# Приближенный метод расчета коэффициента теплоотдачи при конденсации пара на внутренней поверхности наклонного цилиндрического конденсатораТекст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
92
33
Поделиться

## Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Юферева Л.М.

This article deals with the problem of condensate accumulation and drippage along internal surfaces (hereafter referred to as condensing surface) of inclined cylindrical pipe with a fl at cover at the top face end. The temperature of saturated vapor in a pipe cavity is considered to be constant. Temperature distribution along condensation surfaces is considered to be predetermined. Condensate fl ow is considered to be laminar and occurs only by gravity. Heat transfer from vapor to wall is caused only by condensate molecular heat conductivity. The function of condensate thickness distribution on internal condenser surfaces is searched. This function allows to estimate heat transfer coeffi cient. Two algorithms of numerical solution of the problem are offered and implemented. The comparison of implementation results makes it possible to control their error. For the case of constant temperatures along condensation surface the exact analytical decision of the problem is offered.

## Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Юферева Л.М.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

## The approximate method of heat-transfer coeffi cient calculation at vapor condensation on the internal surface of the inclined cylindrical capacitor

This article deals with the problem of condensate accumulation and drippage along internal surfaces (hereafter referred to as condensing surface) of inclined cylindrical pipe with a fl at cover at the top face end. The temperature of saturated vapor in a pipe cavity is considered to be constant. Temperature distribution along condensation surfaces is considered to be predetermined. Condensate fl ow is considered to be laminar and occurs only by gravity. Heat transfer from vapor to wall is caused only by condensate molecular heat conductivity. The function of condensate thickness distribution on internal condenser surfaces is searched. This function allows to estimate heat transfer coeffi cient. Two algorithms of numerical solution of the problem are offered and implemented. The comparison of implementation results makes it possible to control their error. For the case of constant temperatures along condensation surface the exact analytical decision of the problem is offered.

## Текст научной работы на тему «Приближенный метод расчета коэффициента теплоотдачи при конденсации пара на внутренней поверхности наклонного цилиндрического конденсатора»

﻿200

Общетехнические задачи и пути их решения

байта данных в протоколе 12C, является проверочным или контрольным. Такие биты повышают избыточность кода. Избыточные биты дают возможность обнаруживать ошибки в принятой информации на основе алгебры логики и тем самым повышают помехоустойчивость передачи данных. Помехоустойчивыми называются коды, позволяющие обнаруживать или исправлять ошибки в принятом сообщении. Увеличение числа таких битов в кодовой комбинации повышает способность обнаружения ошибки кода, но приводит к некоторому снижению скорости передачи информации.

Заключение

1. Проводное оборудование бортовой микропроцессорной системы управления ЭПС подвергается внешнему влиянию электромагнитных полей, индуцирующих в нем помехи, в связи с чем требуется применение мер, обеспечивающих помехозащищенность.

2. Предлагаемая организация системы управления электрическими аппаратами с применением последовательных каналов на основе протокола 12С уменьшит количество

проводов и позволит оптимизировать длину и близость расположения силовых и управленческих линий.

3. Применяемое в протоколе 12С избыточное кодирование обеспечивает высокую защиту передачи сигналов.

Библиографический список

1. Микропроцессорная система управления магистрального пассажирского электровоза постоянного тока с коллекторными тяговыми двигателями МПСУ-007. Руководство по эксплуатации АРКИ.421455.007 РЭ. - Новочеркасск, 2010. - 225 с.

2. Аппаратура микропроцессорной системы управления и диагностики электровоза / И. Н. Бадьян // Современные технологии автоматизации. - 2000. - № 4. - С. 48-52.

3. Взаимные влияния в кабелях связи / В. О. Шварцман. - М. : Связь, 1966. - 431 с.

4. Применение мультиплексных каналов для управления электрическими аппаратами на электроподвижном составе / Е. В. Сирая // Известия ПГУПС. - 2012. - № 4 (33). - С. 67-72.

5. Микроконтроллеры AVR : практикум / В. Я. Хартов. - М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2007. - 240 с.

УДК 620.9:621.3:536.24 Л. М. Юферева

Петербургский государственный университет путей сообщения

ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА КОЭФФИЦИЕНТА ТЕПЛООТДАЧИ ПРИ КОНДЕНСАЦИИ ПАРА НА ВНУТРЕННЕЙ ПОВЕРХНОСТИ НАКЛОННОГО ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО КОНДЕНСАТОРА

Рассматривается задача о накоплении и стекании конденсата на внутренних поверхностях (далее - поверхностях конденсации) отрезка наклонной цилиндрической трубы с плоской заглушкой на верхнем торце. Температура насыщенного пара в полости трубы считается постоянной. Распределение температур по поверхностям конденсации считается заданным. Течение конденсата считается ламинарным и происходит только под действием силы тяжести. Передача теплоты от пара к стенке обусловлена только молекулярной теплопроводностью конденсата.

Разыскивается функция распределения толщин конденсата по внутренним поверхностям кон -денсатора, позволяющая оценить коэффициент теплоотдачи при конденсации пара.

2013/2

Proceedings of Petersburg Transport University

Общетехнические задачи и пути их решения

201

Предложены и реализованы два алгоритма численного решения задачи. Сравнение результатов их применения позволяет контролировать погрешность алгоритмов.

Для случая постоянных температур вдоль поверхности конденсации предложено точное аналитическое решение задачи.

двухфазный термосифон, конденсация, ламинарное течение, коэффициент теплоотдачи, численное решение, аналитическое решение.

Введение

Вопросам определения теплоотдачи трубами конденсатора посвящен ряд работ [1-3]. Актуальность таких работ продиктована, в частности, потребностями эффективного охлаждения полупроводниковых приборов большой мощности. Вместе с тем вопросу оценки теплоотдачи наклонными трубами конденсатора отводится недостаточно внимания. Целью данной работы является восполнение этого пробела.

1 Постановка задачи

Разыскивается поле толщин пленки конденсата 5 (ф, z) в двумерной области Q, лежащей на внутренней поверхности цилиндрической трубы (на желобе) r = R0, Q = (Ф0 < <ф< Ф1, Z0 < z < Z1}, Ф0 > 0, Ф1 > п. Ось цилиндра Oz отклонена от вертикали на угол в + п/2 (0 < в < п/2) и направлена в сторону уменьшения высоты над горизонтом. Угол ф отмеряется от верхней образующей цилиндра. Процессы считаются симметричными по координате ф. Выбранные координатные переменные и их границы гарантируют течение конденсата под действием гравитационных сил в направлении роста обеих координат. Два из четырех участков границы желоба (Гф0 = {ф = Фo, Z0 < z < ZJ и ГZq = = {z = Z0, Ф0 <ф < ф Д) уместно назвать входными, тогда как два других (Гф = {ф = Ф1,

Z0 < z < Z1}, rzi ={z = Zi, Ф0 <Ф<Ф1}) -выходными. 1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Уравнение теплового баланса для пленки конденсата выводится согласно методике, приведенной в [3], и имеет вид

д 1 д cos ф^

sin ф----1------1-----

дф p dz 3 z

x

х5(ф, z) - A

®(ф,z) 53(ф, z)

0.

(1)

Здесьp = 1/(A0 tanP),A = ^vR0 /((p1 -p0)x x gr0 cos P); X, v, Pj - соответственно молекулярная теплопроводность, кинематическая вязкость и плотность конденсата, T0, р0 - соответственно температура и плотность пара, g - ускорение силы тяжести, r0 - удельная теплота парообразования, 0 (ф, z) = T0 - T (ф, z) -превышение температуры пара Т0 над заданной температурой внутренней поверхности стенки желоба стенки Т (ф, z). Краевые условия

5(ф,Z0) = и(ф), Ф0 <ф<Ф1; (2)

5(^ z) = v(z) Z0 < z < Z1 (3)

задают толщины пленки соответственно на входных участках границ желоба ГZ и ГФо, причем и (ф) > 0, v (z) > 0, и (ф0) = v (Z0).

Построить точное аналитическое решение задачи (1) - (3) при произвольной функции T (ф, z) не представляется возможным.

При решении поставленной задачи интерес представляет не только поле толщин конденсата, но и численная оценка интеграла

а =

X

АФ-AZ

Ф1 Z1

J d ф J dz •

Ф0 Z0

1

5(ф, z У

дающего среднее значение коэффициента теплоотдачи при конденсации пара на внутренней поверхности желоба, при этом ДФ =

= Ф1 - Ф ДZ = Z 1 - Z0.

ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС

2013/2

202

Общетехнические задачи и пути их решения

2 Первый способ решения

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Для построения приближенного решения задачи методом сеток представляется удобным ввести новую искомую функцию у (ф, z) = 54 (ф, z), что приводит к замене уравнения (1) уравнением

д 1 д 4cos

sin ф---1------1------

дф p dz 3 ;

х

х у(ф, z) - 4 А0(ф, z) = 0.

(4)

Покрывающая область Q сетка с узлами

(фр z) Ф 0 =фо <ф1 < — < ф/-1 <ф/ = Ф1, Z0 = = z0 < z1 < < zj 1 < zj = Z1 позволяет заме-

нить дифференциальное уравнение (4) конечно-разностным соотношением

Y,-+1, j+1 = -Yj -Y,+, j -Yi, j+1 +

+ 6(Yj- +Уг+1,j)Аф + (Yj- + Y,-,j+i) ^

3 Аф + 3 p sin ф .Az + (5)

p sin ф .Az + 4 А0(ф., z j) рАфАг

;--------------.

+ 2 p cos ф. АфА^

Здесь y„ = у (фг, zг), ф г = 2(фг + ф г+1), zj =

= 2( zj + zj+1). С использованием известных

краевых значений ую = и4(ф.), y0j = v4(zj), соотношение (5) позволяет последовательно найти уи при k + l = 2, 3, ..., I + J (1 < k < I, 1 < l < J). Средний интегральный коэффициент теплоотдачи может быть оценен по формуле

А

i j

а «-------х

4АФ^

II( Y^-1 + Y-j4 +Y-1S +y-1/4)

i=1 j=1

х (фг -фг-1)(zj - zj-1).

X

3 Второй способ решения

Согласно методике [4], решение задач (4), (2) - (3) сводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений

d ф ( z ) dz

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

p sin ф (z );

(6)

d Y ( z ) dz

4 p х

х

А0(ф ( z ), z )

cos ф ( z ) 3

Y ( z ) L

(7)

в которой независимая переменная ф и искомая функция у (ф, z) заменены искомыми функциями ф (z) и Y (z) одной независимой переменной z.

Решение уравнения (6):

ф (z) = /о(Фо, zо, z), (8)

где f0 (x, y, z) = 2 arctan(tan( x / 2) exp( p( z - y))), представляет траекторию движения струи конденсата по поверхности желоба вдоль линий ската от стартовой точки (ф0, z0) G Гф0 ^ ^ rz . Множество струй, движущихся с таких стартовых точек, полностью покрывают область Q.

Семейство задач Коши для определения толщины струи содержит задачи, каждая из которых состоит из уравнения (7), в которое подставлена функция ф (z) из (8), и начального условия Y (z0) = Y 0, в котором

y 0 = z0);

z0)

и4(ф0), если z0 = Z0

V4(z0), если Ф0 =Ф0'

Для каждого элемента этого семейства уместно ввести обозначение Y (z) = А(ф0, z0, z), 5 (z) = й1/4(ф0, z0, z). Коэффициент теплоотдачи оценивается по формуле

а =

А

АФ^

(

Ф1 ?1(ф)

J dф J d л

Чф0

^0

/!(ф, Z0, л)

4 Кф,z 0, л)

+ J dz J dл-f2(Фо, Z, Л)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

0

4 Кф 0,z л)

х

(9)

2013/2

Proceedings of Petersburg Transport University

Общетехнические задачи и пути их решения

203

еслиf (Фо, Z0, Zj) < ф и

а =

А

АФ-AZ

f Ф1 V(Ф0,20) f (Ф Z л)

f dф f ’Ж

Фо Zo 4 h(9,Z 0’ л)

. Ul') dn {2<фр-z- л>

Z0 z 4 Ь(ф0, z, л)

если f (Ф0’ Z0’ Z1) ^ Ф

Применены обозначения:

С1(ф) = min ( у (Ф’ ^

С 2 ( Z ) = min Z V (Ф 0’ Z ) )

f1(X У,z) =

fo(x,У,z) .

dx ’

(10)

/ 4 1 , [ ф Ф] 1

ш(Ф,z) = zH— lnI cot —tan—1 I;

p | 2 2 )

3 A0o • 2 F1 з^5, - exp (2p(z - z0) )x

x tan21 —

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Л

f

+ expI -3p(z -z0) Iх

Ф0

z0)cos31 y I-3A&0 x

x 2 F1

2A5, - tan2 [ф0

3 3 3 I 2 ,

(11)

2F1 (x, y, z, t) - гипергеометрическая функция. Поскольку доступ к таким функциям имеется не из всех систем программирования, может оказаться полезным представление искомой функции в виде начального отрезка ряда Тейлора в окрестности точки

z = z0:

N

Чф0, ^ z) * Z an (Ф0, z0)(z - z0) ”. (12)

n=0

X

f2(x, ^ z)

fo(x,У,z)

dy

Формулы (9), (10) удобны в случае, когда функция h (ф0, z0, z) для каждой заданной тройки чисел (ф z0, у0) находится численно, методом Рунге - Кутта, количество принятых во внимание струй является конечным, как и количество узловых точек на каждой струе.

Ниже представлены выражения для нескольких младших коэффициентов суммы (12):

4 p

a1 (Фо , z0) = — (3 A0o - a0 (Ф0, z0 ) cos Ф0 );

a2 (Ф0, z0) = - у (24 A0O C0S Ф0 -- ao(Фo, z0)(7+cos(2Фo)));

2

4 Тестовое аналитическое решение

В случае, когда величина 0 (ф, z) является постоянной, 0 (ф, z) = 0 задача Коши для уравнения (7) допускает точное аналитическое решение:

h(Фo, zo, z) =

1 + exp (2 p( z - z0)) tan2

a3 (Фо, z0) = fr (24 A0o(5 - C0s(2Фo» -81

-ao(Фo, z0)(33cos Ф0-

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1944

a4 (Ф0, z0) =

(48A00 cos Ф0 (11 + 5cos(2ф0))-

a (Ф0, zq) (231 + 20 cos(2фo) + 5 cos^)));

3

4

ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС

2013/2

204

Общетехнические задачи и пути их решения

а5 (Фо, zo) = ^29— (24 А&0 (39 - 2 cos(290) -

-5 cos^o)) - а— (Фо, z— )(256 cos ф— +

+5 cos^0) - 5 cos(5ф0)));

на рис. 1 прерывистыми линиями. Точное представление (11) выражено сплошными линиями. Параметры, примененные при расчете: R0 = 6 мм, ©0 = 30 °К, в = 15°, ф0 = 30° для части (а), ф0 = 150° для части (б).

a6^ z0)

Р

262440

х(171 - 98 cos(2ф0) + 55 cos(4ф0)) -

- a0 (Ф0, z0)(1792 + 321 cos(2фo) --120 cos(4ф0) + 55 cos(6ф0)));

a7 (ф0, Z0 )

Р

5511240

- 399 cos(2ф0) + 546 cos(4ф0) --385cos(6ф0)) -

-a0 (ф0, z0)(8773 cos ф0 -1281 cos(3ф0) + +1085 cos^0) - 385 ^(7ф0))).

Результат применения формулы (12) для нескольких младших значений N показан

Заключение

1. Предложена методика приближенной оценки среднего значения коэффициента теплоотдачи при конденсации пара на внутренней поверхности желоба, смоченной конденсатом.

2. Рассмотрены два алгоритма приближенного численного построения поля толщин конденсата на поверхности желоба. Близость численных результатов применения двух алгоритмов может служить подтверждением их верности.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

3. Построено точное аналитическое решение задачи для случая постоянного превышения температуры пара над температурой внутренней поверхности желоба.

а)

б)

2013/2

Proceedings of Petersburg Transport University

Общетехнические задачи и пути их решения

205

4. Получено приближенное аналитическое решение задачи для малых осевых размеров желоба.

Библиографический список

1. Исследование теплоотдачи при конденсации водяного пара внутри вертикальной трубы / В. П. Исаченко, А. П. Солодов, М. А. Тируна-раянан // Сб. Теплообмен и гидравлическое со-

противление. Труды МЭИ. - 1965. - Вып. 63. -С.97-106.

2. Конденсация пара на ламинарной плоской струе жидкости / А. П. Солодов // Теплоэнергетика. - 1971. - № 7. - С. 50-53.

3. Элементарные модели теплообмена при конденсации / А. П. Солодов, Е. В. Ежов. - М. : Изд-во МЭИ, 2006. - 51 с.

4. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений / И. Г. Петровский. -М. : Наука, 1970. - 279 с.

ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС

2013/2