Собственные поперечные колебания пластинки, два противоположных края шарнирно оперты, а два других жестко закреплены Текст научной статьи по специальности «Физика»

СОБСТВЕННЫЕ ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИНКИ, ДВА ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ КРАЯ ШАРНИРНО ОПЕРТЫ, А ДВА ДРУГИХ ЖЕСТКО ЗАКРЕПЛЕНЫ

SELF-EXCITED LATERAL OSCILLATIONS OF PLATE TWO OPPOSITE EDGES OF WHICH ARE HINGED AND THE OTHER TWO ARE RIGIDLY FIXED

В ходе решения задачи определяются безразмерные частоты собственных поперечных колебаний пластины. Приводятся графики сравнения частот в зависимости от толщины пластины и от коэффициента Пуассона.

In the course of the solution dimensionless frequencies of natural transverse vibrations ofplates are determined. Schedules of comparing frequencies depending on the thickness of the plate and on the Poisson ratio are represented.

Рассмотрим упругую пластинку, два провотиположных края которой шарнирно оперты, а два других жестко закреплены. Серединная плоскость, которой в недеформируемом состоянии совпадает с координатной плоскостью XOY, ось Z направлена вертикально вверх. Пластина в недеформируемом состоянии занимает область:

О.А. Егорычев, О.О. Егорычев, Т.В. Прохорова

O.A. Egorychev, O.O. Egorychev, T.V. Prokhorova

ГОУ ВПО МГСУ

{0 < X < ll;0 < y < l2;-h < z < h]

Уравнение поперечных колебаний имеет вид [l]:

(l)

где

A h (7 - 8v) ; A (2 -v) ; a 2h2b2 ; 12b2 (l-y)' Al 3 (l-v) ' A2 3 (l-v);

(2)

для уравнения С.П. Тимошенко [2]:

A _ A _ h2 (4-v) _ 2h2b2 " 2b2 ; Al ~ 3 (l-v)' 42 " 3 (l-v)'

(3)

для уравнения Кирхгофа [3]:

Ai - Al - 0; ^2 _ - /, \ '

3 (l-v)

(4)

Ь - скорость поперечной волны, Ж (х, у, t) - функция прогиба. Граничные условия для данной задачи запишем в виде:

dW

при х = 0, lx\ W =-= 0

дх

при y = 0, l2;

82W 3y2

= 0

Для решения задачи используем два метода.

(5)

(6)

I метод. Аналитический Решение задачи будем искать в виде:

.Ы

W (х, y, t ) = exp

Zw (

x) sin

^ nky^

v ~ J

В этом случае уравнение для (х) будет иметь вид:

dW , B d2Wk

dx4 где

0,2 + BWk = 0,

dx

B0 - t [ hlf - 2

; B - í (bI '-(í1

í

e+

k^ v ~

Общее решение уравнения (8) можно представить в виде:

Wk (х) = С,

cos (а0 х) cos (а, х)

С

cos (а0х) cos (а,х)

+С,

sin (а0х) sin (а,х)

а,

С

sin (а0х) sin (а,х)

(7)

(8)

(9)

где С. - постоянные интегрирования, ia0l - корни характеристического уравнения,

вида:

„4 , D „2

а + B0a + В, = 0, откуда

(,0)

В„

- В

(И)

Целые числа (п, т) выбираются при удовлетворении граничных условий при х = 0. Тогда из общего решения (9) получим, что п = 0, т = 1, а постоянные С1 = С3 = 0. Используя граничные условия при х = 11, получим трансцендентное уравнение:

2 - 2 cos (a0lj) cos (а/,) —0-— sin (a0lj) sin (а/,) = 0

(,2)

Представим функции sinz и cosz в виде рядов, тогда уравнение (!_2) эквивалентно следующему:

2i 2 j

, VV/_l\i+j "с и! ]2(i+j) 1 } (2i)!(2j)ll

-(«0+of) jcjcc-,)"

j 12(i+j+Ц _ 0

(,3)

i=0 j=0

(2i + i)!(2j +'

Ограничиваясь в уравнение (13) первыми двумя слагаемыми, получим уравнение: 4 +1 (а2 )214 = 0 (14)

Подставим в уравнение (14) значение а0 и а1 из соотношений (11), получим частотное уравнение:

ГА_ I2 ГЬI4 ^ _ 4 А ( Ь

4 2 V ¡2

£2 + 4

/ \ 4

' кя\ 24

V ¡2

А ) V к ) А ^ к

которое имеет два положительных корня

¡4

= о,

а,

{,, -л - ±

-- а

^4

где а1 = 2

А ^ к

А V Ь

2

кл

V ¡Г

а = -

V ¡2 У

24

Г , Л2

4

V А у

II метод. Метод декомпозиции.

Будем искать решение уравнения (1) в виде:

Ж (х, у, I ) = Ж (х, у )ехр ^ Тогда уравнение (1) для функции Ж примет вид:

[А2 + б2А+Б3 ] Ж = о,

где

А (Ь А I к

В2 = £2;Вз =

1 ( Ь

А у к

2

А

? -1

£2

Введем новые безразмерные координаты и функцию прогиба:

х = а; у = ±Р; Ж = V.

п п )

Запишем уравнение (17) в новых координатах:

д4 „ 2 д4 4 + 2^2-

5а

. . + В21 ^^

да'др

др

^ 52

др1

Вз ^

V = 0,

где г/1 =

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

задачи:

4

В соответствии с методом декомпозиций сформулируем три вспомогательные

(21) (22)

дт ч дV

1.тг = У1 («,£); V, =—^ = 0 при

да да

2.^14 ^ = /г М); V = = 0 при £=0,*

2

3.

В, (i

2' 52

.2 52

5«2 ■ *

др

-В. (i

К + у; + у = 0

(23)

(24)

(25)

За2

Будем приближенно полагать: К = ^ Кз = + к), в заданных точках пластины. Здесь

f (а,= sin(na)sin(mfi),

n=, m=,

где аП,т - произвольные постоянные, i = \,2.

Общее решение вспомогательных задач будем искать в виде:

» а« а2

Кх{а,р) = sin (na) sin (m^) + — (£) +

Птт=, n 6 2

+«í^3 (P);

» a(2) в3 в2

К2 (a, P)= Z sin ^na)sin imP) + ~6' ^ ^2 ^ +

+fi(p3 (a) + ^4 (a).

где y/¡ и (p¡ - произвольные функции.

Удовлетворяя общее решение (26) граничными условиями (2,) и (22), определим ^ и и для функции К, и К2 получаем выражения:

К («, sin (m^)J-sin (na)-^r Г, + (-0n ]+ — Г 2 + КГ 1-al;

n, m -i n l,n JJ

(26)

,(2)

(27)

К (a,P) = Z^r^sin(na)sin(m^).

— „4 4 m ^ r¡\ m

Используя решение (27), а также соотношения (23) и приближенные условия (24), получим систему алгебраических уравнений, нетривиальное решение которой

л

приводит к частотному уравнению вида, при условии, что а = Р = —:

, - f I(i + 2.,2) +, -

л

-ъ

л

, -

л

•Г +

+Л1

л \ 2 ( „ л 2

2 - 4 J+* 12- 4 "7

ы

(28)

= 0,

где % = —-. лп

решение, которого будет иметь вид: #1,2 =л 4 ^ - /2, где

/1 =

1А 2 1

1 -£|(1 ♦ 2,-) +1 -±

I) ('-7

4

; /2 =■

2-7 Н (2-7

£

0,06' ^ *

0,05 ■■

0,04 -■

0,03

0,02

0,01

0

0,005 0,01

0,02 0,03 0,04

Рис. 1.1

Кг Кг

Фгг Тгг

Тп, Фп

к

0,05 ¡

н

к ¡1

0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,035 0,04 0,045 0,05

Рис. 1.2

Рассмотрим пример численного расчета о собственных колебаниях упругой пластины, два провотиположных края шарнирно оперты, а два других жестко

закреплены. На Рис. 1.1 и Рис. 1.2 приведен график сравнения частот в зависимости от

I

толщины пластины, полученных двумя методами, при этом — = 0,1; V = 0,2.

¡2

Введем следующие условные обозначения: значения собственных частот колебаний пластинки, полученные методом декомпозиций с помощью теории колебаний Кирхгофа обозначим К1, Т11, Т12- первая и вторая частота, полученная с помощью теории колебаний С.П. Тимошенко, Ф11, Ф12 - первая и вторая частота,

полученная с помощью теории колебаний И.Г. Филиппова. 1

4

0,08 -0,07 0 0 0 0 0,04 0,03 0,02

001

0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0, 0,35 0,4 0,45 0,5 Рис. 2.1

2,8

2,6

2,4

2,2

Т22 Т,2

Ф22 Ф12

0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,3 0,4 0,45 0,5 Рис. 2.2

V

Значения собственных частот колебаний пластинки, полученные аналитическим методом с помощью теории колебаний Кирхгофа обозначим К2, T21, T22- первая и вторая частота, полученная с помощью теории колебаний С.П. Тимошенко, Ф21, Ф22 -первая и вторая частота, полученная с помощью теории колебаний И.Г. Филиппова.

На Рис. 2.1 и Рис. 2.2 приведены графики сравнения частот в зависимости от коэффициента Пуассона V, обозначения те же, что и для Рис. 1.1 и Рис. 1.2.

Следует отметить, что характер изменения частот для аналитического метода и метода декомпозиций подобен, а числовые значения близки. Следовательно, приближенный метод декомпозиций можно применять для решения подобных задач.

Литература

1. Егорычев О.О. Колебания плоских элементов конструкций. Изд-во АСВ. М. 2005.

2. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М. Изд-во физмат. литературы, 1959.

3. Kirchhoff G. User das Gleichgewicht und die Bewegung einer elasischert Scheihe. J. Reine und angew. Math. 1850.40. N1, p. 51-88.

4. Isaev S.A., Leontev A.I., Frolov DP. «Identification of self-organizing by the numerical simulation of laminar three-dimensional flow around a crater on a plane by a flow of viscous incompressible fluid.» Technical physics letters. V.24, Issue 3, pp 209-211, Mart 1998.

5. Исаев C.A., Судаков А.Г., Баранов П.А., Усачов А.Е., Стрижак С.В., Лоханский Я.К., Гувернюк С.В. «Разработка, верификация и применение основанного на многоблочных вычислительных технологиях распараллеленного пакета открытого типа VP2/3 для решения фундаментальных, прикладных и эксплуатационных задач аэромеханики и теплофизики», Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математическое моделирование и программирование. 2009. Т. 150. № 17. С. 59-72.

References

1. Egorychev O.O. Fluctuations of plane structural elements. Publishing house ASV. Moscow. 2005. 239 pp.

2. Timoshenko S.P. Fluctuations in engineering. M. Publishing house Physico-mathematical literature,1959.

3. Kirchhoff G. User das Gleichgewicht und die Bewegung einer elasischert Scheihe. J. Reine und angew. Math. 1850.40. N1, p. 51-88.

4. Isaev S.A., Leontev A.I., Frolov DP. «Identification of self-organizing by the numerical simulation of laminar three-dimensional flow around a crater on a plane by a flow of viscous incompressible fluid.» Technical physics letters. V.24, Issue 3, pp 209-211, Mart 1998.

5. Isaev S.A., Sudakov A.G., Baranov P.A., Usachev A.E., Strizhak S.V., Lohanskii Ya.K., Guvernyuk S.V. «Development, Verification and application-based multiblock computational technologies parallelized package open-VP2 / 3 for basic, applied and operational objectives of Aeromechanics and Thermophysics», Journal of South-Ural State University. Series: Mathematical Modeling and Programming. 2009. V. 150. № 17. pp. 59-72.

Ключевые слова: собственные поперечные колебания, упругая изотропная однородная пластина, трансцендентное уравнение, приближенный метод декомпозиций

Key words: self-excited lateral oscillations, flexible isotropic homogeneous plate, transcendental equation, approximate decomposition method

Почтовый адрес: 129337 г. Москва Ярославское шоссе дом 26 Контактные данные: (495) 739-33-63, e-mail: misi@mgsu.ru

Рецензент: профессор кафедры волновой и газовой динамики мех.-мат ф-та МГУ, д.ф.-м.н.

Киселев А.Б