CC BY
44
УДК 621.44.533.697
СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ ТРЕХСЛОЙНОЙ ПАНЕЛИ С ЛЕГКИМ ЗАПОЛНИТЕЛЕМ
© Н.В. Осадчий1, В.А. Малышев2, В.Т. Шепель3
1,3ОАО «Научно-производственное объединение "Сатурн"», 152903, Россия, Ярославская обл., г. Рыбинск, пр. Ленина, 163.
2Рыбинский государственный авиационный технический университет им. П.А. Соловьёва, 152934, Россия, Ярославская обл., г. Рыбинск, ул. Пушкина, 53.
Расчет собственных частот панелей звукопоглощающих конструкций с сотовым заполнителем сведен к модели трехслойной панели, толщина легкого заполнителя которой существенно больше толщины обшивок. Предложены численные методы расчета собственных частот, в частности метод сеток и метод конечного элемента. Погрешность оценки собственных частот колебаний, полученных методом конечных элементов и методом сеток, не превышает 5%. Получено также аналитическое выражение для оценки главной собственной частоты квадратной трехслойной панели, позволившее протестировать указанные численные методы. Ил. 4. Табл. 1. Библиогр. 2 назв.
Ключевые слова: панель звукопоглощающей конструкции; собственная частота; система дифференциальных уравнений.
EIGEN FREQUENCIES OF SANDWICH PANEL WITH LIGHT FILLER N.V. Osadchii, V.A. Malyshev, V.T. Shepel
NPO Saturn JSC,
163 Lenin pr., Rybinsk, Yaroslavl region, 152903, Russia. Solovyov Rybinsk State Aviation Technical University, 53 Pushkin St., Rybinsk, Yaroslavl region, 152934, Russia.
Calculation of eigen frequencies of liner panels with honeycomb core is reduced to the model of a sandwich panel, the light filler thickness of which significantly exceeds the thickness of paneling. The article proposes numerical methods to calculate normal frequencies, in particular, a net method and a finite element method. Estimation error for eigen oscillation frequency obtained by the finite element method and the net method does not exceed 5%. An analytic expression for the estimation of the main eigen frequency of a square sandwich panel has been also derived. It allowed to test the specified numerical methods. 3 figures. 1 table. 2 sources.
Key words: liner panel; eigen frequency; system of differential equations. Постановка задачи
Некоторые элементы авиационных конструкций, например панели звукопоглощающих конструкций (ЗПК) с сотовым заполнителем, могут быть представлены в виде трехслойных панелей, толщина легкого заполнителя которых существенно больше толщины обшивок (рис. 1). Легкий заполнитель - это заполнитель, который не сопротивляется растяжению/сжатию вдоль продольной оси образца.
а) б)
Рис. 1. Панель в плане (а) и ее поперечное сечение (б)
1Осадчий Николай Васильевич, кандидат технических наук, эксперт конструкторского отдела прочности, тел.: 89206522794. Osadchii Nikolai, Candidate of technical sciences, Expert of the Construction Department of Durability, tel.: 89206522794.
2Малышев Владимир Александрович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры математики, тел.: 89051378949, e-mail: [email protected]
Malyshev Vladimir, Doctor of Physical and Mathematical sciences, Professor of the Mathematics Department, tel.: 89051378949, email: [email protected]
3Шепель Вячеслав Тимофеевич, доктор технических наук, профессор, начальник конструкторского отдела сертификации, тел.: 89605386407, e-mail: [email protected]
Shepel Vyacheslav, Doctor of technical sciences, Professor, Head of the Construction Department of Certification, tel.: 89605386407, e-mail: [email protected]
На рис. 1 т - толщина обшивок трехслойной панели; к - расстояние между срединными поверхностями обшивок.
Знание параметров собственных частот ЗПК является важным моментом их динамического исследования, поскольку с их помощью можно определить степень опасности возможных резонансных режимов. Поэтому в данной статье ставится задача аналитической и численной оценки собственных частот трехслойной панели с легким заполнителем.
В соответствии с работой [1] уравнения динамики трехслойной панели могут быть записаны в виде
д + М - а = 0; М +М _ в = 0; д+а + ¥ = р% (1)
дх ду ду дх у дх ду дг
где: Мх, Му, Мху - изгибающие моменты; Оу - поперечные силы; F - интенсивность внешней нагрузки; w - прогиб; р - плотность.
Выражения для изгибающих моментов и поперечных сил имеют вид:
Мх =^1) Му й
вх= Ок [а +1); ву= Ок (р+|). (3)
где а и р- относительные смещения верхнего и нижнего слоев по осям х и у ; Е - модуль упругости; 0 < ц < 1 -коэффициент Пуассона; в - модуль сдвига в плоскости панели; О - цилиндрическая жесткость, вычисляемая по формуле
Б = ЕкТ/2(1 — цЦ ).
Подставляя выражения (2) и (3) в уравнение (1), получаем систему дифференциальных уравнений:
д2а „ д2а д2В Ок Gкдw
—г + (1 _ц)—г + —----а---= 0;
дх ду дхду Б Б дх
д2В ч д2В д2а Ок п Ок дw п
—Ч- + (1 _ц)—V +---Р---= 0; ш
ду2 дх2 дхду Б Б ду (4)
да дВ д2^ 52w ¥ р 52w — + — + —^ +—^ +— = —--
дх ду дх2 ду2 Ок Ок дг2 Решение системы уравнений (4) строится в прямоугольнике
0 < х < а; 0 < у < Ь.
Условия для прогиба ш(х. у. О и смещений а(х, у. О и р(х. у. О задаются в виде краевых условий Дирихле:
w(0, у, г) = w(a, у, г) = w(x, 0, г) = w(x, Ь, г) = 0;
а(0, у, г) = а(а, у, г) = а( х, 0, г) = а( х, Ь, г) = 0; (5)
Р(0, у, г) = Р(а, у, г) = Р( х, 0, г) = р( х, Ь, г) = 0.
Задача определения собственных частот панели решается при нулевой нагрузке F(x. у. О = 0 и следующих начальных условиях:
w (х, у, 0) = ^ (х, у); — w(x, у, 0) = 0;
а" — "' (6)
а(х, у,0) = а0 (х, у); Р(х, у,0) = Р (х, у).
Начальный прогиб w0(x, у) и смещения а^, у) и р^, у) определяются из решения задачи статики для начальной нагрузки F(x, у) = F0(x, у). В рамках краевых условий Дирихле решение задачи статики сводится к решению системы уравнений (4), в которой формально полагается р = 0.
Собственные частоты трехслойной панели
В случае краевых условий Дирихле (5) решение системы дифференциальных уравнений (4) с начальными условиями (6) выражается через базисные функции W(x, у), A(x, у), B(x, у) системы дифференциальных уравнений:
-и
дх' д2Н
+(1 -м) дВ-—в-——=о
ду2 дх2 - - ~ ~ ^
-л -в -V д2Ж ПГТГ Л
— + — + —г + —Т+Ш = 0 дх ду дх ду
- л „ д2л д В ей . е. п
— + (1 - м)—т +---Л---= 0
дх ду дхду Б ~
д2в д2л ек
дхду Б
Ок №_ Б дх Ок
Б ду
(7)
Величины X, для которых система дифференциальных уравнений (7) имеет ненулевые решения W(x, у), A(x, у), B(x, у), называются собственными числами. Проверим, все ли собственные числа рассматриваемой краевой задачи Дирихле строго положительны: Х>0.
Зададим функции
„ д2л д2л д2 В д2 В д2В д2Я Р = —т + м*—т +-, в = —т + м*—Т +-,
дх ду дхду ду дх дхду где м = 1-м. Запишем третье соотношение системы (7) в виде
-р+-в =-л™г.
дх ду Б
Отсюда
л дх ду I п -1
Б
где интегрирование выполняется по прямоугольнику 0 < х < а; 0 < у < Ь. Интегрируя по частям с учетом краевых условий Дирихле, получаем:
11 И( р %+в хН
^ -х ду ) дх ду I ■'
р - л)+в (- в
=-Б I (р2+в2)+1 (рл+вв).
ек
Далее
i ( рл+вв) = |
-2л -2л д2в . „ —-+м*—т+— 1л +
дх ду дхду д2в д2в д2л
2+м*~ ,
ду дх дхду
в
=-1
=-1
В результате
-л+-вЛ2+ (-лIV ¡-в
дх -у ) (-у) 1-х
(-л Л2 (-л Л2
(— ) +м* 1 — 1 +
{дх.
¡ '-в Л2 дл дв
+м* ( — 1 Н---
^-х) дх ду
! = шI ( р +е')I
ОкJ
-л+-вIV (-лIV ¡-в
дх ду) ) (йх
(8)
Если А(х, у) = 0 и В(х, у) = 0, то из первых двух уравнений системы (7) следует, что W(x, у) = 0. Поэтому данный случай не рассматривается. Если А / 0 или В / 0, то из условий Дирихле и равенства (8) следует, что №/ 0. Поэтому, действительно, все собственные числа Л краевой задачи Дирихле трехслойной панели строго положительны, то есть Л> 0.
Возьмем произвольное собственное число Л краевой задачи Дирихле трехслойной панели и соответствующую данному числу тройку собственных функций №(х, у), А(х, у), В(х, у). Зададим тройку функций:
где
w( х, у, /) = Ж (х, у)со$^); а( х, у, /) = А( х, у)соъ(а>(); Р( х, у, () = В(х, у)^(а),
а2 = ОкЛ/ р.
Непосредственно проверяется, что тройка функций ^(х, у, О, ах, у, О, Р (х, у, О удовлетворяет системе дифференциальных уравнений (4) при нулевой нагрузке Р(х, у, 0 = 0 и начальных условиях:
Wo(x, у) = №(х, у); ао = А(х, у); р0(х, у) = В(х, у).
Данная тройка функций w(x, у, 0, а(х, у, О, р(х, у, f) задает колебание трехслойной панели с собственной частотой
V = а/2я.
Возьмем минимальное собственное число Лшш краевой задачи Дирихле трехслойной панели и соответствующую данному числу величину
а
= ОкЛтп/ р.
Тогда величина
= а - / 2ж
является главной собственной частотой трехслойной панели. Процедура вычисления собственных частот
Процедура вычисления собственных частот трехслойной панели основана на идеологии метода сеток [2]. Осуществим замену дифференциальных операторов в системе уравнений (7) на разностные операторы по следующим правилам:
д/ - ¿-и ■
дх
дх2 ^2 .
ду2
2Дх ' ду
д2/ - +
Дх2
2Ду
д2 / ,]+1 /-1,]+1 /'+1,]-1 + /-1,]-1
х у
4ДхДу
д2/ + +1 - 2/и + ¿и 1
Ду2
где 0 < /; ] < N + 1. Отметим, что в силу краевых условий Дирихле возникающие системы линейных уравнений решаются в предположении, что
Ж = Ж = Ж = Ж = о-
"о, ] "N+1, ] " 1,0 "',N+1 0; А0, ] = AN+1, ] = А',0 = ^,N+1 = 0; В0, ] = В^1, ] = В 1,0 = В',N+1 = 0
Используя переменные , где 1 </, \ < N, как параметры, решим систему линейных уравнений, соответствующую первым двум соотношениям системы дифференциальных уравнений (7), относительно переменных Аи и
В,.., где 1 <'/, ] < N. После подстановки выражений линейного характера для переменных Аи и В,.. через переменные Ж в систему линейных уравнений, соответствующую третьему соотношению системы дифференци-
альных уравнений (7), получаем систему линейных уравнений вида
= Ж
относительно вектора М размерности N с переменными где 1 <\,} < N. Расположим собственные числа матрицы ь в порядке возрастания
0 <Л1<Л2<... < я„2
Тогда при достаточно большом значении N величины
0 <у1 <у2 <... <у^
где _
^ =±
к 2п у р к '
могут служить приближениями к первым N собственным частотам трехслойной панели. В частности, приближением к главной частоте ушш трехслойной панели может служить величина у.
Полезно отметить, что в частном случае при N = 2 квадратной панели а = Ь удается получить явное выражение для величины
1 ¡ОН 54 39, +12,0(1 - и) + а2ОН
1 р а 117, + 36,(1 -и) + 4а2ОН
Полученное выражение может служить полезной рабочей формулой для оценки главной частоты квадратной трехслойной панели.
Численный эксперимент
Проиллюстрируем полученные результаты на примере трехслойной панели с параметрами: а = Ь = 100 мм; Л = 10 мм; т = 1 мм; Е = 2-104 кгс/мм2; С = 100 кгс/мм2; и = 0,3; р= 1,1-10-5 кг/мм3. В случае N = 7 первые 49 = 7x7 собственные частоты данной трехслойной панели расположены по строкам следующей 7х7-матрицы:
63 100 100 128 139 140 161
161 176 176 188 193 193 206
206 216 216 221 221 229 229
241 214 241 242 242 243 243
255 255 261 261 264 264 273
273 282 282 285 293 293 301
301 312 312 317 327 327 337
Значения собственных частот округлены до целых значений Гц. Отметим, что точное значение главной частоты у1 равно 63,357 Гц. При этом приближенное значение главной частоты у , вычисленное по рабочей формуле (9), равно 62,719 Гц. В данном примере, в частности, рабочая формула (9) дает 1% относительной ошибки при вычислении главной частоты. Кроме того, среди собственных частот могут быть кратные. Например, имеют место равенства у2 = у3; у = у8; у9 = у10.
На рис. 2 изображены базисные формы колебаний Мк(х, у), соответствующие собственным частотам
С целью проверки точности определения главной собственной частоты было осуществлено моделирование колебания трехслойной панели с указанными выше параметрами, при которых начальный прогиб м/0(х, у) и смещения а0(х, у) и р0(х, у) соответствовали единичной внешней нагрузке Р0(х, у) = 1. Вид начального прогиба изображен на рис. 3.
У1 <У2 =У3 <У4 .
у) у)
Рис. 2. Базисные формы колебаний
В процессе численного эксперимента решение системы дифференциальных уравнений (4) проводилось с нулевой внешней нагрузкой Р(х, у, 0 = 0. При этом на квадрате 100x100 была введена сетка, образованная из 400 (20-20) подквадратов размером 5x5, а шаг интегрирования по времени f был принят равным 0,0001 с.
На рис. 3,6 изображен график первого периода колебания функции w(50, 50, 0, отображающий зависимость отклонения центра панели от нейтрального положения при начальном прогибе (рис. 3, а). По графику функции w(50, 50, 0 период колебаний T = 0,0161 с, и, следовательно, частота колебания v =1П = 62,111 Гц. Как видим, в данном примере частота колебания v совпадает с главной частотой v1 с точностью относительной ошибки 2%.
т
Механика и машиностроение
0.8-
0.4
-0.4
-0.8
W
/ ( t
j 0.0161
а) б)
Рис. 3. Начальный прогиб (а) и график колебания центра панели (б) Метод конечных элементов
Расчет собственных частот методом конечных элементов проводился также с помощью программы ANSYS на объемной модели, которая состоит из следующих элементов:
- Solid 45 - для заполнителя;
- Shell 181 - для обшивок.
Рис. 4. Первые четыре формы собственных колебаний, определенные методом конечных элементов
Закрепление модели соответствовало краевым условиям (5). На рис. 4 представлены первые четыре формы собственных колебаний, найденные методом конечных элементов. По характеру и числовым значениям они совпадают с базисными функциями, найденными методом сеток. В таблице представлены значения первых десяти собственных частот, значения которых получены как методом сеток, так и методом конечных элементов. Из таблицы видно, что значения собственных частот, определенные методом конечных элементов, подчиняются условию (9), при этом погрешность определения не превышает 5%.
Значения собственных частот
Номер собственной частоты Значения собственных частот, Гц, рассчитанные Относительная погрешность, %
методом конечных элементов методом сеток
1 60 63 5,08
2 95 100 4,92
3 95 100 4,92
4 123 128 4,22
5 138 139 0,42
6 139 140 0,57
7 159 161 1,09
8 159 161 1,09
9 184 176 4,20
10 184 176 4,20
Итак, в данной работе представлены результаты аналитической оценки и верифицированные на ее основе вычислительные модели определения собственных частот трехслойных панелей с легким заполнителем. Визуальные картины собственных колебаний по первым четырем формам, определенным методом сеток и методом конечных элементов, представлены на рис. 3, 4. Значения собственных частот, а также их относительная погрешность приведены в таблице. Погрешность в оценке собственных частот, определенных обоими методами, не превышает 5%. Полученные результаты, по нашему мнению, могут быть использованы при конструировании и доводке панелей звукопоглощающих конструкций, а также при их отстройке от возможных резонансных режимов.
Статья поступила 22.07.2014 г.
Библиографический список
1. Вольмир М.А. Гибкие пластины и оболочки. М.: Физматгиз, 1970. 312 с.
2. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989. 616 с.
