Обобщенное вероятностное описание двухсторонних дискретных случайных величин Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.391

ОБОБЩЕННОЕ ВЕРОЯТНОСТНОЕ ОПИСАНИЕ ДВУХСТОРОННИХ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

И.Г. Карпов1, С.В. Овсянников 1, А.Ю. Козирацкий2

Тамбовский военный авиационный инженерный институт (1);

Воронежский военный институт радиоэлектроники (2)

Представлена членом редколлегии профессором Ю.Л. Муромцевым

Ключевые слова и фразы: дискретные законы распределения; модели флуктуации; распределение Пирсона; случайные величины.

Аннотация: В результате решения разностного уравнения первого порядка с переменными коэффициентами получен обобщенный закон распределения двухсторонней дискретной случайной величины, и на его основе разработан метод идентификации основных видов дискретных законов распределения.

Для решения задач синтеза оптимальных методов приема и обработки информации в оптической локации и связи очень часто используют в качестве вероятностных моделей флуктуаций сигналов дискретные законы распределения. Наиболее широко применяются такие законы распределения, как законы Пуассона, Ла-герра, биномиальный, отрицательный биномиальный [1 - 4]. Однако каждый из этих законов распределения в отдельности зачастую не дает необходимой степени обобщения данных по флуктуациям оптических сигналов, а некоторые из них дублируют друг друга.

В работе [5] было получено выражение для обобщенного дискретного закона распределения односторонней случайной величины, когда она может принимать только положительные значения. Существенным недостатком данного распределения является то, что оно не позволяет описывать распределения с ненулевым параметром сдвига. Могут также возникать ситуации, когда дискретная случайная величина (СВ) принимает как положительные, так и отрицательные значения, то есть является двухсторонней.

Цель работы - в результате решения разностного уравнения первого порядка с переменными коэффициентами получить обобщенный закон распределения двухсторонней дискретной случайной величины и на его основе разработать метод идентификации основных видов дискретных законов распределения.

По аналогии с дифференциальным уравнением Пирсона для плотностей вероятностей весьма разнообразный характер дискретных законов распределения можно задать с помощью разностного уравнения первого порядка с переменными коэффициентами

АР (*) =________а1 (* ~ т1)~ а0_______ (1)

р(*) ¿2 (*+1 - т1 )2 + Ь (*+1 - т)+й0

где Ар (*) = р (* +1)- р (*); ^1, а0, ¿2, ¿1 и Ь 0 - параметры законов распределения; т1 - начальный момент 1-го порядка.

Используя общие свойства вероятностей возможных значений р (х), установим правила определения параметров а1; а0, ¿2, ¿1 и й0, входящих в уравнение (1). Для этого запишем уравнение (1) в следующем виде

(х - ті)” ¿о + ¿1 (х +1 - ті) + ¿2 (х +1 - т )2 Ар (х) =

= (х- т1)” [^1 (х - т1)- ао ] р (х),

либо

У

b0 + bi (У + !) + b2 (У +1)2 DP (У) = УП [аіУ - ao ] P (У)

(2)

где у = * - т1.

Пусть допустимые значения центрированной дискретной СВ Хо заключены в интервале [/1, ¡2 ]. Просуммируем левую часть равенства (2) по частям, используя формулу суммирования по частям [6]

¡2 / + , ¡2

X и(*)А/(*) = [и(*)/(*)]¡2 - ^ /(* + 1)АМ(*).

: = h

В результате получим

У -1)” b0 + blУ + b2У2

: = hi

h2 + 1 hi

¡2 г

- X у”(Ь0 + Ь1 (у + ^) + Ь2(у + !) )-(у-!) (Ь0 + Ь1у + Ь2у2) р(у) =

у = ¡1

¡2

= X уп (а у- а0) р (у).

у = ¡1

Выражение в фигурных скобках обращается в нуль на верхней границе интервала суммирования, так как р(¡2 +1) = 0, а на нижней границе интервала суммирования в общем случае равно (¡1 - 1)п + Ь^ + b2/l2) р (¡1).

Рассмотрим, при каких условиях оно равно нулю. Если допустимые значения СВ Х0 имеют конечное множество значений в интервале [0, Ы] либо счетное множество значений в интервале (0, ¥), то ¡1 = -т1. При этом можно положить, что

b2^i - bmi + b0 = 0.

(3)

При всех других интервалах допустимых значений дискретной СВ будем полагать, что

р (¡1 ) = 0. (4)

Используя определение центральных моментов для дискретной СВ и полагая, что выполняется условие (4) либо (5), имеем

a0mn - b0Jn0 - biJn i - b2Jn 2 = aimn + i>

(5)

где mn = \ y

центральный момент и-го

N2

порядка; ^„о =(УП-(У-1)”) ;

$„1 = ( у” ( у+1)- у ( у -1)п); $„2 = ( у” ( у+1)2 - у2 ( у -1)^ ■

Уравнение (5) позволяет получить рекуррентные соотношения для определения моментов более высокого порядка по моментам более низкого порядка. Последовательно полагая в (5) п = 0, 1, 2, 3 и учитывая, что До = 1, М-1 = 0 , $00 = 0,

$01 = 1, $02 = 1, «5\о =1 , $20 = 1 , $11 = 0 , $12 = 3д2 , $22 = 4М-3 , $31 = 4Мз - 3И-2 , $32 = 5^4 - 2^3 + Д2 , получим:

а0 - Ь1 - ь2 = 0;

-Ь0 - 3Ь2Д2 = а1Д2; . „

(6)

а0Д2 + ¿0 - 3Ь1Д2 - 4Ь2д3 = а1Д3;

(а0 - 4Ь1 + 2Ь2 )М-3 - ¿0 (3Ь0 - 3Ь1 + ¿2 )Д2 = (а1 + 5Ь2 )й-4-

Выразим параметры а1, а0, ¿2, Ь и ¿0 через центральные моменты Д2, Д3 , Д4 ■ Из второго соотношения системы (6) следует, что ¿0 ^ 0 ■ Поэтому систему уравнений (6) можно решить относительно параметров а1, а0, ¿2 и ¿1 ■ В результате решения системы уравнений (6) и некоторых преобразований получим:

Ьо —

bo (1 - К ) ; (2-К )m2 ’

bo (4 Ко - 5) 0,5Й0 (Kl - 4K2 + 5)

ai —~,--------------ч— ; ао — ■

bi —

(2- Ко )то ’ 0 (2- Ко )то

[0,5 ( Kl +1) +1 - Ко ] bo

(7)

( о - Ко )то

где

К1 — Мз/^, Ко -

1,5тз + 6м! - 1,5мо

(8)

Д2 (Д4 + 3^2 -Д2

С целью упрощения выражений для параметров а1, а0, ¿2 и ¿1 положим что ¿0 = (2 - К2) М-2 ■ Тогда с учетом (7) имеем

Ъ2 = 1 -К2; а1 = 4К2 -5; Ъ1 = 0,5К1 +1,5-К2;

b0 — ( о - Ко )Мо; а0 — 0,5 ( К - 4Кг + 5).

(9)

Следовательно, параметры а1, а0, ¿2, ¿0 и ¿1 определяются коэффициентами К1 и К2, а также центральным моментом |т2 ■

Решение разностного уравнения (1) в рекуррентной форме с учетом (9) имеет следующий вид

Р( x ) —

C, x — М

(4К2 -5)(х-т1)-0,5(К1 + 4К2 -5)

(х-^1 )((1-К2)(х-Ш1) + 0,5К1 +1,5-К2) + (2-К2 )|^

(4К2 -5)(т1 -х)-0,5(4К2 -5-К1)

(т -х)((1-К2)(т1 -х) + 1,5-0,5К1 -К2) + (2-К2 )^2

где С - коэффициент нормировки; Д - параметр сдвига^

V

f

1+

IV

p(x-1), x>m

p(x+1), x<m, (10)

Л

Рассмотрим основные частные случаи распределения (10), чтобы выяснить, каким образом оно связано с известными уже дискретными законами распределения. Оценку потенциальных возможностей распределения (10) будем производить с помощью коэффициентов К и К2 .

Распределение I. Пусть для коэффициентов К! и К2 выполняются неравенства 1 < К2 < 1,5 ; -¥ < К! < ¥.

bN bcN (b + c + N )

1 ; m2 = Ô b + c (b + c) (b + c +1)

( c - b )( 2N + b + c ) (b + c )( b + c + 2)

К = Ь + С + 3 . При этом (10) преобразуется к виду

b+c+2

Р( x ) =

(c)N(N+1 -x+m)x-m(b)x-m

(b + c )n ( N+c - x+m) x-m( x-m)!

x = m, m+i,k,m+n,

(11)

где с > 0, Ь > 0, N > 2, -¥ < т < ¥ - параметры распределения; (а )к =

= а (а +1)... (а + к -1) - символ Похгаммера. Частными случаями распределения (11) являются дискретный равномерный закон при Ь = 1, с = 1 и отрицательное гипергеометрическое распределение при Ь = т, с = М - т +1, т = 0 и N = S -М

[7].

На рис. 1 представлена область существования распределения I в координатах К - К2 . Для нее справедливо неравенство 1 < К2 < 1,5.

Распределение II. Пусть для коэффициентов К и К2 выполняются соотношения -1 < К < 1; К2 = 1. Положим т-1 = т + pN, ^2 = pN (1 - р) и К = 1 - 2р . Тогда (10) сводится к биномиальному закону с ненулевым параметром сдвига [1, 8]

( ) ( N +1 - x + m) x p

Р( x ) =

x-m

(x-m) ! (1 - p)x -m- N

x = m, m+1, •••,m+n,

(12)

где 0 < р < 1, N > 1 - параметры распределения. Частным случаем (12) при N = 1 и т = 0 является закон Бернулли.

На рис. 1 представлена область существования распределения II. Ей соответствует отрезок прямой II.

Рис. 1 Классификация законов распределения двухсторонней дискретной СВ

Распределение III. Пусть для коэффициентов К и К выполняются соотношения К = 1; К2 = 1, а mi = m + 1 и m2 = 1. При этом (10) сводится к закону Пуассона с ненулевым параметром сдвига [1, 8]

1 x-m

p(x)= (x_m)!exp(-1), x = m, m+1, •••,¥, (13)

где 1 > 0 - параметр распределения.

На рис. 1 области существования распределения III соответствует точка с координатами К1 = 1; К2 = 1.

Распределение IV. Пусть для коэффициентов К1, К2 выполняются соответственно неравенства К1 = -1, К2 = 1, а m1 = |m-1 и m2 = 1. При этом (10) сводится к распределению

1Ц-x

Р (x ) = —---- exp (-1) , -¥< x <m . (14)

(m-x)!

На рис. 1 области существования распределения IV соответствует точка с координатами К1 =-1; К2 = 1.

Распределение V. Пусть для коэффициентов К1 и К2 выполняются соотно-

a q a q 1 + q

1 , m2 = ----V и К1 = 7^

1 - q (1 - q) 1 - q

этом (10) сводится к отрицательному биномиальному закону с ненулевым параметром сдвига [1, 8]

(a)

р(x)= ( x ).qx-m(1 -q)a, x = im m+1 к,¥, (15)

(x-m)!

где 0 < q < 1, a > 0 - параметры распределения. Частным случаем (15) при a = 1 и m = 0 является геометрическое распределение.

На рис. 1 представлена область существования распределения V. Ей соответствует отрезок прямой V.

Распределение VI. Пусть для коэффициентов К1 , К2 выполняются соответ-

aq aq

ственно неравенства К1 <-1, К2 = 1. Положим m1 =m--------------------------, m2 = ”

шения Ki > 1, K2 = 1. Положим m = m + ^-, m2 =---------2 и K = -——. При

1 - q (1-q)

2

1 + О

К =-------—. При этом (10) сводится к распределению

1 - О

(а)

р(х)= ( ^от~х(1-о)а, -¥<х<т, (16)

(т-х)!

где 0 < о < 1, а > 0 - параметры распределения.

На рис. 1 представлена область существования распределения VI. Ей соответствует отрезок прямой VI.

Распределение VII. Пусть для коэффициентов К1 и К2 выполняются неравенства К > 1, К2 < 1. Введем вспомогательные коэффициенты К3 и К4, определяемые соотношениями

К К! + 3 - 2К2 . К К! - 3 + 2К2 (1/)

К3 = I, ,, . К4 = I, , , . ~. (1/)

4^1 (1 - К2 )(2 - К2 )т2 4^1 (1 - К 2 )(2 - К2 )т2

Если К3 > 1, К4 > 1, то можно положить, что т-1 =т+ аЬ/(с-1),

аЬ Г( с -1)( а + Ь + с -1) + аЬ~\ (2а + с -1)( 2Ь + с -1) с - 4

т2 =—^----------------------------------------------------^->--=±, К =^-( (; -и К2 = —- . Тогда

(с-1)2 (с-2) (с-1)(с-3) с-3

распределение (10) преобразуется к виду

В(а + Ь,Ь + с) (а)(Ь)хн

Р (x ) =

'x—m 'x~m B( c, a + b + c )( a + b + c )x—^ ( x — |m)!’

x = m, m +1, ..., ¥ ,

(18)

где а > 0, Ь > а, с > 0 - параметры распределения; В (а, Р) - бета-функция.

На рис. 1 представлена область существования распределения VII. Для нее справедливы неравенства К1 > 1, К2 < 1, К3 > 1, К4 > 1.

Распределение VIII. Пусть для коэффициентов К1, К2, К3 и К4 выполняются неравенства

К1 < -1; К2 < 1; К3 < -1; К4 <-1. (19)

Положим

mi = |m-

ab c — 1

m2 =

ab [(c —1)(a + b + с — 1) + abJ

(c — 1)2 (c — 2)

^ ( 2a + c — l)(2b + c —1) ^ c — 4

K1 = 1 Tw , K2 =

(с -1)( с - 3) ' 2 с - 3

Тогда распределение (10) преобразуется к виду

Р( x ) =

B(a + c, b + c)(a)m—x(b)m—x

B(c, a + b + c)(a + b + cx (m— x)!’

—¥ < x < m :

(20)

где а > 0, Ь > а, с > 0 - параметры распределения.

На рис. 1 представлена область существования распределения VIII. Для нее справедливы неравенства (19).

Распределение IX. Пусть для коэффициентов К1, К2, К3 и К4 выполняются неравенства

К1 > 0; К2 < 1; К3 > 1; -1 < К4 < 1. (21)

Положим m1 =m+

a + b c—1

2 (a + b2 ) (b + с — 1)2 +

m2 =-

(c—1)2 (c—2)

и K1 =

4a + ( 2b + c—1)2 ( c—1)( c — 3)

K2 =

c — 4 c — 3

Тогда распределение (10) преобразуется к виду

Р (x ) =

Г

Г(c)r (c + 2b + x — m)(

(x — m)! r(b + i4a)

x = m, m+1, k,

(22)

где с > 0, Ь > -0,5с, а > 0 - параметры распределения.

На рис. 1 представлена область существования распределения IX. Для нее справедливы неравенства (21).

Распределение X. Пусть для коэффициентов К1, К2, К3 и К4 выполняются неравенства

К1 < 0; К2 < 1; -1 < К3 < 1; К4 <-1. (23)

и

a

2

оо

2

a+b2 (a+1,2 ) (b + с-1)2 +i

Положим mi =m-----, m2 =_

с-1

( с-1)2 ( с - 2)

и K1 =-

4a + ( 2b + с-1)2 ( с-1)( с - 3)

с — 4

К2 =------. Тогда распределение (10) преобразуется к виду

с-3

Р (x ) =

г( с + b + ijâ ) r(m-x + b + iyfâ )

2

г(с)г (с+2b+m-x)(m-x)!r(b+ija)

(24)

где с > 0, Ь >- 0,5 с, а > 0 - параметры распределения.

На рис. 1 представлена область существования распределения X. Для нее справедливы неравенства (23).

Распределение XI. Пусть для коэффициентов К1, К2, К3 и К4 выполняются неравенства

-¥ < K1 < ¥• K2 < 1; -1 < K3 < 1; -1 < K4 < 1.

(25)

Положим m1 = m +

4 (l2-li2 )

4 _ ( с -1)( с - 3) ’ Kl~ с - 3

i2 -i2

с-1

с-4

m2 =

l2 (с -1)2 +(0,25 ( с -1)2 +l2 -l2 )2 ( с -1)2 (с - 2)

К] = ----—-----г , К2 =----. Тогда распределение (10) преобразуется к виду

Р( x) =

22 г( x-m + 0,25 (1 - с ) + j12 ) г(0,25 ( с + 3) + j11 )

с---------------------^—------------------------^, x-m;

г( 0,25 (1 - с ) + j12 ) г( 0,25 ( с + 3) + x-|m + j11 )

22 r(m-x + 0,25 (1 - с ) + j11 ) г( 0,25 ( с + 3)+ j12 )

I i2 I i2

Г( 0,25 (1 - с ) + j11 ) Г( 0,25 ( с + 3)+m-x + j12 )

\-1

(26)

с

x <m,

где С = (С1 + С2 -1) , ^1 > 0, > 0, с > 0 - параметры распределения;

С1 = 3^2 (1, 0,25(1-с) + ¡12, 0,25(1-с)-Д2; 0,25(с + 3) + Дь 0,25(с + 3)-1);

С2 = 3^2 (1, 0,25(1-с) + Дь 0,25(1-с)-]%1; 0,25(с + 3) + Д2, 0,25(с + 3)-^ 1);

3^ 2 (•) - обобщенная гипергеометрическая функция.

На рис. 1 представлена область существования распределения XI. Для нее справедливы неравенства (25).

Распределение XII. Пусть для коэффициентов К1, К2, К3 и К4 выполняются неравенства

-1 < К1 < 1; К2 < 1; К3 > 1; К4 <-1. (27)

Положим m1 = m +

N ( N + b-1)

m2 =

N ( N + b-1)( N + с-1)( N + b + с - 2)

и K1 =

( с-1)2-(b-1)2

(2N + b + с - 2) (2N + b + с - 2)2 (2N + b + с - 3)

2 N + b + с - 5

1 =-----------------------------------, K2 =------------------

1 (2N + b + с - 2)(2N + b + с - 4) 2 2N + b + с - 4

2

и

Тогда распределение (10) преобразуется к виду

p( x)=-

(с)N(N+1—x+m)x—m(N+b +1—x+m)x—і

x—m

x = m, m+1,.,m+n, (28)

(N+Ь + с-1^(с) х-т( х-т)!

где с > 0, Ь > 0, N > 2 - параметры распределения. Частным случаем (28) является гипергеометрическое распределение [7] при Ь = |М - £| +1, с = |М + £ - Л| +1, N = £-р при £ < М либо N = М-р, т = М + £ - Л при М + £ - Л > 0 либо

т = 0.

На рис. 1 представлена область существования распределения XII. Для нее справедливы неравенства (27).

На основе соотношения (3) можно получить выражения для параметра сдвига т при различных значениях параметров К1, К2, К3 и К4. Причем, если

1 < K < 1,5, то

m = m1 +

3 + K1 — 2K2 4 ( K2 —1) ~\

3 + K1 — 2K2 4 ( K2 — 1)

+ m2

2

При K2 = 1

Если K2 < 1, то

m=

m1 — 2^/(1 + K1 ), K1 >—1; m1 + 2m^/(1 — K1 ), K1 <—1.

і — y K3 — 1 I при K3 > 1, — ¥ < к4 < ¥ ;

m = m1 — Kj4 (1 — K2 ) при —1 < K3 < 1, —1 < K4 < 1;

m = m1—4 m2

+ \/K4 — 1 I при —¥ < к3 < 1, K4 < —1.

Предельными случаями для распределения (10) являются распределения Пирсона. Так, например, для распределения (11) предельным распределением является бета-распределение, для закона Пуассона (13) - гамма-распределение с параметром масштаба 1 = 2, для отрицательного биномиального закона (15) -гамма-распределение с параметром масштаба 1 < 2.

Таким образом, в результате решения разностного уравнения первого порядка с переменными коэффициентами (1), получен дискретный закон распределения (10), который обобщает целый ряд дискретных законов распределения, таких, как равномерный, биномиальный, Пуассона, отрицательный биномиальный, гипер-геометрический, отрицательный гипергеометрический. Распределение, полученное в работе [5], которое также обобщает указанные законы, является в свою очередь частным случаем (10). Рассмотрены числовые характеристики распределения (10), а также на его основе разработан метод идентификации основных видов дискретных законов распределения с помощью коэффициентов К1, К2 и вспомогательных коэффициентов К3 , К4 .

Список литературы

1 Тихонов, В.И. Статистическая радиотехника / В.И. Тихонов. - М.: Радио и связь, 1982. - 624 с.

2

2 Шереметьев, А.Г. Статистическая теория лазерной связи / А.Г. Шереметьев. - М.: Связь, 1971. - 264 с.

3 Курикша, А. А. Квантовая оптика и оптическая локация / А. А. Курикша. -М.: Советское радио, 1973. - 184 с.

4 Гальярди, Р.М. Оптическая связь / Р.М. Гальярди, Ш. Карп. - М.: Связь, 1978. - 424 с.

5 Карпов, И.Г. Обобщенный дискретный закон распределения флуктуаций оптических сигналов / И.Г. Карпов // Радиотехника. - 2002. - № 4. - С. 64-70.

6 Никифоров, А.Ф. Классические ортогональные полиномы дискретной переменной / А.Ф. Никифоров, С.К. Суслов, В.Б. Уваров. - М.: Наука, 1985. - 216 с.

7 Вадзинский, Р.Н. Справочник по вероятностным распределениям / Р.Н. Вадзинский. - СПб.: Наука, 2001. - 296 с.

8 Справочник по теории вероятностей и математической статистике / В. С. Королюк, Н.И. Портенко, А.В. Скороход, А.Ф. Турбин. - М.: Наука, 1985. -640 с.

Generalized Probabilistic Description of Bilateral Discrete Random Variables

I.G. Karpov1, S.V. Ovsyannikov1, A.Yu. Koziratsky2

Tambov Military Aviation Engineering Institute; (1)

Voronezh Military Radio-Electronics Institute (2)

Key words and phrases: discrete laws of distribution; random variables; fluctuation models; Pierson’s distribution.

Abstract: As a result of solving differential equation of the first level with variable coefficients the law of distribution of bilateral discrete random variable is obtained; the method of identification of basic types of discrete laws of distribution is developed on its basis.

Zusammengefasste Wahrscheinlichkeitsbeschreibung der zweiseitigen zufälligen Diskretgrößen

Zusammenfassung: Als Resultat der Lösung der Differenzgleichung der ersten Ordnung mit den variablen Faktoren wurde das zusammengefasste Gesetz der Verteilung der zweiseitigen zufälligen Diskretgröße erhalten. Auf diesem Grund wurde die Methode der Identifizierung der Hauptarten der diskreten Verteilungsgesetze erarbeitet.

Description probable généralisée des grandeurs bilatérales discrètes variables

Résumé: A l’issue de la solution de l’équation de différence avec les coefficients variables est reçue la loi généralisée de la distribution de la grandeur bilatérale discrète variable; à la base de cette la loi est élaborée la méthode de l’identification de types essentiels des lois discrètes de distribution.