Слова с минимальной функцией роста Текст научной статьи по специальности «Математика»

42

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2008. №6

УДК 512+519.17+517.987

СЛОВА С МИНИМАЛЬНОЙ ФУНКЦИЕЙ РОСТА А. Л. Чернятьев

Введение. В работе изучаются бесконечные слова над конечным алфавитом A = [a\,..., an}. Через A+ обозначается множество всех конечных последовательностей символов, или слов. Бесконечное слово W = (wn)nez (или сверхслово) — это бесконечная (в обе стороны) последовательность символов из A. Конечное слово всегда может быть единственным образом представлено в виде w = w\... wn, где wi Е A, 1 < i < n. Число n называется длиной слова w и обозначается через |w|, количество вхождений в слово w символа ai Е A обозначается через lwlai. Множество всех (конечных и бесконечных) подслов слова W обозначим через F(W), множество подслов длины n — через Fw(n), количество различных подслов длины n — через Tw(n) = Card Fw(n), функция Tw ■ N ^ N называется функцией сложности слова W. Слово W называется рекуррентным, если любое его подслово встречается в нем бесконечно много раз. Известна классическая

Теорема эквивалентности [1]. Пусть W — бесконечное рекуррентное слово над бинарным алфавитом A = {a,b}. Следующие условия эквивалентны:

1) слово W является словом Штурма, т.е. имеет функцию сложности Tw(n) = n +1;

2) слово не периодично и является сбалансированным, т.е. для любых двух подслов u,v С W одинаковой длины выполняется неравенство ||v|a — |u|a| < 1;

3) слово W = (wn) является механическим словом с иррациональным а, т.е. существуют иррациональное число а, Хо Е [0,1] и интервал U С S1, U | = а, такие, что выполняется условие

= (a,Tan(xo) Е U; wn = \ b, Tan(xo) Е U.

В общем случае, когда мы имеем компактное множество M, гомеоморфизм f ■ M ^ M, открытое подмножество U С M и траекторию ...,f-1(xo),Xo, f(xo),f2(xo),... начальной точки Хо Е M, говорят, что система (M, f, U, xo) порождает слово W = (wn), если wn = a ^^ f n(xo) Е U и wn = b ^^ f n(xo) Е U. Аналогично рассматривается вариант разбиения на несколько характеристических подмножеств и слов над многобуквенными алфавитами [2].

Бесконечное слово W = (wn)n^z над алфавитом A = {ai,a2,... ,an} называется словом медленного роста, если существует натуральное число N, такое, что функция роста удовлетворяет соотношению TW (n + 1) — TW (n) = 1 при всех n > N.

Основным результатом работы является следующая

Теорема. Пусть W — рекуррентное слово над произвольным конечным алфавитом A. Тогда следующие условия на слово W эквивалентны:

1) слово W является словом медленного роста;

2) существуют иррациональное число а и целые ni,n2,...,nm, такие, что слово W порождается динамической системой (S1,Ta, Iai,..., Ian, x), где Ta — сдвиг окружности на иррациональную величину а, Iai — объединение дуг вида (njo:,nj+iа).

Основные понятия и определения. Пусть A = {ai,...,an} — конечный алфавит. Рассмотрим бесконечное слово W над A. Пусть v — его подслово и x Е A.

1. Символ x называется левым (правым) расширением v, если xv (vx) принадлежит F(W).

2. Подслово v называется левым (правым) специальным подсловом, если для него существуют два или более левых (правых) расширения.

3. Подслово v называется биспециальным, если оно является и левым, и правым специальным под-словом одновременно.

4. Количество различных левых (правых) расширений подслова называется левой (правой) валентностью этого подслова.

Описание бесконечного слова W можно также представить в терминах графов подслов, или графов Рози (см. [3]), которые строятся следующим образом: k-граф слова W — ориентированный граф, вершины которого взаимно однозначно соответствуют подсловам длины k слова W, из вершины A в вершину B ведет стрелка, если в W есть подслово длины k + 1, у которого первые k символов — подслово, соответствующее A, а последние k символов — подслово, соответствующее B. Таким образом, ребра k-графа

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2008. №6

43

биективно соответствуют (к + 1)-подсловам слова Ш. Ясно, что в к-графе О слова Ш правым (левым) специальным словам соответствуют вершины, из которых выходит (в которые входит) больше одной стрелки. Такие вершины мы будем называть развилками. Граф О будем называть сильносвязным, если из любой вершины в любую вершину можно перейти по стрелкам.

Последователем ориентированного графа О будем называть ориентированный граф Ео1(О), построенный следующим образом: вершины графа Ео1(О) биективно соответствуют ребрам графа О, из вершины А в вершину В ведет стрелка, если в графе О конечная вершина ребра А является начальной вершиной ребра В. Нетрудно видеть, что (к + 1)-граф слова Ш является подграфом графа последователя Ео1(О) и получается из него удалением некоторых ребер. Эти ребра соответствуют минимальным невстреча-ющимся словам, т.е. таким конечным словам и, что и не является подсловом Ш, но любое подслово и является подсловом Ш. Если для некоторого графа О существует такой граф О', что О = Ео1(О'), то О' называется предшественником О. Для заданного слова Ш последовательность графов Рози О1,О',... называется эволюцией графов данного слова.

Графы Рози слов медленного роста. Пусть Ш — рекуррентное слово медленного роста над алфавитом А = {а\, а2,..., ап}, т.е. Тщ(п + 1) — Тщ(п) = 1 для п > N.

Рассмотрим эволюцию к-графов этого слова начиная с к = N. Пусть N-граф содержит т вершин. Поскольку ^ + 1)-граф содержит т + 1 вершину, то количество ребер в Аграфе ровно т + 1. Легко видеть, что в этом случае граф имеет ровно одну входящую и ровно одну выходящую развилки, которые, возможно, совпадают (если данная вершина соответствует биспециальному слову).

Все ориентированные графы с одной входящей и одной выходящей развилками можно разбить на два класса: сильносвязные и не являющиеся таковыми. Поскольку мы считаем, что слово Ш рекуррентно, нас интересует только случай сильной связности. Назовем эволюцию графов О\,О2,... слова Ш асимптотически правильной, если для любого к > 1 граф О^ является сильносвязным и начиная с какого-то I все к-графы (к > I) имеют ровно одну входящую и одну выходящую развилку. При I = 1 назовем такую эволюцию правильной. Ясно, что a) слово Ш является словом Штурма тогда и только тогда, когда эволюция графов Рози данного слова правильная и О1 содержит ровно две вершины, и Ь) слово Ш является словом медленного роста тогда и только тогда, когда эволюция графов Рози асимптотически правильная. Несложно видеть, что существуют ровно один путь, ведущий из входящей развилки в выходящую (назовем его перегородкой), и ровно два пути из выходящей развилки во входящую (будем называть их дугами).

Предложение 1. Пусть к-граф слова Ш имеет перегородку длины I > 1 и дуги длины г, в. Тогда последователь Ео1(О) имеет перегородку длины I — 1, дуги длины г + 1 и в + 1 и совпадает с (к + 1)-графом слова Ш.

Рассмотрим теперь предельный случай, когда перегородка вырождается, т.е. входящая развилка совпадает с выходящей. В этом случае развилка соответствует биспециальному слову.

Предложение 2. Последователь графа с вырожденной перегородкой имеет две входящие и две выходящие 'развилки.

Доказательство. Пусть и — биспециальное подслово Ш, т.е. аи, а^и, иаг, иа3 — тоже подслова Ш при некоторых а1,а^,аг,а3 € А. Тогда развилками (входящими и выходящими) в Ео1(О) будут вершины, соответствующие этим словам.

Таким образом, для (к + 1)-графа слова Ш имеются четыре возможности для удаления одного ребра из Ео1(О), соответствующего минимальному запрещенному (к + 2)-слову: сциаг, аиа3, а^иа3, а^иаг. В двух случаях мы получаем сильносвязный граф, а в двух — не сильносвязный.

Непосредственной проверкой доказывается

Предложение 3. Пусть в графе О перегородка вырождена, а дуги имеют длину г, в соответственно. Тогда (к + 1)-граф имеет вид (в — 1,1,г + 1) или (г — 1,1,в + 1).

Предложение 4. Любой граф О с одной входящей и одной выходящей развилками имеет предшественника, причем только одного.

Доказательство. Пусть граф имеет вид (I, г, в). Заметим, что графа с г = в = 1 не бывает. В случае, если г, в > 1, граф предшественника имеет вид (I + 1,г — 1,в — 1); если (I,1,в),в > 1, то — вид (0,1 + 1, в — 1); если (I, г, 1),г > 1, то — вид (0,в + 1,1 — 1). Граф вида (0,1, к) имеет предшественника (0,1,к — 1).

Доказательство основной теоремы. Теперь покажем, как по соответствующему графу слов построить динамическую систему, которая порождала бы данное слово.

Пусть слово Ш имеет минимальный рост, т.е. Тщ (п + 1) — Тщ (п) = 1 для п > к начиная с некоторого к. Поскольку каждый граф имеет единственного предшественника, то существует правильная эволюция графов О1, О'2,..., О'п,..., таких, что О'п совпадает с к-графом слова Ш, О'п+1 совпадает с (к + 1)-графом и т.д.

44

вестн. моск. ун-та. сер. 1, математика. механика. 2008. №6

Эта правильная эволюция соответствует некоторому слову Штурма V. Значит, существует взаимно однозначное соответствие между к-словами слова Ш и п-словами слова Штурма V, при этом соответствие продолжается на (к + 1)-слова Ш и (п + 1)-слова V и т.д.

Разберем сначала случай, когда к = 1. Символам алфавита А взаимно однозначно соответствуют п-слова некоторого слова Штурма V. По теореме эквивалентности слово V порождается сдвигом окружности Та. Как было показано выше, п-словам в динамике соответствуют интервалы разбиения: слову ш = С1С2 ...Сп (вг € {а, Ь}) — интервал 1Ш = Т-п+1(/С1) П Т-п+2(/С2) П ... П /сп, где — характеристический интервал для Сг. В динамике, порождающей слова Штурма, интервалы /ш, соответствующие п-словам, будут иметь вид /ш = (ща, пг+1а), где пг — некоторые целые числа. Тогда характеристическим множеством для каждого символа аг € А будет являться интервал /ш, такой, что слово ш соответствует данному символу. Ясно тогда, что слово Ш будет порождаться тем же сдвигом Та и характеристическими множествами /ш.

Теперь разберем общий случай. Пусть к-словам слова Ш соответствуют п-слова слова Штурма V. Точно так же мы можем построить соответствие между интервалами разбиения для п-слов слова Штурма /ш и к-словами слова V. Построим характеристическое множество для каждого символа аг € А. А именно символу аг поставим в соответствие все интервалы, которые соответствуют словам, начинающимся на аг. В этом случае характеристическое множество для произвольного символа может быть несвязным и представлять собой объединение нескольких интервалов. Покажем, что при таком выборе характеристических множеств найдется точка, эволюция которой будет совпадать с Ш.

Действительно, пусть слово Ш начинается с некоторого к-слова ш = С1С2 ...Сь. Ему мы поставим в соответствие интервал Рассмотрим следующий (к + 1)-й символ Сь+1, этому (к + 1)-слову мы поставим в соответствие интервал , где ш' = С1С2 ... Сь+1, и т.д.

Получаем бесконечное множество вложенных интервалов /1 Э /2 ^ ..., которые в силу равномерности сдвига окружности могут иметь только одну предельную точку. Эволюция этой точки и будет совпадать со словом Ш.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Morse M., Hedlund G. Symbolic dynamics II. Sturmian trajectories // Amer. J. Math. 1940. 62. 1-42.

2. Белов А.Я., Кондаков Г.В. Обратные задачи символической динамики // Фунд. и прикл. матем. 1995. 1, № 1. 71-79.

3. Rauzy G. Mots infinis en arithmétique // Automata on Infinite Words: Ecole de Printemps d'Informatique Theorique, Le Mont Dore, May 1984/ Ed. by M. Nivat, D. Perrin, Lect. Notes Comput. Sci. Vol. 192. 1985. Berlin etc.: SpringerVerlag, 165-171.

Поступила в редакцию 04.07.2007

УДК 511

О КОНСТАНТАХ В НЕРАВЕНСТВАХ ДЛЯ СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЙ НЕКОТОРЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

А. Х. Гияси

В 1918 г. для первообразного характера Дирихле % по простому модулю ц И. М. Виноградов [1-3] и Г. Пойа [4] независимо доказали, что

\T (N )| =

n<N

X(n)

< л/9 log ç.

Положим S(х) = max\T(N)\.

Э. Ландау рассмотрел задачу оценки постоянной Ь в следующем неравенстве:

ад ^«4/91о6<7(1+ о(1)).