Смешанная задача с производными второго порядка в граничных условиях для уравнения параболического типа третьего порядка с кратными характеристиками Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95

Б01: 10.21779/2542-0321-2017-32-4-47-55 Ж.А. Балкизов

Смешанная задача с производными второго порядка в граничных условиях для уравнения параболического типа третьего порядка с кратными

характеристиками1

Институт прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра РАН; Россия, 360000, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89а; Giraslan@yandex.ru

В работе исследована смешанная задача с производными второго порядка в граничных условиях для уравнения параболического типа третьего порядка с кратными характеристиками. Доказаны теоремы о существовании и единственности решения исследуемой задачи, для чего применяется метод априорных оценок. Проведено исследование полученного решения и его производных требуемого порядка на равномерную сходимость.

Ключевые слова: смешанная краевая задача, априорная оценка искомого решения, метод Фурье (метод разделения переменных), задача на собственные значения, собственные значения и собственные функции задачи, равномерная сходимость ряда, непрерывность функции и ее производных.

Введение

В прямоугольной области В = {(х, у ):0< х < г, 0< у < к) евклидовой плоскости точек г = (х, у) рассмотрим уравнение

Ьи = иххх (г) + а2( г) ихх (г) + а1( г) их (г) + Ь2( г) иуу (г) + Ь1( г) иу (г) + а0( г) и = -/(г) (1)

где а1 (х, у) (i = 0, 1, 2), Ь] (х, у) (( = 1, 2), /(г) = /(х, у) - заданные функции из класса

аг- (г) е С'х(в), Ь]-(г) е С]у (в), /(г) е с(в), а и(г) = и(х,у) - искомая функция.

По классификации дифференциальных уравнений высшего порядка, приведенной в монографии А.М. Нахушева [1], уравнение (1) относится к уравнениям параболического типа. В монографии Т.Д. Джураева [2] уравнения вида (1) названы уравнениями третьего порядка с кратными характеристиками. В работе [3] показано, что линейное приближение распространения нелинейных звуковых волн в жидкости при кавитации описывается уравнением вида (1) при Ь2( г) = 0. Отметим также, что к уравнению вида (1) при Ь2( г) = 0 можно прийти и в процессе линеаризации уравнения Кортевега - Де Фриза [4], имеющей важные применения в вопросах распространения нелинейных волн в слабодиспергирующих средах [5]. В работах [6]-[10] изучены локальная, нелокальная и общие краевые задачи для уравнения (1) в случае, когда коэффициент Ь2(г) = 0. В работе [11] исследованы нелокальные задачи с интегральными условиями для линеаризованного уравнения Кортевега - Де Фриза.

1 Статья подготовлена по материалам доклада, представленного на XII Международной научно-практической конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы математики и информатики», которая прошла 19-22 сентября 2017 года в Дагестанском государственном университете (г. Махачкала, РФ)._

В работах [12]—[14] различными методами получены фундаментальные решения модельного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками вида

uxxx(z) -uyy(z) = 0, (2)

а также изучены свойства полученных решений, в частности получены оценки построенных фундаментальных решений и их производных.

Краевые задачи для уравнений вида (2) и (1) при ¿2 (x,y0 как в ограниченной, так и в неограниченной областях изучены в работах [15]—[19]. Методом априорных оценок в работе [20] исследована краевая задача для общего уравнения вида (1).

В данной работе для уравнения (1) исследуется смешанная задача с производными второго порядка в граничных условиях.

Постановка задачи

Определение. Регулярным в области D решением уравнения (1) назовем функцию u(z) = u(x,y) из класса C(d )n C3^ (D), при подстановке которой уравнение

(1) обращается в тождество.

В данной работе исследуется следующая

Задача 1. Найти регулярное в области D решение уравнения (1) из класса

ux g C (D u {x = 0}), uxx g C (D u {x = 0} и {x = r}), uy g C (D u {y = 0} и {y = r}) удовлетворяющее краевым условиям

uxx(0, y)+а(У)u(0, y ) = ( (y), uxx(r, y) + P(y)u (r, y) = (2 (y), ux(0, y) = (з (y),

0 < y < h, (3)

а также условиям периодичности по времени

u(x,0) = u(x,h), uy(x,0) = uy(x,h), 0 < x < r, (4)

где a(y), ¡¡(y), ((y)g C[0,h], i = 1,3 - заданные функции.

Теорема о единственности решения задачи 1

Обозначим

(u,u) = J u(z)u(z)dxdy, lui0 = (u,u) = Ju2 (z)dxdy . D D

Справедлива следующая

Теорема 1. Пусть заданные функции ai (x, y) (i = 0, 1, 2), bj (x, y) (j = 1, 2), a(y), ¡¡(y) таковы, что они обладают свойствами:

a2(x,y) > 0, ¿2(x,y) > 0 V (x,y) g D (5)

a2xx (x, y) + b2yy (^ y) - a1x (x,у )- hy (x, у ) + 2a0 (x,у ) <0 V (^ y) g D, (6)

a2x(0,y)-a1(0,y) + 2a(y)< 0, a2x(r,y)-a1(r,y) + 2^(y)>a|(r,y) V y g[0,h], (7)

b2(x,h) = b2(x,0), b2y(x,h)-b2y(x,0)> b(x,h)-b1(x,0) V x g [0, r] (8) Тогда для решения u(z) = u(x, y) задачи 1 имеет место энергетическое неравенство

|u(z)|0 < Щ/^Ь (9)

где M - положительная постоянная, не зависящая от искомой функции u(z) .

Доказательство. Обозначим через В£ = {(х,у): £ < х < г - £, £ < у < к - £ гд е £ -произвольное, достаточно малое положительное число. Для исходного оператора Ьи справедливо тождество:

2иЬи = г) - дР(г) + а00 (г)и2 - 2а2 (г)и2х - 2Ь2(г)и2, (10)

д х ду

где

Р( г) = [Ь2 у (г) - Ь1(г)]и 2 - 2Ь2( г)ииу;

б(г) = [а1(г) - а2х(г)]и2 + 2иихх + 2а2(г)иих - и2; а00(г) = а2хх (г) + Ь2уу (г)- а1х (г) - Ь1у (г) + 2а0 (г).

Интегрируя тождество (10) по вспомогательной области В£, а затем применяя к

полученному равенству формулу Грина, будем иметь

2 | uЬudxdy = | Р(х, y)dx + Q(х, у^у

В£ Г£ 2

+ |[а00(г)и2 - 2а2(г)и2 - 2Ь2(г)иуу dxdy = -2 |и(г)/(г)dxdy, (11)

а00<г

в£ в£

где Г£ - граница вспомогательной области В£ .

Перейдем в равенстве (11) к пределу при £ ^ 0. Легко заметить, что при этом область В£ переходит в В . Тогда с учетом граничных условий (3), (4) получим

г

- 2(и, /) = 2|[Ь2 (х, к)- Ь2 (х,0)]и (х,0)иу (х,0)х +

0

+I [ у (х,0) - Ь2 у (х, к) + Ь1 (х, к) - Ь1 (х,0))и2 (х,0)х +

0

к

+1 [х (0, у) - а (0, у) + 2а(у)2 (0, у)ф +

0

+1 {[а1 у ) - а2 х(г, у) - 2Р(у )и 2 (г, у) + 2а2(г, у)и(г, у )их(г, у) - и2 (г, у )})у +

0

+ |[а00(г)и2 -2а2(г)и2 -2Ь2(г)и1у \dxdy = /1 + /2 +13 +14 + /5. (12)

В

Из условия (8) теоремы 1 сразу следует, что

г

11 = 2|[Ь2 (х, к)- Ь2 (х,0)и (х,0)иу (х,0)х = 0.

0

В силу условий (7) и (8) справедливы неравенства

12 = } [у (х, 0) - Ь2у (х, к) + ¿1 (х, к) - ¿1 (х, 0)2 (х, 0)х < 0,

0

к2 13 = | [«2х (0, у) - а (0, у) + 2а(у)2 (0, у)у < 0,

0

14 = I ^^, у) - а2х(r, у) - 2Р(у)и2 у) + 2а2 (г, у)u(r, у )их у) - и2 (г, у< 0 ,

0

а в силу условий (5) - интеграл

I5 = j[a0o(z)u2 - 2a2(z)и2 - 2b2(z)u2]dxdy < Ja00(z)u2(z)dxdy. D D

С учетом перечисленных выше неравенств из (12) находим

.2

- 2(u, f )o < Ja00(z)u2 dxdy,

D

откуда

2(u, f )0 > J[- aoo(z)]u2 dxdy > m||u||0, (I3)

D

где 4 = ( min |a00 (z)| = . min |a2xx (z) + b2yy (z) - a1x (z) - b1y (z) + 2a0 (z} .

(x,y )eD (x,y )eD

С другой стороны, используя неравенство Юнга, убеждаемся в том, что

2(u,f)0 < u\\2 +-|f|2, (14)

S1

где S1 - достаточно малое положительное число. Из (13) и (14) приходим к неравенству

442 <sl 42+S A L2.

ь1

m

Выбирая S1 = — из последнего неравенства, приходим к априорной оценке (9). Теорема 1 доказана.

Из априорной оценки (9) вытекает единственность регулярного решения исследуемой задачи 1.

Теорема о существовании решения задачи 1 Теорема 2. При условиях (6), (7) решение задачи 1 существует. Далее перейдем к исследованию вопроса о существовании решения задачи 1. Существование решения задачи (3), (4) для уравнения (1) будем доказывать с использованием метода разделения переменных (метода Фурье) для частного случая уравнения (1), когда

b2 (x, y )= Л = const, a0 (x, y) = ¡л = const, a^x, y) = a2 (x, y)= ^(x, y) 0, a(y) = a = const, ß(y) = ß = const. Условия (5)-(8) при этом будут выполнены, если

Л> 0, ß< 0, a < 0, ß> 0, a2 +ß2 * 0. (15) При сделанных предположениях относительно коэффициентов ai (x, y) (i = 0, 1, 2), bj(x, y)(j = 1,2) задача (1), (3), (4) переходит к следующей задаче:

uxxx +^yy + ßu = -f (x y), (x,y) e D, (16)

uxx(0,y)+au(0,y) = p(y), uxx(r,y)+ßu(r,y) = ^2(y). ux{0,y) = p{y\ yE(0,h) (17) u(x,0) = u(x,h), uy (x,0) = uy (x,h), x e (0,r). (18)

Вначале положим, что f (x, y) = 0 . Решение задачи (16)-(18) ищем в виде

u( x, y) = X (x) Y (y). (19)

Подставляя (19) в (16), с учетом условий (18) приходим к следующей задаче на собственные значения относительно Y (y):

Y'' (у )в (у ) =0, (20)

Y (0) = Y (h), Y' (0) = Y' (h). (21)

При в < 0 задача (20)-(21) имеет только тривиальное решение Y(у) = 0.

Пусть в = 0. В этом случае функция Y0 (у) = A°, где A = const, является

собственной функцией задачи (20)-(21), соответствующей собственному значению в0 = 0.

И наконец, при в > 0 собственные значения задачи (20)-(21) будут иметь вид

_ f 2mn Л2

в=J' n е *

а собственной функцией, соответствующей собственным значениям вп, будет функция

Yn (У) = An cos^~jny ] + Bn ~Щу

„I 1 f 2m Л . f 2m Легко заметить, что система функций -j-^cosl ——у );sinl——у

образует

n=1

полную ортогональную систему в Ь2 [0, к].

Пусть теперь /(х, у) ^ 0 . Решение неоднородного уравнения (16) будем искать в виде ряда Фурье по собственным функциям задачи (20)-(21):

. . A (х) £

u (X, у) = -^ + I

n=1

An(х) cosff ^m^y )+Bn(х) sin{2mny

(22)

где А(х), А (х) , Вп (х) пока неизвестные достаточно гладкие функции.

Предположим, что правая часть /(х,у) уравнения (16), а также функции ((у), (Р2 (у), (Р3 (у), входящие в граничные условия (3) допускают разложение в ряд Фурье по собственным функциям задачи (20)-(21):

f (х, У) = Щ?1 +I

2 n=1

Fn (X) COs^ ^У ) + Фn (х) sln^ ^У

(23)

Рк (у ) = (+I

2 n=1

f 2m Л , . . f 2m

vkn cosl— у J ■+ wkn(х) sinl ■—у

, (k = 1,2,3), (24)

е Fn(х)=h 0f (х, у )cos( ^т^у ) ду, фп (х)=2 jjf (х, у )slnf ^т^у ) ау,

(Ры = 2j>k(у)cosf^уу, ¥kn = 20<Pk(у)sln(^у]Ф, n = 0,1 2,...;

Подставляя (22) в уравнение (16), с учетом (23) приходим к равенству

k = 1,2,3.

A (х) + I

2 n=1 n=1( h ,

a0( х)cosf ^ту )+b0( х)slnf

An(^cosf mу )+Bn(х)^п[ mу

+

<x>

и ю

+ Т" Ао( х) + и!

2 п=1

^о(х) ^

2 п=1

Ап (х)С08^ ^у Вп (фт^ 'ЩПу

Рп (х)с^Щп У]+Фп (ЩУ

Из последнего равенства с учетом условий (17) и разложения (24) приходим к следующим задачам относительно искомых функций Ап (х), Вп (х) :

Ап( х) + иАп (х)

'о Л2 2жп ]

к )

Ап(х) = -Гп(х), п е N и {0}, 0< х < г, (25)

Ап (о) +^Ап (о) = ^п , Ап (г) + 0Ап (г) = ^2п , Ап (о) = ^3п ;

В'(х) + иВп(х) -Д2^ Вп(х) = -Фп(х), п е N, о < х < г, (27)

к)

Вп (о) + аВп (о)=^1п, Вп (г ) + РВп (г) = Щп, Вп (о) = ^ Решения задач (25)-(26), (27)-(28) выписываются по формулам:

Ап(х) = -1Оп(х^п(£)<% + \ |Оп(х,О)щ(£№ + Е1п(х), п е N и {о},

(26)

(28)

Вп(х) = Оп(х,О) Фп(О) ^ + \ IОп(х,О) ^2пО) ^ + ^2п(х), п е N,

где К =

\п = ^ \дп

и; ^

,(х) = -

[0(х2 - г2)- 2]^ +(2 -ах2 )(^2п-РгЩп)

20-2а-а0г2

+ я>ьпх;

^2п(х)=

2

В (х2 - г2)- 2 2-ах

—1-—2 У1п +-г У2п +

20-2а-а0г 20-2а-а0г2

В(г - х) (2 -агх) + 2 ах

20-2а - а 0 г

2

-^зп;

Оп(х,О) - функция Грина оператора ¿[^] = ^'''(х) - \ ^(х) с условиями g''(о) + аg(о) = о , g''(г) + 0g(г) = о, g'(о) = о, явный вид которой определяется формулой

Оп (х,О) =

\пх , 2\ +а

+—^-е 2 сов(лтп х) +

л/3

а

\п-а

\-а

е ^ бш

1п (*"п х)

екпХ + 2\ +а е 2 сов(лтп х) +

73

а

+

\-а

\ (х-о) - 2 е~г(х-О)

\п -а

е ^ бш

СН Кп (х

(Кпх)

а1п

а1п +

о < х <О,

О < х < г,

Кп =

л/3 \

1

2

а1п =

А-

а

(а+4

А (—Й

+2

А СОЖп ( -%)-Рсо\кп ( - Й - у

—А (—й

3Ап

(А -а( +4

еА - 2

А! С05[ *!/ + 3 I+АО^а^*^+а4с^ к„г

— АПг . 2

. П

одставляя значения А0 (х), Ап (х) , Вп (х) в (22), находим

г

и

(х, у) = -11 Go (х^ ())) + ^ + I

2

0

2

п=1

I Gn (х,)) Рп ()) cos( Уу ] d) +

0

+ А I Gn (хЛ)п ()) <ю/^у] ) + Еп (х) 1 Gn (хЙ) Фп ()) 4^у! ) +

0

I к

+ А I Gn (х,Й Е2п (Й

0

Slnl

\ к 2жп

0

\ к

у] ^ + Е2п (х) ^

(29)

С учетом значений ^0(х), Бп (х), Фп (х) из (29) приходим к следующему представлению решения исследуемой задачи 1:

г к

и

(х,у) = -I IЬ[(х,Й,у-^]/(Ы d1dЙ

+

0 0

I кь[(хЙ),у-?][[)((?) + В2()) (2Ы + В3()) ((?)]) +

0 0

+ В (х) (1 (у ) + В2 (х) (2 (у) + В3 (х) (3 (у) ,

где ь[Рп(х),уЬ1Р0(х)+ IРП(х)с°/^у-у], В1(х) = ^ -Г ) Л 2 п=1 V к I 24-2а-а4г

+

(30)

Вг(х)=

2 -ах

2

24-2а - а 4 г

^ , ч 4(г - х)(2 -аrx) + 2ах

2, В3(х) =—-----

24-2а - а 4 г 2

Знаменатель функций В1 (х), В2 (х), В3 (х)

£ = 24-2а - а 4 г 2 > 0

в силу условий (15), а знаменатель

А = (а! -а) +4

)г - 2

А СО^ *пГ +у 1 + А(4-a)cos^nr + а4coS ^ -

У

Ап —- г , 2

коэффициента а1п ()) не равен нулю в силу единственности решения задачи 1.

Таким образом, формула (30) дает представление единственного решения задачи 1 для уравнения (1) в случае, когда коэффициенты а1 (х, у) = а2( х, у) = Ь1( х, у) = 0, а

Ь2(х,у) = А > 0, а0(х,у) = ^< 0, а< 0, 4> 0, а2 + 42 * 0. Пользуясь признаком Даламбера, легко доказать равномерную сходимость ряда формулы (30) и ее производных иххх(г), иуу(г), из которого вытекает непрерывность

решения и = и(г) и ее производных требуемого порядка. Следовательно, формула (30) служит представлением единственного регулярного решения задачи 1.

3

Литература

1. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. - М.: Высшая школа. 1995. - 301 с.

2. Джураев Т. Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. - Ташкент: ФАН, 1979. - 238 с.

3. Красильников В.А., Кузнецов В.П. Распространение нелинейных звуковых волн в жидкости при кавитации // Акустический журнал. - 1974. - Т. 20, № 3. - С. 473477.

4. Korteweg D.J., De Vries G. On the Change of Form of Long Waves Advancing in a Rectangular Canal, and on a New Type of Long Stationary Waves // Philosophical Magazine. - 1895. - Vol. 39. - P. 422-443.

5. Карпман В. И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. - М.: Наука, 1973. - 175 с.

6. Cattabriga L. // Annali della s^ola normаle Superiori di Pisa. - 1959. - Vol. 13, № 2. - P. 163.

7. Джураев Т. Д., Иргашев Ю. О краевой задаче Каттабрига для уравнений третьего порядка с кратными характеристиками // Сборник научных трудов "Краевые задачи для дифференциальных уравнений и их приложения". - Ташкент: ФАН. 1976. -С.141-155.

8. Джураев Т. Д., Абдиназаров С. Краевые задачи типа задачи Бицадзе-Самарского для уравнений третьего порядка с кратными характеристиками // Известия Академии наук УзССР. Сер.: Физико-математические науки. - 1981. - № 1. - С. 16-22.

9. Иргашев Ю. Некоторые краевые задачи для уравнений третьего порядка с кратными характеристиками // Сборник научных трудов "Краевые задачи для дифференциальных уравнений и их приложения". - Ташкент: ФАН, 1976. - С. 17-31.

10. Абдиназаров С. Общие краевые задачи для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками // Дифф. уравнения. - 1981. - Т. 17, № 1. - С. 3-12.

11. Лукина Г.А. Краевые задачи с интегральными граничными условиями для линеаризованного уравнения Кортевега - Де Фриза // Вестник Южно-Уральского государственного университета. - 2011. - № 17 (234). - C. 52-61.

12. Block H. Sur les equations lineaires aux derivies partielles a caracteristiques mulptiples // Ark. mat., astron., fysik. - 1912. - Bd. 7. № 13. - Р. 3-20.

13. Cattabriga L. Potenziale di linea e di dominio per equazioni non paraboliche in due variabili a caratteristiche multiple // Rendiconti del seminario Matem. della univ. di Padava. - 1961. - Vol. 31.

14. Джураев Т. Д., Апаков Ю.П. Об автомодельном решении одного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками // Вестник Самарского государственного технического университета. Сер.: Физико-математические науки. -2007. - № 2 (16). - С. 18-26.

15. Апаков Ю. П. Об одной краевой задаче для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками // Материалы III Международной конференции "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики" (Нальчик, 5-8 декабря, 2006). - Нальчик: Эльбрус, 2006. -С. 37-39.

16. Апаков Ю.П. К решению краевых задач для уравнения uxx - uyy =0 в

неограниченных областях // Доклады АН Республики Узбекистан. - 2006. - № 3. -С.17-20.

17. Апаков Ю.П. О решении краевой задачи для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками // Украинский математический журнал. - 2012. - Т. 64, № 1. - С. 3-13.

18. Балкизов Ж.А., Кодзоков А.Х. О представлении решения краевой задачи для неоднородного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. - 2010. - № 4. - С. 64-69.

19. Балкизов Ж.А. Краевая задача для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. - 2015. - Т. 17, № 3. - С. 13-21.

20. Балкизов Ж.А. Краевая задача для уравнения третьего порядка с нелокальным условием по времени // Вестник Карагандинского университета. Сер. Математика. - 2017. - № 1 (85). - С. 8-16.

Поступила в редакцию 9 ноября 2017 г.

UDC 517.95

DOI: 10.21779/2542-0321-2017-32-4-47-55

A mixed problem with second-order derivatives in boundary conditions for parabolic equation of the third order with multiple characteristics

Zh.A. Balkizov

Institute of Applied Mathematics and Automation, Kabardino-Balkar Scientific Centre of the RAS; Russia, St, 360000, Nalchik, Shortanova st., 89а; Giraslan@yandex.ru

The authors of the article investigate a mixed problem with derivative of second order in boundary conditions for parabolic equation of the third order with multiple characteristics. Theorems about existence and uniqueness of solution of the investigated problem are proven applying the method of a priori estimates. Using the method of separation of variables the solution discharged in the form of Fourier series in eigenfunctions of the problem. The study of the obtained solution and its derivatives of the required order of uniform convergence is made.

Keywords: mixed boundary value problem, apriori estimate of the solution sought, the method of Fourier (method separation of variables), the task on eigen values, eigenvalues and eigen functions of the problem, uniform convergence of series, continuity offunction and its derivatives.

Received 9 November, 2017