Собственные числа задачи Штурма–Лиувилля для температурного поля однослойного цилиндрического желоба Текст научной статьи по специальности «Математика»

150

Общетехнические задачи и пути их решения

- разработкой системы показателей оценки работы по проекту;

- совершенствованием системы мотивации сотрудников к проектной деятельности;

- концентрация внимания на стадии реализации проекта в програмах обучения проектному менеджменту;

- разработкой системы анализа результатов проектной деятельности, в том числе для эффективного планирования показателей по тиражированию проектов.

При ежегодном росте масштабов проектной деятельности остается открытым вопрос о единой информационной базе проектов и соответствующем программном обеспечении.

Решение большинства задач при адекватной поддержке руководства может быть возложено на проектный офис.

В случае усиления роли проектного управления в компании вероятно дополнение регулирующей деятельности ПО функционированием СПС. Можно предположить, что СПС исключит разрывы между различными бизнес-направлениями и зонами, где традиционно не делились знаниями и ресурсами, позволит наиболее полно использовать интеллектуальный капитал компании и повлияет на удержание ценных сотрудников,

предоставляя им возможность развиваться и вносить существенный вклад в развитие внутрифирменных практик.

Библиографический список

1. Роль проектного управления на разных стадиях жизненного цикла организации / Д. В. Чернов // Управление проектами и программами. -2012. - № 1.

2. Положение о проектном офисе и механизмах реализации Программы «Внедрение бережливого производства на полигоне Октябрьской железной дороги» : утв. приказом начальника Октябрьской железной дороги - филиала ОАО РЖД 2012-12-25 № Окт-616.

3. A Guide to the Project Management Body of Knowledge. Fifth Edition. (PMBOK Guides), Pennsylvania, 589 p.

4. Duggal, J. S. (2010) . Need more buy-in for your PMO? Build a Community, available at: http://www. projectize.com/connect.html

5. Wenger, E. (1998). Communities of Practice: Learning, Meaning, and Identity, Cambridge, 318 p.

6. Wenger, E., McDermott, R., Snyder, W. M. (2002). Cultivating Communities of Practice: A Guide to Managing Knowledge, Harvard, 284 p.

УДК 620.9:621.3:536.24 Л. М. Юферева

Петербургский государственный университет путей сообщения

СОБСТВЕННЫЕ ЧИСЛА ЗАДАЧИ ШТУРМА - ЛИУВИЛЛЯ ДЛЯ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ ОДНОСЛОЙНОГО ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ЖЕЛОБА

Выведены и численно проверены приближенные формулы для поиска собственных значений краевой задачи Штурма - Лиувилля для температурного поля в прямоугольном фрагменте цилиндрического желоба.

температурное поле, цилиндрическая труба, собственные значения краевой задачи Штурма - Лиувилля.

2013/4

Proceedings of Petersburg Transport University

Общетехнические задачи и пути их решения

151

Введение

1 Постановка задачи

При моделировании процессов теплопереноса в наклонной трубе конденсатора двухфазного термосифона (ДТС) приходится считаться с тем, что коэффициенты теплоотдачи от пара к внутренней поверхности трубы и от внешней поверхности трубы к охлаждающему воздуху зависят от условий обтекания поверхности трубы соответственно внутренним конденсатом и внешним охлаждающим воздухом. Построить точное аналитическое выражение для температурного поля в материале трубы в случае, когда эти коэффициенты зависят от пространственных констант, не представляется возможным.

Альтернативой точному выражению может послужить приближенное представление, построенное методом частичных областей (методом сшивания). Нарезка полной трубы на частичные области может осуществляться плоскостями, проходящими через ось цилиндра, и плоскостями, нормальными к оси (рис. 1). В пределах каждой их областей коэффициенты теплоотдачи могут быть приняты как постоянные, равные среднему значению по области. Полученное в каждой из областей представление для поля должно иметь некоторую произвольность коэффициентов, избавляться от которой следует сшиванием поля в данной области с полями в соседних областях.

Рассматривается заполненная однородным теплопроводящим материалом область R0 < r < R1, Ф0 < ф < Ф1, Z0 < z < Z1 в форме цилиндрического желоба (см. рис. 1). Температура в материале © (r, ф, z) подчиняется однородному уравнению Лапласа:

' д2 1 д 1 д2 ^

кдг2 r dr r2 дф2 dz2 у 0(r, ф, z) = 0.

(1)

На цилиндрических поверхностях желоба устанавливаются условия конвективного теплообмена:

^_д_

кдг

(-1)1 ^

0( r, ф, z )

r=R,

= -( -1)1 ^tTl,

(2)

где a7, T - соответственно коэффициент теплоотдачи и температура среды у внутренней (l = 0) и внешней (l = 1) цилиндрических поверхностей; X - коэффициент теплопроводности материала.

Решение задачи в постановке (1) - (2) не является единственным. Произвольные константы, от которых будет зависеть решение, могут быть определены назначением дополнительных условий теплового контакта краев желоба с соседними частичными областями. Процедура нахождения констант в данной работе не рассматривается.

2 План построения решения

Искомое поле может быть представлено в виде

© (r, ф, z) = ©0 (r, ф, z) +

+ ©1 (r, ф, z) + ©2 (r, ф, z). (3)

Слагаемое ©0 (r, ф, z) удовлетворяет условиям (1) - (2):

©о(r, ф, z) = A ln (r / Ro) + B;

ISSN 181 5-588Х. Известия ПГУПС

2013/4

152

Общетехнические задачи и пути их решения

A = -R0a0C, B = T0-XC;

C = (T - T1)R1a1 /

(X(R0a 0 + R1a1) + R0 R1a0 a1 ln (R1 / R0)).

Функции 0k (r, ф, z), к = 1, 2, подчиняются (1), а также однородным условиям, соответствующим (2), и имеют вид

0k (г, Ф, z) = 0 0 (г, Ф,z) + 0 (Г, Ф,z);

01i(r, Ф, z) =

= X C0s (41m (Ф-Ф0))

m=0

X

XX a1lmn

n=0

cosh(P1mn (z - Z,)) & )

cosh(P1mn(Z1 - Z0)) lmn

XX a2lmn

n=0

l = 0,1,

02l (r, Ф, Z) =

= X C0s (92m (z - Z0))X

m=0

COsh ( P2mn (Ф-Ф, ) )

COsh (P2mn (Ф1 -Ф0))

^2mn (Г);

l = 0,1,

91m =nm /(Ф1 -Ф0);

92m =nm /(Z 1-Z0);

(s, , t, ) - решения систем уравнений;

v kmn kmn A J A 7

L(l) (91m , P1mn )(S1mn 0n )T = 0; (4)

L )(p2mn , 92m )(S2mn ^2mn ) = 0; (5)

L (к) (ц, v) - матрица размером 2*2;

Ln )(M v) = XvZ k1(M vRi-1) -

- (-i)l a, C k 0(m vRi-1);

L( 2)(m v) = хЧи(м vRi-1) -- (-i)l ai ^ 0(m vRi-1);

C к1(м v) = ^1(m v) =

dZk 0(M v).

dv ’

d^k0(M v),

dv ’

к = ^ 2, l = 1, 2, Pm (при n = 0, 1,

2, ...) - соответственно положительные корни уравнений

где

^1mn (Г) = S1mnZ10(91m , P1mnr) +

+ t1mn^10 (q1m , P1mnr );

Сю(м x) = J(x);

^10 (m x) = ya (x);

^2mn (r ) = S2mnC20 (P2mn, 92mr ) +

+ t2mn^ 20 (p2mn, q2mr);

c 20 x)=(-1 x); UCm x) = j-m (-1 x); ^V-1, J (x), Yn (x) -

функции Бесселя 1-го и 2-го рода;

det L(1) (91m, p ) =0; (6)

detL(2) (p, 92m ) = °. (7)

Нахождение значения функции Бесселя с мнимым индексом порождает вычислительные трудности. Однако, тождество

Re ( (-ix) )Im ( J-p (-ix) ) +

+ Re ( J-p (-ix) )Im ( J!p (-ix) ) = 0

дает право на переход к вещественной арифметике:

Z20 (M:> x) = Re ( jm (-1 x));

^20 (M:> x) = Im ( Jm (-1 x)) .

2013/4

Proceedings of Petersburg Transport University

Общетехнические задачи и пути их решения

153

При каждой фиксированной паре (к, т) набор попарно ортогональных функций S n (r), n = 0, 1, 2, ... составляет на промежутке [R0, RJ базис со скалярным произведением

(Vl(rX W2(r)) =

= j W1(r)W2(r)r3 2 rdr.

стенных конструкций. Приближенные формулы для чисел ркт0 в случае многослойных цилиндрических стенок представлены в [2] (к = 1) и в [3] (к = 2). Для случая однослойной стенки толщиной h = R - R0 эти формулы могут быть уточнены (за счет добавления членов высокого порядка малости параметра h/R0) и дополнены формулами для чисел pkmn при n > 0:

Коэффициенты skmn, tkmn определяются с точностью до постоянного множителя. Например, для удобства можно принять

S1mn K1mnL12 (qim ’ Pl mn );

Pkmn

h / R0 ^0

Pkmni;

P1m0 j

'a0 +a1 v Xh

j

+ S C1m0ih

i=0

(9)

^1mn K1mnL11(q1m ’ P1 mn );

S2mn = K2mnL12(p 2mn ’ 42m );

C1m00 =

q1m

R

a0 a1 2R0X

a0 a0a1 + a1

3X2

^2mn = K2mnL11( p

2mn

q2m X

где множитель Kkmn есть корень уравнения

^kmn (ГХ ^kmn (Г)) = 1

Произвольные константы a,, могут быть определены решением бесконечной системы линейных алгебраических уравнений, порождаемой условиями на краях желоба, по отношению к которым применяется схема Фурье - Бесселя со скалярным произведением (8). Условия сопряжения с соседними желобами содержат, в частности, равенства плотностей тепловых потоков через края. Эти равенства порождают большое количество нулей в матрице бесконечной системы в силу специально выбранного вида функций 0kl (r, ф, z). Нахождение констант aklmn не является целью данной работы.

„ = л-ни , a0 a1 , a0 a1 ,

4m01 _ „3 + . „2, + , n . 2 "T"

r3

+

4R0X 6R0X2

(a0 +a1)(4a;^ - 7a0a1 +4a2) 45X3 ’

C1m02 =

5q1m

6R4

(4q1m +3)(a0 -a1)

24R3X

3a^ + 6a0a1 - 7a2 60 R2X2

- (a0 +a1)2(a0 ~a1) -30R0X3

(a0 +a1)2(16a2 -31a0a1 +16a5?)

945X4 ’

3 Приближенные формулы

для собственных значений задачи Штурма - Лиувилля

В обзорной статье [1] обоснована важность построения схем поиска собственных чисел задачи Штурма - Лиувилля для тонко-

+

+

1m03

2q1m

3R5

412m (40a0 - 32a1) + 9(a

144R4X

4q1m (a^ -ai2) + 3(3a0 -90R3X 2

0 -a1)

2a1)a1

+

ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС

2013/4

154

Общетехнические задачи и пути их решения

4а0 - 30а^ -9а0ах2 + 25а3 630R2^3

а4 - 40a0a1 + 40а0а;5 - ах4 1890R0X4

1 6а 0 + 95а 4 а 1 -1 1 0а0 а 1 -14175^5

-110а2а3 + 95а 0 ах4 + 16а5 14175^5 ;

Pmnj =7^ + Z c1mmh‘, h i=0

n = 1,2,3, ...; уn = nn;

a0 +a1 .

"'1mn 0

Y n^

c

1mn1

4q1m +3 - (a0 +a1 )2

8YnR02 Y^2

C1mn 2

4q1m + 3

8y nR

(4qL +9)(a +a1) a! -ai2

P2m0j = R0

a0 +a1 12 + v c

\h

2 m0i

hi+2;

i=0

c

2m00

2RО(3q0m\2 - a;2 +a0a1 -a2) + 3^(a0 +3ax)

c

12^2(a0 +aj) 1

2m 01 1

^2(a0 +aj)

r ч1Л ^2 + qL x

v

8

f 2 2 Л

^(3a0 + aj) + R0(a0 -a^ + ax)

2 3

v ^ J J

R0(11a4 + 14a 0a1 - 39a2a2 + 14a 0 aj5 + 11a4)

360^°

.2 c„.3 '7„,2

+

2

a0 + 6a2a1 - 6a0a2 - 5a3 7a2 + 2a0a1 + 7a12)

24^

96 R

~'2m02 1

^(a,, +ax)

qtA

16

8Y3nR02^ 2Y3nR0^2

- (Y^ -6)(a0 +a3) -18a0a1(a0 +at) .

3^3 ;

c =- 16q!4m -8q1m(8y2 +17)-48yQ + 81

^1mn3 128Y3nR4

+ (4qi2m + 3)a0 + 6a! +

Xl q0mR0^ R0(a0 a0a1 +a1)

^ A,(5a0-a1)

q22m

R0(a4 + 34a0 a1 - 69a 2a2 + 34a0a3 + ax4)

720^

5a0 -a11 A,(a0 - 5a1) 2

48

4R0

+ a0 -a0a1 +a1

J

4y 3Rb

+ (4q12m +15)(a0 +a1)2 -2Y;3ai2 +

4y3r2^ 2 + 2(a0 -a1)(a0 + a1)2 +

Y 3R^

(a0 +a1)2((4Y3 -15)(a0 +a2) -3y У

4 -2(2Y2 + 15)a0a1).

7л 4

R0(17a0 + 81a0a1 + 66a4a2 -5040^3

-311a0 a;5 + 66a2 ax4 + 81a 0 aj5 + 17a6) 5040^3

33a5 + 85a4ja1 + 265a0aj2 -1440Л,2

-165a0a3 - 185a0a4 - 77a3 1440Л,2

13a4 + 49a 0a1 + 180a 0a12 + 49a 0a3 + 13ax4

—>

3y 3^

576R0X

x

1

2013/4

Proceedings of Petersburg Transport University

Общетехнические задачи и пути их решения

155

+

15а0 + 31а2 aj + 5а 0 af + 13а3 ^ 384R0

p = YnR° + ^ c h • n = 12 3

У2mnj , ^ 2mnin ’ n L’

h i=0

Для показа эффективности предлагаемых приближенных формул (9) выбраны два существенно различных по коэффициенту теплопроводности материала трубы: медь для частей «а» и стекло для частей «б».

С2 mn0

Yn + Я0(а0 +а1) • 2 ^ ’

c

2 mn1

glmK Yn + а1 - К0(а0 +а1)2 2y n 12R0 Y n ^ Y n ^2

4 Численные результаты

При выполнении вычислений, результаты которых представлены на рис. 2-5, принято a1 = 10 Вт-м-2-Гч, a0 = 10ap R0 = 0,006 м.

Заключение

Предложен план построения аналитического решения задачи о распределении температурного поля в однослойном цилиндрическом желобе с конвективными условиями теплообмена на цилиндрических поверхностях и контактными условиями на прочих поверхностях.

Выведены и численно проверены новые приближенные формулы для собственных чисел задачи Штурма - Лиувилля для желоба.

Рис. 3. Действие приближенных формул (9) при n > 0, q1m = 8

ISSN 181 5-588Х. Известия ПГУПС

2013/4

156

Общетехнические задачи и пути их решения

Рис. 4. Действие приближенных формул (9) при n = 0, q2m = 5п м— (часть «а»), q2m = 100п м~1 (часть «б»)

Рис. 5. Действие приближенных формул (9) при n > 0, q2m = 400п м_1 (часть «а»), q2m = 500п м_1 (часть «б»)

Библиографический список

1. Аналитические методы решения краевых задач для многослойных конструкций / В. А. Кудинов // Известия РАН. Энергетика. - 1999. -№ 5. - С. 85-106.

2. О тепловом поле многослойного полого цилиндра / Л. М. Юферева, Ю. А. Лавров, А. Ю. Юферев // Известия РАН. Энергетика. -2011. - № 1. - С. 75-81.

3. О температурном поле многослойного цилиндрического желоба / Л. М. Юферева, Ю. А. Лавров // Актуальные направления развития прикладной математики в энергетике, энергоэффективности и информационно-коммуникационных технологиях // Сб. тр. Международной научной конференции, посвященной 180-летию МГТУ им. Н. Э. Баумана (Москва, 2010 г.). - Москва : Моск. гос. техн. ун-т им. Н. Э. Баумана, 2010. - С. 66-70.

2013/4

Proceedings of Petersburg Transport University