Приближенный аналитический метод расчета стационарного температурного поля цилиндрического резервуара с многослойными стенками Текст научной статьи по специальности «Физика»

Общетехнические и социальные проблемы

293

УДК 620.9 : 621.3 : 536.24

Л. М. Юферева, Ю. А. Лавров, А. Ю. Юферев

ПРИБЛИЖЕННЫЙ АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА СТАЦИОНАРНОГО ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО РЕЗЕРВУАРА С МНОГОСЛОЙНЫМИ СТЕНКАМИ

Рассматривается осесимметричная задача о распределении температур в многослойных стенках резервуара в форме прямого кругового цилиндра. Получено приближенное аналитическое решение задачи. Построенные с его использованием численные данные сопоставлены с результатами применения численных методов.

Выведены и использованы новые приближенные формулы для поиска собственных значений краевой задачи Штурма-Лиувилля.

теплота, круговой цилиндр, многослойные стенки, приближенные формулы.

Введение

Вопросам нахождения температурного поля в многослойных конструкциях посвящен ряд работ [1]-[3]. Актуальность таких работ продиктована потребностями различных областей техники, например производства полупроводниковых приборов, создания эффективного водонагревательного оборудования, строительства энергоэффективных зданий и сооружений. Подробный обзор работ по расчету тепловых полей в многослойных конструкциях приведен в [4].

Настоящая работа является продолжением работ авторов, начатых в [5]-[7].

1 Постановка задачи

Разыскивается температурное поле в стенках цилиндрического резервуара (рис. 1, а). Цилиндрическая стенка R0 < r < RM, |z| < HM,

разделена поверхностями r = Rm (m = 1, 2, ..., M — 1) на M слоев, Rm - 1 < r < Rm. Одинаковые плоские днища H0 < |z| < HM, r < RM, в свою очередь разделены плоскостями |z| = Hm (m = 1, 2, ..., M — 1) на M слоев, Hm _ 1 < |z| < Hm. Соседние слои заняты материалами с различными теплофизическими свойствами.

ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС

2010/2

ОбЩетехнические и социальные проблемы

Рис. 1. Геометрия системы

Используются обозначения:

т т

3.=^+EV Я„ = я0+£лу,

7=1 7=1

hm (m = 1, 2, ..M) - толщина m-го слоя.

В силу симметричности конструкции далее рассматриваются только четные по переменной z процессы. Это ограничение непринципиально и используется во избежание громоздкости выкладок.

Температура в материале стенок T(r, z) удовлетворяет однородному уравнению Лапласа

Ar(r,z) = 0, (1)

неоднородным граничным условиям третьего рода на цилиндрических поверхностях

(2)

(3)

и на плоских вертикальных поверхностях

\ дг Хм j

ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС

2010/2

Общетехнические и социальные проблемы

295

z=+Hо, r<Ro

= ^/,;

У

(4)

(5)

Z=+HM , Г<ЛМ

Здесь А - оператор Лапласа в цилиндрических координатах; Ut, at -соответственно температуры среды и коэффициенты теплоотдачи внутренних (t = 1) и внешних (t = 2) поверхностей конструкции; U\ > U2, Xm (m = 1, 2, ..., M) - коэффициент теплопроводности m-го слоя. В (4), (5) и всюду далее символ «±» означает, что используются одновременно либо все верхние, либо все нижние знаки.

На поверхности контакта каждой пары соседних слоев, а также на конической поверхности контакта цилиндрической и плоских стенок выполняются условия сопряжения:

T(R-0,z)-T(R+0,z) = 0

X.

dT(r,z)

dr

-X

dT(r,z)

т+1

r=Rm~0

dr

= 0;

Г=Кт+ 0

г — Rq > |z| — Hq , т = 1.2.\ / — 1:

T(r,±Нт-0)-Т(г, ±Н +0) = 0;

А..

dT(r,z)

dz

-X

dT(r,z)

m+1

z =# m-0

&

= 0;

г =Я „,+0

r — Rq < Ы — , m = l, 2,, M-l;

T (r, z )|

r-RQ=\z\-H0-0

~T(r,z) I

r-_RQ=|z|-//0+0

= 0:

3

dz

r(r,z)

(r 9 sL 9

T(r,z)

W

г-_Ко=|г|-//о_0

Rq <r < RM.

dr dz

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

= 0

r-RQ=\z\-H0 +0

(11)

ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС

2010/2

Общетехнические и социальные проблемы

2 Аналитическое решение

Температурное поле Ts)(r, z) в стенках резервуара определяется раздельно в цилиндрической области ^ = [R0 < r < RM , r — R0 > |z| — H0} (s = 1) и в плоской дисковой области ^2 = [H0 < |z| < HM , r — R0 < |z| — Hq} (s = 2).

Решение поставленной задачи разыскивается в виде сумм:

T(s) (г, z) = T(sV) (г, z) + T(s2) (r,z), s = 1,2. (12)

Слагаемые в (12) являются кусочно-однородными функциями и выражаются своими зонными составляющими:

Tm(r,z)= T«'\r,z), R,„_l<r<Rll

т=1,2,... ,М

, t = 1,2,

T(2,'(r,z) = T';2,,(r,z), Hm,<z<H„ , r = 1,2

v ? / m v?y? m—l m л Л 7

m=1,2,... ,ти

Используются представления:

N

ТГ(г,2) = ^Т^(г,гу,

(13)

п=О

T^\r, z) = coshQjfz) J0 (рЦ'г) + б*;,,1'}; (р<1:V)

Tla>(r,z) = a^\n(qr) + b{:r>-

m ’

jV

TL2l\r,z) = ^?T^\r,zy,

(14)

(15)

n=0 /2)'

rJ»f(r>z) = /o(P®r) cos p®(|z|-tf0) +6‘21>sin Р®(|2|-яо) ;

Ы06)

Jjyx), F^(x), I^(x) - функции Бесселя порядка ц; N - неотрицательное целое; единичный множитель q = 1/м имеет размерность, обратную длине. Величины N, с(} пока не определены.

Столбцы коэффициентов

т

Y(*i) _ nW h(si) nW) h(si)

л u\n >u\n 5U2n >u2n 5

a(sl) b(sl) ' s = 12

■>U'Mn 5 uMn ’ °

участвующих в разложениях (13), (15), являются (при каждом индексе n) решением алгебраических однородных систем линейных уравнений

L{sl)(p{ns))x{sl) =0.

(17)

ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС

2010/2

Общетехнические и социальные проблемы

297

В матрице L(st)(p) размерами 2M х 2M отличны от нуля только следующие элементы:

0L

^\p) = pZt(pE^)-^JpEyy,

К

ал

^\р) = Р^(рЕУ)-^ЛрЕ^У

К

еУ1м{р) = -4^i(/o=^(ре;:у

е(£2Лр) = -Е(£2т+2(р) = ^t(pE(:y);

T(st)

^2т+\,2т-

Ар)=\ЖАреА А

2т+\,2т+\

(р) = -К+ААрАуУ

T(st)

2т+\,2т

(р) = К А, (рЕг); УЖ.2 (р) = Ж А, А:’);

т-1, 2,..., М-1;

4JU-, О») = /С WС, (рЗ," );

(*)'

а.

ЧЧч

А,

'М

А£, м (р) = р£АрАу)+т2-^Арем)’

х

'М

причем ^(x) = Jo(4 5n(x) = 70(х), ^lM = cos(x), ^i(x) = sin(x); здесь Е^ = Rm, = Нт. Фактор p(ns) следует рассматривать как

корень уравнения, которое является условием существования нетривиального решения однородной системы (17):

detL(5l)Cp) = 0. (18)

Уравнение (18) имеет для каждого значения индекса s свое счетное множество решений, нумеруемых индексом n (n = 0, 1, 2, ...). Это множество составляет набор собственных чисел задачи Штурма-Лиувилля для многослойного полого цилиндра (s = 1) либо многослойной пластины (S = 2).

В работе [3] отмечено, что среди факторов p{ns} решающее влияние на

точность получаемого решения оказывают те из них, для которых n = 0. Поэтому представляется полезным применить приближенный метод

поиска p , основанный на разложении по степеням малого параметра 8 = max(a1?a2)x max hm/Xm самой величины p в уравнении (15) и

1 <т<М

затем левой части этого уравнения:

ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС

2010/2

£98Щетехнические и социальные проблемы

„(1) ~ й(1)-Ро ~ Ро > 8->0 (19)

п(2) „ й(2) Ро ~пРо ■ £—>0 (20)

Используются обозначения:

а, + а

Ро=—: р1=Ёи±%±р!1; у = ;

У Ум

М У „.2

3

01. =-£#*7

М-1 м

Р.2 = -£ £

/'=1 у=/+1

/= 1

У у

Щк}

\ V

ОЦ — ОЦСХ^ ”Ь сх,2 оц — ОС2 .

1 А,-

л

+ ■

2 Ro

су (су - а2)Х . +\

а\Х{ . За1Х/ -a2{Xi + 2£.)

(21)

лл

/ г.

Щ

а2(а2 — су)А,,. +Л,

^оу2£ . За2Х. - оу(X. + 2£ .)Л

ММ МЧ М^

Р.з=-££ £

г=1 ./=7+1 k=j+1

aX^jK ОуОС 2^iK ,

оуА-^ Х-г- + 2£^ + ос2)у 2А,у + £

а

(23)

Суммы в (22), (23) следует считать равными нулю в случаях, когда верхний предел индекса суммирования меньше нижнего.

Величина р(02) получается из р\]] предельным переходом при

R0 ^ +да, то есть удалением из (21)-(23) всех слагаемых, содержащих R0 в знаменателе.

При поиске элементов столбца x(s 1 \ соответствующих найденному рп , можно положить а\п = 1, а прочие его элементы отыскивать с

помощью системы (17), из которой при этом следует исключить одно из уравнений, например первое.

Для разложений (14), (16) системы уравнений относительно наборов коэффициентов x(i2) = a[s2\b[s2\a^2\b^s2\ ... ^a^2\b^2) , 5=1,2,

принимают вид:

L(s2\q)x(s2) =Z(S\ (24)

ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС

2010/2

Общетехнические и социальные проблемы

299

причем £и(х) = ln(x), ^п(х) = 1, ^(х) - |х|, ^(x) = 1, а в столбце Z(s) размером 2M х 1 отличны от нуля только два элемента:

7О) —ТТ 7О)

^1 U1 . ’ ^2 М

Система (24) для s - 1, 2 имеет единственное решение.

Таким образом, предложенные в (12) выражения точно удовлетворяют требованиям (1)-(9). Условия (10), (11) будут выполнены приближенно; это будет сделано двумя способами.

Первый, облегченный способ построения приближенного решения,

при котором N - 0, сводится к отысканию c(1), Cq2) с помощью системы двух линейных уравнений

Л с(1) - А с(2) = Z ■

7'Т1С0 1V\2^Q ^1’

A c(l) - A c(Z) = Z yv21c0 lv22v0 *-‘2-’

,(2)

(25)

которая получается, если приравнять средние интегральные температуры, а также средние интегральные потоки теплоты для полей T^(r, z), Tl)(r , z) по поверхности «контакта» о — {r — R0 — |z| — H0, R0 < r < RM} (рис. 1, б):

м

а„=(-1Г£^Л);

m= 1

М 2

m=1 5=1

4'4«1.■r2) = |C’(r> +H0)dr

4,i“(rit2) = jf

dr:

z=r-Ro+H0

r2

B?\ri,r2)=lT?\r,r-R0+H0)dr-

ЙГ«,Т2)=}[(|;-£УГ)«,Л

<ir

z=r~Ro+H0

r2

При втором способе построения приближенного решения средние интегральные температуры и средние интегральные потоки теплоты приравниваются не по всей поверхности контакта о, а по каждому из участков некоторого ее разбиения. Каждый слой стенок условно подразделяется на несколько подслоев. Вводится набор целых чисел

ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС

2010/2

$Ш0Щетехнические и социальные проблемы

О — Р0 < Р\ < ... < Рм— N + 1, набор значений (к= 0, 1, Рм) таких, что Д,=рР <рр +1<...<рр =Rm при т= 1, 2, М, а также

m 1 1 т-1 Jm-1T1 m m

ступенчатая функция р(к) такая, что р(к) = m при Pm - i < к < Pm, р(0) = 0.

Я6 Л2) „(2)

^ ЛГ t (-'Л t

Набор коэффициентов с = с®, с®, ..., ^ ,

отыскивается с помощью системы из 2N + 2 линейных уравнений

Ас = Z;

^+(Х+1)(г-1),(и+1)+(Х+1)(5-1) =

к -1, 2,..., А + 1, « = 0,1,..., А", / = 1,2, s = l,2;

с(2)

(26)

Я+(Х+1)(г-1)

-Х(-1Г<У(р»,рЭ

5=1

к — 1, 2,..., А +1, / — 1,2.

Тепловое сопротивление резервуара исчисляется как разность средних интегральных температур его внешней и внутренней поверхностей, деленная на суммарный поток теплоты через его стенки:

R - TQ Тм / S0;

Т =---------

" 2 R_H_ + R2

( Я„

R„

R» \P"(Rm,z)dz + \Tm(r,HJrdr

'mm m \ 0

г я

m = 0, А/;

S0 - -2nXl

M

dT(l)(r,z)

dr

Я

dz+ J

STm(r,z)

r=Ro

Л

'M

r HM

RM j

HM-dTil)(r,z) dr

RM

dz+ |

&

5r(2)(r,z)

rdr

Z=H0 J

r=Ri

dz

LM

\

rdr

z=hm )

Тождество ^o = <$М может быть применено для контроля точности получаемых результатов.

3 Численные результаты

При проведении вычислений принято а1 = а2 = 10 Вт / (м • А), М = 3, ^0 = 0,3 м. Материал среднего слоя (m = 2) - железо, прочих слоев (m = 1, 3) - цинк. На рис. 2 показаны зависимости теплового

ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС

2010/2

Общетехнические и социальные проблемы

301

сопротивления стенок резервуара от суммарной толщины стенок ho = hi + hj + ... + Нм . Толщины слоев подчиняются пропорции hi: hi: h3 = 1 : 2 : 1. Части (а) и (б) соответствуют случаям H0 / R0 = 1,5 и H0 / R0 = 1. Первое (при N = 0) и второе (при N = 2, Pm = m, m = 1, 2, 3) приближенные решения (25) и (26) представлены штрихпунктирными и пунктирными линиями соответственно. Сплошные линии выражают результат применения связки двух численных методов: метода конечных разностей и метода конечных элементов. Измельчение одинаковых для двух методов рабочих сеток продолжалось то тех пор, пока относительные расхождения во всех парах эквивалентных узловых точек не становилось меньше 0,2%.

Численные методы, характеризующиеся большой длительностью выполнения, применены здесь лишь в качестве эталона для контроля верности аналитических методов. Приближенные решения (25) и (26) дают относительные отклонения от эталонных результатов менее 1% соответственно для h0 / R0 < 0, 15 (тонкие стенки) и для h0 / R0 < 2 (скорее, толстые стенки).

а) б)

Рис. 2. Зависимость теплового сопротивления стенок резервуара от суммарной толщины стенок

Заключение

ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС

2010/2

ЕШцетехнические и социальные проблемы

Построено и численно испытано приближенное аналитическое решение задачи о распределении температурного поля в многослойных стенках цилиндрического резервуара.

Сравнение результатов применения численного и аналитического методов показывает, что последний обеспечивает достаточную для практических расчетов точность даже при относительно больших толщинах стенок резервуара.

Библиографический список

1. Теплообмен и тепловое воспламенение в многослойных конструкциях /

B. А. Кудинов, В. В. Калашников, Н. И. Лаптев, В. В. Гнеденко. - Самара : СамГТУ, 1996. - 280 с.

2. Об одном методе решения нестационарных задач теплопроводности для многослойных тел / В. А. Кудинов // Инженерно-физический журнал. - 1986. - Т. 50, № 2. - С. 162-163.

3. Об одном методе определения собственных чисел в нестационарных задачах теплопроводности / В. А. Кудинов, В. В. Диноп, Р. Ж. Габдушев, Д. В. Левин,

C. А. Стефанюк // Известия РАН. Энергетика. - 2002. - № 4. - С. 112-117.

4. Аналитические методы решения краевых задач для многослойных конструкций / В.А. Кудинов // Известия РАН. Энергетика. - 1999. - № 5. - С. 85- 106.

5. Стационарное тепловое поле кусочно-однородного прямоугольного бруса / Л. М. Юферева, Ю. А. Лавров // Известия РАН. Энергетика. - 2005. - № 2. - С. 129-137.

6. О тепловом поле многослойной пластины с внутренними источниками / Л. М. Юферева, Ю. А. Лавров // Известия РАН. Энергетика. - 2009. - № 2. - С. 77- 82.

7. Термомеханическое поле многослойной пластины с внутренними источниками / Л. М. Юферева, Ю. А. Лавров // Вестник Санкт-Петербургского университета. - 2009. - Сер. 1. - Вып. 2. - С. 122- 128.

Статья поступила в редакцию 05.04.2010;

представлена к публикации членом редколлегии И. Г. Киселёвым.

УДК 656.225.073.8

Ж. Р. Кобулов

ИССЛЕДОВАНИЕ ФАКТОРОВ, ВЛИЯЮЩИХ НА ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ ОХЛАЖДЕНИЯ ПЛОДООВОЩЕЙ В РЕФРИЖЕРАТОРНОМ ПОДВИЖНОМ СОСТАВЕ

При перевозке плодоовощей в рефрижераторном подвижном составе (РПС) на скорость охлаждения грузов влияет множество факторов. В статье проанализировано влияние факторов окружающей среды, разработан алгоритм расчета

ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС

2010/2