Смещение частоты космологического свечения Текст научной статьи по специальности «Физика»

Внешнее дифференцирование ур. (15) с учетом (1) и (14) приводит к квадратичному уравнению

dA{'1 ли1 + dA132 лй2 = А^ю1 ЛЙ2, (18) где А1 =-А131(А121 -Д Д2 +АХ) - (19)

-А12 (А122 + А131С + А13 А41 ).

Анализ квадратичных уравнений (16) с учетом (17) и (13) приводит к дифференциальному уравнению:

dH = Н и1 + Н 2и2, (20)

где Н = А12 + А142 = - А231 - А241,

Н1 = А12 + А12 = Д (С + А21)'

Н2 = А121( А2 + 2 А142) + (21)

+А1 (А12 + А12 ) (С - А12 ) - А12 .

Внешнее дифференцирование ур. (20) с учетом (1) приводит к квадратичному уравнению

dH1 лй1 + dH2 ли2 = и12й лй2, (22)

где И12 = -ИМ2 - A3A3 + Д3С ) +

+H2(A122 + A13C + A13A241). ( )

Таким образом, функции A3, C, Af2, A21, A}2, A21, A2i, Aî2, среди которых в силу (13, 15, 17, 20 и 2l) будет пять независимых, удовлетворяют пяти независимым квадратичным уравнениям - трем независимым в (16) и двум (18) и (22) с учетом (19) и (23). Поэтому в силу леммы С.В. Бахвалова [3] заключаем, что многообразие Щг существует и определяется с произволом пяти функций одного аргумента.

Теорема доказана. .

Замечание 2. Поскольку многообразие Щг является частным случаем многообразий Щ и U]°2, то эти многообразия существуют. Вопрос о существовании многообразия Ulf будет предметом особого рассмотрения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Глазырина Е.Д. Классификация Коши-Римана двумерных многообразий центрированных плоскостей в четырехмерном евклидовом пространстве // Известия Томского политехнического университета. -2004. - Т. 307. -№ 4. - С. 10-14.

2. Остиану Н.М. О канонизации подвижного репера погруженного многообразия // Rev. math. pures et appl. (RNR). —1962. — № 2. —P. 231—240.

3. Бахвалов С.В. Замечания к методу подвижного трехгранника // Математический сборник. —1940. —7(49). —№ 2. —С. 321—326.

УДК 530.12:531.51

СМЕЩЕНИЕ ЧАСТОТЫ КОСМОЛОГИЧЕСКОГО СВЕЧЕНИЯ

В.В. Ласуков

Томский политехнический университет E-mail: [email protected]

На основе исследования уравнения геодезических линий в однородной и изотропной Вселенной с метрикой Логунова рассмотрен эффект красного смещения фотонов. Показано, что интерпретация Логунова красного смещения имеет место и в случае ва-куумоподобной космологической среды.

Введение

Обычно считается, что для любой нестатической космологической модели собственное расстояние между пробными частицами, измеряемое с помощью приложенной к ним "жесткой линейки", меняется со временем ввиду зависимости gрv от ¡. Поэтому считается, что свет, излучаемый частицами (туманностями), испытывает красное смещение из-за Доплер-эффекта, связанного с общим расширением Вселенной, хотя реальность жесткости линейки космологического масштаба сомнительна [1-6].

Принципиально иная интерпретация красного смещения для обычной среды возникает в теории Логунова. Дело в том, что для метрики Логунова [7] смешенные компоненты тензора Риччи равны нулю, так что из уравнений Гильберта-Эйнштейна-Логунова следует, что соответствующие компонен-

ты тензора энергии-импульса космологической жидкости также равны нулю. Отсюда делается вывод [8], что пространственные компоненты скорости равны нулю. Последнее означает, что реально красное смещение связано не с движением галактик, а согласно принципу геометризации Логунова gш,=Т„,+Фрv, с изменением гравитационного поля Фр„ со временем, которому, по-видимому, подвержены лишь гравитационные поля скоплений галактик, т.к. только при таком масштабе имеет смысл понятие однородности космологической среды. Изменение же гравитационного поля может быть обусловлено постоянной составляющей скалярного потенциала [9], имитирующей космологическую постоянную.

Так как для вакуумоподобной среды е+^=0, то из равенства

T0i [(s + P) u0ui ] = 0

в общем случае не следует, что пространственные компоненты скорости и=0. Поскольку вакуумопо-добная состояние космической среды играет ключевую роль в инфляционных теориях эволюции ранней Вселенной и в космологии Глинера, то эффект красного смещения для вакуумоподобной среды требует отдельного рассмотрения. В этой связи в работе проведено рассмотрение красного смещения на основе исследования уравнения геодезических линий для вакуумоподобной среды без использования уравнений Гильберта-Эйнштейна-Логунова и предположения идеальной жидкости.

Геодезические линии во Вселенной

с метрикой Логунова

Для метрики Логунова [7]

ds2 = a6(x°)(dx0)2 --a 2( x0)[dr2 + r 2(sin2(3)dy2 + d92)] смешенные компоненты тензора Риччи равны нулю R0i = 0, i = 1,2,3.

Тогда из уравнений Гильберта-Эйнштейна-Логунова

(1)

R.

-mLg -у ) = П

2 ^<->мv ' Мv ' I

T -1 g T

Mv 2 М v

Dm gM"=дм§Mv+faP gap=0

(2) (3)

d2 xm_+pm dxp dxq = 0

da2

pq da da

(5)

а - параметр траектории. Для метрики (1) компоненты связности Г™, отличные от нуля, равны:

Г0 = 300

r2 a'

г 0 = i a Г 0 =

11 4 г, ' 22 4 „

a a a a

Г0з = srn2^, r0i = ~~ = Г^2 =Г

Г?2 = Г3з = Г, Г22 = -r, Г3з = -r sin2 (5), Г323 =- sinA)cos(A), Г323 = ctg(A),

(6)

a =

da dt:

t = x0.

Теперь запишем (5) в явном виде. На основании (6) из (5) найдем:

d 2t

dt \2 , H ,

+ 3HMfí-)2 + x a

da2 yda' -4

(.ÉL )2 + r 2( áA)2 + r2 sin2 (5) í da da l da

d2r dt dr

—7 + 2 H (—)(—) -

= 0, (7)

da1

da da

-r(a - r(da

=0,

(8)

d A , л 7j ( dt \(-d&\ , —2 + 2H (—)(—) +

da2

da da'

+ 2 ФФ -s,n(a)cos(a) í^ l =

(9)

d2 y

следует, что соответствующие компоненты тензора энергии-импульса космологической жидкости также равны нулю

Т1 =4~ё [(£ + Р) и0и ] = 0, (4)

е - плотность вещества, р - давление, ^^ - метрический тензор эффективного риманова пространства, у^ - метрический тензор реального пространства Минковского, - символыКристоффеля пространства Минковского, ~v=^-gg''v, т - масса гравитона, О - гравитационная постоянная, ц - пространственные компоненты скорости, г, В, Т -лагранже-вы координаты. Отсюда делается вывод [8], что пространственные компоненты скорости ц=0. Так как для вакуумоподобной среды е+р=0, то из равенства [(е+р)и0ц]=0 в общем случае не следует, что ц=0. В этой связи рассмотрим эффект красного смещения для вакуумоподобной среды без использования уравнений (2, 3).

Уравнения движения для пробной материальной частицы или фотона запишем в виде уравнений геодезических в эффективном римановом пространстве с метрикой (1)

+ 2 H (-О-) í +

da2 da;[ da 1

-ító)-2ctg(Axf)í£i-0. (10)

Здесь Н = .

а

Поскольку поле изотропно, то можно рассматривать только те траектории, которые лежат в экваториальной плоскости. Следовательно, можно в уравнениях положить В=п/2. Тогда (9) выполняется тождественно, а (7), (8), (10) примут вид:

d2t „тт( dt V H - + 3HÍ — | +—-

da

da

dr da

+ r

da

da 11 da

dr + 2Hí^ |í* 1-rí^l = 0,

da

dy da

2

= 0, (11) (12)

?\ + 2н( ^1 = 0. (13)

ёа ^ ёа )\ ёа ) г ^ёа)\ёа )

Первые интегралы, соответствующие (11-13), легко получить, так как форма интервала (1) сама дает один интеграл, а формальные решения двух других уравнений легко угадать. В результате получаем

dt da

C

2

2

a

a

dy _ h du

dr

2 2 a2 r

_+ ih du ~ a 2r '

(15)

(16)

где С, к - постоянные интегрирования, I - мнимая единица.

Из (16) следует, что, если процессы в модели должны носить действительный характер, то постоянная интегрирования к должна равняться нулю, так что уравнения движения принимают вид

dt _ C dr _ 0 ' a?' du '

du

dy du

_ 0.

(17)

Из (17) следует, что для мировых линий массивных частиц ds 2>0.

Найдем теперь связь между собственным временем т и параметром траектории движения ст. Собственное время топределим из интервала (1) при 3=п/2

dr2 _

a\d-)2 - a2 du

( ^ +r=idu

dy du

du2. (18)

CdL _ C — _ dr _ 0

а ш йт йи

так что = # = 0 ш шт

Так как для частиц с массой покоя, равной нулю, dт=0, то из (19) видим, что для фотонов С=0,

так что в этом случае из (20) не следует, что = Шг = 0.

ш йт

Из формулы для интервала (1) видно, что скорость луча света равна

1 (21)

dr. _+1

йт а

Из (21) можно найти момент ¡г, когда свет достигнет начала координат, если момент испускания был 4, а излучающая частица закреплена на расстоянии г от центра:

' йт

а

! £-! dr

_ r _ const.

(22)

Дифференцируя равенство (22), получаем урав нение

dt dt

_ 0.

a (tr ) a (te )

Переходя в (23) к частоте, имеем

(23)

а

а,.

a(tr ) a(te ).

(24)

Вводя параметр красного смещения г = -

из (24) получим известный результат а(К)

z _

a(t. )

-1.

Учитывая в выражении (18) уравнения (17), получаем

йт2 = С2 йи2. (19)

На основании (17) и (19) можно связать между собой собственное время т и временную координату пространства Минковского й

йт2 = а6 Л2.

Тогда при С^0

' ' (20)

Так как, согласно (20), отсутствует какое-либо движение вещества, то природа красного смещения связана не с разлетом галактик, а с изменением гравитационного поля со временем т.е. связано с тем, что а(4)>а(4).

Найдем расстояние I между излучателем и наблюдателем сегодня для Вселенной без сингулярности, заполненной самодействующим скалярным полем, постоянная составляющая потенциала которого способно имитировать космологическую постоянную [9]. Таким образом, такая модель Вселенной в отличие от деситтеровской модели допускает наличие конечной концентрации материи во Вселенной в виде скалярного поля.

Введем величину 1=га. Тогда из (21) получим линейное дифференциальное уравнение для величины I

I'- (а) I = ±1,

общее решение которого:

l _ a(t)

f_т + C ! a(T) + C1

либо l _ a(t)

' dz a(r)

C

где С1,2 - константы интегрирования.

Для решения а=а~сЬ1/г(у?) [9] нетрудно получить, что расстояние ~, пройденное светом за промежуток времени Д=г-4, равно

<3^2

l _

2 F

ht

a(At ) !■

d т

0 a[T] 1 1 7

_ (1 + z ) I0 x

3^6;-1J-exp l-Vf )x

1 1 7

x23'6V-exP(-2vht) 1 + C1

где /0=v-1,2F1(a,b;c;z) - гипергеометрическая функция, v=V24nGU0, vA/=Arch([1+z]3), U0 - постоянная составляющая скалярного потенциала. Аналогично, для горизонта событии

да

ls _ a(t)!-jr _ ch1/3(vt) I0 x

a[T]

<3^2

exp

-^3т) 2 f(}>1;6; -exp( -2vt))+C

В заключение отметим, что Мир без сингулярности, описываемый решением а=а0еЬ1/3(у/) [9], для наглядной интерпретации удобно рассматривать как четырехмерный однополостный гиперболоид

СО

0

Z02 - Zj2 - Z2 - Z32 - Z42 = -R2 (t )

в пятимерном пространстве Минковского (20, Zj, Z2, Z3, Z4), обладающем метрикой

ds2 = dZ02 - dZ2 - dZ22 - dZ32 - dZ42 = dt2 - a2dx2, (25) где Zt = a0 ch1/2(v t) • x.,i = 1,2,3,

Z4 = -2ch1/3(vt) - 2 a20 ch1/2(vt) • x2 + (V)2 f(t),

Z0 = lch1/2(v t) + 2a2 ch1/2(v t) • x2 -(V)2 f(t),

S = -

L

df (t ) dt

V ch2/2(vt) 6 sh(vt) ,

f (t ) = -

12

- ( Угг y [ к

+V2 • arctg(>/3(2 y +1)) + +V3 • arctg(^(2 y -1))

z ) = -2,5 lg

S

2,52 -10 эрг/(см2•с)

2(1 + z)2'

здесь L - собственная светимость галактики. При этом для ближайших излучателей (г<1) приближенное значение соотношения "видимая звездная величина - красное смещение", полученное разложением a(t) в ряд по степеням t с коэффициентами, определяемыми из данных наблюдений, дается выражением m1(z) « 5 • lgz +1,086 • (1 -q0)z +

+o( z2) - 2,5 lg( L) + const,

1

где qo = a ' H- - параметр замедления, H0 - се-

У = ch1/3(v t ), R2(t) = 2(l)2ch1/3(vt) • f (t),

a6(dx0)2 = dt2 lim R(t) ^<x>.

t

Симметричная форма интервала (25), полученная ценою перехода в пространство большего числа измерений, показывает, что модель пространственно однородна и согласуется со следствием теоремы Шура, известной в римановой геометрии, из которой следует, что если подпространство при постоянном t изотропно в каждой точке, то оно с необходимостью и однородно.

Нетрудно видеть, что выбранная система координат покрывает половину гиперболоида Z0+Z4>0. Так как минимальный радиус горловины однопо-лостного гиперболоида R(t) зависит от времени, то, в отличие от Мира де Ситтера, эволюцию такой Вселенной нельзя устранить преобразованием координат. Строгое рассмотрение этого вопроса осуществлено в работе [10].

Соотношение наблюдаемая "звездная величина -

красное смещение"

В заключение сравним модель Вселенной без сингулярности [9] с наблюдательными данными. Для этого рассмотрим соотношение "видимая звездная величина - красное смещение" z, играющее важную роль в наблюдательной астрономии.

Известно, что видимая звездная величина m(z) космического объекта определяется формулой [1]

годняшнее значение "постоянной Хаббла" [1].

Для точного же решения a=a0ch1/3(vt) космологической модели Вселенной без сингулярности [9] видимая величина равна

m2(z) = 5 lg[(1 + z) /] -2,5 lg(L) + const.

Для такого решения параметр "замедления" вычисляется в явном виде

q = -

1+-

sh2(v t)

который в данном случае уместно назвать параметром ускорения. Сравним графически известный результат ш1(т) с полученным в данной статье точным результатом ш2(т).

Графики величин представлены на первом рисунке и построены с использованием компьютерной программы "МаМСай 2001".

-1.098

где S - поток энергии, приходящий от объекта на Землю, и

8 10 12 7.57 ш2(7) , шОД аб.553

Рис. 1. Пунктирная линия — соотношение "видимая величина — красное смещение" m1(z); m2(z) — сплошная линия

Из рис. 1 видно, что если теоретическую линию ш1(т) сопоставить с линией, полученной из наблюдательных данных методом наименьших квадратов для галактик [1],то сплошная кривая ш2(т) располагается ближе к экспериментальной линии, чем пунктирная прямая ш1(т).

Соотношение "красное смещение — расстояние" £=//4 представлено на рис. 2.

Из рис. 2 видно, что при £>0,1 зависимость красного смещения от расстояния является линейной и постоянную являющуюся аналогом "постоянной Хаббла", можно определить пу-

1

тем измерения красного смещения z [1] и вычисления / из соотношения

m - M = 5 lg

f Л-л

10 пс

по измеренной видимой величине m и абсолютной

величине M = -2,5 lg

■1

L

3,0 -1035 эрг/c

z 0.5

.2x10 3 0

,0.013

J.101

Рис. 2. Зависимость красного смещения гО) от расстояния I /10, пройденного светом за промежуток времени

Проведенное рассмотрение позволяет сделать следующие выводы:

1. Интерпретация Логунова эффекта красного смещения остается в силе и для вакуумоподоб-ной космологической среды. Интерпретация Логунова является реальной, а расширение Вселенной, лежащее в основе традиционной интерпретации эффекта красного смещения, является лишь эффективным из-за эффективности самого риманова пространства.

2. В однородной и изотропной Вселенной с метрикой Логунова эволюция гравитационного поля обусловливает эффект красного смещения энергии только для частиц с нулевой массой покоя, так что вещество не следует за ростом масштабного фактора.

3. В отличие от деситтеровской модели модель Вселенной без сингулярности допускает наличие конечной концентрации материи во Вселенной и объясняет красное смещение. Модель так же объясняет соотношение "видимая звездная величина - красное смещение". Полученные на основе теории Логунова результаты позволят по новому подойти к решению космологических проблем горизонта, причинности, однородности и плоскостности, вновь поставленных в работе Глинера [11].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. - Т. 2. — М.: Мир, 1977. —525 с.

2. Толмен Р. Относительность, термодинамика и космология. — М.: Наука, 1974. —520 с.

3. Чернин А.Д. Космический вакуум // Успехи физических наук. — 2001. —Т. 171. —№ 11. —С. 1153—1175.

4. Зельдович Я.Б., Новиков И.Д. Строение и эволюция Вселенной. — М.: Наука, 1975. —450 с.

5. Линде А.Д. Физика элементарных частиц и инфляционная космология. — М.: Наука, 1990. — 420 с.

6. Долгов А.Д., Зельдович Я.Б., Сажин М.В. Космология ранней Вселенной. — М.: Изд-во МГУ, 1988. — 510 с.

7. Логунов А.А., Мествиришвили М.А. Релятивистская теория гравитации. -М.: Наука, 1989. - С. 147-170.

8. Логунов А.А. Теория гравитационного поля. - М.: Наука, 2001. -С. 104-125.

9. Ласуков В.В. Вселенная в метрике Логунова // Известия вузов. Физика. - 2002. - № 2. - С. 39-42.

10. Ласуков В.В. Метрика вакуумоподобной сферы в теории Логунова // Известия вузов. Физика. - 2002. - № 11. - С. 24-26.

11. Глинер Э.Б. Раздувающаяся Вселенная и вакуумоподобное состояние физической среды // Успехи физических наук. -2002. - Т. 172. -№ 2. - С. 221-243.