CC BY
41
246
Общетехнические задачи и пути их решения
4. Новые экозащитные технологии на железнодорожном транспорте / ред. Л. Б. Сватовская. - М. : ГОУ «Учебно-методический центр по образованию на железнодорожном транспорте», 2007. - 159 с. - ISBN 978-5-89035-358-0.
5. Разработка процесса сорбционной очистки от ионов тяжелых металлов производственных стоков - загрязнителей Гаванской бухты : дис. ... канд. техн. наук : 11.00.11 : защищена 13.05.89 : утв. 12.12.89 / Шабалина Людмила Михайловна. - М., 1989. - 116 с. - Библиогр.: с. 98-116.
6. Применение гранулированного торфа для очистки сточных вод от ионов тяжелых металлов : автореферат дис. ... канд. техн. наук : 11.00.11 : защищена 14.12.88 : утв. 12.06.90 / Соколова Татьяна Викторовна. - Минск, 1988. - 121 с. - Библиогр.: с. 110-121.
7. Сорбенты, коагулянты, флокулянты, фильтровальные и прочие материалы для очистки сточных вод // Информ.-темат. сб. № 15/НИЦ «Глобус». Т. 1. - М. : Глобус, 2005. - 59 с.
8. Технологии ликвидации негативных воздействий осадков природных и сточных вод на окружающую среду : дис. ... канд. техн. наук : 25.00.36 : защищена 06.06.06 : утв. 13.12.06 / Бухарина Дарья Николаевна. - СПб., 2006. - 139 с. - Библиогр.: с. 120-139.
9. Развитие геозащитных технологий / М. В. Шершнева // Новые исследования в материаловедении и экологии. - Вып. 8. - СПб. : ПГУПС, 2008. - С. 13-14.
Статья поступила в редакцию 13.09.2010;
представлена к публикации членом редколлегии Т. С. Титовой.
УДК 620.9 : 621.3 : 536.24
Л. М. Юферева, Ю. А. Лавров, А. Ю. Юферев
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
ДЛЯ МНОГОСЛОЙНОГО ЦИЛИНДРА, ПО КАНАЛУ КОТОРОГО
ПРОТЕКАЕТ ЖИДКОСТЬ
Рассматривается осесимметричная задача построения температурного поля в системе многослойный полый цилиндр - жидкость, моделирующей теплоизолированную трубу наземной теплотрассы. Жидкость движется по каналу с заданной скоростью. Температура жидкости считается зависящей только от осевой координаты и задана на входном сечении. Отыскание температурного поля сведено к решению бесконечной системы алгебраических уравнений, осуществляемого методом редукции. Статья является продолжением работ авторов [1]-[3], изучающих температурные поля многослойных конструкций.
температурное поле, круговой цилиндр, многослойные стенки, приближенные формулы.
2011/1
Proceedings of Petersburg Transport University
Общетехнические задачи и пути их решения
247
1 Введение. Постановка задачи
Рассматривается прохождение теплоты через отрезок цилиндрической трубы, занимающей область Q = < г < RM, - 7г<ср < +п, 0<z<H}.
Область разделена поверхностями r — Rm — — на М
слоев RmX <r < Rm, занимаемых материалами с различными теплофизическими свойствами. Используется обозначение Rm — Rq + -
толщина j -го слоя). Во внимание принимаются только осесимметричные, не зависящие от координаты ф процессы.
Искомое превышение температуры в материале трубы над температурой внешней воздушной среды рассматривается в виде кусочно-однородной функции 0(r,z) = 0OT(r,z), Rm_x <r <Rm т=х_м- Эта
функция удовлетворяет однородному уравнению Лапласа
(д2 1 а
+ +
^dr2 г дг
0(r,z) = O,
(1)
граничным условиям на цилиндрических поверхностях
0L
^ д а0 ^
кдг \j
0(r,z)
о
r=Ro
X
f Д Л
о а, — + 1
dr X
0(r,z)
‘м У
F{z)-
= 0
r=R,
LM
(2)
(3)
и на плоских торцевых поверхностях
d®m(r,z)
-X
-X.
' dz
d®m(r,z)
dz
z=0
z=H
G0Jry,
G..W-
(4)
(5)
Здесь а0, оц - коэффициенты теплоотдачи соответственно у внутренней и внешней поверхности цилиндра; F(z) - искомое превышение температуры жидкости у внутренней поверхности цилиндра; Хт (т — 1, 2,.... А/ ) коэффициент теплопроводности т -го слоя; Gk (г) = = Gh„(r), х <r < Rm ! м - заданный тепловой поток, проходящий в положительном направлении оси Oz через входное {к = 0) и вы-
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС
2011/1
248
Общетехнические задачи и пути их решения
ходное (к = 1) поперечное сечение трубы. Условия (4), (5) при необходимости могут быть заменены условиями заданных превышений температур либо условиями сопряжения с прочими элементами конструкции.
На поверхности контакта каждой пары соседних слоев выполняются условия сопряжения
© (R —0,z)-0 RR + 0,z) = 0;
от V от ? / от+1 V от ? / 5
d®m(r,z)
dr
-к
от+1
r=Rm-°
dr
= 0
r=Rm+0
(6)
(7)
Жидкость во внутренней полости цилиндра движется вдоль положительного направления оси z со скоростью v0. Считается, что искомое превышение температуры жидкости F (z) над температурой внешней среды зависит только от осевой переменной z, причем на входе в цилиндр это превышение задано: F(0) = ©0.
Уравнение баланса энергии, которую теряет жидкость и которую принимает своей внутренней поверхностью цилиндр, имеет вид
F(z)=0o+;j^
dq,
r=R0
(8)
где \х = 2Х/ (v0RqP0c0), ро, с0 - соответственно плотность и теплоемкость жидкости; q - переменная интегрирования.
2 Аналитическое решение
Решение поставленной задачи будет найдено в виде суммы 0(r,z) = ©(1)(r,z) + ©(2)(r,z).
Функция 0(1)(r,z)= 0®(r,z), Rm_x<r<Rm от=1 м подчиняется условиям (1), (3)-(7), а также однородному условию
(9)
0,
(10)
заменяющему условие (2). Она выражается в виде разложения
Ni
©(1) (г, z) = £
Ni Си cosh(pi(1)z) + с01 cosh(pi(1)(H~z))
1=0
p7(1) sinh( p7(1)H)
ui(г), (11)
2011/1
Proceedings of Petersburg Transport University
Общетехнические задачи и пути их решения
249
“/(9= Ulm(r), Rm_l<r<Rt
т т=\
м
Щ„, (г) = a!!’ J0(p?'r) + bZ%(p(,"r).
Здесь Nx = +оо; J0 (х), Y0 (х) - функции Бесселя. Коэффициенты с01, си пока считаются неизвестными. Столбец неизвестных коэффициентов
Т
x(l) — afx, b)\], ..., d/l), b/h определяется с точностью до постоянного
множителя и является решением линейной системы уравнений, порожденных условиями (10), (6), (7), (3):
L(l)(p)x(l) = 0. (12)
В матрице ld\p) размерами 2Мх2М отличны от нуля только следующие элементы:
ГУ ГУ
1л\ (Р) = p£(pR0)--2-C,(pRo); Lu (p) = P%(pRo)-if-^pRo)\
Kx Aj
^2т,2т-\(Р) 4w.2w+l 4) “ /?4 ’ 4iw.2w(4) ^2m,2m+2^P) ^ /?4 '
4Li>,-i(p) = A,pC pK ; AA.2„m(p) = -\„+ipC pK ;
4Ai.2„» = Ap4' ; 4L.2m+2<p) = -A+iP4 >
ot = 1, 2,, M-l;
ГУ
442«-i 4) = pQWJ+j^QtpRM);
ГУ
(/?) = ) ,
С,(х) = У0 (х), 2,(х) = Y0 (х) . Фактор р здесь следует рассматривать как
корень уравнения, которое является условием существования нетривиального решения однородной системы (12):
detL(1)(/>) = 0. (13)
Уравнение (13) имеет счетное множество решений, нумеруемых индексом / (/ = 0, 1, 2, ...). Для элементов множества выбрано обозначение р('().
Набор попарно ортогональных кусочно-однородных функций ut (r), / = 0, 1, 2, ., составляет базис на промежутке [R, RM ]. Скалярное произведение имеет вид:
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС
2011/1
250
Общетехнические задачи и пути их решения
М Ит
V,(U ¥2(0 =2Х /у,(r)\y2(r)dr. (14)
т=1 R
т-\
Подстановка представления (11) в условия (4), (5), домножение полученного равенства на щ (г), взятие от него интеграла по промежутку
[R, RM ], использование соотношения (14), свойства попарной ортогональности и, наконец, замена /0 —» / дает
= (-1)‘
м К,
Л 1 М Им
ZU J 2 dr •£ \ иы(Г)0,ЛГ)С)Г
т=х К,-1 ) т=х к,-1
Функция @(2)(г,z) = ©if(/,z), <г <Rm ОТ=1М подчиняется условиям (1)—(3), (6), (7), а также однородным условиям
dem(r,z)
(15)
Она выражается в виде разложения
©У(г;2) = (4Дп(г/^) + С)Л +
n2
+^os(p{2)z) a{jflQ(pfd) + bj2)K0(pfd) f. (16)
1=1
Здесь TV2 = +co; /y(2) = nl /H; f - неизвестные пока коэффициенты разложения
F(z)=y£,fi^Kp\1)z)- (i7)
1=0
Столбец коэффициентов х<2) = df,bff, ...,df,6j2/ является
(при каждом значении индекса l) решением линейной системы уравнений
L(2\p^)x(2) = Р(2). (18)
В правой части системы, в столбце Р(2> размерами 2Мх 1, отличен от нуля только один элемент р[2) = —ос0 / . Матрица Р2>(р) при р> 0 от-
личается от матрицы 1^1\р) тем, что Cfx) = /0 (х), £,(х) = К0 (х); /0(х),
2011/1
Proceedings of Petersburg Transport University
Общетехнические задачи и пути их решения
251
К0 (х) - модифицированные функции Бесселя. При р = 0 ненулевые элементы матрицы таковы:
1 С
4
4Д0) = ^;1®(0)
4
4Vi(0) = -42^(0) = in
X
Ч,Л
4
4^.(0)=-Д2>
2т,2т+2
(0) = 1;
V Т) у
L(2) ГО") -
^2m+l,2m-l Vй/
я
т ■ Т{Т) ГО") -
’ ^2m+\,2rn+\ Vй/
А,
m+1 .
Я
т = 1, 2,..., М-1;
'я Л
-м
Ч^У
. Г (2)
; L2M ,2M
(0)
Подстановка в уравнение (8) представлений (16), (11), домножение полученного уравнения на C0s(pz(2)z) при i = 0, 1, 2, 3, ... , наконец, взя-
тие интеграла по промежутку [0, H ] порождают бесконечную систему линейных уравнений
L(0)x(0) = Р(0)
(20)
относительно столбца искомых коэффициентов х(0) = • • • •
Коэффициенты i -го уравнения системы здесь представлены отдельно для i> 1
г(0) _ . г(0) _ ..JJ) .
" 2 ’ 10 fe(2,)4 ’
4)=HPf
i—(—i),+'
,1*1, 1*1;
1У-Со; .-h^)-(-1)
и,Л
1=0
и для i = О
/^sinh^tf) (pf>)2Mp?>Y' 32 = #-н<4
(21)
,(2)
НА
1®=-цБ_у>1 a®/l(pfX)-^’W4). ^1;
2R,
,(2) ^(2)
Pl
(2)
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС
2011/1
252
Общетехнические задачи и пути их решения
V(0) ро
Nx (
Я©„+цХ
cosh(pz(1)//) -1
со lH +
с
и
■с,
01 „(1)
£>Jusinh(pz(1)//)
«/Л
(У
(22)
Решение системы (20) ведется методом редукции. Это означает, что пределы суммирования N и N2 принимаются конечными. Конечным,
равным N2 +1, становится и число уравнений в системе (20).
3 Вспомогательная задача
Тестовая задача для специального поля температур 0z3)(r,z) =
= (r>z) > Rm-1 <r<Rm m=\,... ,м > определяемого для z e [0, + go) , со-
ставляется из условий (1)-(3), (6)-(8), а также допущений
a^Jotpf^ + b^Y^pf^r) exp(-/?z(3)z); (23)
F{z) = ©0 exp(-pz(3)z)
(24)
Решения тестовой задачи, составляющие дискретное множество, нумеруются индексом I (/ = 0, 1, 2, ...). Столбец искомых коэффициентов х(3) =
azl3),/у3), ..., <2Z3/,/у3) является решением линейной системы уравне-
ний
L(3)(ft(3V3) = Р(3). (25)
В правой части системы, в столбце Р(3) размерами 2М х 1, отличен от нуля
П\ /Л \
только один элемент Рг — 0О. Факторы затухания р) ( / = 0, 1, 2,... ) являются положительными корнями уравнения
detL(4)(/>) = 0. (26)
Элементы матриц lP3(p), L(4)(p) совпадают с элементами матрицы L(1)(p) всюду, кроме первой строки:
(р) = -вС (pRo); Д2 (р) = (prо);
(3),
а(
Т
4» = 4‘»+v^ffGO; С» = ■
ас
X
2011/1
Proceedings of Petersburg Transport University
Общетехнические задачи и пути их решения
253
Для меньшего из положительных корней уравнения (26) предлагаются приближенные формулы, применимые при малых суммарных толщинах
стенки цилиндра \ :
,(3)
Ро\~Роl=Po/(1 + Pl);
,(3)
Ро" “А = Ро / (1 + Р,/(1+Р2)),
(27)
(28)
где
pi =
ar
г
а0 + оц
(а0 + оц)^
Р = р22^4 + + Р
oCqOCjP
м
м
к ha
(ОС0 ) ^T i=1
=? Я Rq
a50al(a0 -оц)
20 .
;Р
( м
22
(а0 + оц)6^4
Е^а,
V i-1 J
Pll =
3
м
(0Cq + оц)
f
+2оц
(а0 )^ч ''У',к
V
м м
1=\
а0 -Зо^ м
2 Я, /=1
л
ЕАА
+
7 м м з
«оЕЕ^^-а,ЕЕ ^ А
^ /=1 _/'=/'+1 *4 /=1 _/'=/'+1 j J
+
М М
м м
2«i Е Е АА - (ао - «1 )Е Е hJXj
i= 1 j=i+\
г J
(a0+ai )Л„
1«A2 MMhh
i i=1 _/’=/ +1
2
1
4 Численные результаты
При проведении вычислений принято М — 3, = 0,3 м,
Я = 2000 м, v0 =0,01 м/с, ©0 =90 К, а0 = 300 Вт/(м2 - К),
сц =30 Вт/(м2 - К). Материалы слоев: сталь (^ =58,7 Вт/(м-К)), пенополистирол (Е2 = 0,043 Вт/(м - К)), резина (Е3 =0,15 Вт/(м-К)). Базовые толщины: 1\ =5 мм, =100 мм, }ц =10 мм. Жидкость, протекающая по трубе, - вода.
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС
2011/1
254
Общетехнические задачи и пути их решения
На рисунке 1 показаны профили температур тестовой задачи ©f} (г,0) при / = 0, 1, 2, 3 , части а-г соответственно. Для всех случаев / > 1 на промежутке [R(), RM ] имеются участки отрицательных превышений температур и участки их монотонного роста. На практике превышения температур в трубах теплотрасс над температурой окружающей среды монотонно убывают по мере удаления от оси, оставаясь положительными.
Таким образом, поля 0^3)(r,z) при /> 1 следует признать технически бессмысленными. Важно также отметить, что такие поля быстро убывали
/-5Ч /от
бы при росте z, поскольку р) » pQ при / > 1.
а)
б)
г)
Рис. 1. Профили температур тестовой задачи
На рисунке 2, а продемонстрирована эффективность приближенной формулы (27), на рисунке 2, б - формулы (28). Толщины слоев и суммарная толщина уменьшаются от базовых значений до нуля, при этом пропорция h ■ h: h сохраняется неизменной. Относительная погрешность последней формулы при базовых толщинах (то есть для термически толстой стенки трубы) менее 0,8 %.
2011/1
Proceedings of Petersburg Transport University
Общетехнические задачи и пути их решения
255
Рис. 2. Действие приближенных формул
При постановке практических задач представляется трудным выбор функций торцевых тепловых потоков. Нередко эти потоки принимаются равными нулю, например, на основании гипотезы о перпендикулярности тепловых потоков в толще трубы и изоляции к цилиндрическим поверхностям труб. Авторы считают более уместным выбирать эти потоки на основе технически реалистичного поля 0®(r,z).
Численный эксперимент с решением основной задачи проведен для тестового случая, когда в качестве функций торцевых потоков взяты
G0m(r) = РТК^Тт^’О) И Glm(r) = Ро)Хт®о1(Г,Н). ТеСТОВЫЙ СЛуЧВЙ
допускает точное решение (23), (24). На рисунке 3 показаны зависимости превышения температур в жидкости для точного и приближенного решений. При А) = N2 = 32 относительное отклонение приближенного решения от точного менее 0,1 %.
Рис. 3. Сравнение точного и приближенного решений задачи
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС
2011/1
256
Общетехнические задачи и пути их решения
Заключение
Построено и численно испытано аналитическое решение задачи о распределении температурного поля в многослойном прямом круговом цилиндре, по полости которого протекает жидкость.
Выведены и численно испытаны новые приближенные формулы для построения технически реалистичных граничных условий на торцах цилиндра.
Библиографический список
1. Стационарное тепловое поле кусочно-однородного прямоугольного бруса / Л. М. Юферева, Ю. А. Лавров // Известия РАН. Энергетика. - 2005. - № 2. - С. 129-137.
2. О тепловом поле многослойной пластины с внутренними источниками / Л. М. Юферева, Ю. А. Лавров // Известия РАН. Энергетика. - 2009. - № 2. - С. 77-82.
3. О тепловом поле многослойного полого цилиндра / Л. М. Юферева, Ю. А. Лавров, А. Ю. Юферев // Известия РАН. Энергетика. - 2011. - № 1. - С. 75-81.
Статья поступила в редакцию 21.01.2011;
представлена к публикации членом редколлегии И. Г. Киселёвым.
2011/1
Proceedings of Petersburg Transport University
