Собственные колебания первой формы полуприподнятых стволов деревьев в продольном перемещении Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Подставляя значение (У,0,из (13) в первое уравнение системы (10), получим

V, =

_ М0п + r{mg — Ъ)

аг с: + пк

-л,-

пкг

{аг2с{ Л-пк)3

Мопагс{ - Ма (Ь - mg) х х (аг2с1 - пк)— кг(р - mg)2

(14)

Из четвертого уравнения системы (10) определяем значение Д-0:

Пь= Чму-5Ь)-^0. (15)

/С | /С|

Анализ формул (13), (14) показывает, что со и V определяются соотношением потребного момента на приводном ролике в момент стопорения М/ , коэффициентом механической характеристики привода ролика К, режимными параметрами бурения, а также геометрическими параметрами механизма.

Заметим, что при щ — 0 и Сг = 1 получаются значения со и V, соответствующие стационарным режимам без учета скольжения. Дальнейшие члены рядов дают поправки, обусловленные скольжением приводных роликов относительно штанги.

Принятые в уравнениях обозначения: т0 -суммарная масса системы, состоящей из корпуса, приводного ролика, углового рычага и одной п-й части хомута; т, тр< тк - масса буровой штанги, рычага, одной и-й части хомута; Т,, Р - реакции в точке соединения углового рычага с корпусом приводного ролика; Т - реакция в точке сопряжения углового рычага с неподвижным упором; ^ - момент инерции приводного ролика относительно оси вращения и углового рычага относительно оси поворота; ./А - момент инерции системы относительно оси штанги; М^со) - крутящий момент на оси приводного ролика; I, I], р, се - геометрические параметры механизма (2); п - число приводных роликов; и, г - соответственно смещение оси ролика и точки сопряжения углового рычага с неподвижным хомутом; & - координата цен-фа тяжести системы «рычаг плюс одна п-я часть хомута»; (р - угол поворота углового рычага; /? - угол наклона прямой, соединяющей центр тяжести углового рычага с точкой его поворота относительно оси х.

СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПЕРВОЙ ФОРМЫ ПОЛУПРИПОДНЯТЫХ СТВОЛОВ ДЕРЕВЬЕВ В ПРОДОЛЬНОМ

ПЕРЕМЕЩЕНИИ

Г.А. ИВАНОВ, доцент каф. теории конструирования машин МГУ На

Любую динамическую систему «лесная машина - предмет труда - среда», выполняющую рабочие операции по продольному перемещению полуприподнятого ствола можно представить как механическую колебательную, к которой приложены силовые и кинематические воздействия, анализ которых дан в [7]. Некоторые способы уменьшения колебаний изложены в [8].

Задача по оценке колебаний полностью погруженных хлыстов вполне исчерпывающе решена в работах [4, 6]. Поэтому проведем исследование колебаний полуприподнятого ствола относительно положения равновесия в ситуации покоя, хотя известны работы, в ко-

торых рассматриваются колебания подобного вида [1, 2, 3, 14, 15, 18]. Рассмотрение именно колебаний данного вида обусловлено тем, что, во-первых, в работах [1, 14] представлены только экспериментальные результаты по колебаниям хлыстов, во-вторых, в работах [2, 3] хлыст переменного сечения заменяется набором сосредоточенных масс, а длина поднятой части находится по эмпирическим формулам, не учитывающим форму ствола. В работе [15] хлыст переменного сечения представлен ступенчатым стержнем, состоящим из цилиндрических отрезков постоянного сечения равной длины. В работе [18] хлыст аппроксимируется конусом, а изогнутая ось представлена сину-

соидальной кривой, что нарушает граничные условия.

Исследуемый предмет труда имеет всюду переменный продольный профиль, а распределение плотности вдоль оси ствола может быть переменным, например, у хвойных пород деревьев; модуль упругости у различных пород также различен. Поэтому исследуем влияние полнодревесности, высоты подъема конца и неравномерно распределенной нагрузки на частоту основного тона колебания полуприподнятого хлыста (ствола).

Для решения задачи согласно [5,12,13, 16] поступим следующим образом. Примем, что равновесие упругой линии полуприподнятого ствола, находящегося в ситуации покоя, нарушено тем, что к упругой линии внезапно прикладываются и тотчас же удаляются поперечно действующие силы. В этом случае ствол начинает колебаться около своего положения равновесия. Обозначим через у прогиб упругой линии в сечении х, но уже в момент времени I. Таким образом, при колебаниях ствола прогиб у есть функция двух переменных - координаты х и времени (. Тогда частная производная с^уЭ/2 будет определять в момент времени I направленное от оси Ох ускорение элемента ствола (к, расположенного на расстоянии х от начала координат. Для того чтобы рассматриваемому элементу длины ах сообщить это ускорение, требуется приложить направленную от оси Ох силу величиной р ~ -р- А- ск- где р - сред няя плотность дре-

весины; А - площадь поперечного сечения ствола.

Так как при свободных колебаниях возмущающая сила отсутствует, то дифференциальное уравнение динамического изгиба ствола с непрерывно распределенными массами получим, используя дифференциальное уравнение изогнутой оси ствола в форме

дх2

EI-

#2. дх2

+ р А-

dt1

О

(1)

Зависимость (1) представляет собой уравнение свободных колебаний полуприподнятого ствола. Для его решения применим к нему метод разделения переменных

Фурье, полагая при этом y(x,t) = T{t)- Дх). После подстановки y{x,t) в (1) и соответствующего преобразования для функций T(t) и Х{х) получаем обыкновенные дифференциальные уравнения:

Т+ (о2 Т = 0 \ (2)

{E I X") -ы2 р-А-Х = 0. (3)

Общий интеграл уравнения (2) будет

Т -А- sin(co- t) + B- cos(o■ t). (4)

Отсюда видно, что со представляет собою круговую частоту свободных колебаний полуприподнятого ствола.

Если проинтегрировать уравнение (3) при постоянных жесткости, распределенной массе и соответствующих граничных условиях и определить константы то, очевидно, что не все они равны нулю тогда, когда со принимает конкретные значения, являющиеся собственными частотами полуприподнятого ствола. Нумеруя собственные частоты в порядке возрастания, так что со i <CO2<CO3<... получим для каждой собственной частоты Юк из этого ряда соответствующую частную форму колебаний Хк(х), удовлетворяющую уравнению (3) при со = соь а именно

{Е1Х:)-ы 2 р-А Хк =0. (5)

*

Здесь следует иметь в виду, что собственная форма определена с точностью до постоянного множителя.

В виду того, что жесткость упругой линии ствола и неравномерно распределенная вдоль ствола масса зависят от координаты х, то ряд частот нормальных колебаний существует, но их нельзя отыскать с помощью точного интегрирования уравнения (3). Поэтому для нахождения первого члена ряда, соответствующего первой основной форме колебаний применим метод Рэлея, согласно которому первая основная частота определяется выражением

'dl¿ dx2

dx /|р- у2dx. (6)

Из полученного выражения следует, что абсолютная величина у не существенна. При нормальных колебаниях каждая точка

упругой линии ствола совершает простое гармоническое колебание с постоянными амплитудой и фазой, именно

У = У„ 5Ш(ю„- ¿-ф„), (7)

где (й„ и ф„ - постоянные величины; Уп - переменная, зависящая только от х. Уп определяет и-ую форму нормального колебания и подчиняется тем же граничным условиям на концах, что и у. Иначе говоря Уп представляет собой действительный прогиб оси ствола, когда ствол находится в одном из крайних положений колебания. С учетом сказанного выражение (6) преобразуется к виду

\Е1 ■

в>2 =

ах2

с1х

}р -УсЬс

(8)

Подставляя в (8) У„ вместо У, мы получим соответствующие собственные частоты ю„. Получаемая в (8) оценка основной собственной частоты Ю12, определяемая как самая низшая, будет превышать истинное значение а>12. Наилучшую оценку можно получить в том случае, если в качестве первой собственной формы колебания взять кривую прогиба оси полуприподнятого ствола от собственного веса. При этом выражение (8) упрощается и имеет вид

г.

g ■¡q(x)■Y(x)dx

ю, =•

}д(х)-У(х)2ёх

(9)

Здесь У(х) прогиб ствола дерева под действием нагрузки д(х).

В ситуации покоя кривая прогиба описывается уравнениями вида

у = у(1с^и,д2Д,р,Е,),

где Ьс - длина ствола; - диаметр на высоте груди, 92 ~ коэффициент формы ствола; Н - высота подъема комля или вершины ствола (хлыста); Е - модуль упругости. Однако их использование невозможно в силу того, что кривая упругой линии из-за приподнятости одного конца ствола представляет искаженную форму колебания, при которой амплитуда поднятого конца ствола равна высоте подъема, а не равна нулю. Ведь

амплитуды отсчитываются от положения равновесия. Если вести отсчет амплитуд от линии соединяющей точки касания ствола с элементом технологического оборудования и касания ствола с опорной поверхностью, то получим упругую линию, у которой первая производная в точке касания ствола с опорной поверхностью будет не равна нулю. Это означает, что нарушается условие равенства граничных условий на концах для (у) и первой формы нормального колебания (У]). Это в свою очередь ведет к серьезному искажению величины частоты колебания (см. 9). Именно в силу этого для полуприподнятого ствола дерева нельзя брать в качестве формы нормального колебания кривую, описываемую любыми тригонометрическими функциями.

Для получения кривой прогиба используем уравнение

3' (е.1(х).!Ш\.&).

дх

дх2

(10)

Неравномерно распределенная при переменной вдоль ствола плотности нагрузка получена в [9], а момент инерции поперечного сечения определяется формулой 1(х) = тг (а- (Ьс-х)^)а/4, где а- (£с-х)й-радиус поперечного сечения ствола на расстоянии х от комля. Введем константу жесткости ствола d -Е- я- а4/4 и новую переменную г = (Ьс - х), тогда жесткость ствола будет иметь вид Е- 1(г) = d■ г4^. Дополнительно понизим порядок дифференциального уравнения

dz

Преобразованную левую часть уравнения (10) дважды продифференцируем по г, подставим в развернутом виде и поделим обе части уравнения на dzЛi\ получим

[42-^(4)1-1)]+

+ &Г'ц • ф) + = -

dz dz с

¿11К"'!'

Решаем однородное уравнение, которое после умножения на г является однородным уравнением Эйлера с постоянными коэффициентами

4\у ■ (4ц -1) ■ ) + 8г ■ ц • — г) +

аг

(Н)

Решение берем в виде ц)(г) = г . Корни характеристического многочлена уравнения (11) будут:

кх = -4]Х\ кг = -4ц + 1.

Общее решение однородного уравнения Эйлера (11) имеет вид

М1(г) = с,- г^ + сг г4^1.

Для нахождения констант общего решения неоднородного уравнения применим метод вариации произвольных постоянных. Составим следующую систему уравнений:

йг

аг с

С/ '

с1г йг

Отсюда находим константы:

у 22ик+2

С,(г) = —с---т-

ад=с

+ с2.

После подстановки постоянных интегрирования С) (г), Сг(г) и приведения подобных членов общее решение неоднородного уравнения примет вид

1

(2ц,+/)-01л+7) 02)

2-ё

+ с1-г4' + с2 ■ г""1*'.

Постоянные сомножители первого члена уравнения (12) обозначим через

¿7 =

(13)

2-«/ (2цл.+/)(ц,+ 1)' тогда возвращаясь к исходной функции уравнение (12) примет вид

йг2

После двойного интегрирования полученного уравнения и замены постоянных сомножителей получим уравнение упругой линии ствола

у(г) = У1-г

2\хк-4**4

+ с101г+

где VI -

+ с2- N1 • г'***' + сЗ • г + с4, сИ

(14)

(2цл -4ц + 4)-(2\1к -4\1 + ЗУ 1

АЧ =

(41х-2){4ц-3)' Чтобы найти постоянные интегрирования с\, с2, сЗ и с4 воспользуемся краевыми условиями. Следует помнить, что переменной х = 0 соответствует г = Ьс, а х = Ь соответствует г = (Ьс - Ь). Тогда для переменной г краевые условия примут вид Слева: у(Ьс) - О,

*7у(Ьс) = 0-,

йг2

справа: у(Ьс - Ь) = О, сI

у(Ьс-Ь)=0.

(15)

(16)

После двойного дифференцирования уравнения (14) и соответствующей подстановки краевых условий (15 и 16) получим систему из четырех уравнений, из которой находим постоянные интегрирования:

_ [(¿с-ЬУ"N1- Ь {Ье-¿)"*"г5- Ь^'сЛ +

С [- {Ье-Ь)^ N1+ Ь-(Ье-1)^8+ Ьс^И!]-Ьс1 +

(17)

+

Ь {Ьс- Ь)

¿1

+ Ьс

-(Ье- ^VI

[(¿с - ь)^!01 -~Т(Ьс - Ьс^201\

VI

[- {Le - L) 4v+2Q1 + L ■ (Le - L)4f"T + Lc ^2Ol\ Lc2^dl + C " [- {Le - LN1 + L • {Le - L)"w S + Le **3Nl\+

+

(LC-L)

2(1Л-JliW

VI +

L-{Le-L)!fK4^dl -4\i + 3

■Lc2fK-^4Vl

еЗ ~

+ [{Le -L) ^01-L {Le- L)T - Lc'^Ol} Le ~ ' {Le-Ly^3 -dl

2\iK -4\i + 3

где О/ =

= -VI ■ Le

; 5 = -

+ (Le - L)"' T ■ cl + {Le- L)^ S-e2;

- Lc^'Ol ■ ci - Lc4^Nl ■ c2 - c3 ■ Le,

(18)

(19)

(20)

Возвращаясь в уравнении (14) к исходной переменной х получим уравнение изогнутой части ствола, которое в нашем случае определяет первую нормальную форму колебания

У/х^У^Ьс-хУ*-*" +с1-0]-(Ьс-х) +

+c2-Nl-{Le-xY^ +c3-{Lc-x)+c4.

(21)

Подставляя Y\(x) из (21) в уравнение (9) находим частоту основного тона колебания полуприподнятого ствола, перемещаемого за комель.

Известны работы [11, 17], в которых доказано, что полуприподнятая балка постоянной жесткости имеет частоту основного тона, зависящей только от высоты подъема конца Н. В [11] приведена формула, которая соответствует граничным условиям рассматриваемой задачи. Она имеет вид

ш, =3.16 {g/H)m. (22)

Полуприподнятая часть ствола будет иметь постоянную жесткость только при коэффициенте формы ствола равном единице. Это позволяет использовать формулу (22) для оценки точности вычисляемой с использованием (21) частоты основного тона при коэффициенте формы ствола равной единице.

Для решения задачи о нахождении частоты основного тона, перемещаемого за верхний отруб в продольной плоскости хлы-

ста, поступим аналогично предыдущему. Уравнения (1 ... 10) справедливы для любой формы изогнутой оси ствола и не зависят от способа перемещения полуприподнятого предмета труда. Требуется только найти которая определяет 1-ую форму нормального колебания, перемещаемого за вершину хлыста и подчиняется тем же граничным условиям на концах, что и у.

Неравномерно распределенная при переменной вдоль ствола плотности нагрузка получена в [9], а момент инерции поперечного сечения определяются формулой

/(х) = тг (а- (х0 ~ х)ц)4/4,

где а■ (х0 + х)ц - радиус поперечного сечения ствола на расстоянии х от верхнего отруба; хо - длина удаленной вершинки . Константа жесткости ствола d = Е- %■ а!А сохраняет свой вид. Новая переменная будет г = (х0 + х), тогда жесткость ствола будет иметь вид Е■ 1(г) =

. Поэтому после понижения порядка

(Г_ dr

■y(z) = y(z)

дифференциального уравнения (10), двойного дифференцирования по г его левой части, подстановки в развернутом виде и деления обеих частей уравнения на d■ [4г ~2\1(4\1 -1)] ■ у (г) +

,получим

+ 8z 'ц- — + \\>(z) = ■ dz dz d

Корни характеристического уравнения и общее решение однородного уравнения Эйлера (11) свой вид сохраняют. Система

уравнений для нахождения констант общего тогда возвращаясь к исходной функции

решения неоднородного уравнения будет аг аг

+ с1-г~н + с2 -2

аг

-±ф). г-.(4^-1) = ^-г аг а

Отсюда находим константы:

уравнение (24) примет вид

После двойного интегрирования полученного уравнения и замены постоянных сомножителей получим уравнение упругой линии ствола

у(2) = У1в-г

+ с1 • 01 • 2 4 +

, г!Ч}+2

2

+ с1;

Сг(г) = с

где VI, =

+ с2-М1■ + сЗ ■ г + с4, (II

(25)

■ + с2.

{2цв-4\1 + 4)-{2\1в-4\1 + ЗУ У хлыста, перемещаемого за верхний отруб переменной х = 0 соответствует г =

Общее решение неоднородного урав нения будет после подстановки постоянных ах = Ь соответствует г = (хо + £)• Тогда при интегрирования С](х), С2(г) и приведения нахождении постоянных интегрирования с1,

с2, сЗ и с4 для переменной г краевые условия примут вид

Слева: Х*о) = 0, ~у(хо) = 0; (26)

подобных членов примет вид

\|1(2) =

2\1в-4\1+2

2-й

(23)

(1г2

л-с1-24» +С2-2

-411+1

(2цв+1)-(Ив+1)

Постоянные сомножители первого члена уравнения (23) обозначим через

¿1 ___^_

8 2-й +

справа: у(хо + Ь) = 0, —у(х„ +Ь) = 0 . (27)

с/г 0

После двойного дифференцирования уравнения (25) и соответствующей подста-(24) новки краевых условий (26 и 27) получим систему из четырех уравнений, из которой находим постоянные интегрирования:

с1 =

{х0 + ьу**' М1 + Ь-(х0 + - х^'т

о

(11 +

[- (х. + - Ь ■ (х0 + ЬТ'Б + +

+

(х0 + ьУ"<»'4 VI, + .......<"> + х

\ 0 / В л л л <

2цв-4]1 + 3

" +1х0 + ьу-!о1+ь{х0+ь)4-'т-хГ2О1\

2»в~4\1+3

VI

(28)

= [-Ц + Ь)^О1-Ь(х0 + 1У"'Т + хГ01\ +

Г- (х0 + Ь)-"" N1-Ь■ (х„ + ЬУ"! 5 + х~ N1]+

+

ь-{х0+ьу^(ав

2ц -4\1 + 3

Т [{х1) + Ь)^О1 + Ь-(ха + ьу-'Т-хГ2О1\-х0

(29)

( л- т Y

сЗ = - 'ai" + (х0 + L)Т -cl + (xa + L)""2 S -с2, (30)

2цв-4\1 + 3

с4 = -VIв ■ х^4 - х^'01 • cl - x^Nl ■с2-сЗ-х0. (31)

Возвращаясь в уравнении (25) к исходной переменной х получим уравнение изогнутой части хлыста, перемещаемого за верхний отруб, которое в нашем случае определяет первую нормальную форму колебания

Y,(х) = VI, ■ (*. + xf^4 +С101- (х„ + хУ* + + c2-Nl- (х„ + хУ4'*1 + сЗ ■ (х0 +х) + с4

.(32)

Подставляя 7>(х) из (32) в уравнение (9) находим частоту основного тона колебания полуприподнятого хлыста, перемещаемого за верхний отруб. Для оценки точности вычисляемой с использованием (32) частоты основного тона при коэффициенте формы ствола равной единице следует использовать формулу (22).

Литература

1. Бибток Н.И., Перетятко Б.Т. Экспериментальное исследование собственных частот хлыста как предмета транспортирования // Лесное хозяйство, лесная, бумажная и деревообрабатывающая промышленность. - Вып. № 3. - Киев: Бу;цвельник, 1974. - С.64-69.

2. Билык Б.В., Перетятко Б.Т. К вопросу о выборе расчётной схемы пакета хлыстов при исследов-нии вертикальных колебаний трелёвочных тракторов // Лесной журнал. - 1975. - № 5. - С. 40-46.

3. Варава В.И., Ведерников О.М. Моделирование хлыстов и их подвеса при трелёвке в полупогруженном положении // Лесной журнал. - 1991. -№ 3. - С. 29-35.

4. Гастев Б.Г., Мельников В.И. Основы динамики лесовозного подвижного состава. - М.: Лесная промышленность, 1967. - 219 с.

5. Ден Гартог Д.П. - Теория колебаний. - М.: ГТТИ, 1942.

6. Жуков A.B. О выборе расчётной модели погруженных деревьев при исследовании колебаний лесных машин //Лесной журнал. - 1977. - № 4. - С. 75-80.

7. Иванов Г.А., Иванов A.A. О подрессоривании в лесных машинах // Лесная промышленность. -1990.-№7.

8. Иванов Г.А., Иванов A.A. Лесные машины с улучшенными экологическими свойствами. -Лесная промышленность. - 1991-№ 3.

9. Иванов Г.А. Неравномерно распределенная по длине ствола и дерева нагрузка с учетом кроны и переменной плотности древесины // Лесной вестник. - 1999,-№ 1.

10. Иванов Г.А., Длина поднятой за вершину части ствола в зависимости от высоты подъема. В сб. научн. тр.: Лесопользование и воспроизводство лесных ресурсов. - Вып. 311 - М.: МГУ Л, 2001.

11. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем: Современные концепции, ошибки и парадоксы. - 3-е изд., перераб. -М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979. - 384 с.

12. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твёрдого тела. - М.: Наука, 1988. - 712 с.

13. Саусвелл Р.В. Введение в теорию упругости: Для инженеров и физиков. - М.: Государственное издательство иностранной литературы, 1948. - 674 с.

14. Симанович В.А. Исследование свободных колебаний деревьев при различных конструкциях подвеса // Механизация лесоразработок и транспорт леса. - Вып. № 14. - Минск: Вышэйшая школа, 1984. -С.115-118.

15. Смехов С.Н. О взаимосвязи колебаний хлыстов, перевозимых в полупогруженном (полуподвешенном) положении, и сопротивления их перемещению. - В кн.: Труды ЦНИИМЭ. Вып. № 106. Сборник статей Иркутского филиала ЦНИИМЭ. -Химки, 1970.-С. 14-26.

16. Тимошенко С.П. Теория колебаний в инженерном деле.- М.: Гостехиздат, 1934.

17. Феодосьев В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов. - М.: Наука. Физмат-лит, 1996.-368 с.

18. Эмайкин Л.М. О параметрическом возбуждении в системе гусеничный трактор - полупогруженное дерево. В кн.: Труды ЦНИИМЭ. - Вып. № 101. - Вопросы механизации лесозаготовок. -Химки, 1969.-С.52-59.