Случайные величины и их законы распределения Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ НАУКИ

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

12 3

Останов К. , Назаров О.У. , Баротова М.А. Email: Ostanov662@scientifictext.ru

1Останов Курбон - кандидат педагогических наук, доцент, кафедра теории вероятностей и математической статистики, механико-математический факультет; 2Назаров Отабек Умаралиевич - магистрант, кафедра теории вероятностей и математической статистики, Самаркандский государственный университет; 3Баротова Мохира Абдуалимовна - преподаватель, лицей Самаркандского филиала Ташкентский университет информационных технологий, г. Самарканд, Республика Узбекистан

Аннотация: в статье рассмотрены случайные величины и их законы распределения. Даны определения случайной величины и приведен пример испытания бросания монеты. Потом дано определение дискретной случайной величины. В качестве

самого простого примера случайной величины рассмотрен индикатор 1д

события A еА. Затем дано определение закона распределения случайной величины. Приведены свойства закона распределения случайной величины. В качестве примеров приведены биномиальный закон распределения, распределение Пуассона, геометрический закон распределения и доказано, что данная таблица является законом распределения.

Ключевые слова: случайная величина, пространство, элементарное событие, индикатор, монета, испытание, функция, дискретная случайная величина, счетное множество, закон распределения, биномиальный закон распределения, закон распределения Пуассона, геометрический закон распределения.

RANDOM VALUES AND THEIR DISTRIBUTION LAWS Ostanov K.1, Nazarov O.U.2, Barotova M.A.3

1Ostanov Kurbon - PhD, Associate Professor, DEPARTMENT OF PROBABILITY THEORY AND MATHEMATICAL STATISTICS, FACULTY OF MECHANICS AND MATHEMATICS; 2Nazarov Otabek Umaralievich- Undergraduate, DEPARTMENT OF PROBABILITY THEORY AND MATHEMATICAL STATISTICS, SAMARKAND STATE UNIVERSITY; 3Barotova Mohira Abdualimovna - Teacher, LYCEUM OF THE SAMARKAND BRANCH TASHKENT UNIVERSITY OF INFORMATION TECHNOLOGIES, SAMARKAND, REPUBLIC OF UZBEKISTAN

Abstract: the article considers random variables and their distribution laws. Definitions of a random variable are given and an example of a coin flip test is given. Then the definition of a discrete random variable is given. As the simplest example of a random variable, an event indicator has been considered. Then the definition of the distribution law of a random variable is given. The properties of the distribution law of a random variable are given. The examples are the binomial distribution law, the Poisson distribution, the geometric distribution law, and it is proved that this table is a distribution law.

Keywords: random variable, space, elementary event, indicator, coin, test, function, discrete random variable, countable set, distribution law, binomial distribution law, Poisson distribution law, geometric distribution law.

УДК 372.851

Случайная величина. Пусть нам дано вероятностное пространство (q, a, P).

Если пространство элементарных событий Q будет конечным или счетным множеством, то его назовем дискретным пространством элементарных событий [1].

Определение 1. Любая функция определенная в дискретном

пространстве элементарных событий Q называется случайной величиной.

Пример 1. При испытании бросания монеты Q = ), = герб,а2 = цифра

. Введем следующую функцию X : X(юх) = 1, X(ю2) = 0. Значит, по определению Х будет случайной величиной.

Если пространство элементарных событий

Q имеет мощность континиума, то тогда любая функция может и не быть случайной величиной. Значит, необходимо определенным образом изменить формулировку определения 1.

Определение 2(общее определение). Пусть дана числовая функция £ определена в пространстве элементарных событий

Q. Если для любого С £ R будет

выполнено условие |ю £ Q : £(ю) < С j £ A , то функция £ называется

случайной величиной [2].

В качестве самого простого примера случайной величины можно считать

индикатор (ю) события A £A : il, agar ю£ A,

1a(ю)4'g £;

[0, agar ю<£ A.

Предположим, что попарно несовместные события A , A ,... , A ,... полную

00

группу, т.е. U Ап = О, то тогда случайную величину представим в виде

п=\

<х>

£(ю) = 2 Хп1А (ю) хп £ R (1)

п=1

называется дискретной случайной величиной. Если в (1) сумма конечная, то £(ю) называется простым(элементарным) случайной величиной[3].

Закон распределения. Определение 2. Если даны значения Х , принимаемые

дискретной случайной величиной X и верояности р принятия этих значений, то

тогда называется дано закон распределения случайной величины X .

Пример 2. В вышеупоянутом испытани бросания монеты закон распределения

случайной величины Х будет иметь следующий вид:

X 0 1

р 0,5 0,5

Значит, для того чтобы записать закон распределения, принимаемые значения случайной величины должны быть конечным или счетным количеством.

Закон распределения дискретной случайной величины в общем случае в следующем виде:

X Х2 Xn

p PI p2 pn

Свойства закона распределения дискретной случайной величины.

10 . pk > 0, к = 1,2,...,n.. 20. p + p2 +... + pn +... = 1.

Справедлива и обратное, т.е. любой двух строчный таблица удовледворяющее этим обоим свойствам, будет законом распределения какого-нибудь другой случайной величины [4].

Пример 3. Найти закон распределения количества выпадения гербов при двухкратном бросании монеты.

Решение. р(Х = о) = р(ц,ц) = ^. Ir= I P(X = 1) = Р(ц, г) + Р(г,ц) = - •1 + - •1 =1

2 2 4

Р(X = 2) = Р(г, г) = - •1 =1.

2 2 4

Таким образом, получим следующую таблицу:

2 2 2 2 4

X 0 1 2

Р 0,25 0,5 0,25

1. Биномиальный закон распределения

X 0 1 n

Р po pi pn

здесь Pn (к) =

n!

- рк (1 — р)п к, к = 0,1,2,..., П. Можно доказать, к!(п — к)Г v ^

что эта таблица будет законом распределения. Это распределение называется биномиальным законом распределения ( так как бином означает, что Х принимает две значения) [5].

X 0 1 n

Р po pi pn

тк

Л -я

где Рк = , е 0. Можно доказать, что эта таблица будет законом

к!

распределения. Это распределение называется законом распределения Пуассона.

X 0 1 n

Р po pi pn

где р^ = р(1 — р) . Докажем, что эта таблица является законом распределения.

Доказательство. 1. (1 — р) ^ 0, р > 0 , поэтому р^ > 0 . 2. Докажем,что рх + р2 + ... + ри + ... = 1.

ад ад ад Л fi

IPk = I pqk-1 = pI qk-1 = p(i + q + q2 + •••) = p-—=7^=i-

к=1 k=i к=1 1 - q 1 - q

Здесь мы использовали формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Список литературы /References

1. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей (задачи и упражнения). М. «Наука». Главн. ред. физ.-мат. лит., 1969. 368 с.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: «Высшая школа», 1998.

3. Емельянов Г.В., Скитович В.П. Задачник по теории вероятностей и математической статистике. Л.: Издат. ЛГУ, 1967. 332 с.

4. Севастьянов Б.А., Чистяков В.П., Зубков А.М. Сборник задач по теории вероятностей. М. «Наука», 1980.

5. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М.: Издат. дом «Лань», 2008.