Обобщенный закон распределения односторонней дискретной случайной величины Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.391

ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОДНОСТОРОННЕЙ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

И.Г. Карпов1, С.В. Овсянников2

Тамбовский государственный технический университет (1); Тамбовское высшее военное авиационное инженерное училище радиоэлектроники

(Военный институт) (2)

Представлена членом редколлегии профессором Ю.Л. Муромцевым

Ключевые слова и фразы: дискретные законы распределения; модели флуктуаций сигналов и помех; случайные величины.

Аннотация: В результате решения разностного уравнения первого порядка с переменными коэффициентами получено выражение для обобщенного дискретного закона распределения, которое позволяет производить идентификацию законов односторонней дискретной случайной величины, как с нулевым, так и с ненулевым параметром сдвига. Рассмотрены его числовые характеристики. Предложена методика идентификации основных видов дискретных законов распределения.

Для решения задач синтеза оптимальных методов приема и обработки информации в оптической локации и связи часто используют в качестве вероятностных моделей флуктуаций сигналов дискретные законы распределения. Наиболее широко применяются законы распределения Пуассона, Лагерра, биномиальный, отрицательный биномиальный [1, 2]. Однако каждый из этих законов распределения в отдельности зачастую не дает необходимой степени обобщения данных по флуктуациям оптических сигналов, а некоторые из них дублируют друг друга. Кроме того, подавляющее большинство известных дискретных законов распределения имеют сложные аналитические выражения с использованием специальных функций. Указанное обстоятельство зачастую затрудняет техническую реализацию синтезированных алгоритмов обработки сигналов.

Цель работы - в результате решения разностного уравнения первого порядка с переменными коэффициентами получить выражение для обобщенного дискретного закона распределения, позволяющее производить идентификацию законов дискретных случайных величин, принимающих положительные значения, как с нулевым, так и с ненулевым параметром сдвига и рассмотреть его основные числовые характеристики.

По аналогии с кривыми Пирсона для плотностей вероятностей весьма разнообразный характер дискретных законов распределения можно задать с помощью разностного уравнения первого порядка с переменными коэффициентами

D P(x) = aix ~ a0 (1)

P(x) b2 (x +1)2 + b1 (x +1) ,

где Dp(x) = p(x +1)-p(x); ai, a0, b2 и bi - параметры законов распределения.

Используя общие свойства вероятностей возможных значений р(х), установим правила определения параметров а], а0,и Ь], входящих в уравнение (1). Для этого запишем уравнение (1) в следующем виде

xn (bl (x +1) + b2 (x +1)2) Ap (x) = xn (alx- a0) p (x). (2)

Пусть допустимые значения дискретной случайной величины (СВ) X с конечным множеством значений заключены в интервале (0, N) либо (ц, N), а со

счетным множеством значений на неограниченном интервале (0, ¥ либо (ц, ¥,

где ц - параметр сдвига. Просуммируем левую часть равенства (2) по частям, используя формулу суммирования по частям [4]

^2 , ^2

^ и (х)Д/(х) = [и (х) /(х)] ,2 +1 - ^ / (х + 1)Ди (х), (3)

d2 -Ц

x=dl x=dl

где й] = 0 либо й] = т, а й2 = N либо й2 = ¥. В результате получим

d9 +1

{(x-l)n bl (x-1) + b2 (x-1)2 p (x)}

U1

d2 d2

X bl (x”+1 -(x -1)”+ ) + b2 (x”+2-(x -1)”+ )p (x)= X xn (alx - a0 ) p (x).

Выражение в фигурных скобках обращается в нуль на верхней границе интервала суммирования, так как р (к +1) = 0; а на нижней границе интервала суммирования в общем случае равно

(-1)" (Ь2 - Ь) р (0) = (-1)” (Й2 - Ь) с,

где С - коэффициент нормировки. Тогда, используя определение начальных моментов для дискретной СВ имеем

а0тп - Ь1 $п+1 - Ь2 $п+2 = а1тп+1 - а1тп, (4)

где тп = ^хп) - начальный момент «-го порядка; $п = ^хп -(х-1)п^.

Уравнение (4) позволяет получить рекуррентные соотношения для определения моментов более высокого порядка по моментам более низкого порядка. Последовательно полагая в (4) п = 0, 1, 2, 3 и учитывая, что т0 = 1, $0 = 0, $1 = 1,

получим

а0 - Ь - Ь2$ 2 = ат! - а1;

«0 т1 - Ь^Ф 2 - ^2$з = ат2 - а1т1; а0 т2 - ^1$ з - ^2$4 = а1тз - а^2;

а0 тз - Ь^Ф 4 - Ь2$5 = а^4 - а1тз,

где $2 = 2т1 -1, $з = 3т2 - 3т1 +1, $4 = 4тз - 6т2 + 4т1 -1, $ = 5т4 - 10тз + +10т2 - 5т1 +1.

Найдем решение разностного уравнения (1) с переменными коэффициентами при начальном условии р (0) = С. Для этого запишем его в виде

р (х +1)= А (х) р (х),

x

x

где

A ( x ) = l +

alx - ao \2

Ь2 ( х + 1) + Ь1 (х + 1)

При х = 1, 2, 3

р(1) = А(0)р(0), р(2) = А(1)А(0)р(0), р(3) = А(2)А(1)А(0)р(0), или в общем случае

х - 1

р (х )=[А (0)А О)---А (х-1)] р (0)=р (0) П А (к);

к = 0

так что общее решение уравнения (1) будет

p ( x ) =

сП

к = m+l

с, x = m, f 1 + al (k -1)-a0

x > m,

(6)

^2^ + Ь]к

где С - коэффициент нормировки, определяемый выражением

С=

1 + X П

x=m+l к =m+1

1 + al (к-1)-ao b2 к + blk

-l

(7)

Таким образом, получено выражение (7) для обобщенного закона распределения дискретной случайной величины. Из системы уравнений (5) следует, что моменты распределения (6) определяются выражениями

а0 + а] - Ь + Ь2 (а0 - 2^ + 3Ь2 + а1) т1 + Ь1 - Ь2

т1 = —------;;----—, т2 = ------------------------------------ '

„З =

al + 2b2 al + З‘2

(ao - З‘і + 6b2 + al) m2 + (З‘і - 4b2) Ші - ‘і + b2 al + 4b2

(8)

Ш4 =

(ao — 4bi +10b2 + ai) шз + (6bi — 10b2) Ш2 + (5b2 — 4bi) mi + bi — b2

ai + 5b2

Выразим параметры распределения (6) через его моменты. В результате решения первых трех уравнений системы (5) относительно интересующих нас параметров й], ао, ^2 и Ь], получим

где

к2 +1 - 2ki г./? \ 7

62 = 2(„і-1 + ki); b = b2(к1 -Ш1) + к1;

a0 = b2 (1 + ki -З„і ) + ki - „і, ai = -4b2 -1,

k1 =m2Іm1, к2 = М-з/т2 ,

(9)

(10)

ц2 и Ц3 - соответственно второй и третий центральные моменты.

Для идентификации основных частных случаев распределения (6) использовались коэффициенты , /

Li =-

к1

m2

1 + ki „і + m2

L2 = k2 + 1 - 2k1 = М-з/m2 + 1 - 2М-2/„і .

(11)

Л

x

\

Причем выражения (9) справедливы для случая, когда выполняется условие

Ь2 Ф 0. В противном случае, когда Ь2 = 0 выражения для параметров

Я1, #0, ^2 и Ъ будут иметь вид

= 0; Ъ = к1; = к -т^ а\ =-1. (12)

Таким образом, параметры распределения (6) в конечном итоге определяют-

ся начальным моментом т1 и коэффициентами к, к2 .

Области существования основных частных случаев (6) в координатах Ь1, Ь2 представлены на рис. 1, а их аналитические выражения приведены в табл. 1. В табл. 2 для основных частных случаев распределения (6) приведены выражения для первого начального момента т1 и коэффициентов к1 , к2 .

Для определения вида закона при Ь2 > 0 вводился вспомогательный коэффициент

= Ъ + а1 + 2Ъ2 (т1 +1) ь3 =----1 . (13)

2 V т1Ъ2 (Ъ + Ъ2 т1)

Из рис. 1 видно, что для случая, когда Ь2 > 0 и Ъ < 0 параметр сдвига отличен от нуля и удовлетворяет неравенству т — -Ъ\, иначе т = 0 .

Известно [2], что характеристическая функция дискретного закона распределения определяется выражением

1

Ф( )= £ р (х) е^х, (14)

х=0

где 1 - верхняя граница области существования дискретной случайной величины,

1 = N либо 1 ® ¥ .

Подставив (6) в (14) и, просуммировав, можно получить выражения характеристической функции для обобщенного дискретного закона распределения. В табл. 3 приведены выражения для характеристических функций основных частных случаев распределения (6).

Li

Рис. 1 Классификация законов распределения односторонней дискретной СВ

Тип распределения Аналитическое выражение закона распределения p(x)

I (сUN +1 -x) (b) p(x)=, N , ’x\’x , x = 0, 1, 2,...,N; (b + с) N (N + C - x )xx! с > 0, b > 0, N > 2

II (N +1 - x) px P(x)= * , x = 0, 1, 2,...,N; 1/1 \x - N ’ , , , , , x!(l- p) 0 < p < 1, N > 1

III 1x i p ( x) = e , x = 0,1,2,..., ¥; x! 1> 0

IV (a) p(x) = — qx (1 -q)a , x = 0,1,2,...,¥ x! 0 < q < 1, a> 0

V B (1 + с,1 + с + b - N)(N +1 - x)x (1 + b - x)x p (x)= B (1 + с - N,1 + с + b)(1 + с-N) x x! , x = 0,1,2,...,N; с > N, b > N, N > 2

VI B(a + с +1,b + с +1)(a) (b) p (x) = x x , x = 0,1,2,..., ¥; B (с +1, a + b + с +1)( a + b + с +1) xx! a > 0, b > a, с > 0

VII r( b + с + 1 + iyfa ) r( x + b + i-Ja) |

Г(с + 1)Г(с + 2b + 1 + x) x! r(b + ija) 2 ' x = 0, 1, 2, . , ¥; с > 0, b > -0, 5с, a > 0

VIII p ( x ) Г(1 + N )Г(1 + b )( N + 1 - x ) x - M (1 + b - x )x - M

p (x) Г(1 + b + N-M )Г(1 + x-M) x! , x = M, ..., N; 0 <M < N, b > N, N > 2

IX _ (^^ Г( a + 1)г(ь + 1)(M - a) x _ u (M - b) x -m

p (x) Г( a + b +1 -Л/)Г(1 + x - M) x! ’ x = M, M +1, ..., ¥; 0 < a < b, 0,^^ < b < M, M > 1, a + b > M

X r(1 + b + i4a) r( x - b + ija)

p(x) Г(1 + 2b-M)(x-M)! x! x = M, M +1, ..., ¥; 0 < a < 2b r( M - b + i-Ja) - M, b > 0,5M, M > 0

Таблица 2

Тип

распред

еления

к1 =М-2/ m1

k2 = тз/ m2

I bN b + c c (b + c + N) (b + c )(b + c +1) (c - b)( 2 N + b + c) (b + c)(b + c + 2)

II pN 1 - P 1 - 2p

III l 1 1

IV aq 1 - q 1 1- q 1 + q 1- q

V Nb c (b + c - N) (c - b) (с + b - 2 N)

b + c (b + c )(b + c-1) (b + c )(b + c - 2)

VI ab c (a + c)( b + c) с (c-1) (2a + c)(2b + c) c (c - 2)

VII a + b c (b + c )2 + a c (c -1) (2b + c)2 + 4a c (c - 2)

Nb b + N - M (N - M )(b - M M2-(b - N)2

VIII (b + N - M )(b + N - (b + N - M )(b + N - M

ab a + b - M (M - a)(M - b M2 Ю 1 b 1 2

IX (a + b - M)(a + b - M (a + b -M)(a + b -M

a + b 2b - M (b - M )2 + a M 2 + 4a

X (2b - M)(2b - M -1) (2b-M)(2b-M -2)

m

Тип

распре-

Аналитическое выражение для характеристической функции Ф(js)

деления

I (с) ф( js ) = тт\- 2 F (-N, b; 1 - c - N ;e j), (b + с) N ' c > 0, b > 0, N > 2

II F(js) = (1 -p)N 1F0 -N; -p- =(1-p(1 -ejs))N , v p 0 < p < 1, N > 1

III Ф( js) = e-1 0F0 (lejs ) = el(e7 -1), 1> 0

IV ф(js) = (^-q)a 1F0(a; qejs) = (!-q)a(:-qejs) , 0 < q < 1, a> 0

V . , B (1 + c, 1 + c + b — N) j !s\ Ф( js) = v SF ( N, b; 1 + c N; ejs), V ' B (1 + c - N, 1 + c + b) 2 ^ ' c > N, b > N, N > 2

VI ,, B(а + c + 1, b + c +1) / js\ ф(Js)=n( . , 1) 2F1 (^ b; a+b+c+1;ej ), B (c +1, a + b + c +1) v ' a > 0, b > a, c > 0

VII B (b + c +1 -i^fa, b + c +1 + i\[a) , . , Ф( js ) = 9 F (b + i\a, b - ija; 1 + с + 2b; ejs), V ’ B (c +1,1 + c + 2b) 2 1l- ) c > 0, b > - 0, 5c, a > 0

VIII / \ B (1 + N, 1 + b) i is\ Ф(js)= , v ’ ■ ejsM 2f(M N, M b; 1+M; ej ), v ’ B (1 + M, 1 + b + N - M) 2 ^ > 0 < M < N, b > N, N > 2

IX Ф( js) = / B(а +1 b +:) • ejsM 2F1 (M a, M b; 1+M; ejs), V ’ B(1 + a + b -M, 1+M) 2 ^ ' 0 < a < b, 0, 5M < b < M, M >1, a + b > M

X r( 1 + b + ) Ф( js)=—7 2F (M-b + iVa, M-b -; 1+M; ejs), v ; Г(1 + 2b -M)M! 2 H 1 0 < a < 2b -M, b > 0,5M, M > 0

Таким образом, в результате решения разностного уравнения первого порядка с переменными коэффициентами получен закон распределения (6), который в виде частных случаев содержит уже известные законы распределения, а также позволяет производить идентификацию законов, как с нулевым параметром сдвига, так и с параметром сдвига отличным от нуля при помощи одного выражения. Была разработана методика идентификации основных видов дискретных законов распределения. Для основных частных случаев распределения (6) получены выражения для характеристических функций, первого начального момента и коэффициентов к]_, к2 .

1 Ширман, Я.Д. Радиоэлектронные системы: основы построения и теория: справочник / Я. Д. Ширман. - М. : ЗАО «МАКВИС», 1998. - 828 с.

2 Тихонов, В.И. Статистическая радиотехника / В.И. Тихонов. - М. : Радио и связь, 1982. - 624 с.

3 Карпов, И.Г. Обобщенный дискретный закон распределения флуктуаций оптических сигналов / И.Г. Карпов // Радиотехника. - 2002. - №4. - С. 64-70.

4 Деруссо, П. Пространство состояний в теории управления / П. Деруссо, Р. Рой, Ч. Клоуз. - М. : Наука, 1970. - 620 с.

Generalized Law of Discrete Random One-Side Variable Distribution I.G. Karpov1, S.V. Ovsyannikov2

Tambov State Technical University (1);

Department “Impulse Equipment and Electronic Gadgets ”,

Tambov Military Aviation Engineering College of Radioelectronics (Military Institute) (2)

Key words and phrases: discrete laws of distribution; models of signals and noises fluctuations; random variables.

Abstract: As a result of the solution to difference equation of the first order with variable coefficients the formula of generalized discrete law of distribution is obtained; it enables to identify laws of one-side discrete random variable both with zero and nonzero shift parameter; its numerical characteristics are studied. The technique of identification of basic kinds of discrete laws of distribution is proposed.

Verallgemeinertes Gesetz der Verteilung der einseitigen diskreten ZufallsgroBe

Zusammenfassung: Als Ergebnis der Losung der Gleichung der ersten Ordnung mit den variabelen Koeffizienten ist der Ausdruck fur das verallgemeinerte diskrete Gesetz der Verteilung bekommen, das erlaubt, die Identifizierung der Gesetze der einseitigen diskreten ZufallsgroBe, wie mit Null-, als auch mit dem nicht Nullparameter der Verschiebung zu erstellen; es sind seine Zahlencharakteristiken untersucht. Es ist die Methodik der Identifizierung der Hauptarten der diskreten Gesetze der Verteilung angeboten.

Loi generalisee de la distribution d’une variable uniforme discrete

Resume: A l’issus de la solution de l’equation differentielle du premier ordre avec un coefficient variable on a regu une expression pour une loi generalisee de la distribution qui pemet de realiser l’identification des lois de la valeur aleatoire uniforme discrete avec le parametre de decalage nul et pas nul; sont examinees ses caracteristiques numeriques. Est proposee la methode de l’identification des types essentiels des lois discretes de distribution.