Научная статья на тему 'Краевая задача теплопроводности для многослойного цилиндра, по каналу которого протекает жидкость'

Краевая задача теплопроводности для многослойного цилиндра, по каналу которого протекает жидкость Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
116
23
Поделиться
Ключевые слова
ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ / КРУГОВОЙ ЦИЛИНДР / МНОГОСЛОЙНЫЕ СТЕНКИ / ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Юферева Л. М., Лавров Ю. А., Юферев А. Ю.

Рассматривается осесимметричная задача построения температурного поля в системе многослойный полый цилиндр жидкость, моделирующей теплоизолированную трубу наземной теплотрассы. Жидкость движется по каналу с заданной скоростью. Температура жидкости считается зависящей только от осевой координаты и задана на входном сечении. Отыскание температурного поля сведено к решению бесконечной системы алгебраических уравнений, осуществляемого методом редукции. Статья является продолжением работ авторов [1]-[3], изучающих температурные поля многослойных конструкций.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Юферева Л. М., Лавров Ю. А., Юферев А. Ю.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Boundary-Value Problem of Heat Transfer for a Multilayered Cylinder with a Flowing Liquid Channel

The authors consider the problem of constructing an axially-symmetric temperature field in the multilayered hollow cylinder liquid system modeling a heat-isolated pipe of a surface heating line. The liquid is flowing along the channel at a preset speed. The temperature of the liquid is supposed to depend only on the axial coordinate and is preset at the entrance axial section. The search of the temperature field is reduced to solving the infinite system of algebraic equations carried out by the method of reduction. This paper continues the subject of the papers presented by the authors [1]-[3] studying the temperature fields of multilayered constructions.

Текст научной работы на тему «Краевая задача теплопроводности для многослойного цилиндра, по каналу которого протекает жидкость»

246

Общетехнические задачи и пути их решения

4. Новые экозащитные технологии на железнодорожном транспорте / ред. Л. Б. Сватовская. - М. : ГОУ «Учебно-методический центр по образованию на железнодорожном транспорте», 2007. - 159 с. - ISBN 978-5-89035-358-0.

5. Разработка процесса сорбционной очистки от ионов тяжелых металлов производственных стоков - загрязнителей Гаванской бухты : дис. ... канд. техн. наук : 11.00.11 : защищена 13.05.89 : утв. 12.12.89 / Шабалина Людмила Михайловна. - М., 1989. - 116 с. - Библиогр.: с. 98-116.

6. Применение гранулированного торфа для очистки сточных вод от ионов тяжелых металлов : автореферат дис. ... канд. техн. наук : 11.00.11 : защищена 14.12.88 : утв. 12.06.90 / Соколова Татьяна Викторовна. - Минск, 1988. - 121 с. - Библиогр.: с. 110-121.

7. Сорбенты, коагулянты, флокулянты, фильтровальные и прочие материалы для очистки сточных вод // Информ.-темат. сб. № 15/НИЦ «Глобус». Т. 1. - М. : Глобус, 2005. - 59 с.

8. Технологии ликвидации негативных воздействий осадков природных и сточных вод на окружающую среду : дис. ... канд. техн. наук : 25.00.36 : защищена 06.06.06 : утв. 13.12.06 / Бухарина Дарья Николаевна. - СПб., 2006. - 139 с. - Библиогр.: с. 120-139.

9. Развитие геозащитных технологий / М. В. Шершнева // Новые исследования в материаловедении и экологии. - Вып. 8. - СПб. : ПГУПС, 2008. - С. 13-14.

Статья поступила в редакцию 13.09.2010;

представлена к публикации членом редколлегии Т. С. Титовой.

УДК 620.9 : 621.3 : 536.24

Л. М. Юферева, Ю. А. Лавров, А. Ю. Юферев

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

ДЛЯ МНОГОСЛОЙНОГО ЦИЛИНДРА, ПО КАНАЛУ КОТОРОГО

ПРОТЕКАЕТ ЖИДКОСТЬ

Рассматривается осесимметричная задача построения температурного поля в системе многослойный полый цилиндр - жидкость, моделирующей теплоизолированную трубу наземной теплотрассы. Жидкость движется по каналу с заданной скоростью. Температура жидкости считается зависящей только от осевой координаты и задана на входном сечении. Отыскание температурного поля сведено к решению бесконечной системы алгебраических уравнений, осуществляемого методом редукции. Статья является продолжением работ авторов [1]-[3], изучающих температурные поля многослойных конструкций.

температурное поле, круговой цилиндр, многослойные стенки, приближенные формулы.

2011/1

Proceedings of Petersburg Transport University

Общетехнические задачи и пути их решения

247

1 Введение. Постановка задачи

Рассматривается прохождение теплоты через отрезок цилиндрической трубы, занимающей область Q = < г < RM, - 7г<ср < +п, 0<z<H}.

Область разделена поверхностями r — Rm — — на М

слоев RmX <r < Rm, занимаемых материалами с различными теплофизическими свойствами. Используется обозначение Rm — Rq + -

толщина j -го слоя). Во внимание принимаются только осесимметричные, не зависящие от координаты ф процессы.

Искомое превышение температуры в материале трубы над температурой внешней воздушной среды рассматривается в виде кусочно-однородной функции 0(r,z) = 0OT(r,z), Rm_x <r <Rm т=х_м- Эта

функция удовлетворяет однородному уравнению Лапласа

(д2 1 а

+ +

^dr2 г дг

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

0(r,z) = O,

(1)

граничным условиям на цилиндрических поверхностях

0L

^ д а0 ^

кдг \j

0(r,z)

о

r=Ro

X

f Д Л

о а, — + 1

dr X

0(r,z)

‘м У

F{z)-

= 0

r=R,

LM

(2)

(3)

и на плоских торцевых поверхностях

d®m(r,z)

-X

-X.

' dz

d®m(r,z)

dz

z=0

z=H

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

G0Jry,

G..W-

(4)

(5)

Здесь а0, оц - коэффициенты теплоотдачи соответственно у внутренней и внешней поверхности цилиндра; F(z) - искомое превышение температуры жидкости у внутренней поверхности цилиндра; Хт (т — 1, 2,.... А/ ) коэффициент теплопроводности т -го слоя; Gk (г) = = Gh„(r), х <r < Rm ! м - заданный тепловой поток, проходящий в положительном направлении оси Oz через входное {к = 0) и вы-

ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС

2011/1

248

Общетехнические задачи и пути их решения

ходное (к = 1) поперечное сечение трубы. Условия (4), (5) при необходимости могут быть заменены условиями заданных превышений температур либо условиями сопряжения с прочими элементами конструкции.

На поверхности контакта каждой пары соседних слоев выполняются условия сопряжения

© (R —0,z)-0 RR + 0,z) = 0;

от V от ? / от+1 V от ? / 5

d®m(r,z)

dr

от+1

r=Rm-°

dr

= 0

r=Rm+0

(6)

(7)

Жидкость во внутренней полости цилиндра движется вдоль положительного направления оси z со скоростью v0. Считается, что искомое превышение температуры жидкости F (z) над температурой внешней среды зависит только от осевой переменной z, причем на входе в цилиндр это превышение задано: F(0) = ©0.

Уравнение баланса энергии, которую теряет жидкость и которую принимает своей внутренней поверхностью цилиндр, имеет вид

F(z)=0o+;j^

dq,

r=R0

(8)

где \х = 2Х/ (v0RqP0c0), ро, с0 - соответственно плотность и теплоемкость жидкости; q - переменная интегрирования.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2 Аналитическое решение

Решение поставленной задачи будет найдено в виде суммы 0(r,z) = ©(1)(r,z) + ©(2)(r,z).

Функция 0(1)(r,z)= 0®(r,z), Rm_x<r<Rm от=1 м подчиняется условиям (1), (3)-(7), а также однородному условию

(9)

0,

(10)

заменяющему условие (2). Она выражается в виде разложения

Ni

©(1) (г, z) = £

Ni Си cosh(pi(1)z) + с01 cosh(pi(1)(H~z))

1=0

p7(1) sinh( p7(1)H)

ui(г), (11)

2011/1

Proceedings of Petersburg Transport University

Общетехнические задачи и пути их решения

249

“/(9= Ulm(r), Rm_l<r<Rt

т т=\

м

Щ„, (г) = a!!’ J0(p?'r) + bZ%(p(,"r).

Здесь Nx = +оо; J0 (х), Y0 (х) - функции Бесселя. Коэффициенты с01, си пока считаются неизвестными. Столбец неизвестных коэффициентов

Т

x(l) — afx, b)\], ..., d/l), b/h определяется с точностью до постоянного

множителя и является решением линейной системы уравнений, порожденных условиями (10), (6), (7), (3):

L(l)(p)x(l) = 0. (12)

В матрице ld\p) размерами 2Мх2М отличны от нуля только следующие элементы:

ГУ ГУ

1л\ (Р) = p£(pR0)--2-C,(pRo); Lu (p) = P%(pRo)-if-^pRo)\

Kx Aj

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

^2т,2т-\(Р) 4w.2w+l 4) “ /?4 ’ 4iw.2w(4) ^2m,2m+2^P) ^ /?4 '

4Li>,-i(p) = A,pC pK ; AA.2„m(p) = -\„+ipC pK ;

4Ai.2„» = Ap4' ; 4L.2m+2<p) = -A+iP4 >

ot = 1, 2,, M-l;

ГУ

442«-i 4) = pQWJ+j^QtpRM);

ГУ

(/?) = ) ,

С,(х) = У0 (х), 2,(х) = Y0 (х) . Фактор р здесь следует рассматривать как

корень уравнения, которое является условием существования нетривиального решения однородной системы (12):

detL(1)(/>) = 0. (13)

Уравнение (13) имеет счетное множество решений, нумеруемых индексом / (/ = 0, 1, 2, ...). Для элементов множества выбрано обозначение р('().

Набор попарно ортогональных кусочно-однородных функций ut (r), / = 0, 1, 2, ., составляет базис на промежутке [R, RM ]. Скалярное произведение имеет вид:

ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС

2011/1

250

Общетехнические задачи и пути их решения

М Ит

V,(U ¥2(0 =2Х /у,(r)\y2(r)dr. (14)

т=1 R

т-\

Подстановка представления (11) в условия (4), (5), домножение полученного равенства на щ (г), взятие от него интеграла по промежутку

[R, RM ], использование соотношения (14), свойства попарной ортогональности и, наконец, замена /0 —» / дает

= (-1)‘

м К,

Л 1 М Им

ZU J 2 dr •£ \ иы(Г)0,ЛГ)С)Г

т=х К,-1 ) т=х к,-1

Функция @(2)(г,z) = ©if(/,z), <г <Rm ОТ=1М подчиняется условиям (1)—(3), (6), (7), а также однородным условиям

dem(r,z)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(15)

Она выражается в виде разложения

©У(г;2) = (4Дп(г/^) + С)Л +

n2

+^os(p{2)z) a{jflQ(pfd) + bj2)K0(pfd) f. (16)

1=1

Здесь TV2 = +co; /y(2) = nl /H; f - неизвестные пока коэффициенты разложения

F(z)=y£,fi^Kp\1)z)- (i7)

1=0

Столбец коэффициентов х<2) = df,bff, ...,df,6j2/ является

(при каждом значении индекса l) решением линейной системы уравнений

L(2\p^)x(2) = Р(2). (18)

В правой части системы, в столбце Р(2> размерами 2Мх 1, отличен от нуля только один элемент р[2) = —ос0 / . Матрица Р2>(р) при р> 0 от-

личается от матрицы 1^1\р) тем, что Cfx) = /0 (х), £,(х) = К0 (х); /0(х),

2011/1

Proceedings of Petersburg Transport University

Общетехнические задачи и пути их решения

251

К0 (х) - модифицированные функции Бесселя. При р = 0 ненулевые элементы матрицы таковы:

1 С

4

4Д0) = ^;1®(0)

4

4Vi(0) = -42^(0) = in

X

Ч,Л

4

4^.(0)=-Д2>

2т,2т+2

(0) = 1;

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

V Т) у

L(2) ГО") -

^2m+l,2m-l Vй/

я

т ■ Т{Т) ГО") -

’ ^2m+\,2rn+\ Vй/

А,

m+1 .

Я

т = 1, 2,..., М-1;

'я Л

Ч^У

. Г (2)

; L2M ,2M

(0)

Подстановка в уравнение (8) представлений (16), (11), домножение полученного уравнения на C0s(pz(2)z) при i = 0, 1, 2, 3, ... , наконец, взя-

тие интеграла по промежутку [0, H ] порождают бесконечную систему линейных уравнений

L(0)x(0) = Р(0)

(20)

относительно столбца искомых коэффициентов х(0) = • • • •

Коэффициенты i -го уравнения системы здесь представлены отдельно для i> 1

г(0) _ . г(0) _ ..JJ) .

" 2 ’ 10 fe(2,)4 ’

4)=HPf

i—(—i),+'

,1*1, 1*1;

1У-Со; .-h^)-(-1)

и,Л

1=0

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

и для i = О

/^sinh^tf) (pf>)2Mp?>Y' 32 = #-н<4

(21)

,(2)

НА

1®=-цБ_у>1 a®/l(pfX)-^’W4). ^1;

2R,

,(2) ^(2)

Pl

(2)

ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС

2011/1

252

Общетехнические задачи и пути их решения

V(0) ро

Nx (

Я©„+цХ

cosh(pz(1)//) -1

со lH +

с

и

■с,

01 „(1)

£>Jusinh(pz(1)//)

«/Л

(22)

Решение системы (20) ведется методом редукции. Это означает, что пределы суммирования N и N2 принимаются конечными. Конечным,

равным N2 +1, становится и число уравнений в системе (20).

3 Вспомогательная задача

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Тестовая задача для специального поля температур 0z3)(r,z) =

= (r>z) > Rm-1 <r<Rm m=\,... ,м > определяемого для z e [0, + go) , со-

ставляется из условий (1)-(3), (6)-(8), а также допущений

a^Jotpf^ + b^Y^pf^r) exp(-/?z(3)z); (23)

F{z) = ©0 exp(-pz(3)z)

(24)

Решения тестовой задачи, составляющие дискретное множество, нумеруются индексом I (/ = 0, 1, 2, ...). Столбец искомых коэффициентов х(3) =

azl3),/у3), ..., <2Z3/,/у3) является решением линейной системы уравне-

ний

L(3)(ft(3V3) = Р(3). (25)

В правой части системы, в столбце Р(3) размерами 2М х 1, отличен от нуля

П\ /Л \

только один элемент Рг — 0О. Факторы затухания р) ( / = 0, 1, 2,... ) являются положительными корнями уравнения

detL(4)(/>) = 0. (26)

Элементы матриц lP3(p), L(4)(p) совпадают с элементами матрицы L(1)(p) всюду, кроме первой строки:

(р) = -вС (pRo); Д2 (р) = (prо);

(3),

а(

Т

4» = 4‘»+v^ffGO; С» = ■

ас

X

2011/1

Proceedings of Petersburg Transport University

Общетехнические задачи и пути их решения

253

Для меньшего из положительных корней уравнения (26) предлагаются приближенные формулы, применимые при малых суммарных толщинах

стенки цилиндра \ :

,(3)

Ро\~Роl=Po/(1 + Pl);

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

,(3)

Ро" “А = Ро / (1 + Р,/(1+Р2)),

(27)

(28)

где

pi =

ar

г

а0 + оц

(а0 + оц)^

Р = р22^4 + + Р

oCqOCjP

м

м

к ha

(ОС0 ) ^T i=1

=? Я Rq

a50al(a0 -оц)

20 .

( м

22

(а0 + оц)6^4

Е^а,

V i-1 J

Pll =

3

м

(0Cq + оц)

f

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

+2оц

(а0 )^ч ''У',к

V

м м

1=\

а0 -Зо^ м

2 Я, /=1

л

ЕАА

+

7 м м з

«оЕЕ^^-а,ЕЕ ^ А

^ /=1 _/'=/'+1 *4 /=1 _/'=/'+1 j J

+

М М

м м

2«i Е Е АА - (ао - «1 )Е Е hJXj

i= 1 j=i+\

г J

(a0+ai )Л„

1«A2 MMhh

i i=1 _/’=/ +1

2

1

4 Численные результаты

При проведении вычислений принято М — 3, = 0,3 м,

Я = 2000 м, v0 =0,01 м/с, ©0 =90 К, а0 = 300 Вт/(м2 - К),

сц =30 Вт/(м2 - К). Материалы слоев: сталь (^ =58,7 Вт/(м-К)), пенополистирол (Е2 = 0,043 Вт/(м - К)), резина (Е3 =0,15 Вт/(м-К)). Базовые толщины: 1\ =5 мм, =100 мм, }ц =10 мм. Жидкость, протекающая по трубе, - вода.

ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС

2011/1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

254

Общетехнические задачи и пути их решения

На рисунке 1 показаны профили температур тестовой задачи ©f} (г,0) при / = 0, 1, 2, 3 , части а-г соответственно. Для всех случаев / > 1 на промежутке [R(), RM ] имеются участки отрицательных превышений температур и участки их монотонного роста. На практике превышения температур в трубах теплотрасс над температурой окружающей среды монотонно убывают по мере удаления от оси, оставаясь положительными.

Таким образом, поля 0^3)(r,z) при /> 1 следует признать технически бессмысленными. Важно также отметить, что такие поля быстро убывали

/-5Ч /от

бы при росте z, поскольку р) » pQ при / > 1.

а)

б)

г)

Рис. 1. Профили температур тестовой задачи

На рисунке 2, а продемонстрирована эффективность приближенной формулы (27), на рисунке 2, б - формулы (28). Толщины слоев и суммарная толщина уменьшаются от базовых значений до нуля, при этом пропорция h ■ h: h сохраняется неизменной. Относительная погрешность последней формулы при базовых толщинах (то есть для термически толстой стенки трубы) менее 0,8 %.

2011/1

Proceedings of Petersburg Transport University

Общетехнические задачи и пути их решения

255

Рис. 2. Действие приближенных формул

При постановке практических задач представляется трудным выбор функций торцевых тепловых потоков. Нередко эти потоки принимаются равными нулю, например, на основании гипотезы о перпендикулярности тепловых потоков в толще трубы и изоляции к цилиндрическим поверхностям труб. Авторы считают более уместным выбирать эти потоки на основе технически реалистичного поля 0®(r,z).

Численный эксперимент с решением основной задачи проведен для тестового случая, когда в качестве функций торцевых потоков взяты

G0m(r) = РТК^Тт^’О) И Glm(r) = Ро)Хт®о1(Г,Н). ТеСТОВЫЙ СЛуЧВЙ

допускает точное решение (23), (24). На рисунке 3 показаны зависимости превышения температур в жидкости для точного и приближенного решений. При А) = N2 = 32 относительное отклонение приближенного решения от точного менее 0,1 %.

Рис. 3. Сравнение точного и приближенного решений задачи

ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС

2011/1

256

Общетехнические задачи и пути их решения

Заключение

Построено и численно испытано аналитическое решение задачи о распределении температурного поля в многослойном прямом круговом цилиндре, по полости которого протекает жидкость.

Выведены и численно испытаны новые приближенные формулы для построения технически реалистичных граничных условий на торцах цилиндра.

Библиографический список

1. Стационарное тепловое поле кусочно-однородного прямоугольного бруса / Л. М. Юферева, Ю. А. Лавров // Известия РАН. Энергетика. - 2005. - № 2. - С. 129-137.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2. О тепловом поле многослойной пластины с внутренними источниками / Л. М. Юферева, Ю. А. Лавров // Известия РАН. Энергетика. - 2009. - № 2. - С. 77-82.

3. О тепловом поле многослойного полого цилиндра / Л. М. Юферева, Ю. А. Лавров, А. Ю. Юферев // Известия РАН. Энергетика. - 2011. - № 1. - С. 75-81.

Статья поступила в редакцию 21.01.2011;

представлена к публикации членом редколлегии И. Г. Киселёвым.

2011/1

Proceedings of Petersburg Transport University