CC BY
37
4/2010 М1 ВЕСТНИК
ВЫВОД ЧАСТОТНОГО УРАВНЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ УПРУГОЙ ТРЕХСЛОЙНОЙ ПЛАСТИНЫ, ДВА ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ КРАЯ КОТОРОЙ ШАРНИРНО ЗАКРЕПЛЕНЫ, А ДВА ДРУГИХ СВОБОДНЫ ОТ ЗАКРЕПЛЕНИЯ
DERIVATION OF THE FREQUENCY EQUATION OF NATURAL VIBRATIONS OF AN ELASTIC THREE-LAYERED PLATE, TWO OPPOSITE EDGES OF WHICH ARE HINGED AND TWO OTHERS ARE FREE FROM ATTACHMENT
A.B. Богданов, О.И. Поддаева
A.V. Bogdanov, O.I. Poddaeva
ГОУ ВПО МГСУ
В этой статье рассмотрен вывод частотного уравнения собственных колебаний упругой прямоугольной трехслойной пластины, два противоположных края которой шарнирно закреплены, а два других свободны от закрепления.
This article discusses the derivation of the frequency equation of natural vibrations of an elastic rectangular three-layered plate, two opposite edges of which are hinged and two others are free from attachment.
Рассмотрим плоский элемент как изотропную однородную упругую трехслойную пластину.
Будем предполагать, что плоскости раздела слоев находятся в жестком контакте, при этом внешние два слоя состоят из одного материала и имеют одинаковую толщину |h2 — hj, а внутренний слой - из другого материала и его толщина hl. В плоскости
XOY пластина занимает область |0 < x < ll; 0 < y < l2} .
В дальнейшем параметры внутреннего слоя обозначать индексом "l", а внешних слоев - индексом "2".
Частоты собственных колебаний упругой трехслойной пластины будем определять, основываясь на приближенном уравнении поперечных колебаний четвертого порядка [l]:
s2w _,да2W Д2... „
IF+- 4 +A'AW = 0 (1)
где
А (к -\)2 [ 1 (7-^ + ь2 (7-8У2) + (7-8п)А3^ + _ 1 Ь2 (1 + рк/2Д Ь2 9Ь (1 -у1) 2 (1 -у2) 16 (1 -у1) '
+Р
2 + р2Ь2
(3 - 4У2)'
А =
2 I1 "'2 )
к3 (к2 - к,)2 Г
8(1 + рА/2){ Ь2
к А
1 + -
:(2 + А1)
А
1+-
1(2 + А2 )
2 Г 2Л 2 1 + 2
к J
к
V
р
2А2 -1 ,
—2-+1
2 А,
4 + —
к
А
1 + Р~4ТТ
1 +1
^ Р)
"А, + 2■-2
А2
Аз -
к = •
к3 (к2 - к1 )2 Ь2
8(1 + рк/2)
4рД
1 + -
- 2р
1 + А1 40А2
к 3Ь2к3
2к-; р = ь= Д =
1
к2 " к1
А
2 (1 "V,)
; (/ = 1,2)
Ь у
1 - скорость поперечной волны, 1 - коэффициент Пуассона, Р1 - плотность.
Пусть два противоположных края пластины при у = 0 и у = ¡2 шарнирно
оперты, а два других при X = 0 и X = ¡1 свободны от закрепления. Граничные условия для такой пластинки имеют следующий вид:
а 3ж
дх3
= 0
х=0,11
2- ^ 2 аЖ 2^1
а 2ж з-2к
+ 1
дх2 Ж
7 - 4у1
а 2ж
+ 732^2ж
у=0,12
су2
5у2 = 0
= 0
х=0Л,
у=0,12
(2)
¡1 ¡1 где - — , 7з - —
12 жк1
Решение уравнения (1) будем искать в виде [2]:
4/2010
ВЕСТНИК
Ж (х, у, ^) = Ж (х, у )вхр )
£ К
где £ - безразмерная частота собственных колебаний пластинки, у = —
К
Тогда уравнение (11) для Ж примет вид:
А2 + Б1А + В2
Ж = 0
где
В1 = А гГ-
А
В2 = .1 г2^2 (луг- -1)
А
-3
Введем новые безразмерные координаты и функцию прогиба
х = у = Ж =
Л Л Л
В новых координатах уравнение (4) запишется в виде:
2
а4 „ 2 а4 4 а4
да
■ + 271
14
+В2
Л
где
да2др2 У {а, Р) = 0 11
+ 71
+ В 11
2 Л а2 2 а
2
да'
+ 71
др2
+
71 =
и
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
Для вывода частотного уравнения воспользуемся уравнением (7) и граничными условиями (2), записаными в безразмерных координатах (6).
Пользуясь методом декомпозиций вспомогательные задачи запишутся в виде:
0=& ^ 0=о
1.
а2у з - 2у,
• + 1
да2 7 - 4у1
а2у
+™2у
(8)
= 0 при а = 0,л
д4У д2У
2.^= &(a,Р); У2 =0 пРиР=
(9)
ВЕСТНИК 4/2010
а4
да2др
+ B £ ж
í ^2
а2
V
+ 7i
а
2
a^2
у
i4
ж
V +
(10)
(11)
+ /1 {а,р) + /2 («,£) = 0
Следуя методу декомпозиций, будем приближенно полагать
V = Г2; Гз = 2 (V + У2)
в заданных точках пластинки.
Для определения произвольных функций ^ воспользуемся граничными условиями (8):
э3т
Граничные условия
a 3у а«3
— 0 при ОС — 0,Ж приводят
к соотношениям:
(1)
a
¥1 (Р)=Ъ— sin №)
n ,m=1
n
(1)
a=0
a
>
n ,m=1 П
V1 (-1)n sin (mfi)
(12)
Следовательно, ^ - есть четная функция относительно П{п —
(1)
т.е. нечетные по П ®пт необходимо положить равными нулю.
Тогда
a
(1)
¥,0*)=Е ^ sin {mfi)
q=m=1 2q
Используем вторые граничные условия
(13)
а2v з - 2v1 f_ 2 a 2v1
да2 7 - 4у1 ч
при а=0, получим:
3 - 2у1
dfi
= 0
¥2 (fi)
+ •
7 - 4v1
а при ОС = Ж, получим:
2* ^ + ^ (/»)'
= 0
(14)
+
3 - 2у1
7 " 4У1
3 - 2у
+-1 п
7 - 4у
27?
271
д >3
а^2
2 а у 4
+ 7з2£У4
а^2
+
+ 7з2^2^з
+
+
3 - 2у Я"2
7 - 4у 2
(1) 2 д ,т
271
2 а >2
а,
+ ^ 2д
д ,т=1
К +
др1 3 - 2у лъ
(15)
+
7 - 4у1 6
+ 7з2^2^2
(т;2^2 - 272т2)
= 0
Имеем два уравнения для трех неизвестных , у/3, ^4. Без ограничения общности одну из функций можно положить нулю, пусть ц/ъ = 0. Решая совместно дифференциальные уравнения (14) и (15), получим:
а(,)
^ (/?)="£ а^
д ,т=1 ¿Ц
( 2 73
27?
£2 2 - т
8т {т0)
1 7 - 4у1
I
а21}
2 д ,т
2^1 3 - 2у д ,т.1 2д
В
2
73 ^2
271
- т2 8т(т^)
(16)
(17)
где
В =
1
ЛТД
7 - 4у п
• +
- 2,?т2)
3 - 2у 6
Тогда функция V {(Х,Р^ удовлетворяющая решению вспомогательной задачи (8) примет вид:
д ,т=
С 2 271
- т2
+
в
( 2 73 С2
4-1
2^1 3 - 2у1
27Г
- т2
+ •
(2? )3
-вт (2да)
(18)
где
В =
7 - 4у1 ^ 3 - 2у1 ~6
- 2712т2)
Из условия
д 2У
У2 = —2 = 0 при (3 = 0
ор
Получаем у/ 2 = 0;
V, = 0 Из условия
д V
(19)
Г2 =-
2 _
= 0 при Р = п
др2 Получаем
= 0; (20)
¥з = 0
Тогда функция удовлетворяющая решению вспомогательной задачи
(9) примет вид:
,(2)
Г2 (а,0)= ^-^т (па)* 1п (т£)
_ 4 4
„=171 т
(21)
Затем используем значения функций V и V при решении диффе-
ренциального уравнения (10) и удовлетворяя приближенным условиям (11), получим систему двух алгебраических уравнений. Нетривиальное решение этой системы приводит
п
к частотному уравнению восьмого порядка, , при п = т = 1, а — В — —
2
а^8 + ++ +а5 = 0
где
(22)
а" ^ 1б; а=а ^ *(*!_ к
1 ^ 2 ч 2 £
711 я1 4г£ 48;
аз = Ап. -(1 + 2^)
п 48
к
-к1к2
1 2 4 1А
2 4^1
1 А ^з
" т" А2 4"
2
481 1} 6
5£ 6
-Ы+к1 )-
—к —— ^
- А.
V
16
48
п 6
/
48
6
12 Г)1 ( ~2 2 '1 '/з
■Ъ ^Т Я"
—к -—кп 16 1 6 2
d4 = - 2 А2Л\
к
f .3 л
(1 + п72) — + — + кк - к-
1 ^ 48 8 12) 1 2
2 ¡1 -Ъ—2. п
2 ( „,3
^ ^7 7 7 --1--к + kk2
У 48 8 1 1 2 J
iUi.
3 2
2
К
, к 1 7 к 7 —к2 н---1— к--к
22
16
„ я,
--к н— к
48 16 1 6
^ 3
d} — A3
2 Л 3 2
^ 77 ^ ^7 77
----1 н--к + кк н---1--к + кк
v 48 2 8 1 1 2 J 48 2 1 1 2
к =■
1 Г 7 - 4v1
я-771
V 3 " 2v1
1 7 - 4v bl
к2 = —7-= —-
2^1 3 - 2v1 Äj^
Результаты решения уравнения (22) дают численные значения частот собственных колебаний трехслойной пластины в зависимости от указанных безразмерных параметров.
Литература
1.
2. Филиппов И.Г., Филиппов С.И. Колебательные и волновые процессы в сплошных сжимаемых средах. М, 2007.
3. Егорычев О.О. Колебания плоских элементов конструкций. М.: АСВ, 2005.
4. Isaev S.A., Leontev A.I., Frolov DP. «Identification of self-organizing by the numerical simulation of laminar three-dimensional flow around a crater on a plane by a flow of viscous incompressible fluid.» Technical physics letters. V.24, Issue 3, pp 209-211, Mart 1998.
5. Исаев C.A., Судаков А.Г., Баранов П.А., Усачов А.Е., Стрижак С.В., Лоханский Я.К., Гувернюк С.В. «Разработка, верификация и применение основанного на многоблочных вычислительных технологиях распараллеленного пакета открытого типа VP2/3 для решения фундаментальных, прикладных и эксплуатационных задач аэромеханики и теплофизики», Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математическое моделирование и программирование. 2009. Т. 150. № 17. С. 59-72.
Literature
1. Filippov I.G., Filippov S.I. Kolebatelnie i volnovie protsessi v sploshnih szhimaemih sredah. M, 2007.
2. Egorychev O.O. Kolebania ploskih elementov konstruktsii. M.: ASV, 2005.
3. Isaev S.A., Leontev A.I., Frolov DP. «Identification of self-organizing by the numerical simulation of laminar three-dimensional flow around a crater on a plane by a flow of viscous incompressible fluid.» Technical physics letters. V.24, Issue 3, pp 209-211, Mart 1998.
4. Isaev S.A., Sudakov A.G., Baranov P.A., Usachev A.E., Strizhak S.V., Lohanskii Ya.K., Guvernyuk S.V. «Development, Verification and application-based multiblock computational technologies parallelized package open-VP2 / 3 for basic, applied and operational objectives of Aeromechanics and Thermophysics», Journal of South-Ural State University. Series: Mathematical Modeling and Programming. 2009. V. 150. № 17. pp. 59-72.
Ключевые слова: упругая трехслойная пластина, колебание, коэффициент Пуассона, шарнирное закрепление, жесткое закрепление, поперечная волна, плотность
Key words: elastic three-layer plate, vibration, Poisson's ratio, pinned, stiffening, transverse wave, density
Почтовый адрес: 129337 г. Москва Ярославское шоссе дом 26 e-mail: misi@mgsu.ru, Контактные данные: (495) 739-33-63, e-mail: misi@mgsu.ru
Рецензент: Киселев А.Б., д.ф.-м.н., профессор МГУ им. М.В. Ломоносова
