Методика изложения темы «Преобразование стационарного случайного процесса линейными динамическими системами с постоянными коэффициентами» Текст научной статьи по специальности «Математика»

Попова Е. М., Ефремова С. Н. Методика изложения темы «Преобразование стационарного случайного процесса линейными динамическими системами с постоянными коэффициентами» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2016. - № 11 (ноябрь).- 0,2 п. л. - URL http://e-koncept.ru/2016/16251.htm.

ДРТ 16251 УДК 378.147

Попова Елена Михайловна,

кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва [email protected]

Ефремова Светлана Николаевна,

старший преподаватель ФГБОУ ВО «(Московский государственный технический

университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва

[email protected]

Методика изложения темы «Преобразование стационарного случайного процесса линейными динамическими системами с постоянными коэффициентами»

Аннотация. В статье приводится методика изложения темы «(Преобразование стационарного случайного процесса линейными динамическими системами с постоянными коэффициентами» в курсе «Случайные процессы». Данный математический аппарат широко используется в теории радиотехнических цепей. В работе приведен пример применения формул из теории случайных процессов в задаче радиотехники, что, несомненно, интересно для иллюстрации решения прикладных задач. Статья будет полезна студентам приборостроительных специальностей, а также преподавателям соответствующих курсов.

Ключевые слова: случайные процессы, динамические системы, спектральная плотность, радиотехнические цепи.

Раздел: (01) педагогика; история педагогики и образования; теория и методика обучения и воспитания (по предметным областям).

Курс «Случайные процессы» обязательно изучают студенты приборостроительных специальностей, так как этот курс необходим при освоении статистической радиотехники. Вероятностные методы нашли широкое применение в радиотехнике по следующим причинам:

1) Радиосигнал распространяется через среду с меняющимися параметрами и терпит случайные искажения.

2) В работе радиотехнических устройств всегда имеются внешние и внутренние шумы и помехи, которые носят случайный характер.

3) Элементы радиооборудования могут отказать или работать в режиме, не соответствующем заданному.

В статье показано, как с помощью формул, связывающих спектральную плотность входного и выходного сигналов, формул Винера - Хинчина и теории вычетов можно рассчитать характеристики сигнала на выходе пропорционально-интегрирующего фильтра.

Преобразование стационарного случайного процесса линейными динамическими системами с постоянными коэффициентами

Данная тема широко используется в теории радиотехнических цепей. Радиотехнические цепи, применяемые для преобразования сигналов, весьма разнообразны по своему составу, структуре и характеристикам. В общем случае любую радиотехническую цепь можно описать формализованным соотношением, определяющим преобразование входного сигнала (случайный процесс) в выходной сигнал (случайный процесс) У@),

ISSN 2304-120Х

ниепт

научно-методический электронный журнал

ниегп

15Б1\12зо4-12ох Попова Е. М., Ефремова С. Н. Методика изложения темы «Преобразование стационарного случайного процесса линейными динамическими системами с постоянными коэффициентами» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2016. - № 11 (ноябрь).- 0,2 п. л. - URL http://e-koncept.ru/2016/16251.htm.

научно-методический электронный журнал

которое символически можно представить в виде: У (?) = Т [ X )], где Т - оператор, указывающий правило, по которому осуществляется преобразование входного сигнала в выходной. По виду оператора проводят классификацию радиотехнических цепей. Радиотехническая цепь является линейной, если оператор удовлетворяет условиям аддитивности и однородности, то есть

Т [аX (?)+а2X (I)] = ахТ [X (?)]+а2Т [X )] , где У.

Эти условия выражают суть принципа суперпозиции, свойственного только линейным цепям. Функционирование линейных цепей описывается линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.

Линейное преобразование сигнала любой формы не сопровождается появлением в спектре выходного сигнала гармонических составляющих с новыми частотами, то есть не приводит к обогащению спектра сигнала.

Радиотехническая цепь является нелинейной, если оператор не является линейным. Функционирование таких цепей описывается нелинейными дифференциальными уравнениями.

Структурно линейные цепи содержат только линейные устройства (усилители, фильтры, длинные линии и пр.). Нелинейные цепи содержат одно или несколько нелинейных устройств (генераторы, детекторы, умножители, ограничители и др.).

Итак, сигнал - это случайный процесс. Часто встречаются случайные процессы, протекающие на некотором интервале времени приблизительно однородно и имеющие вид случайных колебаний вокруг некоторого постоянного среднего значения, причем характер этих колебаний существенно не изменяется. Такие случайные процессы называют стационарными. Примерами таких процессов являются: шумы в радиоприемнике, колебания напряжений в электрической сети и пр.

Как правило, случайный процесс в любой динамической системе начинается с нестационарной стадии - с так называемого «переходного процесса». Но после затухания переходного процесса система обычно переходит в установившийся режим, и тогда протекающие в ней случайные процессы можно считать стационарными.

Рассмотрим задачу преобразования стационарного случайного процесса линейной динамической системой с постоянными коэффициентами. Случайный процесс называется стационарным в широком смысле, если его математическое ожидание постоянно и ковариационная функция зависит только от разности аргументов.

Линейной динамической системой с постоянными коэффициентами называется система, описываемая линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами

п-1 Л ( Лт Л

+ а 1 -;—г + ••• + а

п Лп п-1 Жп-1 0

У® = ЬпП + •••+Ьо х(?), (1)

V

где X(У - входной сигнал, а - выходной сигнал.

Передаточной функцией линейной динамической системы называется функция комплексной переменной р, определяемая по формуле

ь Рт + ь Рт-1 + ь Ф(Р) = ЬтРп Ьт-1р-1 0 . (2)

апРп + ап-х Рп 1 + •••+а0 Функция Ф(р), как видно из определения, есть отношение преобразованных по Лапласу выходного сигнала к входному сигналу, определяемых из уравнения (1) при нулевых начальных условиях.

ниегтг

issn 2304-120X Попова Е. М., Ефремова С. Н. Методика изложения темы «Преобразование стационарного случайного процесса линейными динамическими системами с постоянными коэффициентами» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2016. - № 11 (ноябрь).- 0,2 п. л. - URL:

научно-методический http://e-koncept.ru/2016/16251.htm. электронный журнал

Свойство сигнала на выходе линейной динамической системы полностью определяется свойствами передаточной функции Ф(р) и свойствами входного сигнала X(t).

Говорят, что линейная динамическая система удовлетворяет условию устойчивости, если Ф(р) не имеет полюсов в полуплоскости Rep > 0.

Если на вход линейной динамической системы с постоянными коэффициентами подается стационарный входной сигнал, то по прошествии достаточно большого времени с момента начала воздействия (прит>т0, гдет0 - характерное время релаксации переходных процессов) сигнал на выходе системы будет близок к стационарному.

Если X(t) - входной сигнал с математическим ожиданием mx и спектральной

плотностью Sx (ш), то соответствующие характеристики выходного сигнала Y(t) в стационарном режиме (т. е. при t > т0) будут

m.

(3)

о

^ (ю) = |Ф(/ю)| ^ (ю) (4)

Функция |Ф(ю)| называется амплитудно-частотной характеристикой системы. Напомним также, что спектральная плотность ¿х (ю) и ковариационная функция стационарного случайного процесса связаны формулами Винера - Хинчина:

1 +?

К(т) = - | Бх (ю) вютйю

1 +f

Sx (ш) = - i Kx(т)в-'"Чт ж J

(5)

(6)

Пример. Работа пропорционально-интегрирующего фильтра (см. рис. 1) описывается линейным дифференциальным уравнением

+ -

1

dX (t) dt CR

f

X (t) =

1 + — R

dY (t) 1

dt CR

Y(t).

На вход фильтра поступает стационарный нормальный «белый шум» с нулевым средним значением (тх = 0) и ковариационной функцией Кх(т) = 3(т), где

8(т) - дельта-функция Дирака. Определить спектральную плотность Бу (ю) и ковариационную функцию на выходе фильтра. Решение. Находим спектральную плотность сигнала по формуле (б)

S (ш) = N° j 0(т)е~1ЮТс1т = No е~шп N

'0 ^-1Ш0

2ж

_о_

2ж

Передаточную функцию определяем по формуле (2)

= C—1 (ш) +1 (Р) C (R +—)(ш) +1.

issn 2304-120x Попова Е. М., Ефремова С. Н. Методика изложения темы «Преобразование стационарного случайного процесса линейными динамическими системами с постоянными коэффициентами» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2016. - № 11 (ноябрь).- 0,2 п. л. - URL:

научно-методический http://e-koncept.ru/2016/16251.htm. электронный журнал

ниеггг

Квадрат ее модуля определяется соотношением

ф (Ц

,2 _ 1 + (CR а)

\2 '

1 + (С(я + я )ю)

Спектральную плотность на выходе фильтра найдем по формуле (4)

(ю) = N 1 + (СЯ^)2 2.

' ( ) 2ж 1 + (с(Я + Я)а)2 Ковариационную функцию Ку (т) на выходе фильтра определяем с помощью формулы (5)

Kv (г)

N

Вычислим

1 N

i

1 + (CR а)

-ei(OT da

22л L 1 + (C (R + R )a)

1 R2 7 R (R + 2R)

---R—^ J eiaTda + - ( 1)

?7T / D , D \2 J

i

da

I =

1 +? еЦ

2л! 1 + (C (R + R )rn)

2^(Я + Я,) -I 2^(я + я1 )2 -да 1 + (с(я + я)ю)2

2 +<»

интегралы:— [ е'ют$ю = 3(т), а интеграл

2п *

-да

¡ют

-вычислим с помощью теории вычетов. Функция

е г -2 имеет два полюса первого порядка, один из которых ю =-

1 + (C (R + R )а) лежит в верхней полуплоскости, а другой ц = -

C (R + R1)

Приг> 0 имеем: I

2л/

2л а=а

Res f (Ц

ie"

2C2 (R + R) а

C (R+R1) - в нижней полуплоскости.

_ г C (R+ R)

2ni ieiaz При г< 0 имеем: I =-Res f (a) =-=—

2ла=ц 2C2 (R + R )2 а

2C (R + R)'

г

С (R+R) ~ 2C (R + R)'

Следовательно, I

e

C (R+R)

для любого г.

2С (я + я)

Таким образом, получаем выражение для ковариационной функции

Ky (г) =

_No R2

2

N0R (R + 2R) (R + R )2 v ' 4C (R + R )2

~д(г) +

r\

C (R +R)

2

т

ISSN 2304-120X

ниепт

научно-методический электронный журнал

Попова Е. М., Ефремова С. Н. Методика изложения темы «Преобразование стационарного случайного процесса линейными динамическими системами с постоянными коэффициентами» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2016. - № 11 (ноябрь).- 0,2 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2016/16251.htm.

В статье приведены факты из теории радиотехнических цепей и теории случайных процессов. Применение математических формул из теории случайных процессов в практических задачах радиотехники делает изложение материала более интересным и полезным для студентов.

Библиографический список

1. Вентцель А. Д. Курс теории случайных процессов. - М.: Наука, 1975.

2. Свешников А. А. Прикладные методы теории случайных функций. - Л.: Судпромиздат, 1961.

3. Сборник задач по математике для втузов: в 4 ч. / под ред. А. В. Ефимова, А. С. Поспелова. - М.: Физматлит, 2003. - Т. 4. - 432 с.

4. Шахтарин Б. И. Преобразование случайных процессов линейными системами. - М.: Изд-во МГТУ, 1991.

Elena Popova,

Candidate of Physical-Mathematical Sciences, Associate Professor, Bauman Moscow State Technical University, Moscow [email protected] Svetlana Efremova,

Senior lecturer, Bauman Moscow State Technical University, Moscow [email protected]

Methodology of the theme presentation "Conversion of stationary random process by linear dynamic systems with constant coefficients"

Abstract. The paper provides a method of the theme presentation "Conversion of stationary random process by linear dynamic systems with constant coefficients" in the "Stochastic processes" course. This mathematical tool is widely used in the theory of radio circuits. The work shows the example of applying the formulas from the theory of random processes in the problem of radio engineering, which is undoubtedly interesting for illustration the solution of applied problems. The paper will be useful to students of instrument making specialties, as well as to the lecturers of the respective courses.

Key words: random processes, dynamical systems, spectral density, radio circuit. References

1. Ventcel', A. D. (1975J. Kurs teorii sluchajnyh processov, Nauka, Moscow (in Russian).

2. Sveshnikov, A. A. (1961). Prikladnye metody teorii sluchajnyh funkcij, Sudpromizdat, Leningrad (in Russian).

3. Efimov, A. V. & Pospelov, A. S. (2003). Sbornik zadach po matematike dlja vtuzov: v 4 ch., Fizmatlit, Moscow, t. 4 (in Russian).

4. Shahtarin, B. I. (1991). Preobrazovanie sluchajnyh processov linejnymi sistemami, Izd-vo MGTU, Moscow (in Russian).

Рекомендовано к публикации:

Горевым П. М., кандидатом педагогических наук, главным редактором журнала «Концепт»

Поступила в редакцию Received 16.11.16 Получена положительная рецензия Received a positive review 17.11.16

Принята к публикации Accepted for publication 17.11.16 Опубликована Published 19.11.16

© Концепт, научно-методический электронный журнал, 2016 © Попова Е. М., Ефремова С. Н., 2016

www.e-koncept.ru