Методические особенности изложения темы "обобщенные функции. Обобщенные производные. Дельта-функция Дирака" Текст научной статьи по специальности «Математика»

Попова Е. М., Чигирёва О. Ю. Методические особенности изложения темы «Обобщенные функции. Обобщенные производные. Дельта-функция Дирака» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». -2018. - № У7. - 0,3 п. л. - иН1: http://e-koncept.ru/2018/186062.htm.

ART 186062 DOI 10.24422/MCITO.2018.V7.14880 УДК 378.147

Попова Елена Михайловна,

кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва elmipo@yandex.ru

Чигирёва Ольга Юрьевна,

кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва т к^ 12@yandex. ги

Методические особенности изложения темы «Обобщенные функции.

Обобщенные производные. Дельта-функция Дирака»

Аннотация. В статье приводится методика изложения темы «Обобщенные функции. Обобщенные производные. Дельта-функция Дирака» в курсе уравнений математической физики в МГТУ им. Н. Э. Баумана. Дельта-функцию ввели физики, пытаясь формально определить плотность точечной массы (точечного заряда). Затем она использовалась в уравнениях математической физики, но без хорошего математического обоснования. Общая теория обобщенных функций была создана позднее в работах С. Л. Соболева и Л. Шварца. Данный математический аппарат широко используется в физике, математической физике, электродинамике, квантовой механике, акустике, волновой оптике, теории колебаний, теории сигналов и цепей, поэтому он необходим студентам приборостроительных специальностей. Однако его строгое изложение вызывает немалые затруднения в студенческой аудитории. Цель данной работы - предложить методику строгого изложения теории обобщенных функций, доступную студентам второго курса. Продемонстрированы практические методы вычисления обобщенных производных. Статья написана на основе большого опыта преподавания уравнений математической физики и будет полезна студентам приборостроительных специальностей, а также преподавателям соответствующих курсов. Ключевые слова: обобщенные функции, обобщенные производные, функционал, дельта-функция.

Раздел: (01) отдельные вопросы сферы образования.

Обобщенные функции впервые в науку были введены П. Дираком в его кванто-механических исследованиях, в которых систематически использовалась знаменитая 8 -функция. В чем ее смысл? Дельта-функция дает возможность выразить в математической форме такие идеализированные понятия, как плотность материальной точки, плотность точечного заряда, плотность простого или двойного слоя, интенсивность мгновенного точечного источника и т. д. Дельта-функцией моделируется распределение точечных масс в классической механике, плотность распределения вероятностей дискретной случайной величины в теории вероятностей, распределение точечных зарядов в теории поля.

В молекулярной физике взаимодействие между частицами идеального газа также описывается дельта-функцией, так как в модели идеального газа частицы считаются точечными. Довольно часто при расчетах некоторых явлений в кристаллах заменяют атомы решетки на периодически расположенные дельта-ямы. В квантовой

ISSN 2304-120Х

ниепт

научно-методический электронный журнал

ББГ»! 2Э04-120Х

ниепт

научно-методический электронный >курнал

Попова Е. М., Чигирёва О. Ю. Методические особенности изложения темы «Обобщенные функции. Обобщенные производные. Дельта-функция Дирака» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». -2018. - № У7. - 0,3 п. л. - иН1: http://e-koncept.ru/2018/186062.htm.

механике дельта-функции являются собственными функциями оператора импульса, то есть они играют роль базиса в диагональном представлении этого оператора.

Важным применением дельта-функции является ее участие в аппарате функций Грина линейных операторов. Для линейного оператора Ь, действующего на обобщенные функции, уравнение, определяющее функцию Грина g с источником в

точке х0, имеет вид:

Ьg(XX) = 3(х"хо) ■

Особенно часто встречается применение функций Грина к оператору Лапласа (электростатика, теплопроводность, диффузия, теория упругости) и к оператору Да-ламбера (акустика, электродинамика, квантовая теория поля).

Далее, обратное преобразование Фурье единицы является дельта-функцией. Это позволяет более удобно и математически строго формулировать различные задачи, связанные с преобразованием Фурье, которые очень многочисленны: волновая оптика, акустика, теория колебаний.

В математике и инженерных приложениях часто рассматриваются функции, хорошо аппроксимирующие дельта-функцию. В радиосвязи это так называемый единичный импульс, который используют для анализа линейных фильтров и дискретизации сигналов.

Как видно, дельта-функция широко применяется в физике, математической физике, электродинамике, квантовой механике, акустике, волновой оптике, теории колебаний, теории сигналов и цепей и пр. Именно поэтому так необходимо объяснить студентам инженерных специальностей, что такое дельта-функция. А это, вообще говоря, довольно сложно, так как понятие дельта-функции выходит за рамки обычного понятия функции. Дельта-функция - это обобщенная функция.

Импульсные функции

Рассмотрим функцию 8к (г), график которой изображен на рис. 1.

3 «) =

0, г < 0, г > И

-1, 0 < г < И И

Рис. 1

Она представляет собой величину, которая действует лишь на отрезке (0, И), где имеет постоянное значение 1, суммарный эффект ее действия равен

И

¡8 (г) Аг = 1 А- = 1 ■

И

и а 3(г) 8(1) = (1)

Пусть И ^ 0. Введем функцию у ', такую, что .

<

Ь

0

ниегп

issn 2304-120X Попова Е. М., Чигирёва О. Ю. Методические особенности изложения темы «Обобщенные функции. Обобщенные производные. Дельта-функция Дирака» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». -2018. - № V7. - 0,3 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2018/186062.htm.

научно-методический электронный журнал

Назовем ее импульсной, или & -функцией. Импульсная функция ) равна нулю всюду, кроме точки t= 0, где она равна ад , и, тем не менее, для нее считается справедли-

+ад Я

вым соотношение J S(t) dt = 1, предельное для такого же соотношения с функцией h ():

—ад

+ад +ад +ад

J S(t)dt = J limSh(t) = lim J Sh(t)dt = liml = 1.

—ад —ад

Таким образом, 8 -функция представляет собой конструкцию для вполне определенного предельного процесса, который часто рассматривается в физике: бесконечно большая величина действует в бесконечно малый промежуток времени с суммарным эффектом, равным 1. Введение этой функции сильно упрощает вычисления, связанные с таким предельным процессом: вместо того, чтобы производить выкладки до перехода к пределу и перейти к пределу в окончательном результате, переходят к пределу сразу до выкладок. В большинстве физических задач законность такой перестановки вполне оправданна.

Далее для любой непрерывной функции ((1) по теореме о среднем получаем:

+ад л И

= () & = (*)

-ад И 0

Переходя к пределу при И ^ 0, получаем:

+ад

\ф(г )8(1) Ж = ^(0).

—ад

Если ) разрывна при 1 = 0, то ((0) означает ее правое предельное значение.

+ад

Аналогично можно получить, что | ((1 )8(1 — 10) Ж = ((10).

—ад

Импульсные функции получили строгое обоснование в теории обобщенных функций. Главная идея этой теории состоит в переходе от функций к функционалам, заданным на том или ином пространстве функций, которые называются основными функциями.

Основные функции. Обобщенные функции

Наиболее часто используемое пространство основных функций - это множество всех функций ) действительного переменного 1, бесконечно дифференцируемых на всей оси, каждая из которых обращается в нуль вне некоторого конечного отрезка (зависящего от функции). Пространство основных функций обозначается

буквой О . Последовательность функций (п (х) сходится к функции ((х) в О ,

если

(Р„(

все > обращаются в нуль вне одного отрезка, а на этом отрезке последовательность (п (х) равномерно сходится к ((х) вместе с производными всех порядков.

Обобщенной функцией называется линейный непрерывный функционал ^ на множестве О , то есть отображение, которое каждой функции ( е О ставит в соответствие комплексное число ^() так, что при этом выполняются следующие свойства.

ниегп

issn 2304-120X Попова Е. М., Чигирёва О. Ю. Методические особенности изложения темы «Обобщенные функции. Обобщенные производные. Дельта-функция Дирака» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». -2018. - № V7. - 0,3 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2018/186062.htm.

научно-методический электронный журнал

1. Свойство линейности. (/ ,аф+агф) = а(/,ф) + а(/,ф) для любых комплексных чисел а и а и любых функций ф и ф е В.

2. Свойство непрерывности. Последовательность комплексных чисел

(/, ф) ^ (/,ф) для любой последовательности ф в В в смысле принятого выше определения.

В частности, любая обычная функция /(г), определенная на всей оси г и интегрируемая на каждом конечном интервале, определяет обобщенную функцию / по правилу

+ад

(/ ,ф) =\/ (г)ф(г) А. (1)

—ад

Если для двух таких обычных функций /(г) и И(г) функционалы (1) совпадают, т. е. (/,ф) = (И,ф) для всех фе В, то /(г) мало отличается от И^) (например, значениями в отдельных точках). Поэтому мы можем считать, что функционал / представляет функцию /(г), т. е. обычную функцию можно рассматривать как обобщенную. 3 -функция Дирака является обобщенной функцией, которая строго определяется как функционал, сопоставляющий каждой функции фе В ее значение в точке г = 0. (3,ф) = ф0). Аналогично

(3(г—и фг)) = ф(0 ■ (2)

Обобщенная функция - это не функция, а функционал, поэтому ее значение в точке смысла не имеет. Однако говорят, что обобщенная функция равна нулю в

окрестности точки , если для всех фе В, отличных от нуля лишь в пределах этой

окрестности, (/,ф) = 0.

Нулевым множеством О обобщенной функции называется совокупность точек

^, в окрестностях которых обобщенная функция ? равна 0. Носителем обобщенной

функции ^ называется множество Очевидно, 3-функция равна 0 в

окрестности любой точки ^ ^ 0, так что ее носитель есть точка г = 0.

Операции над обобщенными функциями

1. Сложение и умножение на число определяются естественно:

(а/+ ^,ф) = а(/,ф)+Р(я,ф), Уфе В. (3)

2. Умножение обобщенной функции на бесконечно дифференцируемую функцию.

Для обычной функции / (г) и бесконечно дифференцируемой а(г) имеем:

+ад

(а/, ф) = | а (г) / (г) фг) йг = (/,а ф) (4)

—ад

ниегп

15бы 2304-120Х Попова Е. М., Чигирёва О. Ю. Методические особенности изложения темы «Обобщенные функции. Обобщенные производные. Дельта-функция Дирака» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». -2018. - № 47. - 0,3 п. л. - иН1: http://e-koncept.ru/2018/186062.htm.

научно-методический электронный журнал

(мы смогли перебросить а к основной функции ф, так как аф е ^, в силу бесконечной дифференцируемое™ а). Свойство (4) принимается в общем случае за определение:

произведением обобщенной функции / на бесконечно дифференцируемую функцию а называется функционал а, который действует на функции ф е ^ по правилу:

(а/,ф) = (/,аф). (4)

3. Дифференцирование обобщенных функций

Преимущества обобщенных функций особенно ярко проявляются при дифференцировании. Нет необходимости говорить о существовании производных - любая обобщенная функция является бесконечно дифференцируемой. Используя формулу интегрирования по частям для обычных непрерывно дифференцируемых функций

/ , получаем:

(/\ ф=I /V) ко л=/^) ф(О|;; -| /(о Ф(*) л=-(/(5)

(член без интеграла равен 0, так как равна нулю вне конечного отрезка). В общем случае примем равенство (5) за определение обобщенной производной: произ-

/ /' водной обобщенной функции называется функционал , который на основную

функцию ф е ^ действует по правилу:

(/' ф) = —(/,Ф) . (5)

Пример 1. Найдем обобщенную производную единичной функции Хевисайда

/ч Г*, * > 0

л(*) = 1 .

' [о, * < 0

л' , Ф)=—л, ф )=—| ф ' (*) л=—ф(* )+;=фо)=(8, ф) ,

о

так как ф(;) = 0, следовательно П = 8.

Пример 2. Пусть /(*) - обычная функция, непрерывно дифференцируемая всюду, кроме точек * = 0, в которой она имеет разрыв первого рода, со скачком а = / (+0) — / (—0). Ее обобщенная производная имеет вид:

+; 0 +;

(/об, Ф) = — | / (* )Ф (*) Л = — I / (* )ф (*) Л — I / (* )ф (*) л =

—; —; 0

=—/ (*) Ф(*)|—;—/ (*) Ф(0|+; +1 / '(0Ф0 Л =

= (/(+0) — /(—0)) ф(0) + /, ф) = а • (8, ф) + (/Л, Ф) = / + а8, ф) . Таким образом,

/об (0 = /: (0 + а 8(0. (6)

ISSN 2Э04-120Х

ниепт

научно-методический электронный журнал

Попова Е. М., Чигирёва О. Ю. Методические особенности изложения темы «Обобщенные функции. Обобщенные производные. Дельта-функция Дирака» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». -2018. - № V7. - 0,3 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2018/186062.htm.

Аналогично, пусть /(г) - обычная, непрерывно дифференцируемая функция всюду, кроме точек , в которых она имеет разрывы первого рода со скачка-

ми а. = /(^ + 0)—/(^ — 0). Тогда обобщенная производная этой функции имеет вид:

/б (t) = /Л (t) + ^TakS(t-tk).

(7)

k=1

Пример 3. Пусть дискретная случайная величина принимает значения х1,...,хп с вероятностями р1,...,рп соответственно. Известно, что ее функция распределения Р(х) является ступенчатой функцией, имеющей разрывы 1-го рода в точках х1,...,хп со скачками р1,...,рп соответственно (рис. 2).

Рис. 2

По определению плотность распределения вероятностей /(х) является производной от функции распределения Р(х). Следовательно, в силу (7) плотность рас-

п

пределения дискретной случайной величины имеет вид / (х) = ^ рк 8(х—хк).

k=1

Пример 4. Найти обобщенную производную функции

/ (t)

(см. рис. 3).

Рис. 3

Нетрудно видеть, что функцию, представленную на рис. 3, можно записать следующим образом:

/ (г) = (г+1) [ф(г+1) — фг) ]+(1—г) [ф(г) — ф(г—1) ]—фг—1).

Приводя подобные, получаем:

/ (г) = (г+1ф(г+1)—2гф)+(г—1ф(г—1)—фг—1)

Дифференцируя как произведение и учитывая, что

(?(t - t0))'=S(t -10)

,получаем:

/об (г) = фг+1)+(г+1) 8(г+1)—2фг)—2г 8(г)+фг—1)+(г—1)8(г—1)—8(г—1).

Нетрудно видеть, что (( — а)8(г — а) = 0. в самом деле, в силу (4) и (2) имеем:

((г — а) 8 (г — а), ф(г)) = (8(г — а), (г—а) ф(г)) = 0 = (0, ф)

ниегп

issn 2304-120X Попова Е. М., Чигирёва О. Ю. Методические особенности изложения темы «Обобщенные функции. Обобщенные производные. Дельта-функция Дирака» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». -2018. - № V7. - 0,3 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2018/186062.htm.

научно-методический электронный журнал

Следовательно,

/об (г) = фг+1)—2фг)+фг—1)—8(г—1).

Далее, последовательность обобщенных функций /п называется сходящейся к

обобщенной функции /, если для любой функции фе В

НтС/П ,ф) = (/,ф). (8)

х^ад

ад

I /

(8) - это предел числовой последовательности. Ряд из обобщенных функций п=

s~ = / 'k

I /

называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм к= сходится в смысле указанного выше определения.

Пример 5. Последовательность обычных функций 8п(г), равных п на отрезке

0;11, и нулю вне его в классическом смысле расходится. Но по теореме о среднем

. п)

1/п /■ ^ \

(8п;ф) = п ¡ф(г)йг = ф(£п), где е 0;-1 и, следовательно, Нт(8п,ф) = ф(0) . Таким

•I \ П I п^ад

0 V п /

образом, Нт8и(г) в смысле обобщенных функций существует и равен 8 -функции

п^ад

Дирака.

В теории обобщенных функций любую сходящуюся последовательность и ряд можно почленно дифференцировать. Это свойство сразу следует из определения: если /п ^/, то /ф) = —(/, ф) стремится к -(/,ф) = (/', ф) для любой фе В, а

это и означает, что / ^ /'. Таким образом, в теории обобщенных функций снимаются все классические предосторожности, связанные с дифференцированием последовательностей и рядов.

Преобразование Фурье обобщенных функций

Рассмотрим в качестве пространства £ основных функций множество бесконечно дифференцируемых на □ функций, которые убывают при | ^ |—> оо вместе со

всеми своими производными быстрее любой степени | г |—1. Сходимость в £ определим следующим образом: последовательность функций {ф}^ из £ сходится к функции фе £, если для всех целых I и т >0 последовательность г'ф(пт)(г) стремится к при л —^ оо равномерно на □ .

Обобщенной функцией медленного роста называется всякий линейный непрерывный функционал на пространстве основных функций £. Обозначим £' множество всех обобщенных функций медленного роста.

Поскольку основные функции из £ абсолютно интегрируемы на □ , то для них определена операция преобразования Фурье:

+ад

Г[ф](е) =\ф(г)е~шйг. (9)

ниегп

15Б1\12зо4-12ох Попова Е. М., Чигирёва О. Ю. Методические особенности изложения темы «Обобщенные функции. Обобщенные производные. Дельта-функция Дирака» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». -2018. - № 47. - 0,3 п. л. - иН1: http://e-koncept.ru/2018/186062.htm.

научно-методический электронный журнал

Обратное преобразование Фурье основных функций имеет вид:

РЛфК*) = — [ Р(я) ¿я (10)

Нетрудно видеть, что

1 1 1 р ЧрКО = ^ Р[р](—0 = ^ \ <р(~°) е-"*' = ^т р [Р—') ] ■ (11)

Преобразование Фурье обобщенных функций медленного роста определяется следующим образом:

(Р[р],р) = (/, Р[р]), / е Б' ре Б ■ (12)

Введем в еще одну операцию преобразования Фурье, которую обозначим Р—:

РЛЛ = Р[р(—0], / е Б ' ■ (13)

2ж

Легко проверить, что операция Р 1 является обратной к операции преобразования Фурье Р, то есть р-11р[/]] = /, р [Р^[/]] = /, / е Б'

Пример. Покажем, что

Р[8(г—^)] = е-'^ . (14)

В самом деле,

(Р[8(Х — О], р) = (8(Х — О, Р[р]) = Р[р = \ р(я)¿я = (е—я\р), ре Б .

Полагая в (14) 1о = 0, получаем:

Р[5] = 1. (15)

8 = Р->[1] = — [ е1тс1а

1 тг *

Откуда 1ж -"» . В силу (13)

8 = Р-1[1] = Р[1],

2ж

откуда

Р [1] = 2ж 8(я).

Методика, которая положена в основу данной работы, позволяет сформировать правильное представление о таких понятиях, как обобщенные функции, обобщенные производные, преобразование Фурье обобщенных функций. Приведено большое количество примеров вычисления обобщенных производных. Теоретический материал носит справочный характер и помогает преподавателям и студентам в подготовке к практическим занятиям.

Ссылки на источники

1. Бутко Я. А. Элементы функционально анализа и методы математической физики. - М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2011.

2. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1988.

3. Волков И. К., Канатников А. Н. Интегральные преобразования и операционное исчисление. - М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 1996.

ISSN 2304-120X

ниепт

научно-методический электронный журнал

Попова Е. М., Чигирёва О. Ю. Методические особенности изложения темы «Обобщенные функции. Обобщенные производные. Дельта-функция Дирака» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». -2018. - № V7. - 0,3 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2018/186062.htm.

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Наука, 1972.

5. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1973.

6. Свешников А. Г., Боголюбов А. Н., Кравцов В. В. Лекции по математической физике. - М.: Изд-во Моск. гос. ун-та; Наука, 2004.

7. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 2004.

Elena Popova,

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Bauman Moscow State Technical University, Moscow elmipo@yandex.ru Olga Chigiryova,

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Bauman Moscow State Technical

University, Moscow

mkfn12@yandex.ru

Generalized function. Generalized derivative. Delta-Dirac function. Methodological aspects of presentation Abstract. The article describes the methodology of the topic "Generalized functions. Generalized derivatives. Delta-Dirac function" presentation in the course of equations of mathematical physics at MSTU named after N.E. Bauman. Delta function was introduced by physicists, trying to formally determine the density of point mass (point charge). Then it was used in the equations of mathematical physics, but without good mathematical reasoning. A general theory of generalized functions was later developed in the works by S.L. Sobolev and L. Schwartz. This mathematical tool is widely used in physics, mathematical physics, electrodynamics, quantum mechanics, acoustics, wave optics, theory of oscillations, the theory of signals and circuits, so it is necessary for students of instrument engineering specialties. However, its academic presentation makes considerable difficulties for the students. The aim of this paper is to propose methodology for academic presentation of generalized functions theory, intelligible to second-year students. Practical methods for calculating generalized derivatives are demonstrated. The article is written on the basis of broad experience in teaching mathematical physics equations and will be useful for students of instrument engineering specialties, as well as for teachers of relevant courses.

Key words: generalized functions, generalized derivatives, functional, Delta function. References

1. Butko, Ya. A. (2011). Ehlementy funkcional'no analiza i metody matematicheskoj fiziki, lzd-vo MGTU im. N. Eh. Baumana, Moscow (in Russian).

2. Vladimirov, V. S. (1988). Uravneniya matematicheskoj fiziki, Nauka, Moscow (in Russian).

3. Volkov, l. K. & Kanatnikov, A. N. (1996). Integral'nye preobrazovaniya i operacionnoe ischislenie, lzd-vo MGTU im. N. Eh. Baumana, Moscow (in Russian).

4. Kolmogorov, A. N. & Fomin, S. V. (1972). Ehlementy teorii funkcij i funkcional'nogo analiza, Nauka, Moscow (in Russian).

5. Lavrent'ev, M. A. & Shabat, B. V. (1973). Metody teorii funkcij kompleksnogo peremennogo, Nauka, Moscow (in Russian).

6. Sveshnikov, A. G., Bogolyubov, A. N. & Kravcov, V. V. (2004). Lekcii po matematicheskoj fizike, lzd-vo Mosk. gos. un-ta; Nauka, Moscow (in Russian).

7. Tihonov, A. N. & Samarskij, A. A. (2004). Uravneniya matematicheskoj fiziki, Nauka, Moscow (in Russian).

Рекомендовано к публикации:

Горевым П. М., кандидатом педагогических наук, главным редактором журнала «Концепт»

Поступила в редакцию Received 26.04.18 Получена положительная рецензия Received a positive review 11.05.18

Принята к публикации Accepted for publication 11.05.18 Опубликована Published 31.07.18

www.e-koncept.ru

Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY 4.0) © Концепт, научно-методический электронный журнал, 2018 © Попова Е. М., Чигирёва О. Ю., 2018

977230412018007