CC BY
24
Пропустите пустую страницу
2009
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Математика и физика
№ 140
УДК 514.7
СОХРАНЯЮЩИЕ ОБЪЕМ ПОТОКИ АНОСОВА КОРАЗМЕРНОСТИ ОДИН
В. В. СОЛОДОВ1
Статья представлена доктором технических наук, профессором Самохиным А.В.
Объектом исследования являются сохраняющие объем потоки Аносова. В случае, когда сжимающее слоение потока имеет коразмерность один, получается действие фундаментальной группы многообразия на прямой. Действие позволяет построить сечение потока, что позволяет классифицировать такие потоки.
Ключевые слова: потоки, устойчивость, гладкие многообразия, фундаментальная группа.
Введение
Мы изучаем динамические системы на гладких многообразиях М. Для определенности будем предполагать, что системы являются потоками, то есть время изменяется непрерывно. Такие системы обладают свойствами устойчивости (неустойчивости). Устойчивость систем мы изучали в [7]. Среди неустойчивых имеется самый ярко выраженный - потоки Аносова, в них экспоненциальное разбегание траекторий имеет место в каждой точке многообразия М. В случае, когда сжимающее слоение потока имеет коразмерность один получается действие фундаментальной группы многообразия А/ на прямой. Действие позволяет построить сечение потока, что позволяет классифицировать такие потоки.
1. Общие сведения о потоках Аносова
Пусть дано целое число к ^ 0 и а 6 (0,1). Мы будем говорить, что отображение между С°° - многообразиями класса Ск+а, если оно класса Ск и его к-е частные производные являются Гельдерово-непрерывными. Отображение д будет принадлежать классу Ск . если найдется такое а > О, для которого д принадлежит классу Ск+а.
Пусть А/ принадлежит классу С°° . а о, это Ск -поток без неподвижных точек, Тфг-это одномерное подрасслоение в ТМ, касательное к орбитам фг.
Поток о, называется потоком Аносова, если существует такое 1)о, - инвариантное (I) - дифференциал) разложение Тфг ф Еии ф Е33 и константа А > 0 такая, что для некоторой метрики
таж{||£>0*|в..(р)||, ||-0^|в«(р)||} < ехр(-А)
для любых t > 0 и точек р е М.
Известно [7], что разложение ТМ = Тфг ф Еии ф Енн является гёльдерово - непрерывным и подрасслоения
Е3\ Еии. То, ф Еии. То, ф Е33
интегрируемыми.
Мы будем говорить, что поток о, коразмерности один, если Е33 одномерно.
Известно[7], что если о, является С°°-потоком Аносова коразмерности один, то ТфгфЕ33 будет класса С1+. Через /л\ 1ГНН. мы будем обозначать соответствующие слоения.
'Работа выполнена при поддержке гранта МГТУ ГА 2007 г.
Зафиксируем метрику д на М.Эта метрика порождает расстояние (1 со свойством (1), из которого следует
Для любых д± Є М ъ д2 Є Е33(ді).
Теорема 1. Для любой гёлъдерово - непрерывной положительной функции /(х), х Є М существует система и = {рр}рем борелевских мер и р > 0 такое, что
Имеется теорема о приближении [1].
Теорема 2. Пусть X является С1+ - векторным полем на соо- замкнутом многообразии М. Если поток, порожденный X, сохраняет объем, то X может быть С1 - приближено соо-векторным полем, сохраняющим объем.
Для любого потока Аносова на замкнутом многообразии тривиальность коцикла Лиф-шица -Синая влечёт существование инвариантной меры, абсолютно непрерывной по отношению к лебеговской. Марко и Марион показали, что существует и гладкий объём, инвариантный относительно потока. Но вопрос о том, какие потоки Аносова топологически эквивалентны сохраняющим объём, остаётся.
Известно, что сохраняющий объём поток, топологически транзитивен, то есть имеет всюду плотную траекторию. М. Асаока [1] доказал:
Теорема 3. Любой топологически транзитивный поток Аносова топологически эквивалентен потоку Аносова, сохраняющему С°°- объём.
Замечание. Существует пример потока Аносова на замкнутом трёхмерном многообразии, который не топологически транзитивен [2].
В 70-х годах Берковский высказал гипотезу:
Гипотеза 1. Любой поток Аносова на замкнутом многообразии размерности более трёх топологичаски сопряжен надстройке над автоморфизмом тора.
Рассуждение Асаока [1] основано на двух теоремах. Первая принадлежит ещё Берковскому:
Теорема 4. Поток Аносова коразмерности один на многообразии размерности более трёх топологически транзитивен.
А вторая - Симику [7]:
Теорема 5. Если поток Аносова коразмерности один сохраняет объём, то он топологически сопряжен надстройке над автоморфизмом тора.
Вместе эти теоремы и доказывают гипотезу Берковского в случае размерности более 3.
В случае, когда гиперболичность системы равномерная (т.е. в компактном случае отсутствуют негиперболические области), она называется системой Аносова. Основную роль
2. Гипотеза Берковского
3. Группы ориентированных гомеоморфизмов прямой
в изучении таких систем играют имеющиеся у них слоения: сжимающее ]¥3 , и растягивающее - ]¥и. Наиболее изучен случай, когда одно из этих слоений, обычно И^“, одномерно. Тогда говорят, что система Аносова имеет коразмерность один.
Для потоков Аносова в этом случае устойчивое слоение УУ80 имеет коразмерность один. Мы проведем исследование потоков Аносова специального вида. Будем предполагать, что:
• устойчивое слоение 1¥30 потока Аносова ф на компактном многообразии X имеет коразмерность один;
• все слои универсального накрывающего слоения пересекает общая трансверсаль;
• действие фундаментальной группы 7Г| (.V) на трансверсали обладает тем свойством, что каждый элемент имеет не более одной неподвижной точки.
Теорема 6. При вышеописанных предположениях поток ф является простейшим, то есть топологически изоморфен надстройке над гиперболическим автоморфизмом тора.
Доказательство. Гомеоморфизм / прямой называется топологически-аффинным, если непрерывной заменой координат он превращается в аффинное преобразование прямой. В силу предположения о том, что слои пересекает общая трансверсаль т и каждый слой И"'*''' пересекает трансверсаль только один раз, действие фундаментальной группы 7Г| (.V) на X индуцирует действие И\ (X) на т (т.е. на К) топологически-аффинными преобразованиями.
В следующих параграфах мы будем изучать действие абстрактной группы О на прямой топологически аффинными преобразованиями. При этом оказывается, что в ” большинстве” случаев (следствие 2) действие О топологически сопряжено аффинному. Теорема 7 позволяет распространить этот результат на более общий класс действий с не более чем одной неподвижной точкой.
Тогда в силу теоремы 2.7 из [7] поток фг будет простейшим.
4. Отношение порядка на группе гомеоморфизмов прямой
В этом параграфе группа б предполагается подгруппой Нотео+(К) - группы ориентированных гомеоморфизмов прямой.
Предположим, что группа б действует на прямой сохраняющими ориентацию гомеоморфизмами, мы будем считать, что / о д(х) = д{}\х)). Зафиксируем точку ж0 и введем отношение частичного правого порядка на О (точечного порядка), положив:
/ ^ д или (/ ^ д) <=> /(ж0) ^ д{х0) или (/(ж0) ^ д{х0)).
К сожалению, точечный порядок зависит, как правило, от выбора хо (хотя есть и важное исключение - когда отличные от тождественного элементы группы не имеют неподвижных точек, см. лемму 2 ). Поэтому мы рассмотрим другие отношения порядка (” точечные” на +оо или на —оо ). Тем не менее, если существует фильтр подмножеств прямой П, инвариантный относительно С. то есть возможность ввести на группе С инвариантные отношения ” -<”,” >~” и”=”.
Мы разберем эту возможность на примере фильтра П, базой окончаний которого служат подмножества 1:, = (/.. эс).
Определение 1. Мы пишем }' < д, если существует такое окончание [/< е П, что /(х) < д(х),х е [/<. (Аналогично f >- д).
Пример 1. Аффинные преобразования.
В этом примере С — группа всех сохраняющих ориентацию аффинных преобразований прямой. Тогда Н является подгруппой сдвигов, фактор-группа С/Н изоморфна К и изоморфизм доставляет коэффициент подобия (производная) аффинного преобразования.
Пример 2. Кусочно-линейные преобразования.
Группа б —группа кусочно-линейных преобразований прямой (мы считаем, что имеется только конечное число отрезков, на которых преобразование линейно). Тогда подгруппа Н будет состоять из преобразований, тождественных и окрестности +оо, а изоморфизм С/ Н К будет доставлять предел при х +оо производной. Для случая, когда возможно бесконечное количество изломов, это утверждение перестает быть верным [9].
Будем предполагать, что группа С действует эффективно, то есть для любого неединичного з 6 б найдется х Е К, что д(х) ф х.
Определим отношение -<+ :
Для /, <7 Е С имеет место / -<+ д , если найдется а ЕШ такое, что для всех х Е (а, +оо) выполнено /(х) < д(х).
Аналогично определяется отношение -<_ :
/ -<_ д, если при всех х Е (—оо, а).
В дальнейшем, если утверждение имеет место как для -<+, так и для -<_, то мы будем употреблять знак -< и в доказательстве рассматривать только случай -<+.
Теорема 7. Если для любого д Е С? \ {1(1} множество его неподвижных точек Ах(<7) огра-
ничено на прямой сверху, то отношение -<+ (далее по уговору <) превращает С в линейно упорядоченную группу.
Доказательство. Для любой пары /, д - различных элементов группы С множество /гх(/ о д^1) ограничено. Следовательно, преобразование / о д^1 не имеет неподижных точек при достаточно больших х, т.е. выполнено одно из соотношений / -< д или д -< / .
Нам остается проверить только, что для любого элемента к Е С:
(/ ^ 9) =>• {1 < до К),
< д) ^ {ко ко д),
но эти соотношения очевидны в силу монотонности сохраняющих ориентацию гомеоморфизмов прямой.
Теорема 7 доказана.
Определение 2. Для любого д Е С:
\д\ = тах(д,д~1).
Определение 3. Элемент д Е С называется бесконечно малым, если существует такой элемент д Е С, что при всех п Е N
\д\п < /;
последнее свойство мы будем обозначать д <С /.
Теорема 8. При условии утверждения 1 подмножество С бесконечно малых элементов группы С является нормальной подгруппой, фактор по которой будет подгруппой К.
Доказательство. Множество С инвариантно относительно внутренних автоморфизмов С и выпукло. Если
51 < Л и #2 < /2,
ТО
д1° д2 < (тах{дъ д2})2 < тах{/ь /2}.
Следовательно, С есть подгруппа.
Факторгруппа С/С наследует из С отношение порядка, который будет архимедовым. В силу теоремы Гельдера С/С вкладывается в К .
Теорема 8 доказана.
Этот результат может быть выражен точной последовательностью:
{1й} —> С —> в —> К. (1)
Следствие 1. Коммутатор любых двух элементов группы С бесконечно мал.
Замечание. В любой линейно упорядоченной группе для любых элементов и д2
\[91,92}\ < тах{д1,д2},
но неравенство
\[9ъ92}\ < Ы (2)
может оказаться несправедливым даже в группе аффинных преобразований прямой , [3]. Тем
не менее, в нашей ситуации неравенство (2) выполнено, если элементы дг и д2 не бесконечно
малые.
5. Группы топологически - аффинных гомеоморфизмов
Пусть теперь группа С? действует на прямой К сохраняющими ориентацию гомеоморфизмами. Тогда
в = т и Я,
где множество Т состоит из преобразований, топологически сопряженных трансляциям (включая тождественную), а Я - гомотетиям (не включающим тождественное преобразование).
Теорема 9. Любые два элемента из Я архимедово эквивалентны (относительно отношения -< ).
Доказательство. Множество Я разбивается в сумму
Я = Я+ и Я" , где И -< Н . Н < id.
Для нас достаточно рассмотреть случай, когда ш ш к2 лежат в Я+. Предположим, что они не архимедово эквивалентны, например, <С 1г2.
Если ,Р\ = /1х(Ь,{) < ^2 = /{х(к2), то рассмотрим точку Ь < ^ и выберем п так, чтобы /г”(Ь) < к2(Ь). Но по предположению существует точка а, такая, что при х > а к2(х) > к^х). Поскольку /^(-Р!) > к2{Р\) и /^1(^2) > Ь2(Р2), то на интервалах [6, и [^2, а] найдутся неподвижные точки преобразования к±ок21, что противоречит предположению о топологически-аффинном действии группы С.
Аналогично рассматривается случай Р2 < 1-].
Теорема 9 доказана.
Лемма 1. Пусть С С С - подгруппа бесконечно малых элементов, тогда С С Т.
Доказательство. Достаточно показать, что С П Я = 0. Предположим противное, что существует к е С П Я. Тогда /г, <С £, где ^ £ Т, причем должно быть 1(1 -< t. Предположим, что 1(1 -< /г, и пусть Р = }Чх{К). Тогда для любой точки Р > Р найдется степень п такая, что 1ъп{Р) > £(Р). Но по предположению ^ , т.е. существует а, что при х > а 1гп(х) < t. Следовательно, на интервалах [/•'. Р]и[Р, а] отображение о ИР имеет неподвижные точки, что противоречит его топологической аффинности. Полученное противоречие завершает доказательство леммы 1.
Будем называть действие группы на прямой вырожденным , если либо все элементы имеют общие неподвижные точки, либо все элементы, кроме единичного, не имеют неподвижных точек.
Напомним, что в этом параграфе действует предположение о топологической аффинности действия группы.
Лемма 2. Группа б действует вырожденно тогда и только тогда, когда она абелева.
Доказательство. Если группа действует на прямой без неподвижных точек, то она абелева. Действительно, точечный порядок архимедов, по теореме Гельдера группа С вкладывается в К и, следовательно, она абелева (а в случае конечной порожденности группы б она еще и свободна). Если имеется общая неподвижная точка, то такое же рассуждение примеяется на дополнительных к неподвижной точке лучах.
Обратно, если группа С абелева, то либо у ее элементов нет неподвижных точек, либо есть. Во втором случае, если неподвихная точка а элемента / не является неподвижной для д то а ф д{а) (Е йх(/), что противоречит топологической аффинности /.
Лемма 2 доказана.
Теорема 10. Если группа С действует на прямой сохраняющими ориентацию топологически аффинными преобразованиями, то действие полусопряжено аффинному.
Докажем предварительно две леммы.
Лемма 3. Если действие б не является вырожденным, то найдется элемент е, бесконечно малый как относительно -<+, так и относительно
Доказательство. Пусть подгруппы С+ и С_ состоят из бесконечно малых относительно -<+ и -<_ элементов. Обе эти подгруппы нетривиальны, ибо в противном случае для знака + или - подгруппа С± = id, группа б относительно -<± , будет архимедово упорядоченной
и, в силу теоремы Гельдера, абелевой, что по лемме 2 противоречит предположению.
Итак, существуют элементы цх Е (С+ \ гд) и /л2 Е (С- \ гд) . Тогда либо при всех таких Ц1 и Ц2 коммутатор [//].,/хг] = гй, и группа, С С порожденная С+ и С-, абелева, тогда все элементы СС сравнимы между собой по 2.3 и, следовательно, бесконечно малы как относительно -<+ , так и относительно -<_ , то есть С+ = С_ = С С и лемма доказана, либо найдется € = [щ , Ф ^ . Но в этом случае, по инвариантности подгрупп С+ и Соотносительно внутренних автоморфизмов,
С+ Э щ о (/*2/*Г1!Ч1) = е = {}МР2^11) о //2-1 е Лемма 3 доказана.
Лемма 4. Если действие не является вырожденным, то
__ _ гр
-|- — О — — 1 •
Доказательство. Рассмотрим случай подгруппы С+ . По лемме 2.2 С+ С Т. Предположим, что существует 4 £ Т \ С.. Выберем к € Н , тогда найдется такое п, что /г < Iй. Поточечно это неравенство означает:
£п(ж) > тах(И,2(х), х)
или
Г о к~1{х) > тах(к(х), Ь^1(х)).
Обозначим через О неподвижную точку к. Рассмотрим элемент е, определенный в лемме 3. В силу леммы 1 € € Т и, следовательно, найдется такое га, что €т(0) > £п(0). Но в силу утверждения 4 элемент € бесконечно мал по отношению к к, что означает, что график ет пересекает график к в точке х\ > 0, график кг1 в точке :>> < 0. Следовательно, преобразование £” о кг1 о е~т имеет две неподвижные точки рх и р2 в интервалах (г2, 0) и (0, г±), что противоречит топологической аффинности.
Лемма 4 доказана.
Закончим теперь доказательство теоремы 10. Если действие С вырождено, то оно полусопряжено либо действию подгруппы чистых сдвигов, либо гомотетий, [8, с. 231].
Если действие невырождено, то подгруппа Т С б нетривиальна. Действительно, в противном случае группа Н и 1(1 будет архимедово упорядочена относительно -<+ или -<_, следовательно, абелева. По лемме 1 С вырождено действует на прямой, и мы получили противоречие.
Гомоморфизм о определяет алгебраическое действие группы Т на прямой:
ф{€) : Т —)■ Нотео(К); ф{£)х = х + р(£),
где р — число вращения, [8]. Подгруппа ф(Т) С К либо плотна в К, либо дискретна. Последнее невозможно, ибо действие С невырождено, следовательно, существует к Е Н: для определенности к Е Н+. Пусть Е Е йх(к), и мы предполагаем, что ^(Т)-траектория х дискретна. Пусть I образующая ф(Т). Тогда точка к о £-1 о к~1(1Е) лежит между Е и что противоречит дискретности ф .
Итак, мы доказали, что орбита при действии ф(Т) каждой точки плотна в К. Группа С? действует на Т сопряжениями, сохраняя порядок, следовательно, эти преобразования переносятся с плотного подмножества К как аффинные преобразования. Представление ф, тем самым, продолжается до представления С в группу аффинных преобразований прямой, а отображение р осуществляет полусопряжение действия О на прямой и представления ф.
Теорема 10 доказана.
Следствие 2. Если в условии теоремы 5 предположить минимальность действия С на прямой, то оно сопряжено аффинному действию.
Доказательство Достаточно доказать, что минимальное множество т действия Т на прямой совпадает с минимальным множеством 7 действия С на прямой. Предположим противное, что 7 ф т. Ясно, что 7 I) т. Пусть 6 дополнительный к т интервал в К , и пусть х Е т такая точка, что дх Е 6. Поскольку т совершенное, нигде не плотное подмножество К, в любой окрестности х найдется дополнительный к т интервал. Выберем такой интервал так, чтобы д(51) С 5. Пусть t Е Т такое, что £(5) = тогда д\ о t(5) С 5, то есть $1 о t = к Е Н. Но тогда найдется такое п, что
кпаок-п(6)Г)6ф®,
что противоречит тому, что кп о t о к~п(5) ЕТ а 6 дополнительный к т интервал.
Следствие 1 доказано.
Докажем сперва следующее техническое утверждение.
Теорема 11. Если группа С действует на прямой сохраняющими ориентацию гомеоморфизмами, имеющими не более одной неподвижной точки, то либо имеется общая неподвижная точка действия и группа С абелева, либо действие топологически аффинно (то есть каждый элемент действует топологически аффинно).
Доказательство. Предположим противное: имеется элемент / Е (?, имеющий неподвижную точку А и монотонный (пусть, для определенности / возрастающая функция), и имеется другой элемент д Е С. для которого //(,1) ф А (пусть, для определенности, д(А) < Л).
Обозначим фп = д о /-п о д-1. Выберем точку В такую, что В < А, /(В) < А и натуральное п так, чтобы фп(/В) < В. Пусть С = /-1(дА), тогда фп о /(С) > С.
Следовательно, на отрезке [В, С] имеется неподвижная точка преобразования фп о /, другая неподвижная точка будет на отрезке [С, Л]. Существование двух неподвижных точек противоречит условию.
Теорема 11 доказана.
Сформулируем теперь основной результат об аффинных действиях.
Теорема 12. Если группа G действует на прямой гомеоморфизмами , имеющими не более одной неподвижной точки, то это действие полусопряжено аффинному.
Доказательство. Рассмотрим подгруппу Go С G, состоящую из сохраняющих ориентацию гомеоморфизмов. Тогда в силу теоремы 6 и теоремы 3 действие Gо полусопряжено аффинному.
Если Gq ф G, то рассмотрим g е G\G0
йх(д) Ф 0 =4* fix (б/2) ф 0,
но д2 е Go; следовательно, д2 сопряжено гомотетии с положительным коэффициентом, тогда д сопряжено тем же преобразованием гомотетии с отрицательным коэффициентом, т.е. аффинному преобразованию.
Теорема 12 доказана.
ЛИТЕРАТУРА
1. Asaoka М. On invariant volumes. Preprint, 2007.
2. Pranks J., Williams R. Anomalous Anosov flows Global theory of dynamical systems. // Lect. Notes Math. N2 1331, Springer, Berlin, 1988.
3. Каток А., Хасселблатт Б. Введение в современную теорию динамических систем. - М.: Наука,
1987.
4. Plante J.F. Stability of codimention one foliations by compact leaves // Topology, vol. 22, № 2, 1983.
5. Reeb G. Sur certaines proprietes topologique des varietes feuietees //in Actuallite Sci. Indust., 1183 -Paris: Hermann, 1952.
6. Солодов B.B. Гомеоморфизмы прямой и слоения// Известия АН СССР, Серия Мат., т. 46, вып. 5, 1982.
7. Солодов В.В. Топологические вопросы теории динамических систем // Успехи Матем. Наук, т. 46, вып. 4, 1991.
8. Солодов В.В., Теоремы стабильности. Отчет по гранту МГТУ ГА, 2003.
9. Тарарин В.М. Группа кусочно-линейных автоморфизмов прямой // Математические заметки, т. 54, вып .2, 1993.
10. Тамура И., Топология слоений - М: Мир, 1979.
11. Thurston W.P. A generalization of the Reeb stability theorem// Topology, vol. 13, № 4, 1974.
12. Verjovsky A. Codimension one Anosov flows // Bol. Soc. Mat. Mexicana, vol. 18, № 2, 1974.
VOLUME CONSERVING ANOSOV FLOWS OF CODIMENSION ONE
Solodov V.V.
Volume conserving Anosov flows of codimension one are studied. In the case of contracting flow is of codimension one, an action of a manyfold’s fundamental group is defined naturally. The action makes it possible to obtain sections of the flow which in its turn allows to classify such flows.
Сведения об авторе
Солодов Виктор Владимирович, 1952 г.р. окончил МГУ им. М.В. Ломоносова (1974), кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики МГТУ ГА, автор 19 научных работ, область научных интересов — дифференциальная топология, слоения, динамические системы.
