Научная статья на тему 'Приближенный аналитический метод расчета стационарного температурного поля цилиндрического резервуара с многослойными стенками'

Приближенный аналитический метод расчета стационарного температурного поля цилиндрического резервуара с многослойными стенками Текст научной статьи по специальности «Общие и комплексные проблемы технических и прикладных наук и отраслей народного хозяйства»

CC BY
147
35
Поделиться
Ключевые слова
ТЕПЛОТА / КРУГОВОЙ ЦИЛИНДР / МНОГОСЛОЙНЫЕ СТЕНКИ / ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ

Аннотация научной статьи по общим и комплексным проблемам технических и прикладных наук и отраслей народного хозяйства, автор научной работы — Юферева Л. М., Лавров Ю. А., Юферев А. Ю.

Рассматривается осесимметричная задача о распределении температур в многослойных стенках резервуара в форме прямого кругового цилиндра. Получено приближенное аналитическое решение задачи. Построенные с его использованием численные данные сопоставлены с результатами применения численных методов. Выведены и использованы новые приближенные формулы для поиска собственных значений краевой задачи Штурма-Лиувилля.

Похожие темы научных работ по общим и комплексным проблемам технических и прикладных наук и отраслей народного хозяйства , автор научной работы — Юферева Л. М., Лавров Ю. А., Юферев А. Ю.,

The Approximate Analytical Method of Computation of the Steady-State Temperature Field of the Cylindrical Tank with Multilayered Walls

The axisymmetric problem on heat transfer through multilayered walls of the tank in the shape of the direct circular cylinder is considered. The approximate analytical solution of the problem is obtained. The numerical data obtained with its use is compared to results of numerical methods. The new approximate formulae for eigenvalues of a boundary problem of Sturm-Liouville are deduced and used.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Текст научной работы на тему «Приближенный аналитический метод расчета стационарного температурного поля цилиндрического резервуара с многослойными стенками»

Общетехнические и социальные проблемы

293

УДК 620.9 : 621.3 : 536.24

Л. М. Юферева, Ю. А. Лавров, А. Ю. Юферев

ПРИБЛИЖЕННЫЙ АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА СТАЦИОНАРНОГО ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО РЕЗЕРВУАРА С МНОГОСЛОЙНЫМИ СТЕНКАМИ

Рассматривается осесимметричная задача о распределении температур в многослойных стенках резервуара в форме прямого кругового цилиндра. Получено приближенное аналитическое решение задачи. Построенные с его использованием численные данные сопоставлены с результатами применения численных методов.

Выведены и использованы новые приближенные формулы для поиска собственных значений краевой задачи Штурма-Лиувилля.

теплота, круговой цилиндр, многослойные стенки, приближенные формулы.

Введение

Вопросам нахождения температурного поля в многослойных конструкциях посвящен ряд работ [1]-[3]. Актуальность таких работ продиктована потребностями различных областей техники, например производства полупроводниковых приборов, создания эффективного водонагревательного оборудования, строительства энергоэффективных зданий и сооружений. Подробный обзор работ по расчету тепловых полей в многослойных конструкциях приведен в [4].

Настоящая работа является продолжением работ авторов, начатых в [5]-[7].

1 Постановка задачи

Разыскивается температурное поле в стенках цилиндрического резервуара (рис. 1, а). Цилиндрическая стенка R0 < r < RM, |z| < HM,

разделена поверхностями r = Rm (m = 1, 2, ..., M — 1) на M слоев, Rm - 1 < r < Rm. Одинаковые плоские днища H0 < |z| < HM, r < RM, в свою очередь разделены плоскостями |z| = Hm (m = 1, 2, ..., M — 1) на M слоев, Hm _ 1 < |z| < Hm. Соседние слои заняты материалами с различными теплофизическими свойствами.

ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС

2010/2

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

ОбЩетехнические и социальные проблемы

Рис. 1. Геометрия системы

Используются обозначения:

т т

3.=^+EV Я„ = я0+£лу,

7=1 7=1

hm (m = 1, 2, ..M) - толщина m-го слоя.

В силу симметричности конструкции далее рассматриваются только четные по переменной z процессы. Это ограничение непринципиально и используется во избежание громоздкости выкладок.

Температура в материале стенок T(r, z) удовлетворяет однородному уравнению Лапласа

Ar(r,z) = 0, (1)

неоднородным граничным условиям третьего рода на цилиндрических поверхностях

(2)

(3)

и на плоских вертикальных поверхностях

\ дг Хм j

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС

2010/2

Общетехнические и социальные проблемы

295

z=+Hо, r<Ro

= ^/,;

У

(4)

(5)

Z=+HM , Г<ЛМ

Здесь А - оператор Лапласа в цилиндрических координатах; Ut, at -соответственно температуры среды и коэффициенты теплоотдачи внутренних (t = 1) и внешних (t = 2) поверхностей конструкции; U\ > U2, Xm (m = 1, 2, ..., M) - коэффициент теплопроводности m-го слоя. В (4), (5) и всюду далее символ «±» означает, что используются одновременно либо все верхние, либо все нижние знаки.

На поверхности контакта каждой пары соседних слоев, а также на конической поверхности контакта цилиндрической и плоских стенок выполняются условия сопряжения:

T(R-0,z)-T(R+0,z) = 0

X.

dT(r,z)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

dr

-X

dT(r,z)

т+1

r=Rm~0

dr

= 0;

Г=Кт+ 0

г — Rq > |z| — Hq , т = 1.2.\ / — 1:

T(r,±Нт-0)-Т(г, ±Н +0) = 0;

А..

dT(r,z)

dz

-X

dT(r,z)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

m+1

z =# m-0

&

= 0;

г =Я „,+0

r — Rq < Ы — , m = l, 2,, M-l;

T (r, z )|

r-RQ=\z\-H0-0

~T(r,z) I

r-_RQ=|z|-//0+0

= 0:

3

dz

r(r,z)

(r 9 sL 9

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

T(r,z)

W

г-_Ко=|г|-//о_0

Rq <r < RM.

dr dz

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

= 0

r-RQ=\z\-H0 +0

(11)

ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС

2010/2

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Общетехнические и социальные проблемы

2 Аналитическое решение

Температурное поле Ts)(r, z) в стенках резервуара определяется раздельно в цилиндрической области ^ = [R0 < r < RM , r — R0 > |z| — H0} (s = 1) и в плоской дисковой области ^2 = [H0 < |z| < HM , r — R0 < |z| — Hq} (s = 2).

Решение поставленной задачи разыскивается в виде сумм:

T(s) (г, z) = T(sV) (г, z) + T(s2) (r,z), s = 1,2. (12)

Слагаемые в (12) являются кусочно-однородными функциями и выражаются своими зонными составляющими:

Tm(r,z)= T«'\r,z), R,„_l<r<Rll

т=1,2,... ,М

, t = 1,2,

T(2,'(r,z) = T';2,,(r,z), Hm,<z<H„ , r = 1,2

v ? / m v?y? m—l m л Л 7

m=1,2,... ,ти

Используются представления:

N

ТГ(г,2) = ^Т^(г,гу,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(13)

п=О

T^\r, z) = coshQjfz) J0 (рЦ'г) + б*;,,1'}; (р<1:V)

Tla>(r,z) = a^\n(qr) + b{:r>-

m ’

jV

TL2l\r,z) = ^?T^\r,zy,

(14)

(15)

n=0 /2)'

rJ»f(r>z) = /o(P®r) cos p®(|z|-tf0) +6‘21>sin Р®(|2|-яо) ;

Ы06)

Jjyx), F^(x), I^(x) - функции Бесселя порядка ц; N - неотрицательное целое; единичный множитель q = 1/м имеет размерность, обратную длине. Величины N, с(} пока не определены.

Столбцы коэффициентов

т

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Y(*i) _ nW h(si) nW) h(si)

л u\n >u\n 5U2n >u2n 5

a(sl) b(sl) ' s = 12

■>U'Mn 5 uMn ’ °

участвующих в разложениях (13), (15), являются (при каждом индексе n) решением алгебраических однородных систем линейных уравнений

L{sl)(p{ns))x{sl) =0.

(17)

ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС

2010/2

Общетехнические и социальные проблемы

297

В матрице L(st)(p) размерами 2M х 2M отличны от нуля только следующие элементы:

0L

^\p) = pZt(pE^)-^JpEyy,

К

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

ал

^\р) = Р^(рЕУ)-^ЛрЕ^У

К

еУ1м{р) = -4^i(/o=^(ре;:у

е(£2Лр) = -Е(£2т+2(р) = ^t(pE(:y);

T(st)

^2т+\,2т-

Ар)=\ЖАреА А

2т+\,2т+\

(р) = -К+ААрАуУ

T(st)

2т+\,2т

(р) = К А, (рЕг); УЖ.2 (р) = Ж А, А:’);

т-1, 2,..., М-1;

4JU-, О») = /С WС, (рЗ," );

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(*)'

а.

ЧЧч

А,

А£, м (р) = р£АрАу)+т2-^Арем)’

х

причем ^(x) = Jo(4 5n(x) = 70(х), ^lM = cos(x), ^i(x) = sin(x); здесь Е^ = Rm, = Нт. Фактор p(ns) следует рассматривать как

корень уравнения, которое является условием существования нетривиального решения однородной системы (17):

detL(5l)Cp) = 0. (18)

Уравнение (18) имеет для каждого значения индекса s свое счетное множество решений, нумеруемых индексом n (n = 0, 1, 2, ...). Это множество составляет набор собственных чисел задачи Штурма-Лиувилля для многослойного полого цилиндра (s = 1) либо многослойной пластины (S = 2).

В работе [3] отмечено, что среди факторов p{ns} решающее влияние на

точность получаемого решения оказывают те из них, для которых n = 0. Поэтому представляется полезным применить приближенный метод

поиска p , основанный на разложении по степеням малого параметра 8 = max(a1?a2)x max hm/Xm самой величины p в уравнении (15) и

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1 <т<М

затем левой части этого уравнения:

ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС

2010/2

£98Щетехнические и социальные проблемы

„(1) ~ й(1)-Ро ~ Ро > 8->0 (19)

п(2) „ й(2) Ро ~пРо ■ £—>0 (20)

Используются обозначения:

а, + а

Ро=—: р1=Ёи±%±р!1; у = ;

У Ум

М У „.2

3

01. =-£#*7

М-1 м

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Р.2 = -£ £

/'=1 у=/+1

/= 1

У у

Щк}

\ V

ОЦ — ОЦСХ^ ”Ь сх,2 оц — ОС2 .

1 А,-

л

+ ■

2 Ro

су (су - а2)Х . +\

а\Х{ . За1Х/ -a2{Xi + 2£.)

(21)

лл

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

/ г.

Щ

а2(а2 — су)А,,. +Л,

^оу2£ . За2Х. - оу(X. + 2£ .)Л

ММ МЧ М^

Р.з=-££ £

г=1 ./=7+1 k=j+1

aX^jK ОуОС 2^iK ,

оуА-^ Х-г- + 2£^ + ос2)у 2А,у + £

а

(23)

Суммы в (22), (23) следует считать равными нулю в случаях, когда верхний предел индекса суммирования меньше нижнего.

Величина р(02) получается из р\]] предельным переходом при

R0 ^ +да, то есть удалением из (21)-(23) всех слагаемых, содержащих R0 в знаменателе.

При поиске элементов столбца x(s 1 \ соответствующих найденному рп , можно положить а\п = 1, а прочие его элементы отыскивать с

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

помощью системы (17), из которой при этом следует исключить одно из уравнений, например первое.

Для разложений (14), (16) системы уравнений относительно наборов коэффициентов x(i2) = a[s2\b[s2\a^2\b^s2\ ... ^a^2\b^2) , 5=1,2,

принимают вид:

L(s2\q)x(s2) =Z(S\ (24)

ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС

2010/2

Общетехнические и социальные проблемы

299

причем £и(х) = ln(x), ^п(х) = 1, ^(х) - |х|, ^(x) = 1, а в столбце Z(s) размером 2M х 1 отличны от нуля только два элемента:

7О) —ТТ 7О)

^1 U1 . ’ ^2 М

Система (24) для s - 1, 2 имеет единственное решение.

Таким образом, предложенные в (12) выражения точно удовлетворяют требованиям (1)-(9). Условия (10), (11) будут выполнены приближенно; это будет сделано двумя способами.

Первый, облегченный способ построения приближенного решения,

при котором N - 0, сводится к отысканию c(1), Cq2) с помощью системы двух линейных уравнений

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Л с(1) - А с(2) = Z ■

7'Т1С0 1V\2^Q ^1’

A c(l) - A c(Z) = Z yv21c0 lv22v0 *-‘2-’

,(2)

(25)

которая получается, если приравнять средние интегральные температуры, а также средние интегральные потоки теплоты для полей T^(r, z), Tl)(r , z) по поверхности «контакта» о — {r — R0 — |z| — H0, R0 < r < RM} (рис. 1, б):

м

а„=(-1Г£^Л);

m= 1

М 2

m=1 5=1

4'4«1.■r2) = |C’(r> +H0)dr

4,i“(rit2) = jf

dr:

z=r-Ro+H0

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

r2

B?\ri,r2)=lT?\r,r-R0+H0)dr-

ЙГ«,Т2)=}[(|;-£УГ)«,Л

<ir

z=r~Ro+H0

r2

При втором способе построения приближенного решения средние интегральные температуры и средние интегральные потоки теплоты приравниваются не по всей поверхности контакта о, а по каждому из участков некоторого ее разбиения. Каждый слой стенок условно подразделяется на несколько подслоев. Вводится набор целых чисел

ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС

2010/2

$Ш0Щетехнические и социальные проблемы

О — Р0 < Р\ < ... < Рм— N + 1, набор значений (к= 0, 1, Рм) таких, что Д,=рР <рр +1<...<рр =Rm при т= 1, 2, М, а также

m 1 1 т-1 Jm-1T1 m m

ступенчатая функция р(к) такая, что р(к) = m при Pm - i < к < Pm, р(0) = 0.

Я6 Л2) „(2)

^ ЛГ t (-'Л t

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Набор коэффициентов с = с®, с®, ..., ^ ,

отыскивается с помощью системы из 2N + 2 линейных уравнений

Ас = Z;

^+(Х+1)(г-1),(и+1)+(Х+1)(5-1) =

к -1, 2,..., А + 1, « = 0,1,..., А", / = 1,2, s = l,2;

с(2)

(26)

Я+(Х+1)(г-1)

-Х(-1Г<У(р»,рЭ

5=1

к — 1, 2,..., А +1, / — 1,2.

Тепловое сопротивление резервуара исчисляется как разность средних интегральных температур его внешней и внутренней поверхностей, деленная на суммарный поток теплоты через его стенки:

R - TQ Тм / S0;

Т =---------

" 2 R_H_ + R2

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

( Я„

R„

R» \P"(Rm,z)dz + \Tm(r,HJrdr

'mm m \ 0

г я

m = 0, А/;

S0 - -2nXl

M

dT(l)(r,z)

dr

Я

dz+ J

STm(r,z)

r=Ro

Л

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

'M

r HM

RM j

HM-dTil)(r,z) dr

RM

dz+ |

&

5r(2)(r,z)

rdr

Z=H0 J

r=Ri

dz

LM

\

rdr

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

z=hm )

Тождество ^o = <$М может быть применено для контроля точности получаемых результатов.

3 Численные результаты

При проведении вычислений принято а1 = а2 = 10 Вт / (м • А), М = 3, ^0 = 0,3 м. Материал среднего слоя (m = 2) - железо, прочих слоев (m = 1, 3) - цинк. На рис. 2 показаны зависимости теплового

ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС

2010/2

Общетехнические и социальные проблемы

301

сопротивления стенок резервуара от суммарной толщины стенок ho = hi + hj + ... + Нм . Толщины слоев подчиняются пропорции hi: hi: h3 = 1 : 2 : 1. Части (а) и (б) соответствуют случаям H0 / R0 = 1,5 и H0 / R0 = 1. Первое (при N = 0) и второе (при N = 2, Pm = m, m = 1, 2, 3) приближенные решения (25) и (26) представлены штрихпунктирными и пунктирными линиями соответственно. Сплошные линии выражают результат применения связки двух численных методов: метода конечных разностей и метода конечных элементов. Измельчение одинаковых для двух методов рабочих сеток продолжалось то тех пор, пока относительные расхождения во всех парах эквивалентных узловых точек не становилось меньше 0,2%.

Численные методы, характеризующиеся большой длительностью выполнения, применены здесь лишь в качестве эталона для контроля верности аналитических методов. Приближенные решения (25) и (26) дают относительные отклонения от эталонных результатов менее 1% соответственно для h0 / R0 < 0, 15 (тонкие стенки) и для h0 / R0 < 2 (скорее, толстые стенки).

а) б)

Рис. 2. Зависимость теплового сопротивления стенок резервуара от суммарной толщины стенок

Заключение

ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС

2010/2

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

ЕШцетехнические и социальные проблемы

Построено и численно испытано приближенное аналитическое решение задачи о распределении температурного поля в многослойных стенках цилиндрического резервуара.

Сравнение результатов применения численного и аналитического методов показывает, что последний обеспечивает достаточную для практических расчетов точность даже при относительно больших толщинах стенок резервуара.

Библиографический список

1. Теплообмен и тепловое воспламенение в многослойных конструкциях /

B. А. Кудинов, В. В. Калашников, Н. И. Лаптев, В. В. Гнеденко. - Самара : СамГТУ, 1996. - 280 с.

2. Об одном методе решения нестационарных задач теплопроводности для многослойных тел / В. А. Кудинов // Инженерно-физический журнал. - 1986. - Т. 50, № 2. - С. 162-163.

3. Об одном методе определения собственных чисел в нестационарных задачах теплопроводности / В. А. Кудинов, В. В. Диноп, Р. Ж. Габдушев, Д. В. Левин,

C. А. Стефанюк // Известия РАН. Энергетика. - 2002. - № 4. - С. 112-117.

4. Аналитические методы решения краевых задач для многослойных конструкций / В.А. Кудинов // Известия РАН. Энергетика. - 1999. - № 5. - С. 85- 106.

5. Стационарное тепловое поле кусочно-однородного прямоугольного бруса / Л. М. Юферева, Ю. А. Лавров // Известия РАН. Энергетика. - 2005. - № 2. - С. 129-137.

6. О тепловом поле многослойной пластины с внутренними источниками / Л. М. Юферева, Ю. А. Лавров // Известия РАН. Энергетика. - 2009. - № 2. - С. 77- 82.

7. Термомеханическое поле многослойной пластины с внутренними источниками / Л. М. Юферева, Ю. А. Лавров // Вестник Санкт-Петербургского университета. - 2009. - Сер. 1. - Вып. 2. - С. 122- 128.

Статья поступила в редакцию 05.04.2010;

представлена к публикации членом редколлегии И. Г. Киселёвым.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

УДК 656.225.073.8

Ж. Р. Кобулов

ИССЛЕДОВАНИЕ ФАКТОРОВ, ВЛИЯЮЩИХ НА ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ ОХЛАЖДЕНИЯ ПЛОДООВОЩЕЙ В РЕФРИЖЕРАТОРНОМ ПОДВИЖНОМ СОСТАВЕ

При перевозке плодоовощей в рефрижераторном подвижном составе (РПС) на скорость охлаждения грузов влияет множество факторов. В статье проанализировано влияние факторов окружающей среды, разработан алгоритм расчета

ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС

2010/2