Обобщенное число вращения Текст научной статьи по специальности «Математика»

2007

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Математика и физика

N5 114

УДК 515.168.3

ОБОБЩЕННОЕ ЧИСЛО ВРАЩЕНИЯ

В.В. СОЛОДОВ

Статья представлена доктором физико-математических наук, профессором

Красильщиком И. С.

Для слоений .Р с определенными ниже свойствами мы построим гомоморфизм фундаментальной группы 7Г1(Х) компактного многообразия X, несущего в 1 - обобщенное число вращения.

1. Постановка задачи, классическое определение

Мы рассматриваем потоки без неподвижных точек на двумерном торе Т2. Такой поток /( порождает слоение F коразмерности один - основной объект нашего исследования. Мы будем предполагать, что имеется простая замкнутая кривая т , трансверсально пересекающая все слои ^ . В этом случае в теории слоений говорят, что слоение .Р имеет одну компоненту Новикова. Отображение последования Р позволяет определить гомеоморфизм ф замкнутой кривой г , или общей окружности 51.

Рассмотрим накрытие

р : Е —> 51

и отображение ф : К —» К, являющееся поднятием ф. Поднятие ф{х) определено, вообще говоря, неоднозначно, но предел

р(х) = Ит фп(х)

П-ЛСО

не зависит от произвола в выборе отмеченной точки для этого поднятия.

Утверждение 1. Если предел р(х0) существует для некоторой точки х0, то он существует и для любой другой точки х\ и

р(х о) = р{х1).

Выберем такое целое т, что

хо + т < XI < ж0 + т + 1

тогда

фп(хо + т) < фп(х]) < фп(х0 + т + 1)

или

фП{хо) + т < фП{Х]) < фп(хо) + 771+1.

Значит

\фп(х0) - фп{х 1)1 < 1

Иш = о,

п->оо п

ТО есть пределы р(х0) и р(хх) существуют одновременно и равны между собой.

Пусть теперь хо некоторая периодическая точка гомеоморфизма ф , то есть существует такое к, что фк{хо) = х0.

Тогда

фк(х о) —х0 + г.

При любом целом т

фтк(х о) = х0 + тг.

Любое п представим в виде п = тк + 5 0 < в < к.

фп(х0) = фтк+в{х о) = ф*(х о) + тг.

Делим на п и переходим к пределу

фп(хо) _ ф8{хо) тг г

п п тк + в к

Значит, искомый предел существует.

Мы показали существование предела при наличии неподвижных точек у фк. Пусть теперь ни одна положительная степень ф не имеет неподвижных точек. Тогда при любом к

фк(х) — х

не может быть целым.

Следовательно, при всех хеК

X + г < фк(х) < X + г + 1 (1)

для некоторого целого г.

Применим неравенство (1) к образам точки £0 последовательно п раз

фтк(хо) + г < ~ф{т+1]к(х0) < фтк(хо) + Г- + 1 « (2)

При т = 0,1, ...п — 1

Сложим неравенства (2) при т — 0,1, ...п — 1.

пг < фпк{хо) < п(г + 1) . (3)

При п = 1

г < фк(х0) < (г + 1) . (4)

Вычтем из (3) (4)

,Фпк Оо) _ Фк(д?о) ■ 2

пк к к

Поменяв пики вычитая результат, получим

фп(х о) фк(х0) 2 2

п А: п к

В силу критерия Коши предел существует при жо, а значит, и при всех х.

2. Геометрический вариант доказательства

Мы вернемся к рассмотрению потока ^ на двумерном торе Т2. Рассмотрим моменты последовательного возвращения траектории /<(ж0) на трансверсаль г. Замыкая траекторию /4(х0) кратчайшими отрезками трансверсали т, мы получим простые замкнутые кривые на торе.

Тогда число вращения будет приблизительно отношением количества пересечений /{(ж0) с т к количеству оборотов г. Конечно, величина эта определена с точностью до целого числа. Существование предела следует из того, что замыкание траектории происходит по

кратчайшей на т и отличие стремится к нулю при Ь —» сю.

3. Геометрия слоения на универсальной накрывающей

Для определения числа вращения мы разовьем второй, более общий метод. Будем предполагать, что слоение Р коразмерности один определено на компактном многообразии X, имеет одну компоненту Новикова с трансверсалью г и обладает дополнительным свойством д (от слова ’’делить” универсальную накрывающую). Свойство с? определено в [9], им обладает большинство встречавшихся в литературе слоений, но имеется пример [8] слоения, которое этим свойством не обладает. Слоения на двумерных многообразиях, таких как Т2, конечно подходят.

Пусть X -универсальная накрывающая X, а Р - накрытие Р , тогда верно

Утверждение 2. . Если класс т £ тп(^) лежит в коммутанте группы, то связная компонента накрытия т пересекает все слои Р.

Трансверсаль т по определению пересекает все слои Р, а из коммутации г с остальными элементами легко вывести, что то же самое будет и со слоями Р.

Таким образом прямая т пересекает все слои Р, и по одному разу. Значит действие тт^Х) на X скольжениями универсальной накрывающей переносится на прямую т.

Теорема 1. Если фундаментальная группа 7Гх(Х) не содержит свободных подполугрупп, то подгруппа Е С тх\{Х), состоящая из элементов, имеющих неподвижные точки, является нормальным делителем, и факторгруппа Н по нему - свободная абелева.

Главная часть доказательства приведена в [6].

Образ ЯвМ после нормировки: р(т) = 1 и будет обобщенным числом вращения.

4. Окрестность компактного слоя

Обозначим через X = Ь х К декартово произведение.

Мы предполагаем, что на X имеется слоение Р коразмерности один, трансверсальное ко второму сомножителю , а Ь - его компактный слой.

Теорема 2. Пусть слоение Р имеет изолированный компактный слой Ь, фундаментальная группа которого = С имеет субэкспоненциальный рост и голономия Ь нетривиальна.

Тогда существует ненулевой элемент, принадлежащий А € Н1(Ь,В).

Если предполагать ориентируемость слоения Р и рассмотреть одностороннюю окрестность слоя Ь, то условие теоремы 1 можно выразить в терминах действия группы С на полупрямой Д+ = [0; оо).

Теорема 3. Если конечно-порожденная группа С субэкспоненциального роста действует на Я+, и нет отличных от 0 общих неподвижных точек у тогда существует нетривиальный гомоморфизм а : (7 —> /2.

Замечание. Гомоморфизм а отвечает классу когомологий А £ НХ[Ь,К) из теоремы 1 при изоморфизме Н1(Ь,К) = Нот{тг\(Ь), В). В работе [7] он называется обобщенным числом вращения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Bingham N. Н. et al. Regular variation // Enc. of Math., v. 27. Cambr.Univ. Press, 1987

2. Сенета В. Правильно меняющиеся функции. -М: Физматлит., 1976

3. Plante J. F. Stability of codimension one foliations by compact leaves // Topology. V.22,№ 2, 1983

4. Reeb G. Sur les structures feuilletees de codimension 1 et... // Ann. Inst. Fourier. V. 11, 1961. P. 185 -

200.

5. Reeb G. Sur certaines proprietes topologique des varietes feuietees // Actuallite Sci. Indust. -Paris: Hermann, 1952 .

6. Солодов В. В., Гомеоморфизмы прямой и слоения// Известия АН СССР, Сер. Математика 1982. Т. 46, вып. 5. С. 1047 - 1061.

7. Солодов В. В. Теоремы стабильности слоений // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Математика. № 16, 1999.

8. Солодов В. В. Топологические вопросы теории динамических систем // Успехи математических наук. Т. 46, № 4, 1991.

9. Солодов В. В. Компоненты топологических слоений // Математический сборник. Т.83, № 3, 1982 ,

10. Thurston W. P. A generalization of the Reeb stability theorem // Topology. V. 13, № 4, 1982.

11. Тамура И. Топология слоений.-M: Мир, 1979.

GENERALIZED ROTATION NUMBER

Solodov V. V.

We generalize the notion of rotation number of torus flow for a special class of codimension one foliations.

Сведения об авторе

Солодов Виктор Владимирович, 1952 г.р. окончил МГУ им. М.В. Ломоносова (1974), кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики МГТУ ГА, автор 18 научных работ, область научных интересов — дифференциальная топология, слоения, динамические системы.