Гомеоморфизмы прямой Текст научной статьи по специальности «Математика»

2013

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА

№ 194

УДК 515.168

ГОМЕОМОРФИЗМЫ ПРЯМОЙ

В.В. СОЛОДОВ

Статья представлена доктором технических наук, профессором Самохиным А.В.

В статье рассмотрен вопрос о строении накрывающего слоения для слоения коразмерности один.

Ключевые слова: группы гомеоморфизмов, слоения, накрытия.

Изучение слоений F"-1 коразмерности один на дифференцируемом многообразии X" привело к вопросам об устройстве F накрывающего слоения на универсальном накрытии XX" [2; 3].

Первый вопрос касается того, обязан ли слой L слоения F делить универсальную накрывающую XX ? Если это так, то говорят о свойстве d слоения F .

Второй вопрос касается того, обязана ли существовать трансверсаль t , гомеоморфная R и пересекающая все слои слоения F, такое свойство называется t [5].

Оказалось, что в общем случае оба вопроса имеют отрицательный ответ, но слоения, обладающие свойствами t и d встречаются чаще всего и будут рассматриваться в нашей работе.

В указанном случае (слоение F обладает свойствами t и d) действие фундаментальной группы p (X) скольжениями на универсальной накрывающей X индуцирует действие группы p(X) на трансверсали %, гомеоморфной R, т.е. представление f группы p(X) = G в группу гомеоморфизмов прямой Homeo(R)

0 ® G ® Homeo(R).

Такая ситуация рассматривается в [2; 3]. Там же начата классификация групп гомеоморфизмов прямой в зависимости от наличия у них неподвижных точек fix(a);ae. G .

Оказывается, что верно

УТВЕРЖДЕНИЕ 1. В случае, когда множество fix(a);ae G при всех a состоит не более, чем из одной точки. Действие всей группы G сопряжено аффинному действию и имеется точная последовательность групп.

0 ® E ® G ® R,

где элементы $E$ сопряжены гомотетиям и имеют неподвижные точки, а второй гомоморфизм - число вращения.

Примеры действия разрешимых групп представляют потоки Аносова на трехмерных многообразиях и действие на прямой группы Томпсона (специальной подгруппы кусочно-линейных преобразований [4]).

Следующая теорема сформулирована Бекларяном в [1].

ТЕОРЕМА (УТВЕРЖДЕНИЕ 2). Пусть группа G является подгруппой Homeo+ (R) - группы сохраняющих ориентацию гомеоморфизмов прямой, содержащая свободно действующий на прямой элемент. Тогда либо фактор-группа G / HG не аменабельна, либо фактор-группа разрешима, причем степень разрешимости не более 2.

Альтернатива в этой теореме строгая в том смысле, что одновременно обе возможности не осуществимы.

Замечание. Из изложенного ниже следует, что полное утверждение этой теоремы ошибочно, что было замечено некоторыми математиками: А. Навазом, А. Ахмедовым и автором статьи.

72

В.В. Солодов

УТВЕРЖДЕНИЕ 3. Существует конечно-порожденная разрешимая подгруппа Г группы Homeo(R) такая, что её степень разрешимости больше 2.

Напомним, что для данной подгруппы Г с Homeo(R) непустое замкнутое Г- инвариантное множество называется минимальным, если оно не содержит другого не пустого такого же множества.

УТВЕРЖДЕНИЕ 4. Для конечно порожденной подгруппы в Homeo (R) существует всегда минимальное множество.

Для подгруппы Г с Homeo (R) определяется нормальная подгруппа HГ следующим образом:

• если Г - минимальное множество не пусто и не дискретно, то Hr ={h e Г | E (Г) с Fix(h)};

• если минимальное дискретно и не пусто, то

Hг= UteR {Stab (t)} ;

• если минимальное множество пусто, то HГ - единичная подгруппа.

Построим разрешимую подгруппу Г с Homeo (R) такую, что Г / HГ - не является метаабелевой. Пусть группа Г - порождена элементами t, a, b еГ :

1) группа Г- разрешима;

2) упорядочена с левым порядком Р таким, что

1 Р t Р a P b;

3) t • a • t-1 = a2;

4) a • b • a"1 = b2 C- подгруппа, порожденная t; G- порожденная Шй , а S ={a- b d | ieZ};

5) [t! • b • t-, a1 • b • a"1 ] = 1 при всех i, j e Z ;

6) если g e C, f еГ \ C ,1 < f ® g < f;

7) если g e G, f еГ \ G,1 < f ® g < f;

8) существует h e S такое , что g < h < tn • b • t~n при всех g e G и n e Z. Мы рассмотрим кольца:

• A = Z;

1

B = Z

D = Z

2

2 V2

и отождествим t, a, b с единичными элементами колец * . Мы получим вложение Г с Homeo(R). Построение вложения (4) закончено.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бекларян Л.А. Группы гомеоморфизмов прямой и окружности // Успехи математических наук. - 2004.

- Т. 59. - № 4. - С. 3-68.

2. Новиков С.П. Топология слоений // Труды Московского математического общества. - 1965. - Т. 14. - С. 248- 278.

3. Солодов В.В. Гомеоморфизмы окружности и слоения // Известия АН СССР. - 1984. - Т. 48. - № 3. - С. 599-613.

4. Солодов В.В. Топологические вопросы теории динамических систем // Успехи математических наук.

- 1991. - Т. 46. - № 4. - С. 56-78.

5. Солодов В.В. Об отображениях окружности в слоения. Геометрические методы в задачах анализа и алгебры. - Ярославль, 1978. - С. 100-107.

6. Akhmedov A. Amenable subgroups of Homeo (R) [Электронный ресурс] URL: http://arxiv.org/pdf1211.6165v1.

Гомеоморфизмы прямой

73

HOMEOMORPHISMS OF THE LINE

Solodov V.V.

The paper deals with the structure of the covering over a foliation of codimension one. Key words: homeomorphism groups, foliations, coverings.

Сведения об авторе

Солодов Виктор Владимирович, 1952 г.р., окончил МГУ им. М.В. Ломоносова (1974), кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики МГТУ ГА, автор более 30 научных работ, область научных интересов - дифференциальная топология, слоения, динамические системы.