CC BY
90
ISSN 2304-120X
ниепт
научно-методический электронный журнал
Ахметова Ф. Х., Ласковая Т. А., Попова Е. М. Методика изложения темы «Функции случайных величин» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № 4 (апрель). - 0,3 п. л. - URL: http://e-kon-cept. ru/2017/170090. htm.
ART 170090
УДК 378.147
Ахметова Фания Харисовна,
кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва [email protected]
Ласковая Татьяна Алексеевна,
старший преподаватель ФГБОУ ВО «(Московский государственный технический
университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва
Попова Елена Михайловна,
кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва [email protected]
Методика изложения темы «Функции случайных величин»
Аннотация. В работе предлагается методика изложения темы «(Функции случайных величин» в курсе «(Теория вероятностей». Статья написана на основе многолетнего опыта преподавания этого предмета и будет полезна как студентам, так и преподавателям при проведении практических занятий. В ней отсутствуют доказательства используемых теорем, однако приведен список литературы, к которому можно обратиться за более подробными разъяснениями. Рассмотрено большое количество примеров, которые позволят студентам усвоить изучаемый материал в необходимом объеме. Цель работы - помочь студентам приобрести навыки применения вероятностных методов к решению различных задач. Ключевые слова: функция случайной величины, плотность распределения вероятностей функции случайной величины, закон распределения, композиция законов распределения.
Раздел: (01) педагогика; история педагогики и образования; теория и методика обучения и воспитания (по предметным областям).
Случайные величины, которые функционально зависят от множества случайных факторов, встречаются практически во всех дисциплинах [1, 2]. Например, уровень благосостояния человека - это функция заработной платы, налогов, стоимости продовольственных и промышленных товаров и услуг и т. д., количество сердечных сокращений - функция возраста, высоты местности, температуры тела и т. д.
В приложениях при построении математических моделей часто рассматриваются случайные величины, связанные функциональной зависимостью. В простейшем случае для технических специальностей задача ставится следующим образом: на вход технического устройства поступает случайное воздействие X; устройство подвергает воздействие X некоторому функциональному преобразованию ф и на выходе дает случайную величину У = <(X):
X1 X\ Y
X Y, или хп Ф ^ Y, или хп Ф Y m
Нам известен закон распределения X, и требуется найти закон распределения У.
ниегп
issN 2304-120X Ахметова Ф. Х., Ласковая Т. А., Попова Е. М. Методика изложения темы «Функции случайных величин» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № 4 (апрель). - 0,3 п. л. - URL: http://e-kon-cept. ru/2017/170090. htm.
научно-методический электронный журнал
Законы распределения функций случайной величины. Функции одной переменной
Если X - дискретная случайная величина, имеющая закон распределения, задаваемый табл. 1, а У = ф(X), где у = ф(х) - неслучайная функция, то У также дискретная случайная величина, причем ее возможные значения у =ф(х1).
Таблица 1
X X1 X2 Xn
Рг Pl Pl Pn
Если при этом у1 различны (например, у = ф(х) строго монотонна), то
Р(У = у) = Р( X = х).
Если же среди у имеются одинаковые значения, то Р(У = у) = ^ Р(Х = х),
к: Ф(хк )=у
то есть необходимо сложить вероятности тех х, для которых ф(хк) = у.
Пример 1. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения, представленный в табл. 2. Найти закон распределения случайной величины У = 2Х2 +1.
Таблица 2
X -2 -1 0 1 2
p 0,2 0,1 0,1 0,2 0,4
Решение. Значениям -2; -1; 0; 1; 2 случайной величины X соответствуют значения 9; 3; 1; 3; 9 случайной величины У. Учитывая, что среди возможных значений У встречаются одинаковые, получаем:
Р(У = 9) = Р(Х = -2) + Р(Х = 2) = 0,6 ;
Р(У = 3) = Р( X = -1) + Р( X = 1) = 0,3 ; Р(У = 1) = Р( X = 0) = 0,1 . Итак, закон распределения У имеет вид, представленный в табл. 3.
Таблица 3
Y 1 3 9
P 0,1 0,3 0,6
Если X - непрерывная случайная величина, имеющая плотность распределения /х(х), а У = ф(X), причем у = ф(х) - монотонная непрерывно дифференцируемая
функция, то У также непрерывная случайная величина. Функция распределения и плотность распределения У имеют, соответственно, вид:
У )
Fr (y) = P(Y < y) = { fx (x)dx ,
(1)
fr ( y) = FY (y) = fx (ф-\y))
dP~\y )
dy
(2)
где p y) * - обратная функция к y = ф(x). Если же y = ф(x) - немонотонная функция, то
2
ISSN 2304-120X
ниепт
научно-методический электронный журнал
Ахметова Ф. Х., Ласковая Т. А., Попова Е. М. Методика изложения темы «Функции случайных величин» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № 4 (апрель). - 0,3 п. л. - URL: http://e-kon-cept. ru/2017/170090. htm.
(У) = Е | /х (х)^ , (3)
к Д* (У)
где \ (у) означает ^-й интервал оси ОХ, на котором <р(х) < у. Например,
ДхОО = Ъ), а Д2(У) = (Ь,Хз) (Рис. 1).
Плотность распределения /(у) случайной величины У находится дифференцированием ^ (у) по у.
Математическое ожидание и дисперсию случайной величины У находим по формулам:
M (7) =\yfY (y)dy ,
(4)
ГШ
О(у) = IУ / (у)^у —М (у )]2. (5)
—ад
Можно также определить математическое ожидание и дисперсию У, зная лишь плотность распределения вероятностей случайной величины Х и функцию у = ср(х), по формулам:
+ад
М(У) = х)/х (х^ ,
D(y) =\9\x)fx (x)dx -[M(Y)f .
(6) (7)
Пример 2. Пусть случайная величина Х подчиняется закону распределения N(0,1) и У = X2. Найти: 1) математическое ожидание и дисперсию У, используя плотность распределения вероятностей случайной величины Х; 2) плотность распределения случайной величины У; 3) математическое ожидание и дисперсию У, используя найденную плотность распределения случайной величины У.
Решение. По условию Х имеет плотность распределения вероятностей
fx (x) =
1
V2
e
x 2
n
1) Вычислим математическое ожидание по формуле (6):
/ 2 \ +ю / V2 \ -i-m
м (Y) = J
1
x
dx =
1
x(-e 2)
+
dx
=1
Первый член суммы стремится к нулю при х , второй член представляет собой интеграл Пуассона. Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой (7). Вначале вычислим М (У2):
M (Y2) = J x4
1 - - 1
■e 2 dx = ■
Следовательно, D(Y) = M (Y2)-[м (Y )]2 = 3-1 = 2.
С xL^ x (-e 2)
+ 3 Г x 2e 2 dx
42П _
x 2e 2 dx = 3 .
ниегп
issn 2304-120Х Ахметова Ф. Х., Ласковая Т. А., Попова Е. М. Методика изложения темы «Функции случайных величин» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № 4 (апрель). - 0,3 п. л. - URL: http://e-kon-cept. ru/2017/170090. htm.
научно-методический электронный журнал
2) Найдем плотность распределения случайной величины У. Функция у = х2 имеет два интервала монотонности (-»,0) и (0, +») *, на каждом из которых определена обратная функция: у = 4х на (-»,0) и у = -^[х на (0, +»). Найдем функцию распределения У:
0 х2( у )
[ ^ (х)дх + [ (х)дх, у > 0 ^(у) = Р(У <у) = Ц)^() { ^() у ,
0, у<0
где х (у) и х2 (у) показаны на рис. 2.
0 х2( у )
Итак, при у > 0 ¥у (у) = | ¡X(х)дх + | ¡X(х)дх .
х1( у ) 0
Применяя формулу дифференцирования определенного интеграла по параметру, получаем выражение для плотности распределения вероятностей при
1
\ у = х
хОО 1 у х2(у) X
Рис. 2
d 1 -V d(~4у )
У > 0: fY(y)= —fy(y) = --= e/2-^—-± dy у/2ж dy
1 -у/
d (y[y)
42Ж
dy
1
—У/
e /2 +
1
1 -у/
2^2жу 2^2жу фжу
Окончательно получаем f (у )=
V2
, y < о
1 -y/
e /2, y > 0 ■
жу
3) Используя найденную плотность распределения случайной величины У, найдем математическое ожидание и дисперсию по формулам (4) и (5).
+»1/1 +» / -Л +» 2 /
М(У) = | у-_е" ду = -— цув' У/2dy = -_ | е 0 л]2жу л/2ж 0 у2ж 0
2e~ /2 dt = 1
» 1 у/ 2 - _t2/
M(Y2) =j у2-г= e /2dy = J 1V/2dx -
у¡2жу -
2 ,3 = 3.
0 д/2жу >/2ж 0 >/2ж 2
Полученные интегралы были вычислены в пункте 1.
Окончательно, П(У) = М (У2) -[М (У )]2 = 3 -1 = 2. Обратим внимание, что числовые характеристики, вычисленные различными методами, совпадают.
e
0
<
ниегп
issn 2304-120X Ахметова Ф. Х., Ласковая Т. А., Попова Е. М. Методика изложения темы «Функции случайных величин» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № 4 (апрель). - 0,3 п. л. - URL: http://e-kon-cept. ru/2017/170090. htm.
научно-методический электронный журнал
Пример 3. Какому функциональному преобразованию надо подвергнуть случайную величину X, распределенную равномерно на отрезке [0, ж], чтобы получить случайную величину У, распределенную по закону Коши / (у ) = 1
?
ж(1 + у2) '
Решение. По условию случайная величина X распределена равномерно на
— , х е [0, ж]
ж . Используя фор-
0 , х ^[0,ж]
, где х = ф~1(у) - обратная к функции
[0, ж]. Тогда плотность распределения X равна f (y)=
dqf\ y )
мулу (2), получаем fY (y) = fx(qTl(y)) y = <p(x), которую нужно найти. Имеем
dy
ж(1 + y2)
1
ж
ж
dp-\y )
dy
^Ч y) =
1 + y2
. Таким об-
разом, x = ф 1 (y) = 1 2dt = arctg t \у_л = arctg y + ж, откуда получаем функцию
y = tS
' ж4 x--
v 2,
Функции двух случайных величин
Пусть (X, У) - дискретный случайный вектор, имеющий закон распределения,
т п
заданный табл. 4, (где ру = Р(X = х,У = у;),Ру =1 ), и пусть 2 = ф(Х,У), где
I=1 I=1
г = ср( х, у) - неслучайная функция двух переменных.
Таблица 4
1
1
yj yj ... yj
X Р11 P12 ... P1m
X Р21 P22 ... P 2 m
i i ... \
X 1 Pn1 Pn2 ... Pnm
Тогда закон распределения случайной величины 2 находят следующим образом:
1) Вычисляют значения ^ = <р(х,у) для всех пар (хг,у).
2) Вычисляют вероятности Р(2 = ^). Если для различных пар (хi,у) и (^,у) получаются одинаковые значения г, то соответствующие вероятности надо сложить,
Т. е. Р (2 = г) = рц + ри .
Пример 4. Двумерный случайный вектор задан своим законом распределения (табл. 5). Найти закон распределения случайной величины 2 = X2 + ЗУ2.
ISSN 2Э04-120Х
ниепт
научно-методический электронный журнал
Ахметова Ф. Х., Ласковая Т. А., Попова Е. М. Методика изложения темы «Функции случайных величин» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № 4 (апрель). - 0,3 п. л. - URL: http://e-kon-cept. ru/2017/170090. htm.
Таблица 5
XY ——^ -1 0 1
-2 0,01 0,09 0,2
1 0,02 0,08 0,1
2 0,03 0,07 0,4
Решение. Найдем значения Т:
2П = (-2)2 + 3(-1)2 = 7 , % = (-2)2 + 3 • 0 = 4, ^з = (-2)2 + 3-12 = 7 , 221 = 12 + 3(-1)2 = 4, 222 = 12 + 3 • 0 = 1, 223 = 12 + 3 42 = 4, 231 = 22 + 3(-1)2 = 7 , ^ = 22 + 3 • 0 = 4 , ^ = 22 + 3-12 = 7 . Итак, случайная величина Т принимает всего три значения: ^ = 1, 22 = 4, 23 = 7. Вычислим соответствующие вероятности: Р (2 = 1) = р22 = 0,08 ,
Р (2 = 4) = р12 + р21 + р23 + р32 = 0,09 + 0,02 + 0,1 + 0,07 = 0,28 , Р (г = 7 ) = рп + р13 + р31 + р33 = 0,01 + 0,2 + 0,03 + 0,4 = 0,64. Закон распределения Т запишем с помощью табл. 6:
Таблица 6
z 1 4 7
Р 0,08 0,28 0,64
Если же (X, У) - непрерывный случайный вектор, имеющий двумерную плотность распределения /^(х,у) , а I = ф(Х,У), где ср(х, у) - неслучайная функция двух
переменных, то закон распределения Т находят по следующей схеме.
1) Находят функцию распределения случайной величины Т по формуле:
^(2) = Р(1 <2) = Ц /(х,у)йхйу . (8)
х,у )< 2
2) Если необходимо найти плотность / (г) распределения случайной величины Д то ее получают дифференцированием функции распределения ^ (г).
Пример 5. Пусть непрерывный случайный вектор (X,У) распределен равномерно в области 0 = {( х, у): |х| + | у| < 1}. Найти плотность распределения случайной ве-
„ У личины 1 = — .
X
Решение. Двумерная плотность распределения случайного вектора (X, У) имеет
1 , (х, у) ёО
вид: /у(х,у)= < 2 . Найдем функцию распределения случайной величины
0 , (х, у) ёО
(X,У): ^(2) = Р(1 < 2) = Р^ < 2^ = {{/ху (х,у)ахф, где Д =|(х,у):у < г| - область
на плоскости XOУ , зависящая от значения действительной переменной г. Для фиксированного значения г область показана на рис. 3 горизонтальной штриховкой.
ниегп
issN 2304-120X Ахметова Ф. Х., Ласковая Т. А., Попова Е. М. Методика изложения темы «Функции случайных величин» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № 4 (апрель). - 0,3 п. л. - URL: http://e-kon-cept. ru/2017/170090. htm.
научно-методический электронный журнал
Учитывая, что /^(х,у) отличен от нуля только в квадрате П = {(х,у) : |х| + |у| < 1}, то
= - Л с1хс1у = -8(&ПВ2), где
2 ппв- 2
О ПА - область, показанная на рис. 3 двойной штриховкой, а - площадь этой области. Нетрудно видеть, что при г > 0 площадь области О ГШ. равна
Рис. 3
5(ППА) = 2
1 1 z
2 2 z +1
= 1 -
z +1
■ = 2--
1
z - 1
, а при z <0\ 5(ППД) = 2 —1
2 1 - z 1 - z
Следовательно, функция распределения величины Z имеет вид:
1
F (z )=
1 -
2 ( z +1) ' 1
2 (1 - z )
z > 0
z < 0
Дифференцируя F (z) по z, получаем плотность распределения вероятностей:
fz (z )=
1
2 ( z +1)2 1
z > 0
z < 0
2 (1 - z)2
Объединяя полученные результаты, имеем fz (z)=
:eö .
2(1 + |г|)2 '
Закон распределения суммы двух случайных величин
Часто возникает задача об определении закона распределения суммы компонент случайного вектора (X, У) по известному закону совместного распределения его компонент.
Пусть (X, У) - непрерывный случайный вектор с известной плотностью совместного распределения компонент /^ (х, у). Тогда плотность распределения 2 = X + У имеет вид:
FZ (z) = j fXY (X z - Х У* = j fXY (z - У, У № ■
(9)
В том случае, когда X и У - независимые случайные величины, формула (9) приобретает вид:
FZ (z) = j fX (X) fY (z - x)dx = j fX (z - У ) fY (y d ■
(10)
Если же, кроме того, X и У независимы и принимают только неотрицательные значения, формула (10) может быть записана следующим образом:
1
1
1
ниегп
issn 2304-120X Ахметова Ф. Х., Ласковая Т. А., Попова Е. М. Методика изложения темы «Функции случайных величин» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № 4 (апрель). - 0,3 п. л. - URL: http://e-kon-cept. ru/2017/170090. htm.
научно-методический электронный журнал
z z
FZ (z) = j" fX (x ) fr ( z - * = { fX (z - y ) fr (У ■
(11)
Для случая, когда (X, У) - дискретный случайный вектор, закон распределения суммы 2 = X + У записывается в виде табл. 7, где ^= X+ У], а
Р (2 = ^ )=ИР (х = х,У=У]).
Таблица 7
' 1
Z z1 Z2 Zl
p p— P2 Pl
В частности, если (X, У) - дискретный случайный вектор с независимыми компонентами, то
р (2 = % ) = Е Р (X = X )Р (У = - X,).
з
В том случае, когда складываются независимые случайные величины X и У, то говорят о композиции законов распределения. Очевидно, что композиция законов распределения непрерывных случайных величин - это свертка /х */Т . Закон распределения называется устойчивым к композиции, если при композиции законов распределения одного типа снова получается тот же закон распределения, но с другими параметрами. Устойчивыми к композиции являются нормальный закон, закон распределения Эрланга, биномиальный, Пуассона.
Пример 6. Измеряется некоторая физическая величина X, равномерно распределенная на отрезке [-3; 3]. Процесс измерения проводится в условиях воздействия аддитивной независимой от X помехи У, распределенной по нормальному закону с параметрами М (У ) = 0, аг = 2. Найти плотность распределения вероятностей фактически измеряемой величины 2 = X + У.
Решение. Плотности распределения вероятностей X и У имеют вид соответственно:
fx (*)= \
1
— , x < 6
[-3; з]
и fr (y)=
1
— e 8
2^2ж
0 , x е[-3; 3]
В силу формулы (10) плотность распределения Z = X + Г записывается следую-
щим образом:
FZ (z) = J fx ( x) fr ( z - x d = J 1 'TTT^ -ш -3 6 2У12Ж
dx = - — 3 1 6
3 ^ (z - x) J3^72^e 8 d(z -x)=
L 'f_L
^ J n. Fi
— 1
. .— e 8 dt = —
6 ¿3 2у/2ж 6
f
Ф
z + 3
- Ф
z - 3
Л
г 1 -где Ф (г)= [—1= е 8 dt - функция стандартного нормального распределения N(0,1).
-12^2ж
Пример 7. Решить задачу композиции показательных распределений с параметрами \ и Л2 соответственно.
2
ниегп
issn 2304-120X Ахметова Ф. Х., Ласковая Т. А., Попова Е. М. Методика изложения темы «Функции случайных величин» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № 4 (апрель). - 0,3 п. л. - URL: http://e-kon-cept. ru/2017/170090. htm.
научно-методический электронный журнал
Решение. Плотности распределения вероятностей случайных величин X и У соответственно равны:
, х > 0 [0 , х < 0
, У > 0
[0 , у < 0
Так как нам нужно решить задачу композиции, то X и У независимы. Из (12) и (13) следует, что X и У принимают только неотрицательные значения, следовательно, по формуле (11) имеем при г > 0:
г г
\в -х(Л ^ =
0 0 0
fx (x)= <
fr (y)= <
(12) (13)
z z z
Fz (z) = J fx (x) f (z - x)dx = JäÄe(z-x)dx = ÄÄez Je
= ÄÄ e
-Ä, z
- x(Ä-Ä2 )
-Ä, )
Ä -Ä2
e-^2z - e^^12
) •
Запишем окончательный вид плотности распределения Z = X + Y:
rü , z < 0
fz (z )=
(e-^2z - e~Ä
i z)
z > 0
Л1-Л2
Пример 8. Независимые случайные величины X и У распределены по одному и тому же закону, задаваемому табл. 8. Описать закон распределения 2 = X + У.
Таблица 8
xi 0 1 2
Pi 1/ /4 1/ /8 5/ /8
Решение. Найдем возможные значения Т.
г = 0 + 0 = 0, ^ = 0 +1 = 1 + 0 = 1, г = 0 + 2 = 2 + 0 = 1 +1 = 2, ^ = 1 + 2 = 2 +1 = 3,
^ = 2 + 2 = 4. Вычислим соответствующие вероятности:
Р (2 = 0 ) = Р ( X = 0 )• Р (У = 0 ) =
Р (2=1)=Р (х =0 )•Р (У=1)+Р (х=о-Р (У =0 ) = ±+±=^
р (2 = 2 ) = Р (X = 0 )• Р (У = 2) + Р (X = 2 )• Р (У = 0) + Р (X = 1)-Р (У = 1) = _ 5 5 121 =32 32 64 = 64,
Р (2 = 3) = Р (X = 1)- Р (У = 2) + Р (X = 2 )• Р (У = 1) = — + — = 10 = —,
64 64 64 32
Р (2 = 4 ) = Р (X = 2 )• Р (У = 2 ) = 5 •5 = —
4 ' у ' у ' 8 8 64
Итак, закон распределения 2 = X + У задается табл. 9.
z
e
о
<
ISSN 2Э04-120Х
ниепт
научно-методический электронный журнал
Ахметова Ф. Х., Ласковая Т. А., Попова Е. М. Методика изложения темы «Функции случайных величин» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № 4 (апрель). - 0,3 п. л. - URL: http://e-kon-cept. ru/2017/170090. htm.
Таблица 9
zi 0 1 2 3 4
Pi 1/ /16 1/ /16 21/ /64 Х2 25/ /64
Методика, которая положена в основу данной работы, позволит достаточно быстро сформировать представление о способах решения широкого круга задач по теме «Функции случайных величин». Теоретический материал носит справочный характер и поможет преподавателям и студентам при подготовке к практическим занятиям.
Ссылки на источники
1. Косова А. В., Пелевина И. Н., Попова Е. М. Методика изложения темы «Случайные величины» в курсе «Теория вероятностей» // Инженерный вестник / МГТУ им. Н. Э. Баумана. Электронный журнал. - 2015. - № 6. - URL: http://engbul.bmstu.ru/doc/777361.html.
2. Ахметова Ф. Х., Ласковая Т. А., Попова Е. М. Методика изложения темы «Решение задач на классическую вероятность с помощью формул комбинаторики» в курсе «Теории вероятностей» // Инженерный вестник / МГТУ им. Н. Э. Баумана. Электронный журнал. - 2015. - № 6. - URL: http://engbul.bmstu.ru/doc/777339.html.
Faniya Akhmetova,
Candidate of Physical-Mathematical Sciences, Associate Professor, Bauman Moscow State Technical University, Moscow
Tatiana Laskova,
Senior lecturer, Bauman Moscow State Technical University, Moscow
Elena Popova,
Candidate of Physical-Mathematical Sciences, Associate Professor, Bauman Moscow State Technical University, Moscow [email protected]
Technique of the presentation of the topic "Functions of random variables"
Abstract. In work the method of presentation of the topic "Functions of random variables" in the course "Probability theory". The article is written based on years of experience teaching this subject and will be useful for both students and teachers in conducting practical classes. There are no proofs of the theorems used, however, a list of references that can be consulted for more detailed explanations. Considered a large number of examples that will allow students to learn the material under study to the extent necessary. The aim of this work is to help students to acquire skills in the application of probability methods to the solution of various problems.
Key words: function of random variable, the density of the probability distribution function of a random variable, distribution law, the composition of the distribution laws. References
1. Kosova, A. V., Pelevina, I. N. & Popova, E. M. (2015). "Metodika izlozhenija temy "Sluchajnye velichiny" v kurse "Teorija verojatnostej", Inzhenernyj vestnik / MGTU im. N. Je. Baumana. Jelektronnyj zhurnal, № 6. Available at: http://engbul.bmstu.ru/doc/777361.html (in Russian).
2. Ahmetova, F. H., Laskovaja, T. A. & Popova, E. M. (2015). "Metodika izlozhenija temy "Reshenie zadach na klassicheskuju verojatnost' s pomoshh'ju formul kombinatoriki" v kurse "Teorii verojatnostej", Inzhenernyj vestnik / MGTU im. N. Je. Baumana. Jelektronnyj zhurnal, № 6. Available at: http://eng-bul.bmstu.ru/doc/777339.html (in Russian).
Рекомендовано к публикации:
Горевым П. М., кандидатом педагогических наук, главным редактором журнала «Концепт»
Поступила в редакцию Received 31.03.17 Получена положительная рецензия Received a positive review 03.04.17
Принята к публикации Accepted for publication 03.04.17 Опубликована Published 05.04.17
www.e-koncept.ru
© Концепт, научно-методический электронный журнал, 2017 © Ахметова Ф. Х., Ласковая Т. А., Попова Е. М., 2017
977230412017304
