CC BY
121
ISSN 2304-120X
ниепт
научно-методический электронный журнал
Ахметова Ф. Х., Чигирёва О. Ю. Методика изложения темы «Формула полной вероятности и формула Байеса» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № 3 (март).- 0,3 п. л. - URL: http://e-kon-cept. ru/2017/170069. htm.
ART 170069 УДК 378.147:372.851
Ахметова Фания Харисовна,
кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва [email protected]
Чигирёва Ольга Юрьевна,
кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва m kfn 12@yandex. ru
Методика изложения темы «Формула полной вероятности и формула Байеса»
Аннотация. В статье предложена методика изложения темы «Формула полной вероятности и формула Байеса», основанная на личном опыте авторов преподавания дисциплины «Теория вероятностей». При решении задач по данной теме наибольшую трудность у студентов вызывает вычисление условных вероятностей. В связи с этим в работе уделено особое внимание методике решения задач. Приведены основные теоретические сведения и большое количество типовых примеров, показывающих приемы решения, которые позволят студентам приобрести необходимые навыки в освоении данной темы.
Ключевые слова: условная вероятность события, теорема умножения вероятностей, гипотеза, формула полной вероятности, априорные и апостериорные вероятности, формула Байеса.
Раздел: (01) педагогика; история педагогики и образования; теория и методика обучения и воспитания (по предметным областям).
Каждый в своей жизни ежедневно сталкивается с вероятностными ситуациями. Круг вопросов, связанных с осознанием соотношения понятий вероятности и достоверности, проблемой выбора наилучшего из нескольких вариантов решения, оценкой степени риска и шансов на успех, - все это находится в сфере реальных жизненных интересов. Исходы многих явлений заранее предсказать невозможно, какой бы полной информацией мы о них ни располагали. Нельзя, например, сказать наверняка, какова вероятность сдачи экзамена, или какой стороной упадет подброшенная вверх монета, или когда в следующем году выпадет первый снег. Однако исходы явлений тоже имеют свои законы, которые начинают проявляться при многократном повторении случайных событий [1-3].
Ранее в работе [4] была изложена методика решения задач на классическую вероятность с помощью формул комбинаторики. В данной статье перейдем к рассмотрению задач, которые эффективно решаются с помощью формулы полной вероятности и формулы Байеса. Формула полной вероятности позволяет вычислить вероятность интересующего события через условные вероятности этого события в предположении неких гипотез, а также вероятностей этих гипотез. А формула Байеса позволяет определить вероятность какого-либо события при условии, что произошло другое статистически взаимосвязанное с ним событие. Другими словами, берется в расчет как ранее известная информация, так и данные новых наблюдений.
ниегп
issN 2304-120X Ахметова Ф. Х., Чигирёва О. Ю. Методика изложения темы «Формула полной вероятности и формула Байеса» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № 3 (март).- 0,3 п. л. - URL: http://e-kon-cept. ru/2017/170069. htm.
научно-методический электронный журнал
Теорема умножения вероятностей
Определение. Условной вероятностью события а при условии (наступлении) события в называют отношение р(А|В) = ^ ) при условии, что Р(В0.
Теорема умножения вероятностей. Пусть событие А = АХА2... Ап и Р{А) > О .Тогда Р{А) = Р(Ах)р(А2\Ах)...р(Ап\АхА2...Ап_х).
Определение. События а и в, имеющие ненулевые вероятности, называют независимыми, если
Р(А|В) = р(а) или Р(В|А) = р(в).
Теорема (критерий независимости случайных событий). События а и в, имеющие ненулевые вероятности, являются независимыми тогда и только тогда, когда
р ( ав ) = р ( а) р ( в ).
Пример 1. Среди ста лотерейных билетов есть пять выигрышных. Найти вероятность того, что два наудачу выбранных билета окажутся выигрышными.
Решение. Рассмотрим следующие события:
А - два выбранных билета оказались выигрышными;
А - к - й выбранный билет оказался выигрышным, к = 1,2 .
Очевидно, что а = А1А2. Тогда по теореме умножения вероятностей р ( А) = р (а) р (А2| а).
Вычислим вероятность события А1, используя классическое определение вероятности:
р (а ) = — =—. у 1 100 20
Найдем условную вероятность р (а2 |А1). Так как событие А1 произошло, то
осталось девяносто девять билетов, среди которых четыре являются выигрышными. Следовательно,
р ( А2 IА1 ) = ¿.
Таким образом,
1 4 1
р (а ) =---=-« 0,002.
у ' 20 99 495
Пример 2. На десяти карточках написаны буквы, образующие слово «БИБЛИОТЕКА». Карточки перемешивают, пять из них последовательно извлекают и раскладывают в ряд слева направо. Найти вероятность того, что получится слово «БИЛЕТ».
Решение. Введем следующие события:
А - пять последовательно извлеченных карточек образуют слово «БИЛЕТ»;
а - на первой выбранной карточке написана буква «Б»;
А - на второй карточке - буква «И»;
А - на третьей карточке - буква «Л»;
ниегп
issn 2304-120X Ахметова Ф. Х., Чигирёва О. Ю. Методика изложения темы «Формула полной вероятности и формула Байеса» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № 3 (март).- 0,3 п. л. - URL: http://e-kon-cept. ru/2017/170069. htm.
научно-методический электронный журнал
А4- на четвертой карточке - буква «Е»;
А5 - на пятой карточке - буква «Т».
Тогда событие А = А1А2А3А4А5 и согласно теореме умножения вероятностей имеем
Р (А) = Р (4) Р (А2| Ах) Р (Аз| Ах А2) Р (А4| АХА- А3) Р (А5 |А1А2 А3 А4). Поскольку на десяти карточках буква «Б» встречается два раза, то
Р (А1 ) = 2 = 1.
у 1 10 5 Вычислим условные вероятности.
Если событиеА1 произошло, то на девяти оставшихся карточках буква «И» встречается два раза. Следовательно,
Р ( А2 IА1 ) = 2 •
Если событие А1А2 произошло, то на оставшихся восьми карточках буква «Л» встречается один раз, поэтому
p (A A ) = 1 ■
Далее, рассуждая аналогично, получаем
p ( a4 I AA A3) = 1, p ( A5 I AA A3 A4 ) = 1 ■
Таким образом,
р (А) =1 • - •1 •1 •1 = — « 0,0001. у ' 5 9 8 7 6 7560
Формула полной вероятности Определение. События {Нк называют гипотезами, если они удовлетворяют следующим условиям:
1) они попарно несовместны;
2) в результате опыта хотя бы одно из них обязательно произойдет.
Пусть для события А и гипотез {Нк известны вероятности Р(Нк) и
Р(А\Нк), к = 1,п. Тогда имеет место формула полной вероятности:
п
р (А) = е р (нк )р (А|Нк).
к=1
Пример 3. В продажу поступают телевизоры трех заводов. Продукция первого завода содержит 5% телевизоров со скрытым дефектом, второго - 3% и третьего -2%. Определить вероятность приобрести исправный телевизор, если в магазин поступили 30 телевизоров с первого завода, 20 - со второго и 50 - с третьего.
Решение. Пусть событие а - приобретен исправный телевизор. С этим событием
связаны три гипотезы: Нк - телевизор изготовлен к - м заводом, к = 1,3. Обозначим
ISSN 2Э04-120Х
ниепт
научно-методический электронный журнал
Ахметова Ф. Х., Чигирёва О. Ю. Методика изложения темы «Формула полной вероятности и формула Байеса» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № 3 (март).- 0,3 п. л. - URL: http://e-kon-cept. ru/2017/170069. htm.
Nk - число телевизоров, поступивших в магазин с k — го завода, n = ^ nk -общее
k=1
число телевизоров. Составим следующую таблицу:
k — номер завода Nk p (H ) = Nk V kf N p (aHk)
1 30 0,3 1 - 0,05= 0,95
2 20 0,2 1 - 0,03 = 0,97
3 50 0,5 1 - 0,02 = 0,98
Для вычисления вероятности события A воспользуемся формулой полной вероятности:
3
p (a) = £ p (нк )p (a\hk) = 0,3 • 0,95 + 0,2 • 0,97 + 0,5 • 0,98 = 0,969.
k=i
Пример 4. В ящике лежат 20 теннисных мячей, в том числе 15 новых и 5 играных. Для игры наудачу выбирают 2 мяча и после игры возвращают обратно. Затем для второй игры также наудачу извлекают еще 2 мяча. Какова вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами?
Решение. Событие A - для второй игры выбрали 2 новых мяча. Здесь возможны три гипотезы:
Н - для первой игры выбрали 2 новых мяча;
Н - для первой игры выбрали 2 играных мяча;
Н - для первой игры выбрали 1 новый мяч и 1 играный.
Найдем вероятности гипотез. Рассмотрим следующие события:
Вк -k -й извлеченный мяч оказался новым, k = 1,2 ;
С -k - й извлеченный мяч оказался играным, k = 1,2 .
Выразим гипотезы Н через события Вк и Q:
Н1 = В1В2 > Н2 = С1С2 > Н3 = В1С2 + С1В2 .
Тогда, согласно теореме умножения вероятностей, имеем
р (Н1 ) = P (В1)P (в Bi ) = 20 • 19= р ( н 2 )=P (с)P (с2 Qi )=20 • i9=¿.
Применяя теорему сложения вероятностей для несовместных событий BQ2 и СВ2, а затем - теорему умножения, получаем
p (Н 3 )=P (В) P (С2 Bi)+P (Ci) P (В2 Qi )=10 • 19+20 • 15=18.
Перейдем к вычислению условных вероятностей.
Поскольку в результате наступления гипотезы Н количество новых мячей будет равно 13, а играных - 7, то, согласно теореме умножения вероятностей, получим
ниегп
issn 2304-120X Ахметова Ф. Х., Чигирёва О. Ю. Методика изложения темы «Формула полной вероятности и формула Байеса» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № 3 (март).- 0,3 п. л. - URL: http://e-kon-cept. ru/2017/170069. htm.
научно-методический электронный журнал
p (Aitf, )=13. 12=39.
v 1 1 20 19 95
В результате наступления гипотезы Н2 количество новых и играных мячей останется прежним, поэтому
15 14 21
P (А|Я 2 ) = 15. 14 = 21. v 1 27 20 19 38
После наступления гипотезы Н3 количество новых мячей будет равно 14, а играных - 6. Следовательно,
р (АНз )=14 • 13=-91.
у 1 3 20 19 190
Вероятность события а определим по формуле полной вероятности:
р (А) = у р (Н )Р (а\щ ) = — •39 + — •— +15 • — « 0,445. к ' ~ у к' у 1 к' 38 95 19 38 38 190
Формула Байеса
Пусть до проведения опыта известны вероятности гипотезР(Нк), к = 1,п. Проведен опыт, в результате которого событие а произошло. Спрашивается, как «изменятся» вероятности гипотез р (Нк|А), если известны вероятности Р (А|Нк ), к = 1, п ?
Воспользуемся определением условной вероятности и применим теорему умножения:
р(н\А Р ( НкА) Р ( Нк ) Р ( АНк )
Далее с учетом формулы полной вероятности приходим к формуле Байеса:
р ( НкА)= пР (Нк ) Р (АНк ) •
x р ( нк ) р ( а\ик )
к=1
Определение. Вероятности Р(Нк ), полученные «до проведения опыта», называют априорными, а условные вероятности р(Нк|А), полученные «после проведения опыта», - апостериорными.
Пример 5. В группе из 20 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовлены отлично, 8 - хорошо, 7 - удовлетворительно и 2 - плохо. В экзаменационных билетах имеется 30 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 30 вопросов, хорошо подготовленный - на 25, удовлетворительно - на 18 и плохо -на 10. Вызванный наугад студент ответил на 3 произвольно заданных вопроса. Найти вероятность того, что этот студент подготовлен: а) отлично; б) хорошо.
Решение. Событие а - вызванный студент ответил на 3 вопроса. Естественно ввести четыре гипотезы:
Н - студент подготовлен отлично;
ниегп
issn 2304-i20x Ахметова Ф. Х., Чигирёва О. Ю. Методика изложения темы «Формула полной вероятности и формула Байеса» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № 3 (март).- 0,3 п. л. - URL: http://e-kon-cept. ru/2017/170069. htm.
научно-методический электронный журнал
Н2 - студент подготовлен хорошо;
Н3 - студент подготовлен удовлетворительно;
Н4 - студент подготовлен плохо.
Найдем вероятности гипотез.
Р(Н ) = ^ =0,15; Р (Н 2 )=^ =0,4;
Р (Н з ) = ^ =0,35; Р (Н 4 ) = ^ =0,1 ■
Вычислим условные вероятности Р (Л|Н ), к = 1,4 ■
Очевидно, что
Р (А|Н1 ) = 1.
Применяя теорему умножения вероятностей, получаем
Р(Л\Щ ) = 25 •24 •23 - 0,567 ; у 1 2 30 29 28
Р(Л\Щ ) =18 •17 •16 - 0,201; у 1 3 30 29 28
Р(Л|Н4) =10• — •-- 0,030 . 1 и/ 30 29 28
Тогда по формуле полной вероятности находим
4
Р(Л) = XР(Н)Р(Л|Н*) = 0,15 • 1 + 0,4 • 0,567 + 0,35 • 0,201 + 0,1 • 0,030 - 0,45 .
к=1
Апостериорные вероятности вычислим по формуле Байеса:
г^х! = ^-«.333.
б, Р (Н ,1 Л) = ^МЬ» = М_»>2 - 0,504.
у 21 Р(Л) 0,45
Пример 6. Астрономический объект, за которым ведется наблюдение, может находиться в двух различных состояниях ^ и , случайно переходя из одного в другое. Долговременной практикой установлено, что примерно 30% времени объект находится в состоянии ^, а 70% - в состоянии . Наблюдение ведется независимо
двумя обсерваториями. Первая обсерватория обычно дает правильные сведения о состоянии наблюдаемого объекта в 95% случаев, а вторая - в 80% случаев. В какой-то момент времени первая обсерватория сообщила: «Объект находится в состоянии ^ », а вторая обсерватория сообщила: «Объект находится в состоянии ». Какому из сообщений следует верить?
Решение. Пусть событие л - первая обсерватория сообщила: «Объект находится в состоянии ^ », а вторая обсерватория сообщила: «Объект находится в состоянии ». Возможны две гипотезы:
Н - объект находится в состоянии ^;
ниегп
issn 2304-120X Ахметова Ф. Х., Чигирёва О. Ю. Методика изложения темы «Формула полной вероятности и формула Байеса» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № 3 (март).- 0,3 п. л. - URL: http://e-kon-cept. ru/2017/170069. htm.
научно-методический электронный журнал
Н2 - объект находится в состоянии £2.
По условию задачи известны априорные вероятности этих состояний:
р (Н1 ) = 0,3 и р (Н2 ) = 0,7.
Определим условные вероятности:
р (А|#1 ) = 0,95 -(1 - 0,8 ) = 0,19;
р (А|Н2) = (1 - 0,95) • 0,8 = 0,04.
Тогда, согласно формуле полной вероятности,
2
р(а) = Xр(Н)Р(А\Нк) = 0,3 • 0,19 + 0,7 • 0,4 « 0,085.
к=1
Вычислим апостериорные вероятности по формуле Байеса:
Р (Н,| А)=Р^^о=03:01? „ 0,67; v 11 ' Р (А) 0,085
Р(Н А) = Р (Н 2) Р (АН 2 ) = 0,7 • 0,°4 „ 033
Р (А)= Р (А) = 0,085 ~ 0,33 • Так как р(н1 |А) > р(н2 |А), то следует верить сообщению «Объект находится в состоянии ^ ».
Пример 7. Вероятности попадания при каждом выстреле для трех стрелков
4 3 2
равны соответственно рх =—, р2 = — и р3 = — . При одновременном выстреле имелось два попадания. Найти вероятность того, что промахнулся третий стрелок.
Решение. Пусть событие а - в цель попали двое. Рассмотрим следующие гипотезы:
Н - третий стрелок промахнулся; Н2 - третий стрелок попал в цель. Априорные вероятности гипотез известны:
1 2
р (Н ) = 1 - Р3 = 1 и Р (Н2 ) = Р3 = 2 .
Найдем условные вероятности.
Событие «в цель попали двое при условии, что третий стрелок промахнулся» означает: в цель попали первый и второй стрелки. Поэтому
р (ан1 )=Р1Р2=4 • 4=3 •
Событие «в цель попали двое при условии, что третий стрелок попал» означает: либо первый попал и второй промахнулся, либо первый промахнулся и второй попал. Следовательно,
р (ан 2 ) = р, (1 - р2 )+(1 - Р1) р2=4 • 1+1 • 3=2.
Далее применим формулу полной вероятности
ISSN 2Э04-120Х
ниепт
научно-методический электронный журнал
Ахметова Ф. Х., Чигирёва О. Ю. Методика изложения темы «Формула полной вероятности и формула Байеса» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № 3 (март).- 0,3 п. л. - URL: http://e-kon-cept. ru/2017/170069. htm.
P (A )"£ P (H P (aH)-3-1+3 • 20 " 30.
к=1
Тогда, согласно формуле Байеса, искомая апостериорная вероятность будет равна:
р (НЛ)=Р (Н) р (ЛН)=О=—-0,46. ( 11 ) Р(Л) 13 13 ,
30
Методика, которая положена в основу данной работы, позволит достаточно быстро сформировать правильное представление о способах решения широкого спектра задач по теме «Формула полной вероятности и формула Байеса». Теоретический материал носит справочный характер и поможет преподавателям и студентам при подготовке к практическим занятиям.
Ссылки на источники
1. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие для бакалавров: для студентов вузов. - 12-е изд. - М.: Юрайт, 2014. - 480 с.
2. Печинкин А. В., Тескин О. И., Цветкова Г. М. и др. Теория вероятностей: учеб. для вузов / под ред. В.С. Зарубина, А. П. Крищенко. - 3-е изд., испр. - М.: Изд-во МГТУ им Н. Э. Баумана, 2004. - 456 с. - (Сер. Математика в техническом университете. Вып. XVI).
3. Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Задачи и упражнения по теории вероятностей: учеб. пособие для студ. вузов. - Изд. 8-е изд., стер. - М.: КноРус, 2010. - 496 с.
4. Ахметова Ф. X., Ласковая Т. А., Попова Е. М. Методика изложения темы «Решение задач на классическую вероятность с помощью формул комбинаторики» в курсе «Теория вероятностей» // Инженерный Вестник / МГТУ им. Н. Э. Баумана. Электронный журнал. - 2015. - № 6. - URL: http://engbul.bmstu.ru/doc/777339.html.
Faniya Akhmetova,
Candidate of Physical-Mathematical Sciences, Associate Professor, Bauman Moscow State Technical University, Moscow [email protected] Olga Chigireva,
Candidate of Physical-Mathematical Sciences, Associate Professor, Bauman Moscow State Technical University, Moscow [email protected]
The presentation method of the topic "The formula of full probability and the Bayes formula" Abstract. The paper proposes a technique for presenting the topic "The formula of full probability and the Bayes formula" based on the personal experience of the authors in the discipline "Theory of Probability". When solving problems on this topic, the greatest difficulty for students is calculation of conditional probabilities. In this connection, special attention is paid to the method of solving problems. The main theoretical information and a large number of typical examples showing solutions that allow students to acquire the necessary skills in mastering this topic are given.
Key words: theorem of multiplication of probabilities, hypothesis,conditional probability of event, formula of
full probability, a priori and a posteriori probability, Bayes formula.
References
1. Gmurman, V. E. (2014). Teorija verojatnostej i matematicheskaja statistika: ucheb. posobie dlja ba-kalavrov: dlja studentov vuzov, 12-e izd, Jurajt, Moscow, 480 p. (in Russian)
2. Pechinkin, A. V., Teskin, O. I. & Cvetkova, G. M. et al. (2004). Teorija verojatnostej: Ucheb. dlja vuzov, 3e izd., ispr., Izd-vo MGTU im N. Je. Baumana, Moscow, 456 p. (Ser. Matematika v tehnicheskom univer-sitete. Vyp. HVI) (in Russian).
3. Ventcel', E. S. & Ovcharov, L. A. (2010). Zadachi i uprazhnenija po teorii verojatnostej: ucheb. posobie dlja stud. vuzov, Izd. 8-e izd., ster., KnoRus, Moscow, 496 p. (in Russian).
ISSN 2304-120X
ниепт
научно-методический электронный журнал
Ахметова Ф. Х., Чигирёва О. Ю. Методика изложения темы «Формула полной вероятности и формула Байеса» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № 3 (март).- 0,3 п. л. - URL: http://e-kon-cept. ru/2017/170069. htm.
4. Ahmetova, F. H., Laskovaja, T. A., Popova, E. M. (2015). "Metodika izlozhenija temy "Reshenie zadach na klassicheskuju verojatnost' s pomoshh'ju formul kombinatoriki" v kurse "Teorija verojatnostej", Inzhe-nernyj Vestnik, MGTU im. N. Je. Baumana. Jelektronnyj zhurnal, № 6. Available at: http://eng-bul.bmstu.ru/doc/777339.html (in Russian).
Рекомендовано к публикации:
Горевым П. М., кандидатом педагогических наук, главным редактором журнала «Концепт»
Поступила в редакцию Received 17 Получена положительная рецензия Received a positive review 17
Принята к публикации Accepted for publication 17 Опубликована Published 29.03.17
www.e-koncept.ru
© Концепт, научно-методический электронный журнал, 2017 © Ахметова Ф. Х., Чигирёва О. Ю., 2017
5772343120183
