Слабые деформации на бинарных финансовых рынках Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.944

СЛАБЫЕ ДЕФОРМАЦИИ НА БИНАРНЫХ ФИНАНСОВЫХ РЫНКАХ

© 2010 г. О.В. Назарько

Ростовский государственный строительный университет, Rostov State Building University,

ул. Социалистическая, 162, г. Ростов-на Дону, 344022 Socialisticheskaya St., 162, Rostov-on-Don, 344022,

[email protected] [email protected]

Исследованы безарбитражные (В, 3)-рынки на бинарных стохастических базисах со слабой деформацией. В частности, доказываются теоремы о существовании и единственности эквивалентных мартингальных деформаций.

Ключевые слова: деформация, деформированный стохастический базис, плотности, деформированный мартингал, мартингальная деформация, рынок Кокса-Росса-Рубинштейна.

This paper is devoted to the investigation of arbitrage-free (B,S)-markets on the binary stochastic basis with weak deformations. In particular, theorems on the existence and uniqueness of equivalent martingale deformations are proved.

Keywords: deformation, deformed stochastic basis, densities, deformed martingale, martingale deformation, Cox-Ross-Rubinstein market.

Данная работа, некоторые результаты которой анонсированы в [1], является продолжением и развитием [2], где содержатся необходимые общие определения и обозначения, связанные с деформациями стохастических базисов.

Рассмотрим фильтрацию , порожденную

следующим бинарным деревом (рисунок).

Данная схема показывает, что при переходе от

момента времени п к п +1 атом Ак а -алгебры ¥п

дробится на два атома 1 и А^ а -алгебры

Ри+1. Ветвь, образованную этими тремя событиями

Ak A

AM , A

2k-l

и An+j, будем называть k -ветвью би-

нарного дерева.

Итак, полагаем

4 =fi=jA^,A2,

F = Fjy. Пусть вероятностная

А

,2

Г.Л

, AN

F„ - cr<! А\, ,

, A

2n

ятностных мер

цией исходного стохастического базиса (l J (1. F.!' .

Таким образом, Q. (

F FP Qn^ '

~N

деформированный стохастический базис (WDSB) [2].

В дальнейшем

мы

Q^Q^1}F„, Q$+C= QQ^n >qkn ■ hkn=i{k = и,..Д

используем обозначения:

мера Р такова, чтоР0, И< = 1.2.....2Д' . Предположим также, что У// = 0.1.....N на а -алгебре ¥п задана вероятностная мера (2 нагружающая все атомы этой сг-алгебры. Ясно, что V« = 0,1,...,^ Рп := /'I ] . Это означает [2], что семейство веро-

является слабой деформа-

tv

есть слабо

Бинарное дерево

Рассмотрим на этом \VDSB -рынок с акцией одного типа. Представим плотности 1гп = (10^ ' /(10^ - и дисконтированные цены акций Хп как линейные комбинации индикаторов:

2« 2"

К = Xй« -1 Лк , 2п = !>« лк ■ Ясно, что >0 и

к=1 л к=1 л

2кп>0 (« = 0Д,...,Л^; к = 1,2,...,2п ). В следующей лемме приводятся необходимые условия, которым должны удовлетворять плотности деформации 2. Лемма 1. Пусть деформация О такова, что

dQ^=hndQ^

п = 0,1,...,7V. Тогда Vw либо , либо 0 < inf hk < 1 < sup hk .

Доказательство тривиально.

n

n

k

I Лемма 2. Пусть на стохастическом базисе Хо' I'-Р задана другая деформация

_цьо > где ^ нагружает все атомы а -алгебры ¥п 4 = 0.1.....N Деформация И эквивалентна исходной деформации Q тогда и только тогда, когда \/п = 0,1,...,7У-1 и Ук = 1,2,...,2й, выпол-

няются

соотношения:

2к-1 2 к Гя+1 + Гя+1 _,к

к п '

Г

где

к

г„ .=

-у - Ji-1 2i

R • В частности, 4"+l /л+1 = А^

Доказательство тривиально.

Следующая лемма позволяет строить деформацию

О по системе плотностей , ¥п .

Лемма 3. Пусть адаптированная последовательность

случайных величин (с.в.) , !'„ Хо обладает следую-

щими свойствами: V« = 1,2,...,ТУ — 1 и У& = 1,2,...,2 справедливо одно из двух соотношений: 1) А»-1=АЙ=1;

2) 0 < А^*-1 < 1 < А^ либо 0 < к1к < 1 < А^4 .

>=0

и-1

Тогда существует деформация <2=\ ^^

та-

1

2 1

q 1=1

к\ д1 + к2 д 2 = 1. д 1 > 0, д2 > 0

Ясно, что эта система имеет решение. При п = 1

получаем следующую систему уравнений:

1 2 11 42+ д 2 = к д 1

q2+ q 2= h2 q 2 1„ 1 , i.2 2 , ;„3„3

h2 q 2 + h22 q2 + h2 q2 + h24 q 4 =1 q2 >0, q22 >0, q 3 > 0, q4 >0

«(q 2 + qb + b(q3 + q 4) = 1

(q2 + q гН(«3+ qb = 1 12 11 ' q2 + q2 = h1 q1

q2>0, qf>0, q 3 > 0, q4 > 0

Из первых двух уравнений величины Р '=д2 + 92 > 0 и д := <?3 + 92 > 0 определяются однозначно. Третье уравнение системы выполняется тогда и только тогда, когда справедливо равенство

/1 1 Р = п\4\

1-й ,i <=> -г = h{

(1)

кая, что

Доказательство опускается. Приведем пример, показывающий, что условия леммы 3 не являются необходимыми для существования соответствующей деформации Q, а условия леммы 1 не являются достаточными.

Пример 1. Рассмотрим трехшаговую модель, т.е. N = 3. Пусть с.в. /?] удовлетворяет условиям леммы 1 (совпадающими в этом случае с условиями леммы 3) и пусть 0<к\ =А| = а< 1 и 1 < /*2 =^2 = й < 00 , т.е. с.в. к2 удовлетворяет условиям леммы 1, но не удовлетворяет условиям леммы 3. Найдем соответствующую деформацию исходного 4,1.5" -рынка. При п = 0 имеем

а~Ь 1 а| - А2

Если положить А/ = 1/2 , А^ = 2, 1г\ = А| = а = 1/2 ,

А| = А2 = Ь = 5/4 , то получаем пример, где выполняются условия леммы 1, не выполняются условия леммы 3, но соответствующая деформация 0 существует, так как равенство (1) выполнено. Если же положить

1г\ = 1/2 , А2 = 2, А2 = А2 = а = 1/2 , А^ = ^ = Ь = 2 , то

получаем пример, где выполняются условия леммы 1, не выполняются условия леммы 3 и не существует деформации 0 с такими плотностями.

Предположим, что введенный нами бинарный ф, ^ -рынок с дисконтированной стоимостью акции

^я'^я^о безарбитражен. Для каждой {г, £ -ветви

запишем систему уравнений Г_2£-1 г , _2£ £

1 1у~гп

\х + у = 1 . (2)

х > 0, у > 0

Введем следующие нестандартные обозначения. Выражение ае с будет означать, что Ъфс и а лежит между Ь и с (при этом Ь может быть больше с). Хорошо известно [3], что безарбитражность рассматриваемого рынка равносильна тому, что

V« = 0,L...JV-1 и Ук = 1,2,...,2" либо z

к

<2к-1 2 к я+1 'z

я+1.

либо гп = 2п! | = 2 п | . Если выполняется первое

соотношение, то соответствующая система (2) имеет единственное строго положительное решение

y-=plk+1

Z» я+1 2£-1 _ 2к я+1 я+1

>0,

z

_2£-l

я+1

-i

>0.

2£-1 _ 2к

я+1 я+1

Если же выполняется 2-е соотношение, то уравнения системы (2) совпадают, и, таким образом, эта система имеет бесконечное множество строго положительных решений. В этом случае числами

х-.= р2пк^1 >0 и У'-=Р^.1 >0 будем обозначать какое-либо фиксированное решение системы (2).

В дальнейшем понадобится следующая лемма, где

специфические свойства чисел рП и кП не исполь-

уп " "п зуются.

Лемма 4. Пусть числа ,п = ОД. заданы рекуррентными формулами:

г.

г.

,2к-\ я+1 2 к я+1

2к-\,к к ' Рп+1 я Г„ ,

2к ,к к

N:k = 1,2,...,2К

LK 1

=

n rn

n

где 1ц) = 1, а числа 1гк и рк произвольны. Тогда справедлива формула:

rkhk = Wh

'n ' n 11h

m=1

k+ 2 — 1

m

■P

k+2 — 1

(при этом полагаем | [ I/

m

k+2"-m-l 2 n-m

(4)

m

■P

k+2"-m-l 2 n-m

m

= 1:

m=l

^ - целая часть числа а). Доказательство опускается. Замечание. Если в лемме 4 для п = 0,1,...,7У,

к = 1,2,...,2й выполняется равенство р^^ + /э^ = 1,

то для тех же n и k - r

2k-l

я+1

2 к к к ' Гя+1 ~ "и ги '

Пусть снова все числа кП и рП строго положительны. Используя формулу (4), определим на <т-алгебре меру И ^ следующим образом:

( п = 0,1,-,М, к = 1,2,...,2й).

и только тогда, когда \/п = 0,N выполняется равенство

Теорема 1. ^ х' 'м=о является деформацией тогда

к+2"

-1

2"

•P

к+2"

-1

2"

= 1.

(5)

>

I n 1=1 о z r2

k=l к=1

2n > > 2n

О E & + P^ hn'n = ^ E h„kr„k= Ю

k=1

2"

k=1

к+2 —1 2^-m

■P

к+2 —1 2 n-m

m

= 1.

t+r

выполняются равенства Ея \п+\ 3 .

Доказательство. Проверим выполнение условия леммы 2. Имеем

г2*-1

и+1

г2А

и+1

2А:-1 2к ,к

Таким образом, деформация К эквивалентна деформации р.

Теперь проверим, что К - мартингальная деформация. Имеем

72к 2к П к

'п+1 рп+1 'М'п

2k-1 2k-1 , _2k 2k zn+1 rn+1 + zn+1rn+1

<2К—12К—12К 2k iA k

n+1 Pn+1 + zn+1 Pn+1 ßn r

Г.

2k 1

n1

■r.

2k

n1

hkrk nn

= 2k-\ 2k-\ 2k 2k k zn+1 Pn+1 + W+l "w+1 Zn ■

Теорема доказана. Теорема 3. Пусть

"jabO

произвольная мар-

тингальная деформация, эквивалентная •

Тогда существуют числа

Pkn ,

и = 0,1,...,7V,

к = 1,2,... ,2 й такие, что Уи = 0,1,...,7У-1, к =1,2,...,2Г' числа х = р^1, у = удовлетворяют системе (2) и выполняются соотношения (3).

Доказательство. Так как

-У

- деформация,

эквивалентная

">=0 > т0 определены положительные числа гк и /гк, п = 0,1,...,7У, к = 1,2,...,2й. Пола-

С*

гаем

2к—\

г2к-1 и+1

"n' n

>0.

р1к+1 >

r2¿

н+1

"n' n

>0, pI =1.

2" и

X ГШ

¿=1 т=1

Доказательство. Необходимость. Так как К -деформация, то имеем

Покажем, что 1 и i удовлетворяют систе-

ме (2) Vn — 0,1,...,7V—1,

Имеем

г2к-\ +г2к

+ рЦ] - И+1 к И+1 = 1 (последнее равенство

r

следует из леммы 2). Далее

2k-1 2k-1 2k 2k _ 1 /2k- 1 2k-1 2k 2k

Zn+1 Pn+1 + Zn+1 Pn+1~ , k k 1 «+ 1

hk r

,ln 'n

2k-\2k-\

Лк „2к

о I ПК

к-1 т=1

(последняя равносильность обосновывается леммой 4).

Достаточность. Пусть выполняется равенство (5). Тогда, используя предыдущую цепочку эквива-

2«

лентностей, получаем равенство X = 1, т.е. Я

к=1

является деформацией. Теорема доказана.

- деформация, то она эквивалентна ^ и при этом автоматически является мартингальной деформацией, т.е. Ун - 0.1...../V -1.

Z»+l Гп+1 +ZH+lrH+l

r2k~l +r2k

'и+1 ^'и+1

Теорема доказана.

Следствие 1. Если бинарный Ф, -рынок безар-битражен и полон, обладает мартингальной деформа-

цией R =

n

'jjbO'

эквивалентной

исходной

~М=о> т0 эта ДбформЭДия ^ единственна,

в^гчисляется по рекуррентным формулам (3) и удовлетворяет соотношениям (5).

Следствие 2. Если бинарный Л' -рынок безар-

битражен и полон, исходная деформация р удовлетворяет соотношениям (5), то существует единственная мартингальная деформация К , эквивалентная ( .

Пример 2. Рассмотрим рынок Кокса-Росса-Рубинштейна с параметрами а,Ъ и г.—\<а<г<Ъ.

Вычислим вероятности \' и р2к\1 для этой модели. Так как рынок безарбитражен и полон, то выполняются следующие соотношения между дискон-

либо

2к-1

.к

.2 к

тированными ценами акций: ' <гп < гп+1

2 к к 2к—1 -г^

г п+1 < г п < г п+1 . Будем предполагать, что на верх-

k

= z

n ■

n

k

r

n

ней части ветви дисконтированная цена акции будет возрастать, а на нижней - убывать. Решим систему уравнений (2) для данного случая:

sU+b'

D d ,

x + y = 1

-x + -

sk 1+<

sk

D d , 1

B0 C+ r n

y =

Boi+r^ < bx + ay = r

О [х(+й +y<+^=l + r 0

[x + у = 1 [x + y = I

^ r - a b - r

Получаем x =-, y =-.

b - a b - a

Итак, x и y не зависят от n и k, т.е.

2к-\ _ г-а Рп+1

b-r

Ь—а Ь—а

Пусть a (i. к - количество нечетных чисел в после-

довательности

к.

> + 1 " ^ + 3" ^ + 7"

_ 2 _ _ 4 _ 8

к + 2 "-1 -1 n-1

. Тогда

чисел в этой последовательности.

2n n-1

ХПй

Ы 1j= о

= I

k+2J-1 2j

nj

k+2J-1 2j

nj

к= 1 ^a

л _ i* \ --и—1

П h

7=0

ba

к+ 2j-1

2 j

n~j

fX,

0, áñee y- =áoííá =eñeí.

г

2 n _ ^

k=l

' k+2J-l 2J

n-1

«-Z <-1

j=0

k+2J -1 - 2->

^ -Г ^

B-l

Й+Х <"1

j=0

k+2J -1 ' 2->

n-J

4

= W—a

(2k-l , Л„2к-1 , ¿2k , ^2k п «+1 "ijVl + "^«+1 = 0> i6)

то существует мартингальная деформация R , эквивалентная Q.

Доказательство. Зададим числа rr¡ рекуррентны-

ми соотношениями (3). Покажем, что Yjhkrk = ' • Из

к=1

(6) вытекает

h2k-\ 2к-1 h2 к 2 к =1 "n+1 Pn+1 + hn+1 Pn+1 1

П4

2k-l 2к-1, к к

2к — 11 к к , i 2к 2к i к к i к «+1 Pn+l h«r„ +К+\Рп+\кпГ„ =hnr,

к

кк

n'n hnrn 1

h 2к—1 2к—1

hn+1 и+1

i 2к 2к _ i к к ' hn+1rn+1 " hn rn

2n

E К

к1

2n / I h

2к—1 2к-1

к=1

> 2n i 2к 2к _ -*г ик к

'hn+1rn+U Lhnrn к1

t í, - количество четных

Имеем

Продолжая индукцию назад, получаем, что 2п 1

Х^г^ = ¿к1 Го1 =1, что и требовалось. Завершаем

к=1 ¿=1

доказательство теми же рассуждениями, которые были проведены в доказательстве следствия 2.

Теорема 5. Пусть бинарный -рынок безар-

битражен и полон. Пусть <2 - деформация, >и и процесс Ся удовлетворяет

леммы 1, причем У« = 1...../V — 1

0 < /г2 < 1 < /г^ и А^=1 при к = 3,4,...,2й . Мартингальная деформация Л, эквивалентная 2, существует тогда и только тогда, когда выполняется соотношение

условиям

Остается вычислить a{t,k . Для этого вводим функцию

|1, áñee x- íá^áóíiá =eñeí

á >2 hln=\+y-hl y^,\/n = \,2,-,N

Pn

Ясно, что / — ^ . В итоге получаем, что

условие (5) для модели Кокса-Росса-Рубинштейна имеет вид

Доказательство. Необходимость. Если мартин-гальная деформация существует, то она единственна и из теоремы 1 и леммы 4 следует

2п+1

у ккГк = 1 Г1к1 + Г2к2 + У 1 <=>

"п'п 1 ^^ ' пкп ^ ' п кп ^ п 1 ^^

к= 1

^ 3

^ 1/1 , 2, 2 . ! 1 2 , ..

<=> rnhn+rnhn +1 - rn-rn = Ю

(

-1 r1 n 1 rn

h

-1 r 2 n 1 rn

У >2

= 0 o =1+ (-Ä2

и-1

X П Л

7=0

Следующая теорема дает возможность в случае безарбитражного и полного рынка строить мартингаль-ную деформацию, эквивалентную деформации (2.

Теорема 4. Пусть бинарный -рынок безар-

битражен и полон. Пусть 2 - деформация, с!(У," '' = 1гГ1(/0 ^ - и процесс Ся удовлетворяет условиям леммы 1. Если Уп = 0,1,...,7У — 1 и = 1,2,...,2й, выполняется соотношение

<^2, 1 1

"и j j j ^^ "и 1 Pnh«-1rn-1

\ ПП J х

Pn

Достаточность следует из теоремы 4. Теперь рассмотрим случай, когда бинарный B, S ^ -рынок безарбитражен, но неполон.

Пример 3. Рассмотрим двушаговую бинарную

модель безарбитражного неполного рынка. Пусть

h\ Ф1. По лемме 3 необходимо выполнение либо нера-

12 2 1 венства 0 < /г1 <1<Aj <оо, либо 0 < /г1 <1<А1<оо.

Рассмотрим различные возможные ситуации. 112

1. zq = z\ = z\ . Найдем в заданном классе деформаций мартингальные деформации. Они являются решениями системы

n

2

к

r — a

n

1 + 1 = 1 h\rl + h12r12 =1

zlV + zV = z0

r2+Г22 = hV

„1_1 , r 2 z2 r2 z2+ r2 z2 _ _1

—1-2—" z1

r21 r22

r23+ r24= h12r12

r2 z3 + r24z4 _ „2 -3-4 " Z1

r23 r24

rjf > 0, n = 0,1,2; i = 1,2,...,2n

r/ + r12 = 1

hjr11 + h12r12 =1 1 2 11 r9 + r = h r

r2 r2 21

z2

hin1

1 r1

"ZI

r|+ r24 = h2r2

r2

hir/

= z1

z3-

r* > 0, n = 0,1,2; i = 1,2,...,2n

h2n2

+ z4 ■

h2n2

числяются

12 3 4 r2 , r2 , r2 , r2

Л

Äin1

zi . ri

z2

h\rl

однозначно. Для имеем системы

= 1

11

k{r{

2 r2 ~z2 "

11

rt > 0, rl > 0

hir!

2

rl 4 л

- + 2=i

Ä2n2 Äfn

3 4

73 r2 ,_4 ^2

"^r + Z2 ITT

2.2

rl > 0, r24 > 0

= zl2-

i3 z4

Из условий на к/ и к]2 вытекает, что г/, г\ вы-

нахождения

а) если г\ е и г2 е ^2^2 > т0 каждая из

этих систем обладает единственным решением. Отсюда получаем, что существует единственная мартин-гальная деформация;

1 1 2 2 3 4

б) если гу = 22 = 22 или 2у =2^=22 , то рассматриваемая деформация 0 обладает бесконечным множеством эквивалентных мартингальных деформаций К .

\ 2 12 2. е , г1 . Для нахождения п и п получим

систему

Г11 + г12 =1,

4Г1 + г12 = ^

к1 г1 + к12 г12 =1, г11 > 0, г12 > 0.

Из первых двух уравнений г11 и г12 определяются однозначно.

11 2 2

а) если тождество /ц г\ + !ц г\ =1 вьшолняется, то аналогично п. б) предыдущего случая получаем, что для деформации 0 , соответствующей к1 , существует

бесконечное множество мартингальных деформаций;

11 2 2

б) если выполняется неравенство куп I ¡ц /)

то для деформации 0 , соответствующей к1 , не существует эквивалентной мартингальной деформации.

Теорема 6. Пусть -рынок обладает следующими свойствами:

П Л— П ~

<2к-\ _2к п

Л,

— П

- ZM+1

1) Уи = (Ц...,ЛГ-2 3 А:« (<£Й<2Й

Л+Ьпри к*кп\

Пусть деформация 0 такова, что Уп = 0,1,...,ТУ-2

7 2£ -1 , , 2£„ 0<A+i <1<Ä„+i

либо 0<!</?,

^и+1

^ 2+11 = ^ 2+1 = 1 при кфкп. Тогда существует единственная мартингальная деформация К , эквивалентная 0.

Доказательство. Построение мартингальной деформации К осуществим по индукции. При п = 1

имеем систему для нахождения г/ и г1:

г11+ г12 =1 11 2 2 1 ^Г1 + ^Г1 =

к^г/ + к12г12 = 1 . г11 > 0, г2> 0

Из условий теоремы вытекает, что г11 и г12 вычисляются однозначно.

Пусть гк, г = 1,2,...,«; к = 1,2,...,2г определены однозначно до момента времени и включительно. Покажем, что и ^ = 1.2_____2"+| определяются однозначно. Имеем систему

и

2

= z

= 2

rn+1 + rn+l - h;rn , k 2k-1 2k-1 2k 2k zn+1 rn+1 "г" zn+lrn+1 к j, . и ,2k- 1,2k Zn, -n

rn 1 rn 1

2k 1

2k

kk

n1

_i_ r2kn — U;nr;n

^'n+1 _ hn 'n

2k 1 2k 1

2k 2k

rn+1 Tzn+1rn+1 _ к ,.2k„-1 2k„ Zn

n1

n1

rn2

2k 1

2k

>

kk

■+1 Vi

2k 1 2k 1

r

n1

+ h

2knr 2k, r

>

n 1 rn 1

-T- 1

зом, для нахождения значении r

2к-1

и+1

димо разрешить следующую систему:

и r

2k„

n+1

необхо-

-2k»- ч ,2k? =r„k"hk,"

'n+1

i C2+kf1+ vr чт-г1+ h2k1 r;;- 1 ° k*k„

rl1 >0, k = 1,2,...,2n+1

n1 1

>

hn2

>

2 K~l

у П

rn+1

rkn hkn

' n hn

2K

у П

rn+1

r kn h kn 'n hn

= 1

I2k„-l | Ги+1 |

>2+1

r n h n nn

YK iß+i

-l

>

^2kB и+1

^ k„ i k„ r n h n nn

= 0.

ги+1

>0, ¿ = 1,2,...,2

и+1

Обозначив x :=

и+1

гк„ик„ ' и "и

и+1

yk„ иkn

' и "и

получаем

x + y = 1

(

>

2kn 1 _ 1 V I t2kn

«+1 1 x hn+ 1

15 = 0.

2к-1 ,2k ик к rN +rN =hN_lrN_l

2k-\2k-\ , 2k 2k ZN rN +zNrN

' ~ ZN-1-

Г,

,.2k-\ , 2k

N

+ Г-,

N

rl1 >0, k = 1,2,...,2n+1

Значения г^ 1 и гвычисляются однозначно из

первых двух уравнений системы. Четвертое уравнение системы превращается в тождество. Таким обра-

гк >0, к = 1,2,...,2м

Ясно, что значения г^к_1 и г}-'1 вычисляются однозначно. Таким образом, теорема доказана.

В заключение докажем теорему о выражении полного капитала самофинансируемого портфеля через мартингальную деформацию.

Теорема 7. Пусть на безарбитражном бинарном ф, 5" -рынке задано платежное обязательство /у.

-^=0 ~ мартингальная деформация. Тогда для данного рынка существует мартингальная мера Р такая, что для соответствующего ей капитала

X„=BnE<

Xn=BnE'

In

B

N

-,<¡+1.

X

И+1

B

и+1

|Fn

справедлива

формула:

Доказательство. В соответствии с теоремой 3 представим деформацию К в виде (3). Легко видеть, что рекуррентные формулы

?2к-\

ги+1 ~ ри+1

2k-l~k ~2к „2к ~к ~1

и ' 'и+1

7"... I 1 —

Z.A. Л. ~ 1 1

= Рп+хгп , Г0 =1

определяют мартингальную деформацию К , порожденную некоторой мартингальной мерой Р, т.е. Я Р\ р . Обозначив хк := Хп , получаем

B„Ef

?*+С

Xn+1

B

n1

Bn _ERn+1-

2nr 2k—1 2k-1 r 2k r 2k

Bn 1

2 к и+1'и+1

\n+ 1|Fn 3

Bn 1 k 1

r 2k" 1 + r 2k

и+1 и+1

4 =

х > 0, у > 0

Ясно, что из этой системы х и у определяются однозначно. Таким образом, и г2^ также определяются однозначно.

Действуя аналогично, получим, что т^ однозначно определены до момента времени N—1. При переходе от N—1 к N, имеем следующую систему уравнений:

Bn 2; ^г1 р^м^РИ2;ЛЧ; Bn+1 ¿1 ри^ЧЧ^РИ2;^; B- 2т С2k- 1-2k-1 . -2k „2k ^

и ^ ■ 2; 1 2; 1 . 2; 2; г Bn+\ k=1 ^

д 2"x2*-1?'2*-1+X2*?'2*

Bn ^ n+1 ж-1 n+1 n+1 т - Ъ-1-1 лк -

Bn+1 Ы1 A

R 2n 2k- 1~2k—1 2k ~2k Bn ^ xn+1 1+1 +xn+1rn+1

Bn+1k=1

1 =

= BnEr

X

n+1

= BF

Bn+1

-^JV Ii

BN

что и требовалось.

= BnE'

JjL |F

R lFn

%

Литература

n

n

k

2iB-l

F

n

1. Назарько О.В. О существовании и единственности эквивалентных мартингальных деформаций для бинарного (В,8)-рынка на деформированном стохастическом базисе // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2008. Т. 15, вып. 4. С. 641-643.

Поступила в редакцию

2. Назарько О.В. (В,8)-рынки на деформированных сто-

хастических базисах // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2008. № 3. С. 19-21.

3. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой мате-

матики. Теория. М., 1998. 1017 с.

_15 января 2009 г.