие среднетепловым скоростям соответствующих компонент для температуры Т = 300 К. Такое состояние газовой смеси соответствует давлению 35 атм. Начальные скорости всех частиц газа были одинаковыми и отвечали средним тепловым скоростям движения для заданной температуры, а их направления выбирались случайным образом. Систему частиц с такими параметрами движения иногда называют клаузиуским газом (модельная система, предназначенная для подсчета давления газа на выбранную площадку). На гранях куба реализуются зеркальные отражения частиц. Начиная с некоторого момента времени на центр одной из граней куба будет направлен фуллерен, имеющий некоторую скорость движения, перпендикулярную поверхности грани. Нас прежде всего будет интересовать, как раскручивается фуллерен в среде газовых частиц и как энергия полученных вращений будет соотноситься с энергией его трансляционных перемещений. Первоначально рассмотрим состояние газовой среды. Температура газовых компонент определяется как средняя по ансамблю всех частиц данного сорта кинетическая энергия отдельной частицы, отнесенная к величине 3к/2.
Из рис. 2 видно, что на начальном этапе из-за отсутствия равновесия в системе наблюдается разделение компонентов по температуре. Это разделение полностью исчезает через 7 нс от начала процесса. Отсутствие равновесия на первых двух наносекундах обусловлено заданием для каждой из компонент смеси одинаковых значений модулей скорости в начальный момент времени. После этого за указанное время в газовой системе устанавливается равновесие по скоростям для каждой из компонент.
315
2851_
0 1 2 3 4 5 6 7
t, нс
Рис. 2. Температура гелия - красная линия, азота - черная Fig. 2. Helium and nitrogen temperatures indicated by red and black lines, respectively
v, м/с
Рис. 3. Аналитическое (сплошная кривая) и численное (символы) распределение Максвелла Fig. 3. Analytical (solid curve) and numerical (symbols) Maxwell's distribution
На рис. 3 показаны равновесные распределения Максвелла (сплошные линии) и расчетные (символы) плотности вероятности нахождения частиц отдельных компонентов в соответствующих скоростных диапазонах. Определение по заданному количеству частиц не дает регулярных во времени распределений температур компонентов. Коме того, всякое измерение температуры тем или иным прибором предполагает еще определение по времени, поэтому в данном случае мы его также используем. Интервал осреднения был равен 1 нс. При этом на начальном этапе, если / < 1 нс, он был равен /. После этого были получены распределения, показанные на рис. 2.
На рис. 4 показаны проекции угловых скоростей фуллерена. На значении этих скоростей сказывается каждый удар окружающих газовых частиц. Если усреднить значения мгновенной угловой скорости на определенном интервале времени, то получим вполне регулярное распределение изменяющейся во времени величины.
1 000
-600
0 2 4 6 8 10 12 14
t, нс
Рис. 4. Угловые скорости фуллерена относительно стационарных осей вращения Fig. 4. Angular velocities of the fullerene relative to stationary axes of rotation
На рис. 5 представлено значение модуля угловой скорости фуллерена в зависимости от времени. Видно, что за время около 10 нс фуллереновая частица раскручивается до значений угловой скорости 300 нс1. Далее величина скорости вращения выходит на постоянное значение.
350 300 250 ^ 200 150 100 50 0
0 2 4 6 8 10 12 14 t, нс
Рис. 5. Величина угловой скорости фуллерена в зависимости от времени Fig. 5. Angular velocity of the fullerene as a function of time
Рис. 6. Локальная трансляционная скорость фуллерена Fig. 6. Local translational velocity of the fullerene
Данный рисунок показывает, как под действием ударов молекул и атомов газовой среды перемещается фуллерен. Однако это лишь скалярное отражение пространственной картины движения. Анализ покомпонентных характеристик движения позволяет выделить составляющие вектора скорости центра масс фуллерена, которые отвечают за некоторое среднее перемещение этой частицы:
v = v + v . (9)
c m c
Это среднее перемещение можно назвать диффузией (vm). Три компоненты данного вектора можно найти из условий осреднения полной величины скорости центра масс (vc). Тогда пульсационная составляющая этой скорости будет подчиняться условию
t
J v'cdx = 0. (10)
t
Здесь 0 - некоторый интервал осреднения (в нашем случае 0 =1 нс). Проводя соответствующие статистические расчеты, нетрудно найти вектор миграции vm. На рис. 7 показано распределение во времени модуля этого вектора.
36 34 32 30 28 26 24
22
( ) 2 4 6 8 10 12 14 t, нс
Рис. 7. Величина скорости миграции фулерена Fig. 7. Fullerene migration rate
Проведенные расчеты позволяют получить мгновенные значения кинетической энергии вращения и энергии трансляционных перемещений. Однако воспользуемся возможностью получить приближенные оценки указанных энергий. Для энергии вращательного движения около собственного центра масс фуллере-на имеется формула
2
т = / у- (11)
Здесь ю - угловая скорость фуллерена; I - момент инерции относительно мгновенной оси вращения. В рамках приближенного описания величину I можно определить как момент инерции бесконечно тонкой сферы, по которой равномерно распределена масса фуллерена:
I = - т3 Я2. (12)
3 3
Здесь тз - масса фуллерена, Я - его радиус. Энергия трансляционных перемещений есть
т,=(13) ' 2
Тогда отношение рассматриваемых энергий будет следующей величиной:
Т 3у2
— = —гт - (14)
Т, 2ю2 Я
Если в эту формулу подставить стабилизированные значения ю из рис. 5, расчетное значение величины ус , а также известноое значение радиуса фуллерена Я = 0.357 нм, то получим значение, близкое к единице. Последнее обстоятельство говорит о том, что в газовых смесях с малой концентрацией фулереновых частиц и высоким давлением несущей фазы вращательная температура фуллереновой среды совпадает с ее трансляционной температурой.
Заключение
Расчеты показывают, что в условиях термодинамического равновесия поддерживающей фуллереновую частицу газовой среды сам фуллерен мигрирует по случайным траекториям, занимающим в конечном счете все пространство представительного объема. При осреднении этой траектории остается след миграционного перемещения. Вообще осреднение является важной процедурой в работе по интерпретации данных вычислений в рассматриваемом кластере задач. Интервал осреднения по времени должен обеспечивать равенство нулю всех трех пульсационных компонент вектора трансляционной скорости. Полученные поля мгновенных характеристик движения и правильно найденный интервал осреднения позволяют заключить, что несмотря на то, что фуллереновая компонента представлена одной частицей, вполне можно говорить о температуре фуллерено-вой составляющей. Расчетами найдено, что при переходе от клаузиуского состояния системы частиц с максвелловским распределением наблюдается небольшое температурное расслоение по гелию и азоту. При этом естественно, что тяжелые и инерционные углеродные молекулы фуллеренов также находятся в неравновесном состоянии. Однако для систем с высоким давлением и на более продол-
жительных интервалах времени, чем участок начального перехода, наблюдается равенство вращательной температуры фуллереновой фракции.
Список источников
1. Lifshitz C. C2 binding energy in C60 // International Journal of Mass Spectrometry. 2000.
V. 198. P. 1-14. doi: 10.1016/S1387-3806(00)00192-5
2. Torrente I.F., Franke K.J., Pascual J.I. Spectroscopy of C60 single molecules: The role of
screening on energy level alignment // Journal of Physics: Condensed Matter. 2008. V. 20. Art. 184001. doi: 10.1088/0953-8984/20/18/184001
3. Kang S.J., Yi Y., Kim C.Y., Cho S. W., Noh M., Jeong K., Whang C.N. Energy level diagrams of
C 60/pentacene/Au and pentacene/C 60/Au // Synthetic Metals. 2006. V. 156. P. 32-37. doi: 10.1016/j.synthmet.2005.10.001
4. Gorokhov D.A., Suris R.A., Cheianov V. Electron-energy-loss spectroscopy of the C60 mole-
cule // Physics Letters A. 1998. V. 223. P. 116-122. doi: 10.1016/S0375-9601(96)00707-4
5. Lee S., Nicholls R., Nguyen-Manh D., Pettifor D., Briggs G., Lazar S., Pankhurst D.A.,
Cockayne D.J.H. Electron energy loss spectra of C60 and C70 fullerenes // Chemical Physics Letters. 2005. V. 404. P. 206-211. doi: 10.1016/j.cplett.2005.01.089
6. Tan Z., Kun N., Chen G., Zeng W., Zhuchen T., Ikram M., Zhang Q., Wang H., Sun L., Zhu X.,
Wu X., Ji H., Ruoff R., Zhu Y. Incorporating Pyrrolic and Pyridinic Nitrogen into a Porous Carbon made from C 60 Molecules to Obtain Superior Energy Storage // Advanced Materials. 2016. V. 29. Art. 1603414. doi: 10.1002/adma.201603414
7. Johnson R.D., Yannoni C.S., Dorn H.C., Salem J.R., Bethune D. C60 Rotation in the Solid
State: Dynamics of a Faceted Spherical Top // Science. 1992. V. 255. P. 1235-1238.
8. Kamitakahara W., Copley J., Cappelletti R., Rush J., Neumann D., Fischer J., Mccauley J.,
Smit A. Rotations, Vibrations and Structure in Solid C60: Investigations by Neutron Scattering // MRS Proceedings. 2011. V. 270. doi: 10.1557/PR0C-270-167
9. Shen J.Q., He S. Geometric phases of electrons due to spin-rotation coupling in rotating C_ {60}
molecules // Phys. Rev. B. 2003. V. 68. doi: 10.1103/PhysRevB.68.195421
10. Olthof E.H.T., van der Avoird A., Wormer P.E.S. Vibration and rotation of CO in C60 and predicted infrared spectrum // J. Chem. Phys. 1996. V. 104. P. 832-847. doi: 10.1063/1.470809
11. Афанасьева С.А., Бирюков Ю.А., Белов Н.Н. и др. Повышение эффективности высокоскоростного метания ударников с применением высокоэнергетических топлив с нано-дисперсными наполнителями // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2012. № 2 (18). С. 67-79.
12. Крайнов А.Ю., Порязов В.А., Моисеева К.М. Скорость распространения пламени в аэровзвеси наноразмерного порошка алюминия // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2018. № 53. С. 95-106. doi: 10.17223/19988621/53/9
13. Ворожцов А.Б., Данилов П.А., Жуков И.А. и др. Влияние внешних воздействий на расплав и неметаллических наночастиц на структуру и механические характеристики легких сплавов на основе алюминия и магния // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2020. № 64. С. 91-107. doi: 10.17223/19988621/64/7
14. Андрющенко В.А., Рудяк В.Я. Самодиффузия молекул флюида в наноканалах // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2012. № 2. С. 63-66.
15. Рудяк В.Я., Андрющенко В.А. Молекулярно-динамическое моделирование разделения наножидкости с помощью наномембран // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2014. № 4. С. 88-94.
References
1. Lifshitz C. (2000) C2 binding energy in C60. International Journal of Mass Spectrometry. 198. pp. 1-14. doi: 10.1016/S1387-3806(00)00192-5
2. Torrente I.F., Franke K.J., Pascual J.I. (2008) Spectroscopy of C60 single molecules: The role
of screening on energy level alignment. Journal of Physics: Condensed Matter. 20. Article 184001. doi: 10.1088/0953-8984/20/18/184001
3. Kang S.J., Yi Y., Kim C.Y., Cho S.W., Noh M., Jeong K., Whang C.N. (2006) Energy level
diagrams of C60/pentacene/Au and pentacene/C60/Au. Synthetic Metals. 156. pp. 32-37. doi: 10.1016/j.synthmet.2005.10.001
4. Gorokhov D.A., Suris R.A., Cheianov V. (1998) Electron-energy-loss spectroscopy of the C60
molecule. Physics Letters A. 223. pp. 116-122. doi: 10.1016/S0375-9601(96)00707-4
5. Lee S., Nicholls R., Nguyen-Manh D., Pettifor D., Briggs G., Lazar S., Pankhurst D.A.,
Cockayne D.J.H. (2005) Electron energy loss spectra of C60 and C70 fullerenes. Chemical Physics Letters. 404. pp. 206-211. doi: 10.1016/j.cplett.2005.01.089
6. Tan Z., Kun N., Chen G., Zeng W., Zhuchen T., Ikram M., Zhang Q., Wang H., Sun L., Zhu
X., Wu X., Ji H., Ruoff R., Zhu Y. (2016) Incorporating pyrrolic and pyridinic nitrogen into a porous carbon made from C60 molecules to obtain superior energy storage. Advanced Materials. 29. Article 1603414. doi: 10.1002/adma.201603414
7. Johnson R.D., Yannoni C.S., Dorn H.C., Salem J.R., Bethune D. (1992) C60 rotation in
the solid state: dynamics of a faceted spherical top. Science. 255. pp. 1235-1238. doi: 10.1126/science.255.5049.1235
8. Kamitakahara W., Copley J., Cappelletti R., Rush J., Neumann D., Fischer J., Mccauley J.,
Smit A. (2011) Rotations, vibrations and structure in solid C60: investigations by neutron scattering. MRS Proceedings. 270. doi: 10.1557/PR0C-270-167
9. Shen J.Q., He S. (2003) Geometric phases of electrons due to spin-rotation coupling in rotating
C60 molecules. Physical Review B. 68. doi: 10.1103/PhysRevB.68.195421
10. Olthof E.H.T., van der Avoird A., Wormer P.E.S. (1996) Vibration and rotation of CO in C60 and predicted infrared spectrum. Journal of Chemical Physics. 104(3). pp. 832-847. doi: 10.1063/1.470809
11. Afanas'eva S.A-R., Biryukov Yu.A., Belov N.N., Burkin V.V., Ishchenko A.N., Karta-shov Yu.I., Kasimov V.Z., Fomenko V.V., Yugov N.T. (2012) Povyshenie effektivnosti vysokoskorostnogo metaniya udarnikov s primeneniem vysokoenergeticheskikh topliv s nano-dispersnymi napolnitelyami [Increase of efficiency of high-speed throwing of strikers application of high-energy fuels with nanodispersed fillers]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 2(18). pp. 67-79.
12. Kraynov A.Yu., Poryazov V.A., Moiseeva K.M. (2018). Skorost' rasprostraneniya plameni aerovzvesi nanorazmernogo poroshka allyuminiya [Flame propagation velocity in an aero-suspension of nanoscale aluminum powder]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 53. pp. 95-106. doi: 10.17223/19988621/53/9
13. Vorozhtsov A.B., Danilov P.A., Zhukov I.A., Khmeleva M.G., Platov V.V., Valikhov V.D. (2020) Vliyanie vneshnikh vozdeystviy na rasplav i nemetallicheskikh nanochastits na strukturu i mekhanicheskie kharakteristiki legkikh splavov na osnove alyuminiya i magniya [The effect of external actions on a molten metal and the influence of nonmetallic nanoparti-cles on the structure and mechanical properties of the light alloys based on aluminum and magnesium]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika -Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 64. pp. 91-107. doi: 10.17223/19988621/64/7
14. Andryushchenko V.A., Rudyak V.Ya. (2012) Samodiffuziya molekul flyuida v nanokanalakh [Self-diffusion of fluid molecules in nanochannels]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 2(18). pp. 63-66.
15. Rudyak V.Ya., Andryushchenko V.A. (2014) Molekulyarno-dinamicheskoe modelirovanie razdeleniya nanozhidkosti s pomoshch'yu nanomembran [Molecular dynamics modeling of
nanofluid separation in nanomembranes]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 4. pp. 88-94.
Сведения об авторах:
Бородин Владислав Иванович - Генеральный директор ООО «Газпром трансгаз Томск», Томск, Россия. E-mail: [email protected]
Бубенчиков Михаил Алексеевич - доктор физико-математических наук, доцент кафедры теоретической механики Томского государственного университета, Томск, Россия. E-mail: [email protected]
Бубенчиков Алексей Михайлович - доктор физико-математических наук, профессор кафедры теоретической механики Томского государственного университета, Томск, Россия. E-mail: [email protected]
Мамонтов Дмитрий Владимирович - младший научный сотрудник Регионального научно-образовательного математического центра Томского государственного университета, Томск, Россия. E-mail: [email protected]
Тимченко Сергей Викторович - доктор физико-математических наук, профессор, старший научный сотрудник Томского государственного университета, Томск, Россия. E-mail: [email protected]
Information about the authors:
Borodin Vladislav I. (Chief Executive Officer, Lead Engineer, Gazprom Transgaz Tomsk, Tomsk, Russian Federation). E-mail: [email protected]
Bubenchikov Mikhail A. (Doctor of Physics and Mathematics, Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation). E-mail: [email protected]
Bubenchikov Aleksey M. (Doctor of Physics and Mathematics, Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation). E-mail: [email protected]
Mamontov Dmitriy V. (Research Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation). E-mail: [email protected]
Timchenko Sergey V. (Doctor of Physics and Mathematics, - Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation). E-mail: [email protected]
Статья поступила в редакцию 02.06.2023; принята к публикации 12.02.2024
The article was submitted 02.06.2023; accepted for publication 12.02.2024
